Développement : Nombre de dérangements

Détails/Enoncé :

Soit $\mathcal{D}_n:=\{\sigma\in\mathfrak{S}_n\mid\sigma\text{ n'a pas de point fixe}\}$. (Un élément de $\mathcal{D}_n$ est appelé un dérangement)
Notons $d_n:=|\mathcal{D}_n|$. Alors :

1/ Par des arguments classiques de dénombrement, on obtient $\displaystyle d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$

2/ On peut retrouver cette égalité en établissant l'identité $\displaystyle n!=\sum_{k=0}^n{n\choose k}d_k$ puis en utilisant la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant1}\frac{d_n}{n!}z^n$

3/ On a en fait une formule plus explicite de $d_n$ : $$d_n=\left\lfloor \frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\right\rfloor.$$

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    Développement facile et sympathique, notamment si on aime bien les séries entières.
    Commentaire oublié dans mon pdf : Au final, $d_n$ est l'arrondi à l'unité du nombre $\frac{n!}{e}$.

    Attention pour la référence : Le contenu du développement est absent dans les 1ère et 2ème éditions du livre.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 237 versions au total)