243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Que exercices sur le plan.
Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices)
Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$
Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV?
Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai eu quelques questions sur le developpement, par exemple préciser le fait que l'espace des mesures de proba sur $R^{d}$ est métrisable compact pour la convergence étroite.
Sinon, deux exos : un sans rapport avec la leçon, et un sur les fonctions caractéristiques.
Que dire d'une v.a. réelle dont la fonction caractéristique vaut 1 en un $t \textgreater 0$ ?
-\textgreater La loi charge les 2k*Pi/t.
Pas de réponse fournie.
L'oral s'est bien passé. J'ai été surpris par le 1er exo qui n'avait pas beaucoup de rapport avec la leçon (calcul de densité marginale).
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
f C^2 de R^+ dans R telle que f et f'' sont L^2, prouver que f' est L^2
$||f||_p -\textgreater ||f||_{+ infty}$ (sur un espace de mesure fini)
Jury neutre dans son attitude qui fournissait quelques indications.
Globalement bien passé je pense même si trois heures c'est super court.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions :
Q : a-t-on des inclusions entre les Lp si l'espace est de mesure finie ?
R : Oui, ils sont décroissants, petit temps pour le montrer.
Q : Que se passe-t-il si l'espace est de mesure infinie ?
R : Là j'ai dit que je savais qu'il existait des contre-exemples de fonctions qui sont dans un Lp mais dans aucun autre Lq.
Et que si on se donnait trois indices on avait une inclusion du type précédent. J'ai commencé à écrire au tableau, mais ils m'ont arrêté pour la suite
Q : Quelles sont les fonctions f qui convolées à elle-même sont nulles ?
R : Là, j'ai écrit la formule de la convolution, il m'a dit "Calme-toi", j'ai fait : "Ah ok", passons par Fourier.
Et là c'est posé.
Q : Vous avez écrit que la transformée de Fourier d'une fonction L1 est continue, que dire de plus ?
R : Elle tend vers 0 au bord.
Q : Montrer le
R : Euh, bah la démonstration que je connais … euh … repose sur une astuce … Plouf Plouf …
Q : Admettons le résultat. La transformée de Fourier va de L1 dans les fonctions continues qui tendent vers 0 aux bords, que dire de ce second espace.
R : c'est un Banach pour la norme infinie.
Q : Vous avez dit que la transformée de Fourier est injective, est-elle surjective dans ces conditions ?
R : Là, je me suis dit que je m'étais jamais posé cette question. Et j'ai répondu que je pensais pas vu qu'on introduisait L2 et S pour travailler sur Fourier en général, du coup qu'il fallait trouver un contre-exemple ou montrer que les deux espaces étaient pas isomorphes.
Q : Comment fait-on cela ?
R : On peut regarder le caractère séparable, là manque de bol les deux sont séparables, enfin je crois.
( du coup il faudrait regarder le caractère réflexif des deux machins … je sais pas si on peut s'en sortir )
Q : Passons à autre chose ? Que dire d'une application continue bijective d'un banach dans un banach ?
R : La réciproque est continue, par le théorème de l'application ouverte.
Q : Ok petit con maintenant tu vas nous dire à quoi ça sert dans la vie les espaces Lp ?
R : Euh … plouf plouf … On peut introduire les espaces de Sobolev pour résoudre des équations différentielles plus générale, et même des E.D.P.
Q : Les espaces de Sobolev ? MAIS TU TE FOUS DE MA GUEULE ? Tu crois que tu vas les intéresser les petits cons d'aujourd'hui avec leur black berry, leur iphone et le Ternet ?
R : Euh …
Q : Quoi euh !
R : Bah …
Q : Allez dégage toi aussi t'es un petit con !
R : Bonne journée.
Pas de réponse fournie.
J'étais pas très bien vu l'oral de la veille, du coup j'ai pas parlé de tout ce que j'avais prévu dans cette leçon ( Sobolev, Stampaccia, Lax-Milgram) et j'ai surtout bien veillé à la cohérence du plan surtout sur la construction des Lp. Et je me suis retrouvé à faire une leçon sur la convolution et la transformation de Fourier au final en gros ...
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions de niveau moyen, même si j'ai pas forcément très bien répondu.
Le jury était un peu relou, ils écoutaient pas vraiment, ils étaient mous, en gros j'avais un peu l'impression qu'ils s'en foutaient. Et un des mecs (J.-P. Barani) m'a plus ou moins forcé à dire que le dual de $L^1$ n'était pas $L^\infty$. J'ai pas trop insisté parce que c'est un oral, mais j'ai un peu la haine.
Et aussi, ils ont fait n'importe quoi administrativement parlant, mais tout s'est bien passé. Enfin un peu des branleurs quoi.
Jury : La solution que vous avez trouvé, que peut-on en dire à $t\textgreater0$ fixé ?
Votre serviteur : Eh bien puisqu'on a montré que $(t,x)\mapsto u(t,x)$ est $C^\infty$, en particulier $x\mapsto u(t,x)$ est lisse aussi.
J : Et comment vous le montreriez ?
VS : Ben… Je ferais ça…
[C'EST LE TIERS DE MON DÉVELOPPEMENT PENDARD, JE VIENS DE LE FAIRE, TU VEUX PAS ÉCOUTER UNE SECONDE ?]
J : Ah. Et si la dérivée en temps est double, qu'est-ce qu'il se passe ?
VS : C'est l'équation des ondes, ça ressemble plus à une équation de transport, il n'y a pas régularisation.
Jury : Soit $f$ l'indicatrice d'un ensemble de mesure strictement positive. Sa transformée de Fourier est-elle intégrable ?
Votre Serviteur : Non, sinon elle serait la transformée de Fourier inverse de sa transformée de Fourier, donc continue.
J : Si $f$ et $f^{(n)}$ sont $L^p$, montrez que les $f^{(k)}$ sont bornées.
J'en ai chié, mais Taylor, ce qui m'a valu un petit « Ah, je comprends pourquoi vous n'avez pas pris l'autre leçon. » du jury. Garder son calme.
Pas de réponse fournie.
Comme dit précédemment, jury un peu borné.
18
244 : Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.
Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
L'exercice m'a paru plutôt difficile. On a seulement traité les cas où K est une boule, puis le cas où K est connexe par arcs. J'ai eu beaucoup d'indications, mais le jury était très pressant dès que la démo n'avançait pas, c'était assez frustrant.
questions :
comment prouver rapidement le résultat du développement pour les groupes finis ? avez-vous une idée pour généraliser le résultat aux groupes compacts infinis ?
que pouvez-vous me dire sur le th. de représentation conforme ? (référence à la dernière remarque du plan qui parlait de points fixes d'homographies)
pouvez-vous citer des applications du th. de picard en analyse fonctionnelle ?
un exercice :
Soit K un compact connexe de R^n, U un voisinage ouvert de K, f : U -\textgreater R^n, C^1, tel que pour tout x dans K, la norme subordonnée de df_x est \textlesser 1. Montrer que f admet un point fixe dans K.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
12
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Il n'y a pas eu beaucoup d'exercices, ils étaient moyens sans indication, faciles avec.
Exo 1 : Sauriez-vous montrer que $u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ converge en n'utilisant aucun outil théorique sur les séries ?
Indication : Considérer $v_n=u_n+\frac{1}{n(n!)}$
Exo 2 : On considère $(u_n)$ une suite réelle positive telle que : $\forall n,p\in N, u_{n+p}\leq u_n+u_p$. Montrer que $\frac{u_n}{n}$ converge
Indication : Montrer que ça converge vers $inf \frac{u_n}{n}$
J'ai eu pas mal de questions sur mon plan, beaucoup de petites questions qui me faisaient approfondir des items de mon plan. Un des membres du jury (Torossian crois-je) est beaucoup revenu sur le fait que j'avais parlé de suites de v.a réelles dans mon plan.
L'oral était pas terrible, je me suis planté en faisant Stirling ce qui est loin d'être glorieux. Sinon le jury était neutre, il ne semblait ni emballé ni lassé.
12.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
quelques questions sur le plan et deux exos.
- Une question sur le dev (le calcul de la transformée de $\delta_0$, je l'ai fait en le voyant comme une distrib - ça prend une ligne - et ils m'ont demandé de le faire "directement", par un calcul de transformée pour une mesure du coup)
- Questions sur le plan : dans quels items du plan j'utilisais le théorème de changement de variable (j'explique vite fait le calcul de l'intégrale de la gaussienne notamment) ; pourquoi j'avais mentionné la marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ (c'était un exemple donné après l'intégration des $1 /||x||^{\alpha}$, je me suis embrouillé à pas trop savoir quoi dire et quoi survolé mais j'ai finalement justifié la présence du truc (on intègre des trucs de la forme $1/(1-cos(x))$) ; est-ce que j'avais un autre exemple de calcul des résidus en tête (hic, j'ai donné que mon dev 1 comme exemple, je savais pas où en chercher d'autre - ben j'en avais pas, c'est un peu con).
- Exo 1 :
$$
I_n = \int_0^n (1-x/n)^n \ln(x) dx
$$
Donner la limite de $I_n$ (dire ce que c'est puis le montrer). En déduire la valeur de $\int_0^{\infty} \exp(-x) \ln(x) dx$.
---
Que du bon calcul calculatoire de taupin. Le machin auquel on pense tend vers l'exponentielle et donc, incroyable, la limite de $I_n$ c'est l'autre intégrale.
On commence par mettre une $\mathbb{1}_{[0,n]}$ pour que l'intégrale soit gérable, puis on fait de la CVD ; pour la domination, on peut passer par la concavité du log et hop. Pour calculer l'intégrale ensuite il va falloir une écriture explicite de $I_n$ : on change de variable pour virer les $x/n$, on découpe ce qu'il reste du log, ce qui fait poper un terme qui s'intègre directement et un autre qu'on peut calculer par IPP. On a arrêté l'exo une fois que j'avais amorcé l'IPP, on m'a vite fait demandé si je savais la limite de $\ln(n) - \sum_{k=1}^n 1/k$ qui intervient à la fin (houuuuu).
- Exo 2 : on prend $A$ une matrice symétrique. Deviner quel exo on va bien pouvoir faire avec dans cette leçon.
---
Bon, le vrai exo, c'était évidemment d'étudier $\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-(Ax,x)) dx$, et de la calculer quand $A$ est $S_n^{++}$. Voilà, voilà...
Quelques indications quand je mongolisais, et jury qui aide notamment à ne pas écrire de choses fausses (ils m'ont corrigé immédiatement quelques erreurs type problème de signe / objets qui disparaissent mystérieusement d'une ligne sur l'autre / ...)
- C'est vraiment pas beaucoup trop heures fichtre ! J'avais une bonne idée de plan, quelques bons exemples mais il m'en manquait des basiques pour illustrer certaines notions et mon plan était un peu vide.
- Je suis tombé sur JP Barani, un colleur de ma prépa (qui ne m'a pas reconnu) qui me terrifiait. Il s'est montré plutôt sympa, finalement.
- Globalement, je m'attendais un peu à la douche (plan OK mais maigre, développements pas trop en confiance) mais ça s'est plutôt bien passé. Dommage pour les trop nombreuses erreurs de mongol.
15
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Deux questions sur le développement, puis principalement des exos.
Pourquoi la fonction \[ t\mapsto \left\{\begin{array}{rl}
\frac{f(t)-f(s)}{t-s} \esperluette \mbox{si $s\neq t$ } \\
f'(t) \esperluette \mbox{si $s=t$}\end{array}\right. \] est-elle continue (je n'avais justifié que la continuité en $t$) ?
A-t-on vraiment \[ D=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} F_n \] ($D$ désignant l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ dérivables en au moins un point et \[F_n=\left\lbrace f\in \mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R} ), \exists t\in [0,1], \forall s\in [0,1], |f(t)-f(s)|\leqslant n|t-s| \right\rbrace \] ayant vocation a être un fermé d'intérieur vide) ?
Non, on a seulement une inclusion, mais comme on montre que le membre de droite est d'intérieur vide, celui de gauche l'est aussi, et c'est ce qu'on cherche.
Un exemple d'espace muni de deux distances dont l'une est complète et pas l'autre ?
$ \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ $ n'est pas complet pour la distance induite par la valeur absolue de $\mathbb{R}$, mais l'est pour la distance définie par $d(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|$.
Un exemple d'espace complet non normé ?
Un espace métrique complet qui n'est pas un espace vectoriel, par exemple celui ci-dessus.
Comment construit-on $\mathbb{R}$ et cela se généralise-t-il ?
En quotient l'ensemble des suites de Cauchy de $\mathbb{Q}$ par la relation d'équivalence identifiant deux suites si leur différence tend vers $0$, en faisant bien attention à remplacer les $\varepsilon$ par des $\frac{1}{k}$ dans la définition de la convergence puisque les $\varepsilon$ réels n'existent pas encore. C'est une des façons de compléter n'importe quel espace métrique, sauf que mainteant les $\varepsilon$ réels existent, donc c'est moins subtil.
Y a-t-il une métrique qui rende $\mathbb{Q}$ complet ?
Si on demande qu'elle induise la topologie usuelle, non par théorème de Baire. Sinon, ...
Comment prouve-t-on le théorème de Cauchy-Lipschitz ?
Une solution au problème de Cauchy est un point fixe de l'application \[ \varphi \longmapsto \left( t\mapsto x_0+ \int_{t_0}^t f(u,\varphi(u)) \mbox{d}u \right) \mbox{.}\] Cette application possède une itérée contractante. Le reste est technique et ne relève pas du théorème du point fixe.
Le disque unité ouvert de $\mathbb{C}$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact (qui est métrisable via une exhaustion compacte) est-il complet ? Pourquoi ?
Oui, par théorème de Weierstrass, qui se prouve en utilisant la formule de Cauchy.
Soient $E$ l'espace $\mathscr{C}^1([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\Vert f\Vert _E=\Vert f\Vert _\infty +\Vert f'\Vert _\infty $ et $F$ l'espace $\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\Vert f\Vert _F=\Vert f\Vert _\infty $. On note $\Phi$ l'opérateur de dérivation de $E$ dans $F$. Montrer que $\Phi(B_E(0,1))$ est d'intérieur non vide.
$\Phi$ est linéaire et $\Vert \Phi f\Vert _F\leqslant \Vert f\Vert _E$, donc $\Phi$ est continue. Le résultat suit donc du théorème de l'application ouverte.
Mouais, je veux bien que $F$ soit complet, c'est dans votre plan. Mais pourquoi $E$ l'est-il ?
Si $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $E$, $(f_n')_{n\in \mathbb{N}}$ l'est aussi dans $F$ car $\Vert f' \Vert _F \leqslant \Vert f\Vert _E$ si $f\in E$. Donc $(f_n')_{n\in \mathbb{N}}$ converge uniformément, le reste est classique.
Jury neutre, un des membres a clairement l'air de s'ennuyer. Questions de niveau moyen.
Pas de réponse fournie.
13.25
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Une seule question sur le développement. Pas de questions sur le plan. Que des exos.
Q : Et comment on fait avec $y'' - y = T$ avec $T \in S'$ ?
R : on fait comme dans ce qui est proposé dans plan, c'est-à-dire on convole avec la solution fondamentale.
Q : Calculer $\widehat{H}$. (avec de l'aide en particulier pour introduire $vp(1/x)$ qui n'est pas dans le plan).
R : $ix \widehat{H} = 1$ ok. $vp$ est l'inverse de $x$ mais c'est pas tout il y a aussi $\delta$ qui convient et là j'ai bloqué et on a changé.
Q [le prof de prépa se réveille] : exo sur la fonction nulle part dérivable qui fait intervenir une transformée de Fourier d'une fonction.
R : Je suis son raisonnement et on fini l'exo sans faire tous les calculs et à chaque il me font grâce des vérifications du genre 'permutation intégrale série'.
Q : et si vous deviez enseigner les distributions à une classe de 5ème ?
R : ahah non c'est pas vrai cette question mais j'aurais bien aimé l'avoir
Q : Si $T \in E'$ [NB : je l'ai défini dans mon plan], alors $\widehat{T}$ est $C^\infty$ et $T$ est sous polynomiale
R : oulah calm down cowboy ! pas eu le temps de finir et grosse galère ...
Le jury m'aidait beaucoup pour que ça avance. Je n'ai jamais eu le temps de bloquer plus que 30 secondes. Le jury passait soit à un autre exo soit me donnait un coup de pouce
J'ai essayé de tendre le maximum de perches possible dans mon plan ou plutôt de préparer les questions sur lesquels ils allez me coincer dans le but d'avoir des questions faciles au début. Du genre :
- une fonction dans $D$ pas dans $S$, ou des trucs du genre ?
- comment on démontre que $S$ est complet ?
- $S$ est stable par Fourier ok. $D$ ?
- la topologie sur $D$ ?
Mais non rien de cela. Pas de questions de topologie difficiles. J'avais juste introduit quelques notions de distributions + convolution.
18.25
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques questions sur le développement, une ou deux sur le plan et surtout des exos.
ils ont voulu que j'explique plus lentement le passage 'il existe epsilon tel que D_epsilon est inclus dans phi^-1(omega)' pour ceux qui connaissent le développement
Vous avez dit que la différentielle étaitune similitude drecte, que vouliez vous dire ? Alors bon j'explique tout un tas de trucs, en fait il voulait seulement que je dise que ça conserve les angles.
pourquoi une série entière de rayon de convergence fini a au moins un point singulier ?
Alors par l'absurde, si tous les points sont réguliers t'as autour de chaque point du cercle de convergence un ouvert où ta fonction se prolonge en une fonction holomorphe, t'en extrait un sous recouvrement fini par compacité du cercle et ensuite gros dilemme parce que tu peux étendre ta série en une fonction holomorphe sur un disque plus grand mais est ce que ça veut dire que ta série entière a un rayon de convergence plus grand que prévu et bah ouais, suffit de regarder la formule de Cauchy sur un cercle plus grand où ta fonction est holomorphe et ... fin regarde la preuve de 'une fonction holomorphe est analytique c'est la même idée'
Que sont les biholomorphismes du plan ? Les fonctions affines. On suppose le biholomorphisme nul en 0, on regarde l'inverse, on montre que 0 est un pôle de multiplicité 1 de l'inverse car la dérivée en 0 de f n'est pas nul, il faut pour le voir regarder la dérivée de la composée de la fonction avec sont inverse, bref on fait mumuse. on retire à l'inverse la partie en 1/z, c'est une fonction holomorphe, on montre qu'elle est bornée, on utilise le théorème de Liouville et du coup elle est constante et même nulle et on finit par montrer que le biholomorphisme est une fonction affine et fichtre quand t'as jamais vu ça de ta vie, t'es content d'en avoir fini.
Pas de réponse fournie.
Plutôt bien passé je crois, une leçon pas évidente, j'ai répondu aux questions et leurs questions remuaient beaucoup de notions de mon plan et étaient loin d'être triviales. Ils étaient assez neutres, j'ai un peu dépassé le temps imparti à la défense de plan mais ils n'ont rien dit. J'avais quelques craintes sur mon plan, basé sur l'Amar Matheron qui démontre la formule de Cauchy en mode je suis un psychopathe, j'aime les 1-formes, mais ils ne m'en ont pas parlé, ils m'ont posé quelques questions sur d'autres points du plan, mais pas sur la partie trash.
Pas de réponse fournie.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Aucune question sur le plan, ni sur la preuve de Brouwer. Ils m'ont demandé comment le généraliser à la dimension infinie.
Rien sur mon problème de Dirichlet préparé avec tant d'amour...
Premier exo : peut on trouver une submersion du tore sur R? (une indicationa facilité la tache)
Deuxieme exo : opérateurs compacts, montrer la compacité de l opérateur intégration partant de $C^0$ allant dans le bon espace, calculer son spectre
Troisieme exo :X ferme borne d un banach tel que pour tout $\epsilon$ il existe un sev de dimension finie tel que d(X, Feps)\textlesser $\epsilon$ montrer que X est compact
j ai galéré et on m a interrompu, hésité sur le processus de diagonalisation qu il proposait (plus grosse erreur de ma part a mon avis) et on a arrete...
Quatrième exo : f continue sur un compact avec d(f(x),f(y))\textlesserd(x,y), montrer qu on a un unique pt fixe
une indication et pof...
Cinquième exo : montrer que la décomposition polaire est un homéo, interrompu avant la fin... Je commencais à fatiguer.
Les questions étaient d un niveau correct, le jury était intéressé, aidait, pas cassant pour un sou, et semblait mieux supporter les 40 degrés que moi.
Juste une n'a pas vu que j'avais parlé des opérateurs compacts (alors que c était dans le plan et ma défense).
Je suis content de la leçon et du développement, le jury était bien...
Seule surprise : un tableau noir avec un bord pliant, et une prise derrière qui empechait de bien le caler... Du coup il bougeait quand j écrivais... Déjà que j'ai une écriture médicale si on en rajoute...
Pas de réponse fournie.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Plutôt équilibré, il y avait des coquilles dans le plan du coup ils sont revenu dessus.
Q : comment je montre D'Alembert-Gauss (qui était dans le plan)
R : par l'absurde, le polynome atteint un min non nul et DL en ce min
Q : Extrema de "somme des i*x_i" sur la sphère.
R : Extrema liés, bla bla ...(en fait il y en a pas besoin, la fonction est une forme linéaire qu'on peut donc voir comme un produit scalaire et c'est torché mais dans le cadre de la leçon c'était ce qu'ils attendaient)
Q : f holomorphe sur C ne s'annulant pas sur le disque unité fermé et qui stabilise le cercle unité, que peut on en dire ?
R : Elle est constante en appliquant le principe du max à f et 1/f sur le disque unité (petite subtilité ici pour 1/f puisque il faut être défini sur un voisinage du disque fermé)
Q : Connaissez-vous des problèmes d'extrema sur des espaces de fonction ?
R : Lax-Milgram (dans le plan) et application a une fonctionnelle obtenue à partir d'un opérateur différentiel, le min est alors solution
Q : Un truc plus élémentaire ?
R : Des problèmes en rapport avec les courbes
Q : Par exemple, le plus simple ?
R : Le plus court chemin reliant 2 pts
Q : Comment vous faite ?
R : On prend A et B ...[début de formalisme coupé par ce que l'oral allait se terminer, du coup heuristique]... je parle d'intégrer le produit scalaire de la dérivée du chemin et d'un vecteur unitaire colinéaire à AB, le boss accepte.
(je n'avais pas parlé de ce genre de problèmes dans le plan, je pense du coup que c'est attendu ou au moins le mentionner dans la défense)
Là les deux autres couillons me demandent de refaire l'exo d'holomorphie parce qu'ils ne sont toujours pas convaincu (alors qu'ils m'ont fortement incité à considérer 1/f donc a priori ils ont la même solution que moi)
Questions faciles. En ce qui concerne le jury : un sympa, un raleur (les coquilles l'ont énervé), un neutre (en mode big boss qui posait de vrais questions)
Surpris par le type qui a demandé a ses collègues "je suis pas entrain de me faire arnaqué là ?" après avoir entendu ma réponse à son exo (tjrs l'holomorphie). J'en conclut qu'il ne faut pas se mettre trop de pression sur notre niveau, mais simplement ne pas faire d'erreurs bêtes -_-' (On le savait déjà, certes)
13.75
249 : Suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues.Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
D'abord des exos, puis des questions sur mon plan, qui ont entraîné d'autres exos.
Quelques petites questions sur mon développement (pourquoi cette démonstration de la loi des GN nécessite de se placer dans $L^4$ ? donner l'énoncé du lemme de Borel-Cantelli). Puis un exo portant sur la démonstration de la loi forte des GN dans le cas $L^2$, en me donnant une piste de départ sur l'étude de la sous-suite $(S_{n^2})$ de la moyenne empirique $S_n$.
Puis des questions sur le plan, notamment sur la démonstration du théorème de Lévy. J'ai donné les grandes lignes d'une démonstration passant par des sous-ensembles dont l'adhérence contient les fonctions continues à support compact, puis on a fait la démonstration dans le cas de la dimension 1 en passant par les distributions.
Un membre du jury avait déjà sévi dans l'épisode "Pierre P et les espaces $L^p$". Il a récidivé en soufflant dès que j'ai dit que je prenais la leçon de proba. Ensuite, durant les exos, qu'il menait pour la plupart, il n'a pas arrêté de dire que son exo permettait de faire des maths (sous-entendu plutôt que des probas). Il est allé jusqu'à demander à son acolyte s'il l'autorisait à me poser une question portant sur une démonstration du thm de Lévy par les distributions tempérées. Il m'a ensuite demandé mon approbation : "Connaissez-vous les distributions tempérées ?". Lorsque j'ai répondu oui, il a ensuite été très souriant et content de pouvoir faire des maths.
Surpris d'avoir eu à faire un exo reposant essentiellement sur la transformée de Fourier dans $S'(\mathbb R)$, mais plutôt content de l'avoir eu car les distributions faisaient partie de mes leçons préférées.
Pas de réponse fournie.
262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
D'abord des questions portant sur le plan (visiblement posées par quelqu'un qui l'avait mal lu, car les réponses étaient dedans), puis des exercices.
Pourquoi la famille $n\mathbb{1}_{[0,1/n]}$, que j'avais mise comme exemple, n'est-elle pas uniformément intégrable ?
Justifier l'inégalité de Hoeffding comme développement dans cette leçon (comme si je ne l'avais pas fait dans ma défense du plan !) et donner une autre inégalité du même genre, mois fine (comme si la loi des grands nombres $L^2$ ne se trouvait pas dans mon plan juste avant Hoeffding !).
Comment montrer la formule de Stirling avec le théorème central limite ? (j'avais mis la propriété dans mon plan).
Condition nécessaire et suffisante pour que $\sum_{k=1}^n X_k$ converge en loi, où les $X_k$ sont indépendantes et $X_k$ a la loi $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$.
Montrer que si les $X_k$ sont iid de loi de Cauchy, $\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$ converge en loi mais pas presque-sûrement (pour cette dernière propriété, j'ai parlé de tribu asymptotique et ils m'ont demandé le lemmme de Borel-Cantelli). J'ai reçu des indications.
Si les $X_n$ sont indépendantes avec $X_n$ de loi $Ber(1/n)$, les $X_n$ convergent en probabilité, mais pas presque-sûrement.
Si les $\epsilon_n$ sont iid avec $\mathbb{P}(\epsilon_n=1) = \mathbb{P}(\epsilon_n=-1)=1/2$ et $(a_n)_n$ est une suite de réels, donner une CNS pour que $\sum_{k=1}^n\epsilon_k a_k$ converge dans $L^2$, puis montrer que cette condition est aussi une condition de convergence dans $L^4$.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
20
222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Deux questions sur le développement pour voir en gros si je ne suis pas un tocard.
Soit $f$ continue avec $f(a)=0$. Montrer que l’ensemble des points $x$ tels que la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ partant de $x$ converge vers a est un ouvert.
- On utilise la continuité des itérés de $f$.
On se place dans un Hilbert $H$ séparable. Montrer que si $(u_n)_n$ converge faiblement vers $u$, alors $(||u_n||)_n$ est bornée.
- On utilise Banach-Steinhaus.
Soit $(e_k)_k$ une base hilbertienne de $H$. Montrer que $(u_n)_n$ converge faiblement vers $u$ si et seulement si pour tout $k$, $\langle u_n,e_k\rangle \to \langle u,e_k \rangle$.
- Le sens direct est évident. Je me suis pas mal embrouillé dans les arguments et les notations, mais ça se fait plutôt bien avec Cauchy-Schwarz et une interversion de limite. On est passé à un autre exercice.
On se place dans $L^2 ([0,1])$. On note $e_k : x \mapsto x^{1/k}$. Montrer que la famille $(e_k)_k$ est une famille totale.
- On montre que l’orthogonal de cette famille est nul. (Indication : introduire $F(z) = \int_{0}^{1} f(x)x^z \mathrm{d}x$) La fonction $F$ est holomorphe grâce au théorème d’holomorphie sous l’intégrale (J’ai galéré dans le critère de Riemann pour donner son domaine de définition). Avec le théorème des zéros isolés, $F = 0$. En particulier $F(k) = 0$ pour tout $k$ et on conclut avec le théorème de Weierstrass.
Le jury était plutôt sympa, et donnait des indications quand je galérais mais me laissait aussi réfléchir. Ils n'ont pas trop aimé que je bute sur le critère de Riemann par contre, normal !
Tableau blanc et grand.
19.75
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai eue des questions sur le plan (notamment sur des propositions fausses que j'ai corrigé à l'oral) et sur la convergence de mes contre exemples de séries qui convergeaient ou non sur leur disque de convergence (trouvé dans le Hauchecorne)
Plutôt pas content mais pas méchants. Le jury a pas du tout apprécié l'exemple du Gourdon d'utilisation du théorème d'Abel car il y a plus simple que ça pour le résoudre (et il me l'on demandé en questions). Aussi, du au stress j'ai mal définis les Ek dès le début de mon développement donc ils m'ont arrété (et redemandé une définition plus rigoureuse en nommant mes partitions à la fin du développement). Aussi, ça a perturbé le jury que mes indices k et n soient inversés àla fin de ma preuve par rapport à l'énoncé.
Mon développement à duré trop longtemps (17 min avec leur intervention) mais ils me l'on dit et m'ont laisser quand même conclure (donc c'est cool, ils étaient pas à la minute près). Sinon c'est long 20 min de questions, ça ressemble beaucoup aux oraux de concours je trouve.
PS: j'ai pas encore ma note (je pense que ça se voit)
20
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Défense bien passée, même si le jury était à moitié mort (je passe à 16h durant la dernière semaine d'oral), l'un avait les yeux fermés la plupart du temps. Durant le développement, j'ai senti le jury très peu réceptif, et pas convaincu, du coup j'ai perdu confiance, j'ai réexpliqué des choses et perdu du temps inutilement : ils m'ont demandé de conclure rapidement alors qu'il me restait une partie du développement à montrer. J'ai donné les étapes. Ils m'ont demandé comme première question de détailler le dernier point (montrer que homéo implique difféo sur la réciproque).
-Ex: pouvez-vous appliquer ça (inversion locale) pour montrer que une fonction holomorphe est d'image ouverte. J'ai évacué le cas où la dérivée en un point est non nul, car on applique l'inversion locale. Ensuite, j'ai un peu galéré. Ils m'ont orienté vers l'écriture de la série entière en ce point. J'ai introduit le premier coefficient non nul, et ils m'ont dit de montrer qu'alors on avait pas forcément un difféo, mais qu'on avait en fait un difféo à la puissance $p$. On factorise le terme en $z^p$ puis il reste un terme qui est non nul en $0$, donc on a une détermination locale du logarithme et donc une puissance 1/p-ième.
-Ex: Montrer qu'une fonction croissante de $[0,1]$ dans lui-même a un point fixe. J'ai fait un dessin, posé $c=\inf\{x; f(x)\leq x\}$. Ils m'ont demandé de dire des choses sur l'ensemble considéré, j'ai surtout parlé du fait qu'il n'était pas fermé, mais ils attendaient simplement qu'il était non vide et minoré. Ensuite, j'ai montré que si $c$ appartenait à l'ensemble, c'était fini. Puis j'ai pris $(x_n)$ qui tend en décroissant, et je voulais montrer que $c$ était dans l'ensemble. J'ai un peu galéré, mais en regardant la bonne inégalité, on obtient le résultat.
-Ex: que dire de la différentielle autour d'un point fixe d'une fonction telle qu'il existe un intervalle attractif ? Réponse donnée : norme $\leq$1. Car sinon, on aurait une direction telle que la dérivée soit $>1+\vareps$ et des histoires de stabilité.
Jury endormi au début (littéralement un qui luttait contre le sommeil pendant défense et développement), puis, allant de tout mou à très sec dans son attitude.
Pas de réponse fournie.
19
239 : Fonctions définies par une inégrales dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
262 : Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai été étonné car j'ai eu beaucoup de questions sur mon développement et sur mon plan, mais presque aucun exercice.
Sur mon développement (densité des polynômes orthogonaux) ils m'ont demandé pourquoi il suffisait de montrer que $ \int fx^n=0 \forall n \Rightarrow f=0$ pour avoir la densité, je me suis un peu embrouillé en parlant d'abord des conséquences de Hahn Banach (la caractérisation des sous espaces denses par les formes linéaires), puis ils m'ont rappelé qu'on était dans un Hilbert et j'ai fait la démo normale.
J'ai eu des questions un peu bizarre, genre pourquoi $\hat{f}=0 \Rightarrow f=0$, alors que j'avais dit trois fois qu'à cet endroit là j'utilisais l'injectivité de la transformée de Fourier. Aussi dans le développement on se place sur un intervalle $I$ et ensuite on se ramène à une fonction sur $\mathbb{R}$, et ils m'ont demandé à quoi servait l'intervalle $I$, pas trop compris...
Questions sur le plan :
-Pourquoi j'ai rayé le Lemme du Riemann-Lebesgue dans mon plan? Parce que je me suis rendu compte que je l'avais déjà mis avant sous une autre forme héhé
-Pourquoi si $f,g\in L^1$ alors $f \star g \in L^1$. Meme chose avec $f\in L^p, g\in L^q$
-Vous avez dit qu'on a pas besoin de la convergence dominé pour montrer le théorème d'analycité sous l'intégrale, pourquoi? Parce que voilà : paf recasage de la démo que j'avais relu 5mn avant (cf Faraut, si je me trompe pas c'est juste un théorème moins fort d'interversion de somme et d'intégrale). Hmm oui mais non, alors comment on caractérise une fonction analytique en terme de différentielle? Ben comme ça. Bon ok. Fin de la question
-Qu'est ce qu'il se passe dans le théorème de continuité si on intègre sur un segment? Ben ça marche tout le temps pour peu que la fonction soit continue en les deux variables
Un des membres du Jury avait l'air de comprendre tout ce que je disais, du coup quand les autres comprenaient pas une démonstration ils lui demandaient "tu as compris?" il disait oui et on passait à autre chose, c'était un peu le boss final de l'oral. Un autre m'a un peu énervé (le prof de prépa je pense) parce qu'il posait mal ses questions et je comprenais pas ce qu'il voulait dire... Par exemple à un moment dans mon plan je parlais du lien entre la fonction gamma et la surface d'une sphère, et donc j'introduit une mesure (cf Faraut) définie en fonction de la mesure de Lebesgue (pour info, si $\lambda$ est la mesure de lebesgue, la nouvelle mesure c'est $ \sigma(E)=\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{1}{\epsilon}\lambda(\{ru | u\in E, 1 \leq r \leq 1+\epsilon\})$). Je sais pas ce qu'il a pas aimé la dedans, mais il trouvait cette mesure bizarre (alors que le boss avait l'air d'accord avec ce que je disais) et il m'a parlé de ça pendant longtemps, ça a un peu cassé le rythme de l'oral.
Quand le boss a enfin pu me poser des questions il avait l'air très content, il souriait et je l'ai même fait rigoler. Jury plutot agréable dans l'ensemble, à aucun moment ils n'ont cherché à me déstabiliser ou à me piéger.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
232 : Méthodes d'approximation des solutions d'une équation $F(X) = 0$. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Beaucoup de questions sur mon développement,
des exercices de convergence dominée et de dérivation sous l'intégrale sur lesquelles j'ai buggué comme un gros nul
Déroutant, d'autant plus que j'avais bien préparé cette leçon et mis des exemples originaux sur lesquels je voulais être questionné.
Bizarre. Beaucoup de questions de bases.
Pas content ... J'ai donné mauvaise impression au début et j'ai jamais vraiment eu le temps de remonter.
9.25
214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement :
Ils m'ont fait corriger les quelques erreurs que j'avais écrites.
Détailler Fubini, préciser la définition du produit de convolution, pourquoi a-t-on convergence dans $L^p$ de $f*h_n$ vers $f$ (avec $h_n$ approximation de l’unité), puis pourquoi a-t-on la continuité de l’opérateur de translation (densité des $C_c$), enfin pourquoi si on converge dans $L^p$ on a une suite extraite qui converge pp.
Le probabiliste se réveille :
- Qu’est-ce que ce corollaire d’extraction dit au niveau des v.a.
Je n’ai pas tout de suite très bien compris ce qu’il voulait me faire dire, il m’a demandé alors les implications des différents modes de cv de va et j’ai répondu.
- Que peut-on dire en l’infini de la transformée de Fourier de $f$ ? Riemann Lebesgue.
- Est-ce vrai pour la transformée de Fourier d’une mesure ? Non avec les Dirac
- Quand est-ce vrai ? Là j’ai dit que je ne savais pas précisément, ça marche si on est absolument continue par rapport à Lebesgue (oui bon d’accord…) puis j’ai parlé du théorème de Lévy mais c’est pas vraiment ce qu’il attendait.
Le probabiliste se rendort.
Exercice : Calculer $\int_0^\infty \frac{1}{1+x^n}dx$
J’ai dit qu’on pouvait utiliser des résidus (j’avais mis cette intégrale avec $n=4$ dans mon plan), puis ils m’ont fait chercher un contour, j’ai un peu galéré parce qu’on ne pouvait pas prendre le demi cercle supérieur comme je l’avais mis dans le plan, il fallait réduire en un domaine plus petit (type camembert) avec le bon angle, que j’ai galéré à trouver (alors que c’était juste $2 \pi /n$…).
Exercice : le probabiliste se réveille à nouveau. On prend deux va normales centrées réduites indépendantes $X$ et $Y$, calculer la loi de $X/Y$. J’ai dit qu’il fallait calculer $E[f(X/Y)]$ pour $f$ borélienne positive quelconque, faire un changement de variables. Je me suis un peu embrouillé avec l’intégrale, je ne savais plus si j’intégrer sur $\mathbb R$ ou $\mathbb R^2$, bref c’était pas très joli à voir, surtout que j’ai fini par écrire le changement de variables en oubliant de déterminant du jacobien...le boss me dit alors « et c’est tout », et je réponds, genre j’y avais pensé, non il faut le déterminant du jacobien. Pas eu le temps de finir.
Trois profs : un boss, une dame, un probabiliste.
Le boss menait la discussion, le probabiliste posait les questions de probas (eh oui !), la dame n'a rien dit.
Jury très neutre.
Très stressé au début de l’oral (c’était mon premier), donc des erreurs sur le développement qu’ils m’ont fait corriger (il manquait une intégrale puis il y en avait une qui n’avait pas lieu d’être).
3h c'est court !! J'ai été un peu pris par le temps, donc je n'ai pas eu le temps de relire mes développements...ce qui m'aurait éviter plusieurs erreurs.
Suivez les conseils de Danthony !!!! J'ai eu toutes la ribambelle de questions sur des preuves de convolution, j'étais bien content de savoir y répondre avec les bons arguments dans l'ordre.
Pas de réponse fournie.
264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le développement que j'ai choisi est la ruine de joueur. Je me suis emmêlé les pinceaux à un endroit dans une erreur de calcul. J'ai admis une partie du résultat pour avoir le temps de faire la suite. A la fin du développement, le jury m'a demandé de corriger rapidement mon erreur d'étourderie, ce que j'ai fait en prenant un peu de recul sur le tableau.
Un membre du jury ne devait pas aimer les probas car n'a pas parlé. Les deux autres ont posé pas mal de questions et des exercices. On m'a demandé de démontrer le résultat du développement de Poissonisation (évènements rares) avec des indications. Je pense avoir mené une bonne démarche en traitant un cas particulier plus facile pour en déduire le cas général mais ai buggé dans la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral à l'ordre 2 ce qui je crois a beaucoup déplu au jury ... Il faut surtout ne pas dire de bêtises sur des choses de bases du programme de prépa !!!
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Bienveillant
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
-Retour d'abord sur le développement (sur lequel j'étais bien content d'être tombé parce que Liapounov ...) où j'ai écrit un peu n'importe quoi au niveau des indices de la récurrence (j'ai vite corrigé), ils m'ont demandés d'essayer de généraliser l'énoncé pour juste des fonctions continues, si on avait toujours le résultat pour des fonction C1 (inégalité des accroissement finis), et ce qu'on pouvait dire si la fonction était globalement lipschitzienne (solutions maximales).
-Ensuite retour sur le plan où ils m'ont demandés de justifier mes graphique de solutions, ils m'ont aussi parlés de portrait de phase (j'étais pas au point la dessus). J'ai du justifié un ou deux autres points de mon plan (notamment un comportement aux bords) puis ils m'ont donnés un exercice où je devais parler des solutions d'une équation d'ordre 2 (je n'avais donné que des exemples d'ordre 1 dans mon plan).
Jury légèrement moins souriant que la veille (pourtant il faisait moins chaud ^^) mais jamais méchant et toujours enclin à vous aider dès que vous n'y arrivez plus.
Les surveillants étaient un peu plus réactifs que la veille pour la préparation, sinon toujours 3h10 entre le tirage du sujet (et son ouverture) et la fin de la préparation.
7.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Mon autre développement était l'exemple d'une fonction continue nulle part dérivable.
Remarque sur le développement :
-la fin de version habituellement trouvée sur internet est inutile puisque la relation fi'(t)=somme(bik'(0)fk(t)) donne directement f comme solution d'EDL homogène à coeffs constants. La fin avec l'histoire de poly minimal ne sert donc à rien...
-exemple d'un ev de dim 3 non stable par translation ?
-forme générale des solutions d'EDL h à coeff constants ?
-qu'est-ce qu'un opérateur compact ?
-qu'est-ce qu'une partie équicontinue ?
-pourquoi l'opérateur à noyau que vous présentez est bien un opérateur compact ?
-comment démontre-t-on le théorème de Baire ?
-que se passe-t-il pour le théorème des fermés emboîtés si l'on ne suppose plus que le diamètre tend vers 0 ?
Deux exercices:
-une fonction qui admet une limite à droite en 0 et une limite à gauche en 0 mais ces limites sont différentes peut-elle être la dérivée d'une fonction ? (non via Darboux, dur à formaliser)
-on a (fn) suite de fonctions continues qui CVS vers f continue sur [0,1], y'a-t-il CVU ? (réponse non...)
Un des trois était un peu sec sur le premier exo car je n'arrivais pas à formaliser correctement. Sinon plutôt sympas.
Beaucoup de questions sur le plan, exercices pas si évidents. Ils n'ont pas du tout creusé les exemples de mon plan (par ex l'opérateur à noyau), il leur suffisait juste que j'explique grosso modo la méthode. Mais il faut quand même maîtriser un minimum ce qu'on met dans le plan.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
On est d'abord revenus ensemble sur quelques détails de la démo de Riez, quelques précisions. Ensuite ils m'ont posé des questions sur mon plan :
- pas mal de questions sur les modes de convergence de VAR (j'avais une partie probas)
-questions sur le dual de Lp que j'avais admis, du coup ils m'ont demandé l'utilité du dual.
- j'ai eu une série de question sur L2 en tant que Hilbert, produit de convolution, quelques ensembles denses etc..
Ensuite on est passés aux exos.
1) Donner un exemple d'espace mesuré tels que les Lp soient croissants.
R: N muni de la mesure de comptage, on écrit norme Lp de f et on a le terme d'une série convergente donc qui tend vers 0. À partir d'un certain rang on est <1 et donc on a la croissance des Lp.
2) soit g dans L2(R)
ON suppose que g est orthogonale à toute indicatrice de segment [a,b]. Que dire de g ?
Intuitivement on sent que g est nulle precisons-le : Par densité des fonctions engendrées par les indicatrices. Et d'après la caractérisation dans un Hilbert qu'un sev est dense ssi son orthogonal est réduit à 0
Jury très sympathique des que la porte s'est ouverte, ça m'a vraiment déstressé de les voir ! Ils étaient agreables et pas cassants du tout. Ils me demandaient de préciser mon propos lorsque je n'étais pas clair. Et on sentait vraiment que les questions étaient là pour tester les limites du candidat et pas pour le détruire !
Je suis surpris, je m'attendais à être détruis par le jury. Grosse surprise de ce côté là. La préparation s'est bien passé. J'ai fini en 1h30 mon plan. J'ai pu m'entraîner à redémontrer tout les résultats de mon plan et les contre exemples.
10
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.
Théorème d'uniformisation de Riemann (ou théorème de représentation conforme)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Défense de plan ok, jury attentif, puis développement (uniformisation de Riemann).
Quelques questions sur le développement (pourquoi existe-t-il une racine carrée holomorphe, pourquoi l'image d'un ouvert simplement connexe par une application continue est-elle simplement connexe, pourquoi là c'est ouvert etc.)
Comment démontre-t-on le théorème de Montel ? (Ascoli car équilipschitz car on contrôle les dérivées grâce à la formule de Cauchy blabla)
Puis séances de questions :
Q : montrer que $\forall z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ on a $\pi cotan( \pi )z = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \dfrac{1}{z-n}$
R : alors bah déjà j'vais arranger le terme de droite pour bien dire que c'est convergent, puis après je vais isoler le terme d'ordre zéro... Ces deux fonctions sont méromorphes je vais montrer qu'elles ont les mêmes pôles...
Q : oui mais elles ont quoi d'autre comme propriétés ?
R : ah oui 1-périodique donc je regarde que le pole en zéro... je le fais. Quelques fois, mes méthodes de calculs ne lui plaisent pas trop (j'ai été partisan du plutôt faire plus que faire moins mais visiblement ils voulaient que j'aille moins loin dans les détails). Après faut borner quand la partie imaginaire explose je le fais... Puis Liouville, la différence est entière bornée .. et la limite en l'infini vers les imaginaires complexes donne le résultat
Q : existe-t-il une fonction holomorphe au voisinage de zéro telle que $\forall n \in \mathbb{N}^*,~ f(1/n) = (-1)^n / n^3$ ?
R : (là je sens bien que la réponse est non) bah euh j'vais voir... je suis parti dans la mauvaise direction je voulais regarder g(z) = f(1/z) mais elle m'a dit "non non regardez elle vaut quoi en zéro ? Ah oui : du coup f(z) = o(z) donc en fait f(z) = C z^2 + o(z^2) je mets 1/n donc C = 0... du coup après en allant à l'ordre supérieur on a que C' = (-1)^n pas possible ca doit etre constant et voilà
Jury très sympa, mais seuls deux d'entre eux ont discuté (la troisième personne ne devait pas être très branchée analyse complexe)
Je crois que je leur ai coupé la parole à un moment mais ils ne m'en ont visiblement pas voulu
Oui très bien. Aucune surprise sur ce point de vue là, j'avais bien bossé la leçon.
19.75
243 : Convergence des séries entière, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
- sur le développement, on m'a demandé de trouver une CNS sur les coefficients du développement en série entière de f autour de 0 pour que f soit dans l'espace de Bergman (réponse : si $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$, la CNS est $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n|a_n|^2 <+\infty$)
- une série entière de rayon de convergence 1 converge-t-elle uniformément sur tout le disque ? (c'est possible, cf $\sum \frac{z^n}{n^2}$, mais pas vrai en général, cf $\sum z^n$)
- dans le thème de cette question, on m'a demandé de déterminer les $z$ de module 1 tels que $\sum \frac{z^n}{n}$ converge (faire une transformation d'Abel)
- quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum \left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{cos n}{n!}\right) z^n$ ?
Le jury était sympa mais insistant quand je ne trouvais pas, ils aidaient pas mal.
Pas de réponse fournie.
8.75
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
260 : Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
1. Est-ce que $\sum\limits_{n}z^n$ est dans l'espace de Bergman du disque unité?
2. Quelle est la transformée de Fourier de $x\mapsto\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$?
Pendant la résolution de ce deux exercices de nombreuses questions m'ont étaient posées, notamment sur la convergence des séries entières, la détermination de leur rayon de convergence et les intégrales semi-convergentes.
L'un des trois membres du jury faisait mine de s'endormir, un autre me mitraillait de questions.
Aucune surprise.
15.00
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Démo : toute application holomorphe possède la prop de la moyenne.
Exo: existe t- il une fonction holomorphe vérifiant f(1/n)=(-1)^n (1/n)^3
F:R--> C définie par une intégrale à paramètre t'a pour tout x>10 f(x)=0. Montrer que f est constante égale à 0.
Aide
Pas de réponse fournie.
8.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Remarque : j'ai présenté la méthode du gradient à pas optimal (non répertorié ici).
On m'a posé des questions autour du développement. J'y ai plus ou moins bien répondu. Ensuite on m'a donné un exercice sur les suites récurrentes. Puis un autre qui faisait intervenir des notions de séries et un dernier pour savoir comment passer d'une suite récurrente d'ordre 2 à une suite récurrente d'ordre 1.
Le jury était très vif, pas trop le temps de répondre. Donner les idées suffisaient généralement. Sinon il était bienveillant.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
261 : Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
11.25
222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Mes 2 autres développements: UC des translation +Riemann Lebesgue (dév choisi) et la ln convexité de Gamma (que l'on peut trouver dans le bouquin A curse of integration de Lerner)
Autres références: Daniel Li, Cours d'analyse fonctionnelle et A curse of integration de Lerner
1ière question: C'est quoi la définition d'une suite qui tend vers 0? Parce que vous l'avez mal montré dans la démonstration de l'UC des translations.
J'ai pas su répondre correctement mais je pense que comme y'avait tous les éléments dans mon développement ils ont pensé que c'était juste dû au stress/fatigue.
2ième question: Soit A mesurable de R^n de mesure non nulle et de mesure finie. Montrer que A+(-A) contient un voisinage de 0.
Indication: Poser f=indicatrice de A, g=indicatrice de -A et convolez. Je dis pk la convolée a un sens et j'écris seulement la définition de la convolution parce que je ne vois pas où ils veulent en venir.
Que pouvez-vous dire de la régularité? Je réponds que c'est continue et que ça tend vers 0 en l'infini parce que c'est L2/L2
C'est quoi le résultat de la convolée en 0? c'est égale à la mesure de A
Concluez. J'ai pas su conclure
3ième question: Est-ce toutes les fonctions de L1 ont une transformée de Fourier L1? Moi bêtement je cherche à calculer la transformée de fourier d'une indicatrice... et j'y suis arrivé tellement péniblement qu'ils m'ont arrêté.
Une meilleure réponse eût été que si c'était le cas, alors en utilisant l'inversion de Fourier on aurait que toutes les fonctions de L1 auraient un représentant continu ce qui n'est pas le cas....
4ième question: On pose F(t)= l'intégrale de -l'infini à + l'infini de e^(izx+itx)dx
Calculez-là.
Je vois bien que c'est la transformée de fourier d'une gausienne dilatée mais je cafouille énormément et j'oublie même de dire à quelles conditions sur z c'est intégrale existe... Le coup du i devant le z me perturbe et en plus j'avais oublié ma référence dans lequel ce calcul est fait.
J'ai montré que la fonction était holomorphe sous le signe somme.
Je ne me souviens plus très bien mais en gros ça c'est terminé par comment calculeriez-vous cette intégrale? On prend des z sur lesquels on peut calculer facilement l'intégrale puis à l'aide du théorème de prolongement des identités on trouve le résultat en général.
Il y avait une femme muette à part quand elle a posé la 4ième question... et là j'ai compris pourquoi, elle ne parle pas bien français... j'ai mis 5 minutes à comprendre la question et les 2 autres gugusses ne m'ont pas aidé à l'écrire...
De temps en temps je disais que je ne voyais pas où ils voulaient en venir mais ils se contentaient de me regarder puis au bout de quelque temps sans qu'il ne se passe rien j'avais le droit à une indication ou alors on passait à une autre question.
Je pensais vraiment que j'aurais 5....
La différence de niveau de la 1ère réelle question (pas celle sur mon dév) et de mon plan m'a paru abyssale ...
J'ai oublié une de mes références d'intégration :/
Déçu de ne pas pouvoir reprendre mon plan :/
12
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
-Donner un exemple qui rend utile l'énoncé de Picard-Banach sur un espace complet (Réponse : Cauchy-Lipschitz)
-Tracer+Calculer l'équation de la droite dans la méthode de la sécante.
-Expliquer le lien entre les conditions de stabilité des points fixes, et la stabilité des solutions des EDL (Réponse : Le module des v.p. doit être \leq 1 pour une stabilité, avec en plus une condition sur la dimension des espaces propres)
-Faire le calcul de la différentielle de l'application apparaissant dans la méthode de Newton-Raphson (J'ai fini sur cette question)
A part cela, je n'ai eu aucune question sur le plan, et je ne crois pas avoir eu d'autres questions sur le développement.
Le jury a été bienveillant et gentil. J'ai passé beaucoup de temps sur le calcul de la différentielle, et il a essayé de m'aider à terminer le calcul malgré le fait que je ne comprenais pas vraiment comment utiliser ses indications.
Je pensais avoir plus de questions concernant les suites récurrentes (notamment sur des équivalents, l'utilisation de DL,...), mais hormis la question portant sur le Th de Picard-Banach, je n'ai eu que du petit calcul ou des questions de stabilité de solutions.
16.75
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C . Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Nombreuses questions autour des séries de Fourier (j'avais mis peu de théorème sur ma feuille et j'étais allé un peu vite sur le développement). Rien de totalement hors des clous.
On m'a demandé ce que j'aurais ajouté comme applications en plus (j'avais dit dans ma présentation que je n'avais pas pu tous les citer car la leçon est très dense et que je n'avais pas forcément eu la place d'être exhaustive dans cette partie) : j'ai répondu que l'on pouvait parlé de prolongement de fonctions, comme la fonction Gamma ou encore montrer que les polygones orthogonaux forment une base de L^2. C'était deux autres développements que j'avais préparé.
J'ai eu des questions sur une de mes applications (dénombrement des solutions d'une équation diophantienne) qui utilisait juste un produit de Cauchy, notamment sur sa pertinence dans le plan.
Pour finir, le jury qui avait l'air de beaucoup aimé les séries de Fourier m'a demandé de montré l'unicité de la solution de l'équation de la chaleur en utilisant la fonction énergie.
Deux jurys fort sympathique et un troisième qui m'a posé l'essentiel des questions autour des séries de Fourier pas forcément toujours en douceur.
Les plans sont ramassée 10 minutes avant la fin, soit presque 20 minutes avant le passage devant le jury.
9.25
222 : Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Q : A quoi appliquez-vous le théorème de Baire, pour conclure votre développement ? (j'ai du m'interrompre après avoir montré U dense)
R : A l'espace complet (C([0,1]) ||.||infinie ). Et la famille d'ouverts est celle des U(n, 1/n).
Q : On appelle X cette intersection d'ouverts dense. Prenez une fonction f dans C([0,1]), que pouvez vous dire de l'ensemble (f+X) inter X ?
R : Il est dense, comme intersection d'ouverts denses. (mais j'ai galéré comme pas possible avant de répondre ça...)
Il y avait visiblement pas mal d'autres choses à en dire, mais ils ont voulu passer à une autre question.
Q : Quelle est la structure de l'espace des fonctions bornées sur R muni de la norme infinie ? Et celui des fonctions continues et bornées ?
R : Banach, et encore Banach.
Q : On prend une suite fn qui cvu vers f sur [0,1], quelle est la limite de fn(1/n) ?
R : C'est un cas particulier d'une propriété du plan (et du développement), c'est f(0). Pour démontrer cette propriété, je fais...blablabla.
Q : Vous avez un exemple de suite qui cvs sur [0,1] mais pour laquelle cette propriété n'est pas vraie ?
R : L'idée ça va être de s'inspirer du contre exemple classique de la suite fn(x)=x^n, pour laquelle on a cvs mais pas cvu en 1. Seulement là on veut que le problème soit en 0, donc on prend... 1-x^n. (Ici le jury me traite de crétin et me dit de rajouter des parenthèses) (1-x)^n, donc. Et là...c'est bon c'est un contre exemple.
Q : On va revenir au théorème de Weierstrass, que pouvez vous dire sur la vitesse de convergence des polynômes de Bernstein ?
R : Il me semble qu'elle est optimale, mais sinon ça dépend du module de convergence de notre fonction. (Merci Zuily Queffelec, pour une fois
que tu me sers à quelque chose...)
Q : Toujours lié Weierstrass : Soit f(x)=|x-1/2| (sur [0,1]), Xn iid suivant des bernoulli 1/2, Sn leur somme, et (un) la suite définie par racine(n)*somme de [je sais plus quoi]. Pouvez vous expliciter un peu mieux le terme général de (un) ?
R : (encore une fois j'ai bien pataugé, c'est bien pour ça que je ne me souviens pas de l'énoncé !) "on peut exprimer un comme racine(n) fois l'espérance d'une certaine variable aléatoire, grâce au théorème de transfert." Ensuite on utilise le théorème central limite à un moment où un autre, pour faire je ne sais pas trop quoi car l'exercice (et l'oral) s'est interrompu au moment où j'écrivait le TCL.
(Désolé de ne pas être plus précis sur cet exercice...mais la morale de l'histoire c'est : si vous présentez Weierstrass, ayez bien en tête vos formule de proba de base, moi j'avoue que j'ai eu peur d'écrire le mauvais TCL au tableau...)
Il y avait deux hommes et une femme, l'un d'entre eux essayait visiblement de détendre au maximum l'atmosphère en faisant de l'humour dès que possible. C'est aussi lui qui a posé la majorité des questions et qui semblait gérer le déroulement de l'oral La femme n'a pas parlé de tout l'oral, mais elle avait l'air d'écouter ce que je disais et de surveiller mon plan.
Enfin il y avait un deuxième homme, il m'a posé quelques questions mais sinon il n'intervenait pas trop.
Donc : une muette, un blagueur et un neutre. Ils aidaient pas mal sur les questions.
Ils étaient aussi très tatillon sur le temps, pour mon développement à 15 minutes piles j'ai du terminer sans écrire. Pour le plan à 5 minutes ils m'ont dit de me dépêcher de conclure.
Pour la préparation :
Pas de grande surprise, ça se passe exactement comme c'est décrit dans les nombreux retours d'oraux (notamment le fait qu'on n'a pas 3 heures de préparation...). La seule chose qui m'ait un peu étonné car je n'y avais pas réfléchi, c'est que lors de la préparation on n'est pas du tout seul, il y a une dizaine de candidats qui se préparent dans la même salle que nous.
Pour l'oral :
Naïvement j'ai cru que tout allait bien se passer, car la veille au soir j'avais vu un candidat passer sur exactement la même leçon (avec un autre jury que le mien) et donc j'avais pu entendre plein de questions qu'il a eu :
Démontrer Darboux, Rolle, Heine, donner des exemples de fonction C^infini non holomorphe, ...
De ce que j'avais vu, les candidats sont longtemps interrogés sur leur plan/développement, ou sur les questions présentes dans le rapport du jury. Si bien qu'il n'y a presque aucun exercice "sorti de nulle part".
Pour mon oral c'est tout l'inverse : aucune question sur le plan, aucune question pour détailler le développement (malgré une légère coquille présente au tableau, qu'ils n'ont jamais mentionné), mais directement des exercices...bref, j'ai beau avoir vu un oral sur cette leçon juste avant de passer, contre toute attente ça ne m'a servi strictement à rien..
11.25
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
-Questions sur le développement : imprécision dans les notations du lemme présent dans le développement (application du théorème d'inversion locale), précision sur la somme directe (matrices symétriques/antisymétriques)
-Concernant le théorème sur les extrema locaux (notations de Monge) : connaissez vous un autre théorème qui concerne les extrema. J'ai nommé le théorème des extrema liés (sans pouvoir le citer)
-Application du théorème des fonctions implicites pour montrer que $AB-I_n$ (avec A matrice inversible) avait comme solution $B=A^{-1}$
-Si t appartient à l'intervalle $\left]\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right[$ : montrer qu'il existe une unique solution à l'équation cos(tx)+sin(tx)=x. Le jury m'a fait remarqué que l'on peut l'écrire f(x)=x. J'ai pensé au théorème du point fixe, donné les hypothèses. Il fallait faire une majoration sur le signe de la dérivée pour voir que f était strictement contractante.
Ensuite, montrer que l'on peut écrire t en fonction de x (application du théorème des fonctions implicites)
Jury peu aidant pour les questions
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
260 : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Sur le développement, le jury n'avait pas beaucoup de questions. Ils m'ont demandé des précisions sur un point du développement. Puis ils m'ont demandé si je connaissais un exemple explicite de fonction continue mais pas dérivable. J'en connaissais une, j'ai donné l'expression (sous forme d'une série de fonctions) puis le jury m'a demandé si je pouvais la dessiner. Je ne savais pas, le jury m'a donc dit de dessiner la fonction en ne considérant que les trois premiers termes de la série. Puis, on est passé aux questions sur le plan.
Le jury m'a demandé d'étudier la densité de la suite $u_n = \mathrm e^{\mathrm i n \alpha}$. J'avais le résultat sur la densité des sous-groupes $a\mathbb Z + b\mathbb Z$ dans mon plan, j'ai pu répondre rapidement. Le jury m'a ensuite demandé ce que j'avais à dire sur les fermés d'intérieur vide et les fermés de mesure nulle : y a-t-il une implication ? une équivalence ? J'ai donné l'implication et j'ai dit que la réciproque était fausse. Le jury m'a alors demandé si je connaissais un exemple de fermé d'intérieur vide qui ne serait pas de mesure nulle. J'ai tenté une réponse avec un Cantor gras, mais je me suis un peu embourbé dans l'explication. Le jury m'a demandé de trouver un exemple plus simple, en considérant le complémentaire. L'idée m'est venue d'un coup et j'ai donné l'exemple qu'ils attendaient.
Dans mon plan, je parlais du critère de densité dans les espaces de Hilbert (orthogonal réduit à $\{0\}$). Le jury m'a demandé si je connaissais une généralisation de ce critère dans d'autres espaces. Après une première réponse confuse, j'ai répondu "Hahn-Banach". Le jury m'a demandé de préciser les hypothèses sur l'espace. J'ai répondu que ça fonctionnait en dimension finie. Le jury m'a alors demandé ce qu'il fallait en dimension infini. j'ai répondu qu'il fallait que l'espace soit complet mais que je ne connaissais pas bien le théorème en dimension infini et le jury est passé à autre chose.
J'avais mis le théorème d'approximation de Weierstrass dans mon plan (par les polynômes de Bernstein). Le jury m'a demandé ce que je pouvais dire de l'ensemble des polynômes de degré $\leqslant n$. J'ai répondu qu'il n'était pas dense. Le jury m'a demandé pourquoi. J'ai répondu qu'en prenant une fonction qui oscille beaucoup, on ne pourrait pas l'approcher convenablement par des polynômes de petit degré. Le jury n'a pas été convaincu par cette réponse (peu convaincante, je le reconnais). Le jury m'a demandé de prendre un exemple. J'ai répondu qu'on pouvait considérer un polynôme de degré $n+1$, puis j'ai eu l'idée de la réponse et on est passé à la question suivante.
Le jury m'a demandé de montrer que dans un espace de Banach de dimension infinie, un s.e.v. de dimension finie était toujours d'intérieur vide. Ils m'ont ensuite demandé de prouver qu'un espace de Banach de dimension infinie n'admettait pas de base dénombrable. Je connaissais la réponse (Baire !).
Le jury m'a demandé une précision sur un item de mon plan. Je parlais de $\mathrm{SL}_n(\mathbb R)$ comme hypersurface de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, le jury se demandait quel était le rapport avec la leçon. J'ai répondu que c'était une application du calcul de la différentielle du déterminant, que je faisais par densité de $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$. Le jury m'a demandé de le faire, j'ai expliqué comment j'allais faire, ça leur a suffit.
Pour revenir sur Baire, le jury m'a demandé de démontrer un résultat plus élémentaire : si $U$ et $V$ sont deux ouverts denses, montrer que $U\cap V$ est dense (sans utiliser Baire bien sûr). J'ai retrouvé rapidement la démonstration, le jury est passé à la question suivante.
La dernière question du jury était un exercice d'analyse réelle : soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs, croissante et telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1$ ; montrer que $\{ \frac{u_m}{u_n} : m>n \}$ est dense dans ${[1,+\infty[}$. Je n'avais pas vraiment d'idées, j'ai tenté des choses qui n'allaient nulle part. Le jury m'a laissé mariner plusieurs minutes, puis voyant que je ne m'en sortais pas, a commencé à me guider. J'ai eu pas mal de difficultés à suivre leurs indications (j'avançais par micro-étapes, sans voir où ça allait) et après plusieurs minutes (et beaucoup d'indications), j'ai fini par y arriver. Le temps était alors écoulé, l'entretient s'est terminé sur cet exercice.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le jury m'a fait préciser des éléments dans le développement. pas de difficultés particulières.
Q : Redémontrer le th de Weierstrass : j'ai donné les idées
Q : Comment on démontrer la CNS de densité dans les espaces de Hilbert avec la nullité de l'orthogonal (réponse : grâce au th de projection) ?
Q : Densité des fct C infini dans C1 et C0 : j'ai un peu patazouillé mais ils ont vu que j'avais compris.
Q : Calculer une ou deux séries de Fourier : calcul arrêté avant la fin car il y avait une triple intégratio par parties chronophage au tableau.
Q : Démontrer la densité des matrices diagonalisables dans M_n(C). Fait
Q : Densité via la convolution : la on était en mode pas à pas car je ne connaissais pas les résultats associés (la régularité qu'on gagne...).
J'ai donné les idées avec les approximations de l'unité qu'on peut choisir C inifni.
Q : comment on démontre Hilbert séparable ssi .... : j'ai réussi on l'a fait ensemble.
Fin de l'oral.
Plutôt bienveillant mais qui a enchainé les questions à un rythme rapide...
Mieux que prévu. c'était le premier jour j'étais frais et dispo, j'ai fait mon plan en 3H et mes deux développements étaient de bons niveau et maîtrisés.
J'ai globalement su répondre aux questions, avec des trous et en étant un peu guidé quand même...
Pronostic de note (un peu casse gueule mais il faut essayer d'estimer son travail) : 14
11.5
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Beaucoup de questions sur la théorie de la mesure suite à mon développement et de justifications concernant l'appartenance de certaine fonctions à certains espaces.
On m'a demandé d'énoncé le théorème de Fubini.
Puis le probabiliste du jury s'est réveillé pour me poser des questions concernant les transformées de Fourier des lois de probabilités, puis il s'est rendormi.
On m'a aussi demander si je pouvais donner une méthode de calcul pour la transformée de la fonction x--> (1+x^4)^{-1}. J'ai énoncé la méthode des résidus, mais ils ne m'ont pas demandé de faire le calcul par manque de temps.
Le jury a été plutôt sympathique avec moi venant (trop ?) souvent à mon aide.
Surpris d'avoir un spectateur à cet oral, je ne m'y attendais pas. Aussi surpris d'avoir réussi à apprendre un développement en peu de temps et avoir pu le restituer (plus ou moins bien) lors de l'épreuve. (Heureusement que je connaissais mon deuxième développement sur le bout des doigts.)
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
(On ne peut pas ajouter un nv dvlpt, celui que j'ai fait c'est pour les suites lq dual de lp, dans le Adam Bowers and Nigel Kalton)
Pour commencer je n'étais pas prêt sur ce développement. J'ai défini une application de lp vers lq et vice-versa mais je n'ai pas su montrer que c'était bien une isométrie.
- Ils m'ont ensuite demandé une suite de Cauchy tendant vers racine de 2, itérer $x \longmapsto 1/2(x+2/x)$
- la construction d'un complété;
- lp complet et à défaut $l_{\infty}$ complet que j'ai fait avec un peu d'aide;
- comme j'ai mentionné $W^{k,p}$ dans le plan ils m'ont demandé la définition et montrer que c'était complet, j'ai évoqué avec hésitation l'inégalité de Poincaré et l'idée générale du fermé ds un complet (L^p), mais j'ai fini par sauter la question;
- inclusion des différents $L^p ( X,\mu)$ les uns dans les autres, ils m'ont laisser ajouter $\mu(X)$ fini;
- densité de $L_1 \cap L_2 \subseteq L_2$ pour le prolongement de la transformée de Fourier, malheureusement j'ai pas su le faire alors que le matin même j'avais révisé $C_c \subseteq L_1$ et dans le même genre, le prolongement de l'intégrale de Riemann. J'ai tout de suite dit que c'était défini pour les fonctions en escalier puis étendu aux fonctions réglées ou continue, mais j'ai été déstabilisé quand ils m'ont dit que les fonctions en escalier ne sont pas dans les fonctions continues...
-J'ai eu un dernier exo convergence simple de $f_n$ vers $f$ ainsi que $||f_n||_p \longrightarrow ||f||_p$. Montrer la convergence dans $L_p$. J'ai dit convergence dominée. Pas de réaction, ils m'ont fait commencer par le cas p=2. Je me suis rappelé qu'ils fallait considérer norme de qqch au carré et utiliser le produit scalaire et cela a tout de suite marché. J'ai eu une inégalité à montrer, $|a-b|^p < 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)$. J'ai fait un dessin de $x \mapsto x^p$ convexe et cela leur a suffit, le temps était écoulé.
Comme en en algèbre plutôt bienveillant, sympathique. Ils ont quand même eu l'air surpris quand j'ai dit que je n'étais pas prêt sur mon dvlpt!!!
Comme en algèbre, un oral blanc dans une prépa agreg donne une idée juste de ce que l'on aura le temps de faire.
J'ai passé du temps à vérifier certains points de mon plan lors de la préparation, mais finalement le jury ne s'est pas arrêté sur ceux que je redoutais mes sur d'autres.
Les 15 dernières minutes les surveillant vont rappeler des consignes (mettre telle fiche sur le coté, n'oublier pas votre carte d'identité...) et cela m'a bcp dérangé car je n'étais pas prêt sur mon dvlpt.
Il faut rendre ses brouillons après l'oral. J'ai bien résumé le thm d'inversion local avec les notations du Gourdon, mais si le jury regarde vraiment ces brouillons, ils verront qu'il n'y a que le tout début du dvlp présenté... pour cause je n'avais pas terminé de le lire!!!
10.25
263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement : 1) Définissez l'espace de Schwarz
2) Montrez que f dans S(R) implique que la transformée de Fourier est dans L1
+ quelques précisions
Questions sur le plan : 1) Preuve qu'une série entière a toujours un point singulier sur son disque de convergence
2) Peut-on prolonger des fonctions sur des espaces non métrique ? (Réponse : oui)
3) Dessinez la fonction sinus cardinal. Quelle est sa régularité ? Peut-on la prolonger sur C ?
4) Les identités trigonométriques sont elles prolongeables sur C ?
5) Lorsqu'on intègre 1/(1-z) on obtient quelle fonction ? (le logarithme) Comment définir le logarithme complexe ?
Exercice : Soit a dans ]-1,1[, pour i dans N* on pose la suite Ui=(a^(in))
1) Montrez que ui est dans l2(R)
2) Montrer que la famille des ui est totale dans l2(R) (Rep : Il faut prendre u dans l'othogonal et poser f(x) = somme(Un*x^n) et puisque f(a^i) = 0 pour tout i, on peut utiliser le principe de prolongement analytique)
Il y avait 3 personnes dans le jury. Aucun des membres n'est resté muet et ils posaient des questions chacun leur tour. Ils étaient très gentils dans l'ensemble et n'hésitaient pas à donner des indications en cas d'hésitation.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Juste après mon développement, j'ai eu droit aux questions suivantes :
-Pourquoi t --> ||tau_{t}f - f|| est continue ? Réponse : par densité de C_2pi dans L1_2pi
-Que pouvez-vous dire de deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier ? Réponse : Elles sont égales presque partout par injectivité du Fourier
-Montrez l'injectivité du Fourier. Réponse : On utilise Féjer.
Ensuite un exercice : Soit f dans C2pi, on considère I= { f convolée avec g, g dans C2pi}. Montrez que I est dense dans C2pi.
Réponse : Il faut utiliser les coefficients de Fourier, et on trouve qu'une condition pour que ce soit dense c'est que les coefficients de Fourier de f ne soit jamais nuls.
Ils m'ont demandé un exemple de fonction dont les coefficients ne sont jamais nuls mais je n'ai pas trouvé.
Ensuite un autre exercice: On prend la somme de n=1...N de f(x+n\alpha). Avec \alpha irrationnel et f dans C2pi. Montrez que ca converge vers l'intégrale de f quand N tend vers l'infini. Il faut prendre une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f et montrer l'hypothèse avec un polynome trigo. Ensuite, il faut passer à la limite.
Et ça c'est terminé sur ça.
Très désagréable, cassant et agressifs. Il y avait deux monsieurs qui me posaient des questions sans arrêt et ne me laissaient jamais réfléchir et une femme muette
Pas de réponse fournie.
14
263 : Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
6 minutes: Cette fois je les avais préparées donc je pense avoir fait un truc correct, j'ai un peu débordé mais ils ne m'ont rien dit.
Développement: C'est un développement que j'avais appris en fin d'année donc je n'avais pas suffisamment de recul. Je n'ai pas eu le temps de le finir mais j'ai su donné les points clef à l'oral. On m'a demandé de repréciser certains points que j'avais pas bien expliqué (notamment le passage de liminf d'une suite d’évènements à la liminf d'une suite numérique).
Questions:
Jury: Quelle propriété de la loi exponentielle connaissez vous ?
M: Elle est sans mémoire.
J:Montrez le.
J'ai fait les calculs
J: Est ce qu'il y a d'autre va à densité sans mémoire?
M: Non c'est la seule.
J: Montrez le.
J'ai posé une va X de densité f en posant g=1-F (où F est la fct de répartition) j'ai trouvé que g(x+y)=g(x)g(y) mais je savais pas quoi faire de ça donc on est passé à autre chose.
J: Quelle est la loi de la somme de 2 exp indépendantes?
M: Je dirais une loi exp de paramètre lambda1+lambda2. J'ai fait les calculs et c'était pas ça.
J: Calculez la loi de exp(X) où X suit une exponentielle de paramètre lambda.
J'ai fait les calculs (théorème de transfert et changement de variable)
J: Calculez la loi de X - partie entière inférieure de X où X suit une exponentielle de paramètre lambda.
Toujours des calculs avec le thm de transfert et quelques astuces.
J: Si X est une va à densité alors P(X=x)=0 pour tout x dans R, mais de manière générale si X est va quelconque dont la fct de répartition admet un saut en x, que peut on dire de P(X=x)?
M: C'est la hauteur du saut.
J: Est qu'est ce qu'on peut dire du nbre de points comme ça?
M: Au plus dénombrable.
J: Pourquoi?
M:Sinon la somme des probas divergerait.
Très sympathique, ils savaient exactement quand laisser réfléchir et quand donner un indice.
Les 3h sont encore passées très vite, heureusement j'avais un bon tirage avec une leçon que j'aimais bien. Sinon pas de surprises.
13
264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
D'abord des question sur le développement : dessiner le domaine de prolongement de la fonction considérée, j'avais fait une erreur il fallait considérer une bande et non un demi plan, j'ai pu la corriger. Puis comment on montre l'injectivité de la transformée de Fourier, et trouver une constante $a$ qui convient pour appliquer le théorème pour plusieurs fonctions poids.
Sur le plan, on m'a demandé de montrer le théorème de la limite de la dérivée, avec indications. Ensuite justifier la présence de la proposition qui dit que l'opérateur de translation $x \mapsto \tau_x f$ est uniformément continu pour $f$ dans $L^p$, la réponse n'a pas eu l'air de convaincre. Ensuite j'avais marqué "il n'existe pas de solution globales à l'équation $y'=y^2$", ils m'ont demandé de corriger : "il existe des solutions qui ne sont pas globales" : les donner.
Dans le même thème on considère $y'=y(1-y)$ avec donnée initiale dans $]0,1[$, que peut-on en dire ? Déjà il existe une unique solution maximale. Ensuite je l'ai résolue avec la méthode des équations autonomes. Ils m'ont demandé de retrouver le fait que la solution est globale et tend vers 1 en l'infini sans résoudre : appliquer le théorème de sortie de tout compact, la dérivée est positive donc la fonction est croissante..
Jury assez neutre, l'un avait souvent l'air peu convaincu de mes réponses.
Pas de réponse fournie.
16
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques petites questions sur le développement (on m'a demandé des précisions sur certains points). Ensuite, un juré a repris point par point chaque application du théorème des fonctions implicites se trouvant dans mon plan (que j'avais honteusement pompé du Madère), j'ai eu beaucoup de mal à répondre...
Le juré qui a repris mes applications avait un ton légèrement cassant et ne m'aidait pas beaucoup lorsque je bloquais... Les deux autres étaient visiblement intéressés par ce que j'avais à raconter et m'ont posé beaucoup de questions et ne me laissaient pas sans rien faire au tableau. Globalement, l'expérience était positive.
J'avais à disposition un tableau blanc (velleda). Sinon, rien à signaler.
9
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
- Beaucoup de questions sur le développement (rappel de la formule de Cauchy, développer l'argument de convergence uniforme sur tout compact...)
- Le résultat reste-t-il vrai pour d'autres ouverts que le disque ?
- Comment calculer la norme de f à l'aide de son développement en série entière ? (utiliser Parseval et les calculs du développement)
- Comment montrer l'implication de ( si (f | en) = 0 pour tout n alors f = 0) vers ( (en) est une suite totale). Il faut utiliser une conséquence du théorème de projection de Riesz.
-Rappel de la définition d'une fonction holomorphe, lien avec la différentielle, interprétation géométrique ? Il voulait que je parle de similitude et des équations de Cauchy-Riemann, il a dû beaucoup me pousser pour avancer.
- Un exercice sur des normes. On se place sur l'espace des polynômes, et l'on considère les normes : sup(coeff de P), sup(P) sur [0,1], et intégrale de P^2 sur [0,1]. Rappeler rapidement pourquoi ce sont des normes. L'application P -> P(0) est elle continue pour ces normes ? C'est clair pour les 2 premières, faux pour la dernière (il faut bidouiller une suite de polynômes, je n'ai pas eu le temps de finir).
Très bienveillant, ils me guidaient toujours en cas de blocage.
Je m'attendais à plus de questions sur le plan ou des exercices, finalement plus de questions autour du développement.
14.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Beaucoup de questions sur le plan, notamment des demandes de précisions et de démonstration de résultats simples :
Question : Est-ce que R[X] est complet ? L'idée est de montrer que les Rn[x] sont tous des fermés et d'utiliser la contraposée de Baire
Question : Pour la caractéristisation des complets par les fermés emboîtés, l'hypothèse du diamètre tendant vers 0 est-elle nécessaire ?
Question : Autour des théorèmes de point fixe, analyse des cas particuliers avec exemples
Question : Inclusion des Lp dans le cas d'une mesure finie.
Question : Est-ce que L2(Rn) inclus dans L1(Rn) ?
Le jury s'est révélé être plutôt sympathique, bienveillant tout au long de l'oral même si mes performances étaient plus que moyennes. L'objectif du jury est essentiellement de vérifier que notre plan a été réfléchi et non seulement recopié.
Durée de préparation inférieure aux trois heures annoncée (environ 2h50). beaucoup de bruits dans les couloir et salle de préparation très remplie.
10
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de $R^n$. Exemples et applications.
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
La défense du plan et la présentation du développement se sont passés sans problème. Ils m'ont posé quelques questions sur le développement et sur les sous-variétés de $\mathbb{R}^n $ (Je présentais les Extrema liés sans mentionné les sous-variétés).Ils m'ont posé quelques questions sur mon plan et se sont plus particulièrement concentrés sur la partie Optimisation. je me souviens de deux questions : "Pourquoi une fonction convexe qui admet un minimum local admet un minimum global", "pourquoi $ x \longmapsto Ax \cdot x $ est convexe lorsque A est une matrice symétrique positive". Ces petites questions venaient principalement d'un des trois membres du jury. Il m'a également demandé un contre-exemple au théorème des extrema liés dans la cas où les gradients ne forment pas une famille libre. Je lui ai fait remarqué que j'en avais mis un dans le plan et il m'a demandé de le traiter. Un des deux autres membres du jury me posait des exercices tels que :
- A quelle condition sur une matrice M, on peut inverser localement l'application $A \longmapsto A^2$ dans Mn(R) ?
-Appliquer le théorème des extrema liés sur une fonction qui admet un extremum local sur la sphère euclidienne.
-Soient f et g deux applications de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$ à valeurs réelles. Il y avait des conditions sur f et g et il fallait montrer que f/g se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^n$.
Le jury était très sympathique et a cherché à me mettre en confiance dès que je suis entré dans la salle.
Aucune surprise.
18
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
— Un membre du jury m'a posé une question sur développement, relative à un théorème d'interversion limite simple/série, il y avait des histoires de convergences uniformes.
— Ensuite, ils sont passés aux questions. On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre.
— Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite.
Le couplage que j'ai pioché était loin d'être très favorable pour moi, donc j'ai utilisé principalement le Gourdon pour mon plan, et ça a abouti à un plan modeste, et donc des questions de niveau modeste également.
Très apaisant et bienveillant, même si j'ai été très laborieux à de nombreuses reprises. Ils sont peu intervenus dans mes phases de recherche, mais m'ont pas mal guidé lorsque je faisais des calculs — et ils m'ont un peu moqué quand j'ai dit que le sin(0) = 1…
RAS
7.25
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Presque aucune question sur le développement.
Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon?
Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X).
J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif.
Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2?
L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide.
Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite?
Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était "L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe".
Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence?
C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.
Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.
Pas de réponse fournie.
16.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Presque aucune question sur le développement.
Comment justifier la présence dans le plan de suites récurrentes linéaires d'ordre h vu le titre de la leçon?
Une telle suite peut être vu comme une suite récurrente linéaire vectorielle d'ordre 1, de la même manière que quand on ce ramène à des équations différentielles du type X'=f(t,X).
J'avais mis dans le plan un algorithme pour la décomposition de DUNFORD tiré de NH2G2 tome 2. Questions: comment justifier la présence de cet algo dans le plan? C'est bien une suite définie par récurrence. Puis on m'a posé une question très précise sur la preuve du fait que cet algorithme converge (plus que ça: stationne), qui je pense visait plus à savoir si je conaissais en gros la preuve ou si j'avais mis cet algo au pif.
Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2?
L'ensemble des tels suites est un ev de dimension 2. A partir de là j'ai séché un peu. Puis j'ai résolu le problème avec pas mal d'aide.
Que peut on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite?
Fermé. Ensuite ils m'ont cuisiné un peu mais je n'avais pas la réponse. Je pense que le théorème attendu était "L'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite d'un espace métrique compact est connexe".
Étudier la suite xn=e^2ipian? Que peut on dire de ces valeurs d'adhérence?
C'est bien une suite définie par récurrence. Si a est rationnelle elle prendra un nombre fini de valeurs et les valeurs d'adhérence correspondront à un certain polygone régulier. Si a est irrationnelle on intuite que l'ensemble des valeurs d'adhérence sera dense dans le cercle. Pas réussi à aller au bout de la question mais j'ai put dire: celà ce ramènera à l'étude d'un certain sous groupe additif de R, de tels sous groupes sont denses ou monogènes, il est monogène si et seulement sir l'inf de ses éléments positifs est strictement positif.
Le jury était moyen sympathique, mais globalement ça allait. Par contre ils aidaient beaucoup, et cet oral était un vrai dialogue.
Pas de réponse fournie.
16.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Question sur le développement : "Comment expliquer le théorème de transfert à des lycéens?" "Quel est la limite d'une suite de polynômes?"
Question sur le plan : théorème de convergence monotone "pas bon" (confusion entre intégrable vs mesurable , cf Marco) et donc ils m'ont aidé à construire un contre-exemple
Question : Est-ce que L1 muni de la norme infini est complet ? pourquoi ?
Nous aide à répondre aux questions, pousse à répondre et ne pas abandonner.
Non, j'ai été déstabilisé. Je suis sortie de l'oral assez déçue, notamment à cause du tirage (j'avais eu Suite récurrente l'année précédente)
10.75
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le jury est d'abord rapidement revenu sur mon développement. Il m'a notamment demandé de préciser les hypothèses pour utiliser la convolution de fonctions (Puisque on prend f continue à support compact et g une approximation de l'unité, tout se passe bien. Mais jusqu'où peut-on pousser le vice ?).
Concernant le plan, le jury m'a demandé un contre-exemple de fonction dérivable et pourtant de classe non C1. J'ai commencé par proposer x*sin(1/x), le jury m'a fait prouver qu'elle n'était pas dérivable en 0 et j'ai donc modifier ma proposition en x^2 * sin(1/x). J'ai ensuite rapidement démontré que la dérivée n'était pas continue et ne pouvait pas être prolongée par continuité non-plus.
Puisque tout l'argument de la fonction précédente tenait sur les problèmes en 0. L'un des jurys a voulu pousser un peu plus loin et m'a demandé de démontrer le résultat suivant : Si f est continue, dérivable dans un voisinage de a (mais pas forcément en a) et que f' admet une limite finie en a. Alors f est dérivable en a et f'(a) est la-dite limite. Ceci se fait par théorème des accroissements finis, on pouvait également effectuer une interversion de limite en revenant à la définition de la dérivée, mais le jury m'a demandé de ne pas utiliser cette option.
Pour conclure, j'ai montré qu'une fonction continue dont le carré donne 1 est forcément constante (théorème des valeurs intermédiaire et un ou deux arguments assez naturels).
Très sympathique, l'un d'entre eux avait un sourire très apaisant. Ça fait très hippie d'écrire ça, mais les regarder dans les yeux aidait à évacuer le stress.
Voir mon commentaire sur la leçon 142.
9.25
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Sur le développement :
Je n'étais pas très à l'aise pendant le développement, le stress m'empêchait sans doute d'être réellement convaincant.
J'avais remplacé une inégalité large par une inégalité stricte, une jury m'a demandé de corriger. Ensuite un jury m'a demandé de montrer que ce que j'utilisais dans mon développement était bien une norme ; ce que j'ai du faire en entier malgré la facilité de la vérification. Je pense que c'est à cause de l'image peu assurée que j'ai donné pendant mon développement. J'ai ensuite dû donner la définition d'une forme quadratique.
Sur le plan :
- démontrer l'équivalence entre un E = O1 union O2 où O1 et O2 sont des ouverts disjoints et E = F1 union F2 où F1 et F2 sont des fermés disjoints
- démontrer la caractérisation de la connexité par les fonctions à valeurs dans {0,1}
- je n'avais pas écrit la condition de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires, j'ai du compléter l'énoncé
- démontrer le théorème de Darboux : j'avais la démonstration dans mes notes, je leur ai dit, mais la prof qui m'a posé la question m'a demandé ce que je pouvais dire sans regarder ; j'ai donné les grandes lignes sans trop me convaincre, ça a eu l'air de lui suffire et on est passé à autre chose
Exercice :
Un seul exercice pour la fin, j'avais une fonction f : R^n -> R^n C1 telle qu'il existe un k >0 tel que pour tout x,y, ||x-y|| < k*||f(x)-f(y)||, et je devais montrer que c'était un C1-difféomorphisme.
J'ai rapidement pensé au théorème d'inversion globale, j'ai donc dit que je voulais l'utiliser ; j'ai ensuite remarqué que l'hypothèse implique que f est injective ; pour montrer la surjectivité j'ai montré que l'image de f était un ouvert-fermé (fermé par caractérisation séquentielle, ouvert grace au théorème d'inversion locale) ; comme il ne restait pratiquement plus de temps, une des membres du jury m'a demandé les hypothèses du théorème d'inversion globale, et de justifier pourquoi il fallait bien montrer que f était bijective.
Souriant, assez peu aidant, je réfléchissais parfois un peu à voix haute, mais peu d'intervention de leur part ; que ça soit pour me dire que je disais des bêtises ou que je partais bien. Au final, je pense que ça m'a servi, étant donné que j'ai malgré cela pu répondre à toutes leurs questions.
On a eu un peu moins de 3h de préparation ; quelques minutes de moins.
16
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Développements proposés :
- Prolongement analytique et existence des points singuliers au bord du disque de convergence d’une série entière
- GLn(C) est dense ouvert connexe de Mn(C)
Ils ont choisi le premier.
Questions :
-prouver le corollaire du prolongement analytique qu’on utilise tout le temps, bon malheureusement j’ai eu du mal à cette première question bêtement ...
- questions rapides sur le développement
- Connaissez vous le développement en série entière de Tangente en 0 ? Non mais je connais les premiers termes et je sais que la formule générale fait intervenir les nombres de Bernoulli
- vous pouvez majorer le rayon de convergence de la série entière en 0 de tangente ?
Oui par pi/2 en voyant tan(z) = sin(z)/cos(z) et cos(z) s’annule pas dans le disque D(0,pi/2)
- et on pourrait montrer que c’est égal à pi/2 ?
Oui en fait la limite de tangente en pi/2 c’est l’infini donc en pi/2 c’est pas défini donc le rayon peut pas être strictement plus grand
- vous avez dit que Gln(R) était non connexe, pouvez vous citer des espaces de matrices qui seraient connexes (hors Gln(C)) ?
Oui SLn(C) est connexe par arcs ça se montre avec les transvections et je sais que SLn(R) est connexe mais je sais pas le montrer
- Et On(R) ?
C’est pas connexe parce qu’il a deux composantes connexes On+ et On-
- Montrer alors que O2+ est connexe
On va montrer connexe par arcs, déjà O2+ c’est des matrices de rotations et donc on va montrer qu’on peut relier chaque matrice à l’identité : il faut prendre theta*t au lieu de theta dans l’expression de la matrice et c’est ok le chemin convient
- Ensuite ils m’ont fait retrouver un théorème pour avoir l’implication entre f’ = 0 et f est constante. D’abord ils m’ont fait poser f : [0,1] dans R une fonction quelconque dérivable sur I = [0,(1/2)[ U ](1/2),1] et telle que f’ = 0 sur I.
J’ai dit une bourde en disant que je pensais que f était constante sur I mais en fait ils m’on invité à faire un dessin et j’ai vite corrigé mon erreur en prenant une fonction qui valait 1 sur [0,(1/2)[ et qui vaut -1 sur ](1/2),1] et qui vérifie les hypothèses alors qu’elle n’est pas constante.
Ensuite ils m’ont donc demandé qu’est ce qu’il manque pour avoir f constante et j’ai dit il faut que I soit un intervalle ils ont eu l’air de dire oui et m’ont fait écrire l’énoncé du théorème.
- Ils m’ont demandé de généraliser le résultat dans R^2 : j’ai donc dit que dérivable devenait différentiable, « f’ = 0 » devient « les dérivées partielles sont nulles » et « I intervalle » devient « I est connexe » et ça a l’air de les avoir convaincu
- Ensuite j’avais mis le théorème des valeurs intermédiaires dans mon plan sans dire le nom et je l’avais cité pour un espace métrique quelconque, on m’a demandé ce que ça donnait dans R muni de la distance usuelle j’ai dit que c’était le TVI et ils ont dit oui (bizarre comme question surtout que c’était vers la fin)
- Pour finir on m’a fait poser f : R dans R une fonction croissante et I un intervalle de R. J’ai du montrer que l’image réciproque de I par f était un intervalle.
Ils m’ont suggéré de montrer que f^(-1)(I) était convexe, ce qui se fait bien car f est croissante.
J’ai terminé là dessus
Souriant, un des membres hochait souvent la tête, ce qui met en confiance.
Il aidait quand il fallait.
Aucune surprise.
12.25
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Je croyais que le dev allait etre trop long du coup j'ai admis un lemme (qui exhibe une suite de polynome qui CVU vers la valeur absolue sur [-1,1]. Finalement j'ai fini en moins de 10 min donc je leur ai proposé de quand meme démontrer le lemme et ils avaient l'air ok.
Ensuite j'ai eu quelques questions de précision sur le dév, et d'application de Stone Weierstrass (montrer que X compact => C(X) est séparable et une autre question dont je ne me souviens plus)
Sur le plan, pas trop de question pénible, j'avais mis le thm de prolongement de Tietze (en application a SW) et on m'a demandé de démontrer du coup le lemme d'urysohn dans le cadre métrique (qui dit que si on a 2 compacts disjoints alors on trouve une fonction continue qui vaut 1 sur l'un et 0 sur l'autre).
Ensuite j'ai du montrer que A = {(un) tq |un| < 1/2^n} était compact dans l^1(N)
Ensuite j'ai du montrer que si K est un compact convexe d'un evn, et f tq ||f(x)-f(y)|| <= ||x-y|| alors f admettait un point fixe.
Sympathique
pas de surprise j'avais préparé cette lecon pendant l'année
16
265 : Exemples d'études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le développement s'est bien passé, j'utilise dedans la théorie des fonctions holomorphes (théorème des résidus, prolongement analytique).
- Le jury m'a alors demandé de définir ce qu'est une fonction holomorphe, j'ai manqué de précision, et ils attendaient celle avec le développement analytique.
- Le jury m'a demandé des précisions sur mon développement, car j'avais mal énoncé la formule des compléments qui est valable sur C\Z et pas sur C\Z- comme je l'avais écrit.
- Le jury m'a demandé de préciser le principe du prolongement analytique que j'utilisais. (Ne pas oublier la connexité), puis ils m'ont demandé de le prouver, j'ai donné les idées. À ce stade, j'ai eu l'impression que le jury n'était pas convaincu par mes réponses, car j'ai manqué de précision.
- j'utilisais la convolution, il m'a été demandé de préciser comment je la définissais, et quand est-elle bien définie. J'ai d'abord dit qu'on l'écrivait pour les fonctions positives puis pour les fonctions L1, en passant par la valeur absolue. Le jury n'était pas convaincu, j'ai donc précisé ma définition en utilisant le théorème de Fubini.
- Je parlais de détermination du logarithmique complexe sur C\R-, le jury m'a demandé ce qui changeait si je prenais une autre droite que R-. J'ai écrit la définition avec les arguments, ce qui n'a pas convaincu le jury, il m'ont donné l'exemple avec C\R+, j'ai alors dit que l'argument variait de 2pi quand on passait la droite R-, on est passé à autre chose.
- Le jury m'a demandé à quoi servait la formule des compléments que j'avais démontré, notamment en ce qui concerne le sinus. J'ai parlé de produit Eulérien, ils m'ont demandé de deviner la formule avec la formule des compléments. J'ai essayer de partir de la formule d'Euler dans mon plan ce qui n'a pas fonctionné. Le jury m'a donné la série de terme général z/(n^2+z^2) pour n dans Z et z>0. Je n'ai pas compris pourquoi et le jury m'a ensuite donné la serie exp(-n^2z). J'ai dit que je pensais à la formule sommatoire de poisson, mais que je ne me souvenais pas de l'identité. On est passé à autre chose.
Pour terminer, le jury m'a donné un exercice:
Soit t --> P(t) continue, des matrices de taille n stochastiques vérifiant:
P(s+t)=P(s)P(t)
P(0)=Identité
P est dérivable à gauche en 0
La question était: que pouvez vous dire de ce système. Après un moment de réflexion, le jury m'a demandé de démontrer que t --> P(t) est dérivable en tout t. J'ai montré qu'elle l'était à gauche, puis avec un peu d'aide, à droite. Le jury m'a reposé la question du début, l'oral c'est terminé là dessus.
Pas de réponse fournie.
Je connaissais assez bien les démonstrations internes à mon plan, mais pas assez ce qu'il y avait autour par manque de temps pour préparer cette leçon pendant l'année, je ne m'attendais pas à des questions aussi difficiles, mais c'est ce que mon plan amenait à faire. Je n'ai pas été assez convainquant et j'ai finalement répondu correctement à très peu de questions.
Pas de réponse fournie.
260 : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai un peu galéré sur le développement, j'arrivais pas à démontrer mon lemme qui prenait 1/3 du développement, du coup je l'ai passé. J'ai terminé en un peu moins de 16 mins.
Questions sur le développement : Vous utilisez un résultat de densité sur les transformées de Fourier ; pouvez vous nous rappeler quel ensemble est dense dans quel ensemble et pour quelle norme ? Vous utilisez le théorème de convergence dominée, vous pouvez nous rappeler les hypothèses ? Comment vous montrez que votre limite est bien exp(-x^2/2) ? J'avais fait une petite erreur de calcul à la fin mais heureusement, ma petite erreur était multipliée par 0 donc je trouvais la bon résultat.
Question sur le plan : Vous dites que l'espérance est linéaire, qu'en est-il de la variance ?
- La variance de la somme est la somme des variances si les variables sont indépendantes.
- La réciproque est-elle vraie ?
- Non.
- Vous avez un exemple ?
- Je suis sûr que c'est faux mais j'ai pas de contre exemple ....
- D'accord, que se passe-t-il si les variables ne sont pas indépendantes ?
- Il y a un terme de covariance qui apparaît.
- Comment on définit la covariance ?
- 2cov(X,Y) = Var(X+Y) - Var(X) - Var(Y)
- Mouais, j'aime pas trop cette définition.
- Sinon on peut dire Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y).
- Et comment vous définissez E(XY) ?
- Bah intégrale sur oméga de XY dP ....
- Oui, ok.
Vous dites que si deux variables aléatoires sont indépendantes alors la fonction caractéristique de la somme est le produits des fonctions caractéristiques, est ce que la réciproque est vraie ?
- Euh je sais pas .... Comme ça je dirais que c'est faux un peu comme la variance....
- Ok, en fait c'est vrai.
Passons aux exercices :
I) Calculer les moments à tout ordre d'une loi de poisson. Je commence à faire une IPP pour trouver une relation de récurrence, une personne du jury me dit que je devrais vérifier avant que les moments existent. Je trouve la relation rapidement et j'en déduis une formule pour les moments.
II) Soient X1,...,Xn de loi uniforme sur [0,1], calculer les moments de min(X1,...,Xn). Je trouve toute suite comment on fait, il m'arrête à la fin quand il a vu que j'ai compris. Vous pouvez me rappeler les hypothèses sur la fonction de répartition pour avoir une densité ?
III) Démontrer la loi forte des grands nombres pour la convergence L2. Je vois que l'espérance de la suite est constante donc j'essaye de regarder si c'est une martingale. Une personne du jury me dit "pourquoi pas" mais au final ça marche pas. Du coup je veux utiliser Minkowski mais il m'arrête pour me dire d'utiliser un truc dont a parlé, et je m'en sors avec les fameuses covariances.
IV) Je me souviens plus trop de l'énoncé, on m'a donné la loi conditionnelle d'une variable aléatoire par rapport à une autre et je devais en déduire l'espérance. J'ai calculé l'espérance conditionnelle et j'en ai déduis l'espérance.
Assez gentils, j'avais peur qu'ils me parlent du petit lemme que j'ai pas réussi à démontrer mais ils ont rien dit.
Un peu moins de 3 heures de préparation.
16
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai d'abord justifié mon plan de leçon qui était plutôt orienté vers les applications de la théorie de Lebesgue, en particulier en analyse de Fourier.
Le jury est d'abord revenu sur mon développement. J'avais introduit le noyau de Poisson et j'avais justifié sa positivité en faisant un calcul de discriminant. Le jury m'a alors demandé d'écrire le noyau sous une autre forme (avec des modules) et la positivité était immédiate.
Le jury m'a demandé de justifier l'existence du produit de convolution de deux fonctions intégrables. Ensuite de justifier que L1 n'avait pas d'élément neutre pour la convolution. Je l'ai fait par l'absurde en passant en Fourier et en utilisant le lemme de Riemann-Lebesgue pour obtenir une contradiction. J'ai au passage raconté une bêtise en disant que si le produit de deux fonctions est nul alors l'une des deux fonctions est identiquement nulle. Le jury m'a dit en êtes vous sûr et là on comprend tout de suite que quelque chose cloche, j'ai dit non et bien sûr ils m'ont demandé un contre exemple en faisant un dessin. Le mot dessin m'a beaucoup aidé et j'ai proposé le produit de deux indicatrices dont les intervalles sont disjoints. Le jury m'a ensuite précisé que ma démonstration par l'absurde était trop rapide car il fallait utiliser une fonction dont la transformée de Fourier était non nulle. J'ai alors proposé la fonction exp de -ax^2 avec a>0 dont je connaissais la transformée de Fourier (une exponentielle aussi). Le jury m'a ensuite demandé si je savais démontrer le lemme de Riemann-Lebesgue j'ai répondu qu'on le démontre sur l'espace C^1_c par IPP et ensuite par densité. Ils m'ont demandé la partie densité ce que j'ai fait. Il y a eu aussi une question sur le principe de ma démonstration de la complétude des espaces de Bergman ( mon deuxième développement proposé), j'ai donné les grandes lignes et l'oral s'est terminé ainsi.
Il y avait deux autres questions sur mon développement une qui parlait de densité des polynômes trigonométriques et j'ai eu beaucoup de mal à répondre à cette question malgré l'aide du jury. Une autre sur la partie de ma démonstration du théorème d'approximation de l'unité où j'avais choisi un delta trop grand pour que f(x-t) soit bien définie avec x dans [-pi,pi]...
J'avais oublié : on m'a donné un petit exercice : calculer la limite quand n tend vers +l'infini de l'intégrale entre 1 et + l'infini de exp(-t^n).
J'ai utilisé le théorème de convergence dominée. J'ai eu un peu de mal sur l'hypothèse de domination et le jury m'a aidé à surmonter cette difficulté. Ensuite on m'a demandé le lien entre convergence L1 et convergence pp j'ai dit si une suite converge en norme L1 alors il y a convergence pp pour une suite extraite. On m'a alors demandé un contre exemple. j'avais pas eu le temps de réviser cette partie pendant la préparation et j'ai du réfléchir pendant pas mal de temps. J'ai proposé une indicatrice sur un intervalle du type ]1/2^(k+1);1/2^k[, le jury m'a guidé pour améliorer ma réponse. Le jury m'a ensuite demandé le lien entre convergence uniforme et convergence L1, j'ai dit la convergence uniforme implique la convergence L1 si l'espace est de masse totale finie.
Le jury était très agréable. ils m'ont posé beaucoup de questions. Ils m'ont très bien guidé pour que j'arrive à répondre à leur questions. Je suis sorti de l'oral en ayant appris des choses !
On peut lire le nom de chaque membre du jury et j'ai un peu stressé quand j'ai vu le nom d'É. Matheron, ses questions était techniques d'ailleurs mais très pertinentes je trouve...
La préparation dure un peu moins de 3 heures donc attention à finir le plan en 2h45min grand max.
J'ai fini mon développement sur la sommation des séries d'Abel en 9 minutes. J'ai alors proposé de démontrer le théorème d'approximation de l'unité du moins le principe.
Le jury n'a posé aucune question sur les inégalités de Hölder ou de Minkowski qui étaient dans mon plan, dommage car je les avais bien préparées...
Pas de réponse fournie.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
- J'ai eu des questions sur le développement (tracer la fonction phi, énoncé le théorème de Dirichlet et une discussion sur les fonctions continues par morceaux). J'ai eu un peu de mal sur la fin donc ils sont passés à autre chose.
- Donner un équivalent du reste de la série de Riemann (grâce au théorème comparaison séries/intégrales).
- La preuve du critère de Cauchy. J'avais un peu de mal aux questions précédentes donc ils m'ont posé une question un peu plus facile.
- La preuve de l'équivalent de la série harmonique. Je ne l'avais pas préparé, le jury m'a guidé et j'étais assez réactive à leurs indications.
Le jury n'était pas du tout méchant, il essayait vraiment de m'aider.
J'ai assisté à un oral la veille, et le jury adapte les questions selon le niveau du candidat.
3h c'est très court pour préparer la leçon, on a pas le temps de faire un plan trop ambitieux...
Il faut vraiment bien connaitre ses développements, pour ne pas perdre du temps.
Le but est de vérifier qu'on maitrise les bases.
Pas de réponse fournie.
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Sur le développement:
Résumer à l'oral les différentes étapes de la preuve.
Justifier que l'application qui à un point $M$ du plan euclidien associe sa distance $OM$ à l'origine n'est effectivement pas différentiable en l'origine. (Il n'y a pas de dérivées partielles en ce point)
Justifier que le point $P$ qui réalise le minimum se trouve effectivement à l'intérieur du triangle, et est différent des sommets (choses que j'ai admises lors de la preuve).
Sur le plan :
Exemple de fonction qui a des dérivées directionnelles mais qui n'est pas différentiable.
Exercices:
Exercice du même type que celui dans Rouvière où il s'agit de prouver l'unicité d'un solution $(x,y)$ d'un système non linéaire mettant en jeu des fonctions trigonométriques. On traduit cela comme un problème de point fixe d'une fonction et on montre que sa différentielle est de norme $<1$ (pour une bonne norme). L'inégalité de la moyenne permet alors de conclure.
Soit $f:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ une fonction différentiable et $\alpha > 1$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes:
Pour tout $t>0$ et $x\in \mathbb R^n$, $f(tx)=t^{\alpha}f(x)$.
Pour tout $x\in \mathbb R^n$, $\sum_{i=1}^n x_i\partial_if(x) = \alpha f(x)$.
Dans votre développement, vous avez utilisé le fait que la norme euclidienne est différentiable (sauf en l'origine). Est-ce vrai pour toutes les normes ?
Très souriant et très aimable.
Pas de réponse fournie.
16.5
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Un échange (très) détaillé sera disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr
Une petite erreur qui aurait pu être évité sur le développement ... Mais surtout deux gros points négatifs sur l’espace de Schwartz et la convolution. De plus il est écrit dans le rapport du jury :La leçon nécessite une bonne maîtrise de questions de base telle que la définition du produit de convolution de deux fonctions de L1. Quelques petites erreurs d’étourderies car je voulais répondre vite ... mais je me corrigeais rapidement.J’ai trouvé le jury plutôt "fermé" et pas vraiment sympathique, et dont un qui était très rabaissant ... On n’est pas là pour se faire des amis, mais quand même ...
Oui
14.25
220 : Equations différentielles $X'=f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur Cauchy Lipschitz : 1. Comment on justifie que la norme d'une intégrale est inférieure ou égale à l'intégrale de la norme
2. A quel moment j'ai utilisé le fait que je me mettais sur un compact au début (pour que notre espace soit complet et que l'on puisse utiliser le théorème de point fixe)
Questions sur le plan : 1. Dans la version localement lipschitzien, à quoi sert le lemme de Gronwall (pour montrer l'unicité)
2. Des exercices où il fallait résoudre des équations différentielles, un premier avec une équation d'ordre 2 qu'il fallait ramener à une équation d'ordre 1,
un second avec une équation autonome (etude des solutions constantes + CL pour dire que les solutions ne peuvent pas se croiser + application du théorème de sortie de tout compact pour dire que les solutions entre les solutions constantes sont globales + etude du signe de f pour donne la croissance/décroissance de la solution),
et le dernier il fallait résoudre y'=sin(y), que j'avais mis en exemple de solution globale parce que sin est borné
Jury très gentil, ils ne m'ont posé aucune question piège ou qui n'avait pas de rapport avec la leçon et qui auraient pu être perturbantes
J'ai assez mal géré mon temps pendant mon développement, donc je n'ai fait que Cauchy Lipschitz au lieu de rajouter la démonstration du théorème de point fixe, comme je ne l'avais pas annoncé au début, le jury n'a rien su. Mais je pense que j'ai fait l'erreur de relire mes développements dans le livre au lieu de directement les écrire. En relisant sur le livre et pas sur mes feuilles de révision, j'avais l'impression de redécouvrir les développements et c'était très déstabilisant. Il vaut mieux les faire au brouillon de tête, et ensuite boucher les trous et vérifier que l'on a rien oublier après, en comparant avec le livre.
14
243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Présentation de plan et développement très bien passés.
Le jury avait l'air très content de mon choix de leçon, de mon plan et du développement. On me demande si je connais une autre façon d'approcher de façon uniforme l'applicaiton valeur absolue sans utiliser le critère de Dini : je réponds les polynômes de Bernstein.
Quel est l'avantage de cette méthode ? --> converge plus rapidement que celle que j'avais présenté mais c'était aps le but de mon dév.
ET LA la catastrophe, le jury du milieu jugeant que j'avais un développement d'un niveau honnête me pose un exo avec pleins de notations, je devais montrer qu'un certain ensemble vachement moche était bien une sous-algèbre séparante et unitaire. J'ai rien su faire, je m'embrouiller avec les notations et je n'arrivais pas à me concentrer ---> déception immense du jury du milieu qui avait mis tant d'espoir en moi...
Du coup le jury de gauche redescend d'un cran dans la difficulté et me demande l'exo classique sur Weiertrass ( premiere question de l'épreuve écrite d'analyse de 2018). Et ensuite on a terminé avec le même exo mais dans le cas L2 où fallait faire un Cauchy Schwarz.
Derniere question : "connaissez-vous un autre ex de parties denses dans les espaces de matrices (outre Gln(C))" je dis oui les matrices diagonalisables sur C. On me répond que j'ai 12 sec exeactement pour le montrer. Donc je donne vite fait une idée de preuve passant par la trigonalisation etc..
Très sympas et aidants malgré le fait que je les avais déçu...
J'adore cette leçon donc le couplage m'était favorable, j'ai fait je pense un bon plan, un bon développement mais j'ai pas assuré sur les questions donc ma note ne m'a pas choqué.
12
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
-Concernant le développement: on m'a demandé de bien préciser des points de mon developpement (notamment au bout j'ai 10 minutes j'ai compris qu'on voulait de moi que je dise que le fait que la série convergeait normalement était causé par le fait que la série des normes convergeait...)
-On m'a ensuite demandé de calculer l'integrale sur le cercle de centre 0 et de rayon 1/2 de la fonction Gamma. Il fallait pour celà utiliser la formule des résidus (pour laquelle j'étais peu sure de moi et qu'on ne m'a jamais clairement confirmé). J'ai mis beaucoup de temps ensuite à calculer proprement le résidus de gamma en 0 bêtement...
-On m'a ensuite demandé une base hilbertienne de L1(R) et j'ai dis beaucoup de bétises jusqu'à comprendre enfin qu'ils nous voulaient pas une base pour la mesure de Lebesgue mais qu'ils autorisaient une autre mesure, et qu'ils attendaient donc les polynomes de l'hermite (grâce à mon autre developpement)
-Ensuite on m'a demandé de montrer le Lemme de Riemann-Lebesgue. J'ai voulu commencer par expliquer pourquoi, "physiquement" on pouvait s'attendre à ce résultat, grâce à une analogie avec les séries de Fourier, mais ils m'ont bien vite coupé pour me dire que je ne repondais pas à leur question, et j'ai donc ensuite montré proprement le lemme grâce à la densité des fonctions C infinies à support compact
Pour cet oral, presque seul le directeur du jury parlait, et j'ai été très etonnée.
D'une part ils étaient extremement froid, mais surtout ils ont très très peu parlé, donc quand je repondais et qu'ils me regardaient sans rien faire, je prenais leur silence pour une chance de me corriger, et donc en suis arrivée à chercher des erreurs là où je n'en avais pas.
D'autre part, je n'ai vraiment pas compris que ma petite "interpretation physique" ne soit pas appréciée.
Je comptais beaucoup sur les livres de la bibliothèque de l'agrégation, or certains livres comme par exemple le Zuily Queffelec n'étaient qu'en un seul exemplaire, ce qui peut etre inquietant...
13.25
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Aucune questions sur le développement.
Sur le plan/cours:
1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy?
Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives.
- Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ?
J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées).
- Avez-vous une idée de la preuve ?
J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après.
- Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné?
C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville).
Exercices :
1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ?
J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$.
- Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ?
J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça.
2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque.
Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout.
- Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ?
Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait.
3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ?
On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures).
4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$.
Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.
Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.
J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu.
Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).
10
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Aucune questions sur le développement.
Sur le plan/cours:
1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy?
Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives.
- Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ?
J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées).
- Avez-vous une idée de la preuve ?
J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après.
- Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné?
C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville).
Exercices :
1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ?
J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$.
- Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ?
J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça.
2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque.
Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout.
- Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ?
Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait.
3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ?
On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures).
4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$.
Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.
Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.
J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu.
Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).
10
245 : Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Aucune questions sur le développement.
Sur le plan/cours:
1) Pouvez-vous donner une idée de la preuve de la formule de Cauchy?
Je n'ai pas su répondre (ça commence bien), il faut utiliser le théorème de Cauchy sur les primitives.
- Vous avez dit que le théorème d'holomorphie sous le signe intégrale donnait un équivalent des théorèmes de continuité et de dérivabilité dans le cas réel. Pouvez-vous expliquer ce que vous vouliez dire, et en quoi il est plus fort ?
J'ai expliqué que le principe était le même au niveau des hypothèses, mais qu'il était beaucoup plus fort car il suffit de majorer la fonction elle-même (en module) et non pas ses dérivées, mais qu'on obtient quand même le caractère infiniment dérivable et une expression des dérivées $n^{i\grave{e}mes}$ (dû à l'analycité qui donne un contrôle de toutes les dérivées).
- Avez-vous une idée de la preuve ?
J'ai expliqué qu'il fallait utiliser la démonstration de [holomorphie implique analytique] qui donne une expression des coefficients du développement en série entière pour une fonction analytique, mais je ne savais pas trop comment ça marchait après.
- Que pouvez-vous dire d'une fonction entière et dont le module est borné?
C'est le théorème de Liouville : elle est constante. (dans le plan je n'avais mis que le principe du module maximum et pas le théorème de Liouville).
Exercices :
1) On prend $f$ une fonction analytique sur un disque de rayon $R$ et de centre $a$. Que pouvez-vous dire de $f$ ?
J'ai écrit son développement en série entière, c'est à dire : $f = \sum_{n \geq 0} a_n(z-a)^n$.
- Prenez un autre point $b$ dans le disque et écrivez le développement en série entière de $f$ autour de $b$. Pouvez-vous exprimer les coefficients de la deuxième série en fonction de la première ?
J'ai essayé de dériver la première expression, de l'évaluer en $b$. Je ne me souviens plus vraiment mais on s'en sortait à peu près comme ça.
2) On prend $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert de $\mathbb{C}$ qui contient le disque unité. On suppose que $f$ et $g$ ne s'annulent pas sur le disque, et que $|f|=|g|=1$ sur le disque. Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{C}$ tel que $f = \lambda g$ sur le disque.
Puisque $g$ ne s'annule pas, on peut déjà considérer $h=f/g$ qui est donc holomorphe sur le disque, et de module 1. C'était le début, après je ne me souviens plus de comment on fait, mais avec leurs conseils je suis arrivée au bout.
- Auriez-vous un contre-exemple à cet exercice ?
Puisqu'on a supposé que $f$ et $g$ ne s'annulaient pas, j'ai pris $f(z)=z$ et $g(z)=z^2$. Ca marchait.
3) Auriez-vous un exemple de fonction définie sur $\mathbb{C}$ mais pas holomorphe ?
On prend $f(z)=\bar{z}$ (ils m'ont largement soufflé l'idée). Ils m'ont demandé d'expliquer: j'ai donc fait le taux d'accroissements et, avec beaucoup de mal, ai réussi à montrer que la limite n'existait pas (on approche $0$ sur la droite de réels et sur la droite des imaginaires pures).
4) On prend $f$ une fonction non constante sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}$ telle que $|f|$ admette un minimum en $a$ sur $\Omega$. Montrer que $f$ s'annule sur $\Omega$.
Je n'avais aucune idée. Ils m'ont suggéré un raisonnement par l'absurde, et c'est allé tout seul: on suppose qu'elle ne s'annule pas sur $\Omega$, on considère $1/f$ dont le module admet alors un maximum en $a$ et on utilise le principe du module maximum qui donne que $1/f$ et donc $f$ est constante.
Ils étaient trois (deux hommes et une femme), et ont été vraiment très gentils et bienveillants. La femme ne faisait que me sourire et m'aidait quand je n'avais pas d'idée, un des deux hommes (celui qui posait les questions de cours au début) me souriait aussi mais ne parlait pas beaucoup, et le troisième (celui qui m'a posé la majeur partie des exercices) était moins souriant mais m'aidait aussi quand j'étais en panne d'idée.
J'avais vraiment très peur, car j'ai regretté mon choix au bout d'une dizaine de minutes en me rendant compte que je ne savais presque rien sur les fonctions holomorphes (bon finalement je l'ai quand même eue, comme quoi tout est possible ^^). Je pense que le fait qu'ils aient été vraiment bienveillants (plus que pour l'algèbre, et bien plus que pour la modélisation) a beaucoup aidé à me mettre à l'aise, et j'ai pu réfléchir posément. Ils n'attendent pas une réponse immédiate aux questions, mais des idées et des pistes de réflexions, et ils aident beaucoup dans cette réflexion. Ca c'est donc mieux passé que prévu.
Pour la préparation, j'ai essentiellement copié Marco (je connaissais mon plan par coeur donc j'ai juste rempli les parties) et j'ai pu écrire la leçon en 1h10, ensuit j'ai refait mes développements (environ 30 minutes) puis j'ai utilisé le temps qu'il me restait pour revoir les démonstrations des propositions de mon plan (je pense que le mieux est de découper la préparation de cette manière, à condition de connaitre plan et développements sur le bout des doigts).
10
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Question sur le développement :
Que peut-on dire du comportement de la solution en temps infini? On note f la température initiale. On montre que l'unique solution obtenue u(t,x) converge uniformément pour x dans [0,2pi] vers c_0(f) (la moyenne de f sur la barre) lorsque t tend vers l'infini.
Questions, exercices :
— Soit f ∈ C∞(R) telle qu’il existe un polynôme P de degré impaire vérifiant pour tout entier m et tout réel x : |f(m)(x)|≤|P(x)|. Que peut-on dire de f ? Réflex : P possède une racine x0. On obtient f(m)(x0)=0 pour tout m. Soit x réel. La formule de Taylor reste intégral à l’ordre m entre x0 et x permet d'avoir la majoration |f(x)|≤ |x−x0|^(m+1) / m! ||P||∞ qui converge vers 0 lorsque m tend vers l'infini. Conclusion : f est nulle.
— Soit f ∈ C1([0,1]). Peut-on trouver une suite de polynômes (Pn) telle que Pn → f et Pn' → f' uniformément sur [0,1] ? J’ai proposé des pistes qui n’aboutissaient pas. Le jury m’a beaucoup aidé. Il suffisait de considérer (Qn) suite de polynômes convergeant vers f' uniformément sur [0,1]. Puis d’introduire Pn la primitive de Qn valant f(0) en 0, de sorte que Pn' = Qn est un polynôme. Et, par convergence uniforme de (Qn) vers f', on a effectivement Pn → f uniformément.
— Expliquez-nous le théorème de Chudnovsky pour [a,b] ne contenant pas d’entier. Le jury est sympa. Pour me racheter, il me demande un théorème de mon plan. C’est mon troisième développement pour cette leçon. Je leur explique la preuve que l’on trouve dans le FGN Analyse 2.
Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.
Préparation :
Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage.
Passage :
Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié.
Développement réalisé en 15 min pile sur un grand tableau à craie. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev.
Dans mon plan j'ai parlé d'analyse complexe et du théorème de Runge et aussi (bien sur) de série de Fourier, de polynômes trigonométrique ... Aucune questions sur ces sujets. Le jury a préféré rester sur une approximation polynomiale sur des segments de R. Que ce soit sur les questions ou les exercices, on est resté sur du basique.
17.25
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
220 : Equations différentielles $X'=f(t,X)$. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Quelques questions en lien avec les probabilités ( fonction caractéristique, convolé de lois)
Questions sur les idées de la démonstration du théorème de convergence dominée puis la démonstration du lemme de Fatou
Résoudre l'équation f*f=f pour f dans L1(R) et * le produit de convolution,j'ai eu besoin d'une indication pour conclure.
Calculer la transformée de Fourier de 1/(1+x^4) à l'aide des résidus, ce que je n'ai pas réussi à faire.
Donner la continuité d'une fonction définie par une intégrale réelle dont les bornes varient à une intégrale sur un compact par changement de variables et utilisation du théorème de continuité sous le signe somme.
Jury bienveillant et qui m'a laissé un peu de temps pour chercher à chaque questions
Pas de réponse fournie.
9
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'étais quasiment à la fin de mon développement lorsque le jury m'a indiqué que le temps était déjà écoulé, et m'a proposé de conclure. J'ai ainsi pu finir. J'ai eu le droit à plusieurs questions sur mon développement, que ce soit pour revenir sur des points que j'avais énoncés rapidement à l'oral, pour avoir plus de précision sur des théorèmes que j'utilisais, ou pour démontrer des points que j'avais admis initialement par manque de temps.
Il y a eu ensuite une bonne vingtaine de minutes de questions sur mon plan, principalement sur les exemples que j'avais donnés. Il vaut mieux donc bien connaître la démonstration des exemples qu'on cite. Voici les différentes questions que j'ai eues:
Q: Quels éléments de votre développement vous garderiez dans le cas où f est C1 par morceaux?
Q: Vous citez Hölder à un moment, vous l'appliquez à quelles fonctions?
Q: Comment montrez-vous que Dn (noyau de Dirichlet) et Kn (noyau de Fejer) ont cette forme?
Q: Comment montrez-vous que l'intégrale de Dn vaut 1? Par la formule sin(..) ?
Q: Vous dites que la limite de x^n sur [0,1] n'est pas continue donc il n'y a pas convergence uniforme, mais comment on montrerait le résultat sans les théorèmes de continuité?
Q: Vous avez dit qu'une fonction continue et périodique était uniformément continue, pourquoi?
Q: Votre autre développement parlait de la densité des polynômes dans C([a,b]), y a t'il encore cette densité si nous ne sommes plus sur un segment? Quel est alors l'adhérence des fonctions polynomiales dans R?
Exercice: On définit S(x) = Somme(n=1 à inf (-1)^n / (n+x)).
Q: Donner l'ensemble de définition de S
Q: Montrer sur S est dérivable sur ]-1, inf[
Q: Quelle est la limite de S en -1. Comme je ne trouvais pas, le jury m'a suggéré d'utiliser le fait que la série soit alternée
Le jury était très gentil, les questions s'enchainaient mais je n'ai jamais senti de pression durant cet oral. Un des membres semblait agréablement surpris qu'il y ait une sous-partie sur les séries de Fourier. Le jury aide, mais n'en dit pas trop, ils veulent voir les différentes réflexions qu'on peut avoir avec une petite indication.
Mieux que je ne le pensais. Il y avait 3 spectateurs mais on ne se rend pas du tout compte de leur présence. J'avais beau connaître plutôt bien le plan de cette leçon j'ai fini de l'écrire au bout des 2H45, avec moins de précision sur les derniers théorèmes que j'écrivais.
12.75
260 : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Il y a eu plusieurs questions sur le dév., notamment que se passe-t-il si la fonction est continue sur R, pourquoi la limite uniforme de polynome sur R est encore un polynôme, expliciter le changement de variable affine de la fin et justifier pourquoi ça marche. Pour les autres questions, elles étaient autour des notions de prolongements de solutions d’une EDO. Je n’ai réussi aucune de leurs questions sur ce sujet et le niveau des questions ne descendait pas, je suis resté bloqué la quasi-totalité de l’échange. Sur la fin, j’ai eu une question sur l’existence d’un prolongement d’une fonction k-lipschitzienne sur ]0,1] à laquelle j’ai difficilement répondu que c’était grâce au prolongement des fonctions uniformément continues (j’étais assez démoralisé du désastre sur les EDO) puis une finale question à la volée était sur la démo du prolongement des fonctions Unif continue à laquelle j’ai bien répondu.
Le jury était neutre, juste un en particulier était même assez sec.
Pas de réponse fournie.
10
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
C'était mon deuxième oral, j'étais beaucoup moins stressée qu'au premier. On m'a demandé de préciser quelque chose sur mon développement puis on m'a demandé de montrer qu'une suite à valeurs dans un compact qui a au plus une valeur d'adhérence converge (je l'utilisais dans mon développement et je l'avais juste très vite justifié à l'oral).
Question suivante : Comment définissez-vous la topologie quotient ? (j'en parlais dans mon plan à cause de ce développement où la topologie induite par la distance que je mets est en fait la topologie quotient) Je l'ai défini avec sa propriété universelle, ce qui a surpris le jury (apparemment c'est plus courant en algèbre qu'en analyse), du coup j'ai expliqué qu'il y avait deux manières de faire, soit on la définissait avec sa propriété universelle puis on la construisait pour montrer qu'on ne parlait pas sur du vide, soit on prenait sa construction pour définition et on montrait qu'elle vérifiait la propriété universelle et que c'était la seule (sur l'ensemble quotient).
Ensuite un membre du jury m'a demandé comment je définissais les compacts en topologie générale, j'ai répondu avec Borel Lebesgue (et le fait d'être séparé) et il m'a demandé si je connaissais un compact qui ne vérifie pas Bolzano Weierstrass.
J'ai répondu qu'en tout cas ça ne serait pas un compact métrique et j'ai cherché un peu, mais il m'a rapidement interrompu pour me dire que si je n'en connaissais pas je n'allais pas deviner. Un autre membre du jury m'a alors demandé de parler de la topologie de la convergence simple; il m'a guidé et j'ai compris qu'il avait l'air de vouloir que j'utilise un théorème de Tychonoff, mais celui qui me venait à l'esprit était dénombrable et là on n'était pas dans un cadre dénombrable; je leur ai fait part de ces réflexions et on est passé à des questions sur le plan (retour dans un cadre métrique du coup).
Je ne me souviens plus des questions exactes sur mon plan (qui avait deux parties, une sur l'utilisation de la compacité en lien avec la continuité (l'image continue d'un compact est compact, Rolle, Heine, Weierstrass... et beaucoup d'applications) et une sur Ascoli, Montel et le théorème de représentation conforme de Riemann (ce dernier étant admis)) mais elles étaient du style "Comment vous déduisez cette application de ce théorème ?" et aussi pourquoi je mettais le théorème de représentation conforme de Riemann (c'est parce qu'on utilise le théorème de Montel dans sa preuve, et qu'à mon avis ça se voit plus facilement que c'est un théorème utile (si on finit avec le théorème de Montel on reste sur sa faim à mon avis, en mode "à quoi ça sert ?")).
Ensuite un membre du jury m'a demandé si j'avais d'autres (que Montel) applications du théorème d'Ascoli, j'ai répondu le théorème de Cauchy Peano, et un membre du jury m'a demandé comment on le prouvait, j'ai donné une idée "avec les mains" (j'ai parlé des solutions epsilon approchées mais je ne me souvenais plus des définitions exactes, juste des grandes idées), puis un membre du jury m'a demandé "Et avec un ordinateur on fait comment ?" du coup j'ai expliqué le coup des tangentes et de faire quelque chose d'affine par morceaux, et on est passé aux exos. Chaque membre du jury m'a posé un exo.
Exo 1 : Soient (E,||.||) un evn, X un compact de E, f : X -> X telle que pour tous x et y distincts || f(x) - f(y) || < || x - y ||. Montrez que f a un unique point fixe.
Exo 2 : Soient (E,||.||) un evn, K un compact de E. Notons L la réunion sur (x,y) dans K^2 des segments [x,y]. Montrez que L est compact.
Exo 3 : Soit (f_n) une suite de fonctions continues sur [0,1] à valeurs dans C, dérivables sur ]0,1[, telle que la suite des dérivées (f'_n) est bornée dans L^2. Montrez que (f_n) converge uniformément.
Pour l'exo 3, [SPOILER RÉPONSE] j'ai réussi à borner (f_n) avec une méthode ad hoc (je me suis aperçue après coup que le jury s'attendait à du Cauchy Schwarz mais là j'ai utilisé |f'_n| <= 1 + |f'_n|^2), puis j'ai compris que le jury voulait que j'utilise Ascoli donc j'ai essayé de montrer l'équicontinuité, mais la même méthode était trop bourrin cette fois-ci, me voyant bloquée un membre du jury a dit "les f'_n sont dans L^2" et j'ai eu le déclic - Cauchy Schwarz !-, puis avec le théorème d'Ascoli j'ai résolu l'exo, ce qui a conclu mon oral.
Les trois membres du jury étaient très souriants et encourageants, du début à la fin de l'oral. J'ai pu cherché les exercices tranquillement, et le jury était toujours intéressé par ce que je faisais, même si c'était inattendu (par exemple pour le deuxième exo je pensais qu'il était plus compliqué qu'il ne l'était vraiment, du coup j'ai fait un cas particulier (K un ensemble fini de R^2, je faisais des dessins pour voir à quoi ressemblait L), ça a interloqué le membre du jury qui m'avait posé l'exo mais il m'a demandé d'expliquer ce que je faisais et il ne m'a pas interrompu, et j'ai eu le déclic [SPOILER RÉPONSE] de faire des extractions successives). Il n'y avait pas de temps mort et en même temps le jury ne me pressait pas, entre ça et leurs sourires (sur les visages et dans les voix) c'était vraiment le jury idéal.
Le temps passe très vite, je n'ai eu le temps que de mettre une vingtaine d'items alors que quand je faisais les plans chez moi j'en mettais au moins une cinquantaine. J'ai aussi été surprise qu'il y ait des questions de topologie générale alors que le rapport du jury insistait sur le cadre métrique, mais le jury n'avait pas l'air trop déçu que je n'arrive pas à répondre à ses questions de topologie générale, donc ça allait.
17
Théorèmes de Dini et application au théorème de Glivenko-Cantelli
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Nota : dans mon développement, je n’ai présenté que les grandes lignes de la preuve de Glivenko-Cantelli, mais j’ai démontré avant le théorème de Heine.
Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples dans un premier temps, et en particulier sur mon développement (qui était présenté de manière trop brouillon). Le jury a aussi voulu vérifier que j’avais moyen de finir la preuve de Glivenko-Cantelli, et m’a donc demandé de compléter ces grandes lignes, m’interrompant quand il était certain que je connaissais la preuve complète.
Le jury a beaucoup insisté sur le théorème du maximum et sur ses conséquences. Il m’a demandé quelques précisions sur les énoncés assez théoriques que j’avais pu mettre (par exemple, j’ai beaucoup insisté sur les liens avec la complétude), mais ce n’était pas le cœur du sujet.
Beaucoup de questions étaient très simples, voire triviales, du type : une fois prouvé Bolzano-Weierstraß, comment prouver la complétude de R ? Comment démontrer le théorème des compacts emboîtés ? Etc.
J’ai placé dans mon plan énormément d’énoncés éloignés du sujet qui venaient illustrer une application de la compacité que j’avais appris comme développements pour des leçons qui n’avaient rien à voir. Par exemple, j’ai cité le théorème du point fixe de Brouwer, pour lequel on montre à un moment qu’une partie est la sphère toute entière parce qu’elle est ouverte, et fermée en tant qu’image continue d’un compact. Le jury m’a clairement tendu une perche pour donner les grandes lignes de la démonstration en insistant sur l’endroit où intervenait la compacité.
Le seul exercice un peu élaboré (manifestement classique, mais que je ne connaissais pas) était : que peut-on dire d’une isométrie d’un espace métrique compact ? Après quelques hésitations à proposer des choses assez peu intéressantes, j’ai entendu un juré souffler à un autre « surjectivité », et j’ai proposé ça en l’enrobant comme si ça venait de moi. Il m’a fallu dix bonnes minutes et plusieurs pistes du jury pour y arriver, mais j’étais toujours dans une posture très « active ».
Le membre du jury du milieu avait une posture assez sévère, mais n’était pas cassante pour autant. Son voisin de gauche était beaucoup plus « doux », mais parlait peu et tiquait parfois ostensiblement. Le troisième juré était transparent.
C’était mon premier oral d’agrég (candidat libre, je n’avais jamais fait d’oral blanc), et sous le stress, j’étais assez brouillon dans mon développement, cherchant à aller trop vite au prix de la clarté. J’ai donc écrit trop gros, et le jury s’est assez énervé lorsque j’ai demandé à effacer le tableau pour la deuxième fois, et a refusé, me forçant à écrire en très petit dans un coin libéré.
Du fait qu’ils insistaient pour que je puisse « revenir sur le début du développement », je pensais que j’avais commis de lourdes erreurs, mais en réalité les premières questions posées étaient des trivialités et des précisions de notations (« pourquoi déduisez-vous de d(x,y) = 0 que x = y » et autres…).
Je n’ai pas eu le temps de bien finir mon brouillon de plan (je m’étais donné cinquante minutes pour rédiger), et j’ai donc commis deux fautes importantes dans l’ordre des énoncés sur la fin. Cependant, je m’en suis rendu compte après que mon plan soit parti à la photocopie, et j’ai pu dès la défense du plan signaler au jury l’erreur sur l’ordre. Je pensais que le jury insisterait sur cette partie (qui est en plus signalée dans le rapport comme posant des difficultés aux candidats quant à l’existence de raisonnements circulaires), mais il n’a en fait rien demandé dessus.
Comme indiqué supra, c’était mon premier oral d’agrég. Bien que connaissant très bien la plupart de mes développements, j’ai perdu mes moyens lors de la préparation et j’ai facilement perdu une demi-heure à compléter un passage absurdément simple.
Ma seule vraie surprise portait sur le fait que le jury était extrêmement pointilleux sur la présentation, la mise en forme du raisonnement, et que certaines étapes paraissant triviales pouvaient faire l’objet de plusieurs « vous pouvez détailler ? » à la suite.
18.25
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Critères de convexité d'une fonction différentiable, application à la recherche d'extremums
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions du jury :
- Donner un exemple de fonction convexe sur [0,1] mais discontinue en 0.
- Comment caractériser une fonction convexe avec son épigraphe ?
- Si une suite de fonctions convexe converge simplement vers une fonction continue, déjà pourquoi est-ce que la limite est convexe ? Et pouvez-vous montrer que la convergence est uniforme sur tout compact ?
- Une fonction monotone a-t-elle des limites à gauche et à droite ? Pourquoi ?
- Pourquoi est-ce qu'une fonction convexe a un nombre au plus dénombrable de points de discontinuités ?
- Pouvez-vous nous parler de la fonction $\Gamma$ ?
- Montrer que l'ensemble des matrices réelles symétriques positives est convexe, et que la fonction associant à une matrice sa plus grande valeur propre est convexe.
- Donner la différentielle de $X \mapsto (MX|X)$
Plutôt bienveillant et posant beaucoup de questions !
Attention lorsque l'on prépare son plan, à ne pas oublier d'y recaser les deux développements !
14.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
- Dessinez ce que représente la caractérisation du projeté avec le produit scalaire dans le plan.
- Vous dites que Ker(f) est fermé car f est une forme linéaire continue. Que se passe-t-il si f n'est pas supposée continue ? (il est dense dans H)
- On travaille dans un espace vectoriel E quelconque, et on prends F de dimension finie. On prends F sev fermé. Le théorème s'applique-t-il toujours ? A-t-on toujours E = F (+) F^orthogonal ? (Le théorème ne s'applique pas puisque nous ne sommes pas dans un espace de Hilbert, mais le théorème reste vrai en prenant par exemple une base orthogonale de F et en caractérisant le projeté à l'aide du produit scalaire).
- On admet l'inégalité, pour a et b réels, (|a|^4 + |b|^4)/2 - |(a+b)/2|^4 |>= |a-b|^4 / 16 (se démontre à la main avec le binôme). Montrez que l'existence du projeté sur un convexe est toujours vrai dans L^4 malgré le fait que ce dernier ne soit pas un Hilbert.
Pour cela, on prends un convexe fermé C de L^4, et, comme pour la projection sur un convexe fermé, on prends (f_n) une suite minimisante la distance de f à C. Supposons dans un premier temps f = 0. On montre, puisque L^4 est complet par Riesz-Fisher, que (f_n) est de Cauchy, ce qui est direct par l'inégalité admise précédemment (en remarquant que |(f_p + f_q)/2|^4 =< d^4). Donc (f_n) converge, et on a la conclusion. Dans le cas général, on fait pareil, mais avec la suite g_n = f_n - f.
- On considère l'ensemble E des fonctions de L² positives presque partout. Que dire de cet ensemble ? (il est convexe et fermé: convexe, c'est direct, fermé il faut introduire les ensembles induits par le "presque partout", et on utilise notamment le fait que si (f_n) converge dans L² vers f, on a une sous-suite qui converge presque partout). Le théorème de projection s'applique donc. Pour f un élément de L², quel est son projeté ? (le projeté est f_+ = max(0,f), ceci se prouve directement à l'aide de la caractérisation du projeté).
- Soit K un compact de E evn. On pose E l'ensemble des x tels que pour tout f forme linéaire sur E, f(x) =< sup_K (f). Que peut-on dire sur E ? (c'est un convexe fermé).
Il devait y avoir une suite à cet exercice, mais mon oral s'est terminé là-dessus.
Plutôt distant, sans forcément être froid. Ils n'ont pas hésités à m'indiquer si mon intuition ou si mes pistes étaient intéressantes, afin de m'encourager à poursuivre dans cette direction.
L'oral s'est déroulé normalement (à part le fait que j'ai fais mon oral sur un tableau blanc).
La note me semble curieuse, car je ne vois pas du tout comment j'aurais pu améliorer mon oral, mais bon. Je vais pas m'en plaindre hein !
15.75
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
1) Questions sur le dev (théorème des fonctions implicites)
- Vérification que j'avais compris le calcul d'une différentielle dans mon dev
- Pourquoi on pouvait "deviner" que la différentielle de la fonction implicite était de la forme proposée dans l'énoncé du théorème
- Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue?
2) Questions sur le plan
- Et si dans le théorème des fonctions implicites on suppose que $f$ est plus régulière (par exemple de classe $C^k$), est ce qu'on a plus de régularité sur la fonction implicite $\phi$? ($\phi$ est de classe $C^k$ d'après l'expression de sa différentielle)
- Justifier pourquoi exp (matricielle) est un difféomorphisme local en $0_n$ (classique)
- Montrer que exp (matricielle) est dérivable partout (utiliser les théorème de dérivation des séries de fonctions)
- Qu'est ce qu'un difféomorphisme global, quel est le lien avec les difféomorphismes locaux?
- Donner un exemple de difféomorphisme local non difféomorphisme global (l'application $z \mapsto z^2$ où $z \ne 0$ est vu comme un complexe)
- Illustrer le théorème des extremas liés par une figure (j'ai bidouillé une figure, ce n'était pas très convainquant, on est passé à la suite)
3) Exercices
- Soit $f$ une application $\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^n$ de classe $C^1$ telle que $\forall x \in \mathbf{R}^n, \forall y \in \mathbf{R}^n, ||f(x)-f(y)|| \geq ||x-y||$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme global de $\mathbf{R}^n$ sur $\mathbf{R}^n$ (injectivité évidente, montrer que f est un difféomorphisme local en vérifiant que la différentielle est injective, en déduire que l'image de $f$ est ouverte, vérifier l'image est complète par des suites de Cauchy donc fermée, et enfin conclure que l'image est $\mathbf{R}^n$ tout entier par connexité)
Attitude neutre, un tout petit peu d'aide
Première fois que je présentais un résultat sur un tableau (candidat libre), j'ai rédigé de façon assez brouillonne le dev.
19
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Je suis passé en 2021, pas en 2020 mais le site ne permet pas d'effectuer de retour pour cette année au moment où je l'écris.
Questions sur le développement :
1) réexpliquer pourquoi si un vecteur annule le gradient de la fonctionnelle quadratique, alors c'est le point de minimum
2) prouver la coercivité et la stricte convexité de la fonctionnelle quadratique
3) l'inégalité de Kantorovich est-elle optimale ? (oui : si on prend une homothétie de rapport positif)
4) quand veut-on utiliser cet algorithme plutôt qu'une résolution directe style pivot de Gauss ? Discussion sur la complexité du pivot de Gauss et celle du gradient optimal.
5) Combien de fois désire-t-on appliquer l'algorithme ? J'ai répondu que vu qu'il avait une complexité en $O(n^2)$ contre $O(n^3)$ pour Gauss, au maximum n fois. Ce n'était visiblement pas la réponse attendue par M. Gonnord, mais au moins c'était logique...
6) Quelle précision souhaite-t-on obtenir sur l'estimation du point de minimum ? (je n'ai pas su répondre)
Autre questions (dans le désordre):
1) démontrer le théorème de Gershgorin-Hadamard
2) Pourquoi la norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée ?
3) D'où sort la matrice du Laplacien 1D (j'ai redonné l'équation -u'' = f(t) avec comme conditions initiales u(0) = u(1) = 0, dit que l'on découpait [0,1] en n+1 intervalles puis qu'on appliquait la méthode des différences finies, on ne m'a pas demandé de l'expliciter)
4) en admettant les valeurs propres du L1D, calculer son conditionnement en norme 2. Comme celui-ci (qui est en n²) tend vers +inf, on m'a demandé si je connaissais d'autres matrices qui auraient un pire conditionnement. Je ne savais pas, mais M. Gonnord m'a dit à la toute fin de l'oral d'aller voir du côté des matrices de Hilbert
A ce moment là on m'a dit que l'oral était terminé, mais M. Gonnord m'a subitement dit que je n'avais pas parlé de conditionnement de recherche d'éléments propres, et demandé comment on faisait.
Je lui ai donc parlé du théorème de Bauer-Fike en essayant d'expliquer ça le plus proprement possible.
Le jury était composé de deux hommes (dont M. Gonnord) et d'une femme. Ils ont été remarquablement polis et courtois, et la dame avait des yeux d'une extrême gentillesse qui mettait vraiment en confiance.
M. Gonnord est très incisif, direct, mais très bienveilant.
Vraiment un jury remarquable.
C'est une leçon très particulière, je ne connaissais rien à l'analyse numérique matricielle quelques mois auparavant donc je ne savais vraiment pas à quoi m'attendre.
Au final, c'est comme toutes les épreuves de l'agreg : le jury veut voir si vous comprenez ce que vous avez écrit dans votre plan, si vous avez de la marge autour des notions abordées (ce n'était pas vraiment mon cas sur cette leçon), et surtout vous voir réfléchir.
19.25
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Tirage : 215, 226
Le choix fut assez facile, le calcul différentiel étant ma bête noire…
Je n’avais jamais préparé la leçon 226, je me suis donc inspirée des plans du Madère et Devreton. Mais je n’ai pas été très inspirée par ces plans.
J’ai donc préféré construire un plan autour de ce que je maîtrisais et de mes développements. Mon plan n’était pas incroyable :
I/ Suites récurrentes d’ordre 1
II/ Suites récurrentes d’ordre p
III/ Applications à la résolution approchée d’équations
Mes deux développements ét aient : méthode de Newton (Rouvière) et Connexité des valeurs d’adhérence d’une suite (Gourdon / FGN).
Le jury m’interroge sur la méthode de Newton. Développement ok, je l’avais bien préparé. Je fais un petit schéma :).
Dans le rapport du jury, il est évoqué la méthode de Newton et spécifié : “avec sa généralisation au moins dans R2”.
Je ne connaissais pas cette généralisation, j’ai cherché 3 minutes dans les livres que j’avais si je la trouvais mais non. Tant pis, j’ai donc présenté en développement la méthode de Newton dans R.
Questions :
quelques précisions sur mon développement
démonstration du théorème de point fixe de Picard
questions autour des types de points fixe : j’ai adapté la démo faite au cas d’un point fixe uniquement attractif
Le jury voulait peut-être vérifier que j’avais compris que la méthode de newton concernait un point fixe super attractif
Je ne me souviens plus des autres questions posées (étude d’une suite définie par récurrence du type Xn+1 = Exp(Xn), quelque chose dans le genre !
Pas très aidant, super discret, mais pas méchant
Pas de réponse fournie.
14.75
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Ce retour concerne la session de 2021.
Ce tirage était exactement le pire tirage possible dans mon cas. J'avais naturellement fait l'impasse sur les équa diff et en plus de ça, je n'ai pas pu préparer ces deux leçons que j'ai tirées. N'importe quoi d'autre m'aurait convenu, mais on a pas toujours ce qu'on veut j'imagine. J'ai dû improviser l'un des deux développements et le jury a choisi celui-là (évidemment, sinon c'est pas drôle).
J'ai fait un plan très simple en deux parties : d'abord les propriétés des séries entières (définition + CV, régularité, unicité des coefficients ... bref, les trucs de base) puis une deuxième partie sur deux applications : mes développements.
Malgré le fait que j'ai découvert le développement 30 minutes avant de le présenter, j'ai pu le défendre à une erreur de calcul près. Le jury m'a fait corriger cette erreur par la suite.
Voilà les questions qui m'ont été posées :
- Le lemme d'Abel concernant les séries entières à coefficients positifs marche-t-il toujours si on ne suppose plus la positivité des coefficients ? (Si seulement)
- Et si on suppose $f$ développable en série entière, de rayon de convergence 1, tq $\sum_n a_n$ converge, est-ce que $f$ admet une limite en $1$ et si oui, quelle est-elle ? (Y a pas de piège)
- Enoncer la formule de Taylor-Lagrange.
- Expliciter un exemple de mon plan (on le trouve dans Hauchecorne au chapitre séries entières : deux séries entières de rayon de convergence fini dont le produit est de rayon infini)
- Soit $(a_n)$ une suite réelle tq la série de terme général $a_n^2$ converge. Pour $t$ dans $\left[-1/2,1/2 \right]$ on pose $f(t) = \sum_n \frac{a_n}{n-t}$. La fonction $f$ est-elle définie et est-elle développable en série entière en 0 ? (30 secondes après que la question m'a été posée, une autre membre du jury a dit "on va s'arrêter là, il n'y a plus de temps" donc je n'ai pas eu l'occasion de dire grand chose sur le sujet)
Le jury était assez neutre. Une des membres souriait de temps en temps (en tout cas ses yeux souriaient, sinon elle portait un masque. Covid, tout ça).
Pas grand chose à dire sur la préparation si ce n'est qu'elle dure 2h45. C'est peut-être un peu bête mais je le dis quand même : préparez-vous à différents types de tableaux. On m'avait dit que les tableaux aux oraux risquaient d'être tout petits et je me suis préparé en conséquence. Il se trouve que le tableau que j'ai eu était d'une taille tout à fait raisonnable. Il était peut-être un peu haut cela dit.
En dehors de ça, je ne souhaite à personne de vivre ce moment où vous réalisez que vous n'avez préparé aucune des deux leçons tirées. Ceci dit, si ça vous arrive, essayez de ne pas paniquer : vous devriez connaître quelques références sur le sujet. Faites un plan simple, mettez les bases (le rapport du jury aide pour ça), mettez vos développements et c'est déjà pas mal.
Il s'agissait de mon premier oral. Autant dire que j'en suis sorti extrêmement dépité. Même si j'avais su répondre aux questions et que je maîtrisais un minimum le sujet, je m'attendais à avoir une très sale note. J'ai été agréablement surpris. Conclusion : même si vous pensez avoir foiré, persévérez !
14.25
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai oublié de justifier un calcul de mon développement, un des membres du jury me demande alors d'essayer de le retrouver d'une autre manière que celle annoncée, il m'a fallu du temps pour voir où il voulait en venir.
(Avec les notations du Gourdon: il fallait exprimer $\frac{\partial^2 F(a,b)}{\partial a^2}(x,x)$ à l'aide de $B_n(x)$ et $B_n(x^2)$)
On me demande ensuite comment en déduire Weierstrass, je donne la réponse sans problème (on paramétrise l'intervalle à l'aide de l'intervalle $[0,1]$).
On me demande si le résultat est encore vrai sur $\mathbf{R}$, je répond que mon intuition me dit non mais que je n'ai pas de contre-exemple (mais je dis que le problème risque d'être en l'infini puisque la limite en l'infini le module d'un polynôme tends vers l'infini).
On me suggère d'utiliser le critère de Cauchy uniforme, je dis donc que si une suite de polynôme converge uniformément sur $\mathbf{R}$ à partir d'un certain rang tous les polynômes sont de même degré, et même (il m'a fallu de l'aide pour le voir) que les polynômes ne diffèrent que d'une constante $c_n$.
On me demande alors de conclure et... je n'y arrive pas (alors que, en y regardant après, c'est tout bête).
On commence ensuite un exercice.
On me demande de tracer la fonction $f$, $2\pi$-periodique défini sur $]0,2\pi [$ par $t \longmapsto \pi - t$ et qui vaut $0$ en $0$.
On me demande de donner, sans calcul, un des coefficient de sa série de Fourier, je donne $c_0(f)=0$. On me dit que c'est vrai et on me fait remarquer que dans mon plan je l'ai présenté en utilisant (sans le dire) les $a_n$ et les $b_n$, c'était donc ce qui était attendu. On me dit également que les $a_n(f)$ valent $0$, je le justifie en disant que c'est parce-que $f$ est impaire.
On me demande ensuite si je connais un critère de convergence de la série de Fourier, évidemment je donne Fejer en rigolant un peu tout en mentionnant que ca ne s'appliquera pas ici. Je parle ensuite de Dirichlet, je dis que la fonction doit être continue par morceaux, on me demande si c'est le cas, je dis que non, on me demande la définition, je la donne et je me corrige, et je parle d'une espèce de condition sur le taux d'accroissement que je n'arrive pas à retrouver, et on ne me laisse pas vraiment le temps de le faire.
On me demande alors d'estimer la vitesse de convergence de la série de Fourier de $f$ vers $f$, j'ouvre grand les yeux en me demandant pourquoi poser une question pareil puis on me suggère de donner la norme de $f$. Je mentionne Parseval qu'on me demande d'écrire, j'y arrive péniblement et après quelques corrections du jury.
On me demande ensuite d'exprimer les coefficients $c_n(f')$ en fonctions des $c_n(f)$, je dis ne plus me souvenir de la formule mais que je peux la retrouver par IPP, IPP dans laquelle évidemment je fais une erreur, on en reste là pour cet exercice.
Pour finir on revient sur mon plan, j'y présentais le théorème donnant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit développable en séries entières au voisinage d'un point, on me demande si je peux en déduire une condition suffisante, je dis ne pas en connaître une mais que cela doit pouvoir se retrouver avec la formule de Taylor avec reste intégrale ou Taylor-Lagrange, avec une majoration. On me dit que c'est quelque chose comme ça et l'oral se termine là dessus.
L'un des membres du jury avait l'air agacé par le temps que je mettais à répondre. Pour que je puisse répondre, ce membre me parlait très régulièrement pour me donner des indications ou pour redonner le cadre du problème / ce qui avait déjà été fait, ce qui avait pour effet paradoxale de m'empêcher de réfléchir (mais je suis sûr que ça partait d'une bonne intention).
Les autres membres du jury était bienveillant. L'un d'entre eux prenait le temps de m'encourager à écrire au tableau et à creuser les pistes que j'évoquais.
Je suis arrivé très stressé dans la salle et cela a impacté mon oral: quelques cafouillages pendant la défense de plan et surtout une séance de questions bien plus laborieuse qu'elle n'aurait dû être.
Mon erreur a été, je pense, de ne pas profiter du temps entre la préparation et l'oral pour me détendre mais d'avoir voulu profiter de ce temps pour préparer ma défense de plan et réviser mes développements.
À posteriori, je me rends également compte qu'il fallait que je prenne le temps de faire quelques révisions sur les séries de Fourier pendant ma préparation.
8.25
239 : Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Plan : I. Régularité sous le signe intégral II Produit de convolution III Transformée de Fourier
Questions sur le développement :
- Etes vous sur de votre tout premier calcul ? J'ai un peu paniqué car l'un des jury pensait que je m'étais trompé, mais il avait du mal voir car il y avait des reflets au tableau.
- Comment montre t-on qu’une fonction est holomorphe (ils attendaient analytique)
- Recalculer intégrale de Gauss
- Qu'est ce que la formule de dualité
- Redemontrer la transformée de Fourier de la Gaussienne avec une equa diff (je ne m'en rappelais plus)
- Comment s'appelle en probabilité la fonction dont j'avais calculé la transformée de Fourier ?
- Pourquoi gamma_n, que j’avais défini dans mon dev, est une approximation de l’unité ?
Questions sur le plan :
- Pourquoi le produit de convolution est bien défini dans L1
Exos :
- une fonction définie par une intégrale à paramètre, il fallait utiliser la convergence dominée j’ai fini par trouver mais j’ai été très lent.
- Une question sur la fonction gamma qui a duré 2 minutes (c’était la fin)
Le jury était composé d'une femme qui dirigeait les échanges et de deux hommes. Ils étaient très rassurants et positifs. Je répondais assez rapidement aux questions, mais lorsque dans un exercice je n'ai pas directement pensé à utiliser la convergence dominée ils ont été silencieux (en même temps ce n'était pas très dur et je pense qu'ils attendaient que je le trouve moi-même).
L'oral s'est passé comme je l'imaginais car j'avais déjà fait des oraux blancs.et très bien préparé cette leçon.
J'ai consacré pour la préparation 1h45 pour le plan, 30 min pour les développements et le reste pour relire certaines démonstrations de propriétés que j'avais mises dans mon plan. On a ramassé mon plan 15 minutes avant la fin, l'organisation du lycée était vraiment parfaite.
15.75
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
On m’a tout d’abord demandé quelques précisions sur le développement (il y avait quelques imprécisions) , sur le développement on m’a aussi demandé
comment je faisais pour extraire une sous suite d’éléments de K à partie de ce que j’avais démontré
Un exercice en rapport avec le développement :
La fonction de [0,1] dans [0,1] définie par f(x)=2x si x<0.5 et 2(1-x) sinon, que dire sur la suite des itérés. On me suggère de tracer la fonction.
Je trace la fonction et je vois qu’elle est continue je dis donc que si la suite converge c’est vers un point fixe, on me demande alors quels sont les points
fixe, je dis que 0 en est un puis je regarde sur mon dessin si il y a une autre intersection avec y=x : il y en a une donc je fais le calcul exact : 2/3 est un
point fixe. On me demande donc de regarder ce qu’il se passe autour de ces points fixes : je dessine les itérés en prenant deux valeurs différents de
condition initiale je vois qu’on ne va pas converger vers le point fixe : pour le point fixe 0 on me demande d’expliquer : je dis que si je m’éloigne de ce
point car f(x)=2x est donc plus grand que x. On me demande de faire un lien avec la dérivée : je dis que la dérivée aux points fixes est plus grande que 1
donc les points sont répulsif. On me demande de montrer ça : j’utilise les accroissements finis pour montrer qu’on s’éloigne du point fixe.
Autre question en rapport avec le développement : est ce que je connais une suite telle que d(un, un+1) tend vers 0 mais la suite ne converge pas ; je
donne la suite des sommes partielles de la série harmonique.
Ensuite j’ai eu un exercice où je devais montrer qu’une certaine suite de fonction n’admettait pas d’extractrice qui fasse converger la suite pour tout x
(c’était une suite du genre e^inx)
D’abord on m’a demandé pourquoi à x fixé j’avais bien une valeur d’adhérence : j’ai dit que la suite était bornée donc elle a bien une valeur d’adhérence.
Ensuite j’ai du supposer que j’avais une extractrice fonctionnant pour tous les x, en intégrant fn*g sur un segment avec les bonnes hypothèses sur g
j’avais la convergence de l’intégrale vers l’intégrale de f*g. Or on m’a fait montrer que l’intégrale de fn*g tendait vers 0 si j’avais g de classe C1 (par ipp)
puis si j’avais g dans L1 (par densité). Ainsi on obtenait l’intégrale de f*g qui était nulle pour toute fonction g L1 et nous n’avons pas eu le temps de
conclure.
Le jury était encore une fois très gentil et aidant.
Pas de réponse fournie.
15.25
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
261 : Loi d’une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Question : Soit u un Endomorphisme d'un espace vectoriel euclidien E symétrique, ie u*=u.
Montrer qu'il existe un réel r et un vecteur x de E non nul tels que u(x)=rx. Déduire le théorème spectral.
Réponse : L'idée est de prendre f(x)=u(x).x (où désigne le produit scalaire) et
g(x)=||x||^2 -1, et d'appliquer le théorème d'exterma liés.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
262 : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Dév : bien passé, ils m'ont fait corrigé une erreur de signe (lors de la transformation d'Abel) et précisé quelques points.
Mon application était la convergence d'une série altérnée vers pi/4 en passant par l'arctangente.
Q : Êtes-vous sûr pour votre DSE de arctan ? (puissance 2n au lieu de 2n+1 , je m'empresse (erreur) de remplacer 2n par n )
Q : La fonction arctan est ? R: impaire Q : Et remplacer 2n par n la rend impaire ? R: *je remplace n par 2n+1*
Q : On va remontrer que c'est bien le DSE de arctan. Dérivez le DSE donné.
R : Je dérive terme à terme sur l'intervalle de convergence ]-1,1[, j'obtiens bien 1/(1+x^2) = arctan'(x)
Q : Comment concluez-vous ? Que vaut arctan en 0 ? Quel est le premier terme du développement ?
R : les deux fonctions ont même dérivée et coïncident en un point Q: Lequel ? R: 0
Q : Dans le théorème d'Abel, si on suppose le terme général (a_n)_n positif, que peut-on dire ?
R : Je tente de le faire par le théorème de convergence monotone, avec comme fonctions positives les suites (a_nx^n)_n , mesurables pour la mesure de comptage, en voyant la somme de la série comme intégrale de ces fonctions pour cette mesure ; fonctions qui tendent chacune en croissant avec le paramètre x>0 quand x->1 vers la suite (a_n)_n dont l'intégrale est la somme .
*je me retourne, vois le jury froncer les sourcils, et crois entendre un "inutilement compliqué" qui s'échappe de leurs messes basses*
Q : Pouvez-vous donner le théorème de convergence monotone et expliquer comment vous l'utiliser ?
R : Je donne le théorème, et je dis que je ne peux l'appliquer tel quel car il s'applique à une suite de fonctions (et pas à une famille de fonctions dépendant d'un paramètre continu, ici les suites ( (a_nx_n)n )_x dépendant de x>0 )
Q : Adaptez la situation.
R : je remplace x -> 1 par une suite x_m -> 1
Q : ok, comment concluez-vous ?
R : *j'hésite , je ne suis plus sûr si c'est suffisant, je réécris en termes simples ce que ça veut dire*
jury : oui c'est simplement une caractérisation de la convergence
[caractérisation en question : si f fonction et pour toute suite x_m -> 1 : f(x_m) -> S alors f(x) -> S quand x-> 1]
Q : Vous donnez un exemple de deux séries de rayon de convergence fini dont le produit de Cauchy est de rayon infini, avez-vous fait le calcul ? [Spoiler non] [contre-exemple du Hauchecorne]
R : Je l'ai fait il y a longtemps, *je refais le calcul, je m'embrouille, stresse, m'empresse et finis par écrire n'importe quoi*
Q : Gardez votre calme et reprenez votre ligne
R : *je m'empresse de barrer les énormités, j'arrive à conclure laborieusement avec l'aide du jury*
Q : La fonction obtenue par le produit de Cauchy, elle est ?
R : constante
Q : Vous donnez un exemple de série entière de rayon 1 qui converge en -1 et diverge en 1 [série des (-1)^nz^n ]; savez-vous ce qui se passe ailleurs sur le disque ?
R : comme ça je ne sais pas, *j'écris la série pour e^it sur le cercle unité, donc série des e^itn / n*
Q : Si vous l'écrivez en partie réelle et imaginaire (*m'empresse de le faire* [série des cos nt / n]), savez-vous des choses sur ces suites ? Ou à propos du critère d'Abel ?
Le jury essaye de me faire utiliser le critère d'Abel que je ne connais pas, j'hésite à improviser un énoncé venant d'un souvenir vague et lointain mais j'y renonce. Le jury essaye de me refaire faire des transformations d'Abel sur cette série (en me rappelant que j'en ai faite une dans mon dév) mais le temps ne me laisse pas aller plus loin.
Dernière micro-question : comment justifier la proposition donnant la dérivée (terme à terme) d'une somme d'une SE ?
R : la série entière des dérivées terme à terme à même rayon de convergence, donc converge normalement sur tout disque fermé inclus dans le disque de CV de la série de départ, donc un théorème sur les séries de fonctions permet de conclure. jury : ok
Résumé : Beaucoup d'étourderies, à commencer par l'oubli de la convocation en salle de préparation (petit aller retour de 3étages en guise d'échauffement), je n'ai pas pris bien le temps de bien relire mon plan donc je n'ai pas repassé quelques passages écrits au crayon, et j'ai oublié de donner un titre à la partie I (je l'ai donné dans la défense), oubli de signer le petit papier rose...
Conclusion : Bien prendre 5 minutes pour relire le plan; peut-être avant de préparer son speech (ce qu'on peut faire y compris après avoir rendu le plan pendant les photocopies, mais sans les bouquins et je crois sans stylo).
Content pour mon dév que j'ai bien présenté, un peu moins pour les questions.
Le jury était très bienveillant et m'a rassuré a plusieurs moments.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
1. Pourquoi il existe a ∈ A tel que d(xn2,A) < α/3?
2. Est-ce que par hasard cet inf ne serait pas un min ?
3. Dans votre application (à savoir, si f : [0,1] → [0,1] continue, x0 ∈ [0,1] et xn+1 = f(xn) telle que xn+1 − xn → 0, alors (xn) converge), est-ce qu’on ne peut pas se passer du fait que [0, 1] est compact,et donc ne pas utiliser le théorème ?
4. Vous parler de convergence uniforme pour la convolution d’une fonction continue à support compact avec une approximation de l’unité, pourriez-vous en rappeler la définition.
5. Pouvez-vous donner un exemple d’une telle approximation?
6 .Justifier pourquoi ça en est bien une.
7. Avec votre def d’approximation de l’unité, les deux premiers ne vous feraient pas penser à qqch en terme de proba ?
8. Et alors avec le troisième point, comment pourrait-on l’interpréter ? (convergence en proba vers 0)
9. Vous avez dit qu’en dim finie, compact=fermé borné, pourriez-vous montrer que c’est faux en dim infinie.
10. Pourriez vous montrer que si xn → a, alors {xn, n ∈ N} ∪ {a} est compact ?
11. Si f : [0, 1] → C continue telle que \int_0^1 t^nf(t)dt = 0 ∀n, montrer que f = 0.
jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique, souriant.
Pas de réponse fournie.
14.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
- Rappelez la définition de l'intégrale complexe sur un chemin
- Vous avez parlé de Fourier-Plancherel dans votre plan : pourquoi ? quel est le problème avec la TF $L^1$ ?
- Connaissez vous un ensemble de fonctions "simples" pour lesquelles l'inversion de Fourier $L^1$ s'applique ?
- Soit $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que $f'$ soit aussi intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ admet pour limite $0$ en $\pm \infty$.
jury très sympathique qui met en confiance, malgré le fait que je n'ai pas eu le temps de tout à fait finir mon développement.
C'était mon premier oral : le stress et la fatigue m'ont ralenti pour mon développement (un peu calculatoire) ce qui fait que je n'ai pas pu finir complètement. Heureusement le jury sait mettre en confiance de sorte que j'ai pu répondre normalement aux questions.
16.75
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Ils m'ont posé beaucoup de questions liées à des imprécisions de quantificateurs, ce qui peut fortement pénaliser la note si ça dure trop longtemps (ce qui a été mon cas).
Sophie Rainero a pris la tête du jury en posant l'essentiel des questions, les deux autres ne sont intervenus qu'assez ponctuellement. Ils étaient tous les trois très sympathiques et m'ont mis aussi à l'aise que possible.
On commence 10-15 minutes avant l'heure prévue pour avoir le temps de faire les photocopies avant l'horaire de passage. Il y a bien 3h de préparation tout pile, l'oral doit quant à lui durer environ 55 minutes. Attention, il n'y a pas (nécessairement) d'horloge dans la salle de passage, je ne peux que conseiller de prendre une montre pour la défense du plan et le développement.
Pas de réponse fournie.
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Un deuxième développement hors sujet, bien que ce soit une application de l'isométrie de Plancherel qui est le prolongement d'une application linéaire continue. Des questions autours du développements et de mon Lemme qui portait sur la caractérisation des espaces vectoriels normés complet par les séries, on m'a demandé des détails sur la construction d'une sous suite. J'ai eu des questions basiques sur les espaces L^p .
Le jury m'a demandé une esquisse de preuve de l'équivalence des normes et de la continuité des applications linéaires continues en dimension finies et un exercice sur des applications linéaires non continues en dimension infini. On m'a demandé ce que voulait dire l'équivalence des normes d'un point de vue géométrique. Et des questions sur les espaces de Hilbert ainsi qu'un exercice auxquels j'ai su répondre bien que je ne parlais pas des Hilbert dans mon plan.
Un jury plutôt bienveillant et qui n'hésite pas à donner des indications lorsque l'on bloque.
J'étais très content de mon oral, j'avais à mon sens fais une bonne présentation et un développement maitrisé et des questions auxquels j'ai su répondre même si des indications étaient nécessaire parfois. Malgré cela la note ne suit pas mes impressions.
8
245 : Fonctions d'une variable complexe. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le plan de cette leçon est assez long à écrire, j'ai mis 1h25 pour le réécrire entièrement. J'ai ensuite retravaillé mes développements pendant une quarantaine de minutes, puis j'ai pu retravailler les deux tiers de mon plan (sauf la dernière partie).
Concernant les développements : j'ai proposé le prolongement de Gamma, et un autre développement d'algèbre (propriétés de l'anneau des fonctions entières : il est intègre, non noetherien, ses inversible sont les fonctions ne s'annulant jamais, et ce sont aussi les fonctions qui sont l'exponentielle d'une fonction entière, puis pour finir, les éléments irréductibles de cet anneau sont les fonctions ayant un unique zéro, qui est simple, puis l'anneau n'est pas factoriel). Ils ont choisi ce dernier développement, j'avais parlé d'une étape un peu rapidement, ils sont donc revenus dessus après, et j'ai su la réexpliquer sans soucis. J'ai eu une question sur l'idéal que j'introduisais pour montrer que l'anneau n'est pas noetherien, un des jury ne semblait pas convaincu mais après explication il l'était beaucoup plus.
On m'a posé comme question : "Quel est le corps des fractions de cet anneau" ? J'ai répondu que c'était les fonctions méromorphes sur C. Le jury m'a demandé si je savais l'idée de la preuve (en me précisant que je n'étais pas censé la savoir), j'ai répondu que je savais simplement qu'il s'agissait du théorème de Mittag, mais que je ne savais pas vraiment comment on le montrait, il avait l'air satisfait quand même !
On m'a demandé de prouver un exemple du plan que j'ai un peu peiné à retrouver (pas vraiment eu le temps de retenir les détails) mais sur la théorie je n'avais pas d'hésitation.
Ensuite, on m'a demandé si j'avais une autre règle pour le calcul de series entières que Cauchy. J'ai dit oui, elle est dans mon plan : c'est D'Alembert. Puis on m'a dit : une autre. Je ne me souvenais plus du nom, et un jury m'a dit que c'était Hadamard, je l'ai donc énoncée et il était satisfait. On m'a demandé sur quel type d' ensemble mieux que connexe on avait une primitive, et, stressé par le fait de ne plus me rappeler du nom (simplement connexe) j'ai un peu bégayé.
Par la suite, j'ai du avoir une question théorique sur le plan mais je ne me souviens plus laquelle. Puis on m'a demandé comment , sans les résidus, calculer l'integrale de 1+x^2 : évidemment par primitive directe.
On m'a demandé où 1/cos z était holomorphe, puis écrire le DSE autour de zéro, faire un dessin, et discuter du rayon de convergence. J'ai eu le temps de dire que c'était au moins pi/2 , et on a juste entamé la preuve que c'était pi/2.
Il restait moins d'une minute quand on m'a demandé ce qu'il en était de 1/z , et l'oral s'est terminé.
J'oublie probablement quelques questions.
Le jury était composé de trois membres : deux hommes et une femme. Les deux premiers posaient les questions, et la femme n'a prononcé que quelques phrases pendant l'oral. Le second homme ne semblait pas très enjoué ni satisfait, la femme était neutre , tout comme le premier homme. Ils aidaient quand je ne savais pas.
La préparation s'est bien déroulée, et l'oral aussi. Bonne organisation également.
12
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
- Pourquoi l’extractrice psi(k) est croissante ? (question sur le dev)
- Pourquoi phi est une forme linéaire continue ? Pouvez-vous le montrer. (question sur le dev)
- Vous avez montré un résultat d’existence. Est-ce qu’il y a unicité ? (question sur le dev)
- Pouvez me tracer une fonction continue, coercive et convexe qui admet plusieurs minimiseurs ?
- En changeant les hypothèses, est ce qu’on peut obtenir l’unicité ? démontrez-le.
- On passe sur un exercice : Soit N un arc C1 paramétré fermé de [0,1] dans R². Montrer qu’il existence une sécante maximale dans cet arc et que les tangentes aux extrémités de cette sécante sont perpendiculaires à cette sécante.
- Soit f la fonction qui a (x,y) associe x^4 + y^4 -4xy. Etudiez les extremums de f sur R²
Jury bienveillant et souriant : il nous met en confiance !
Pas de réponse fournie.
15.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Comme dit par d'autres il faut être 100% au taquet sur ce qu'on met dans son plan car le jury pose des questions sur tout. Après être revenus sur des imprécisions de mon développement, ils m'ont demandé les grandes lignes de la démo que j'aurais faite pour mon 2ème développement. Pourquoi les gaussiennes sont des vecteurs propres pour la transf de Fourier. Un peu de Shannon car j'en avais parlé dans mon plan
NB : 4 membres du jury pour la leçon agrég spécial docteurs
Très sympathique et aidant. 3 sur les 4 posaient pas mal de questions et donnaient des pistes si je bloquais
Il faut être bien à l'heure de la convocation car la prép commence environ 3h20 avant le passage, on a donc eu réellement les 3h de préparation contrairement à ce qui s'était peut-être passé d'autres années. Bien connaître les livres qu'on utilise car en soi chercher dans la biblio de l'agrég ne sert à rien si on ne sait pas quel livre va nous fournir l'info (j'avais un trou sur un morceau de démonstration et sans le livre que je voulais c'était compliqué de retrouver dans un autre. Malgré tout j'ai eu le temps de bien écrire mon plan et revoir les principales démos durant la préparation, puis penser à mon intro et me concentrer pendant qu'ils font les photocopies. Au total j'ai apprécié l'expérience
12.25
264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
D'abord des questions du le développement (théorème des extrema liés) : on me demande comment prouver le théorème de forme normale des submersions (que j'utilise dans le développement). Là j'ai un trou et je n'arrive pas bien à réfléchir car c'est mon dernier oral et je suis fatiguée. Le jury finit pas dire "on passe à autre chose", je me suis dit que ça partait mal mais en fait je me suis rattrapée ensuite.
On commence par me poser des exercices très faciles d'application directe du TIL et du théorème des fonctions implicites, et au fur et à mesure le jury rajoutait des questions de plus en plus difficiles : au bout d'un moment je ne savais vraiment plus répondre, ils m'ont donc aidée un peu, et l'oral s'est terminé au milieu d'un exercice.
Jury neutre mais plutôt gentil. Il n'aidait pas beaucoup, donc parfois quelques blancs pendant plusieurs minutes quand je réfléchissais.
RAS, tout était bien organisé.
J'ai mis beaucoup de temps à écrire le plan (2h30) vu qu'il y a pas mal de dessins à faire en annexe. Je n'ai donc pas revu mes développements (mais je savais que je les connaissais bien). Sur la fin j'essayais de revoir les démonstrations des résultats du plan. Je n'ai pas eu le temps de réfléchir à la présentation de 6 min, j'y ai réfléchi rapidement en attendant devant la porte de la salle juste avant l'oral.
14
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
267 : Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement :
Q : Est-ce que vous pouvez justifier pourquoi on peut inverser les sommes (somme double du DSE de $e^{e^z}$)?
R : Oui. Je cite le théorème d'inversion des sommes (je ne parle pas de fubini).
Q : Pouvez-vous le vérifier?
R : Je fais le calcul et montre que les hypothèses sont respectées.
Questions sur le plan :
Q : Dans votre proposition 30...
R : ( je cherche la proposition...) Ah! Oui, vous allez m'interroger sur ... blabla (les détails importent peu, en clair on va se retrouver à comparer convergence Lp et p.p.)
Q : Oui
R : Je dis que je me suis rendu compte de cela après la fin du temps imparti et que je ne sais pas si c'est vrai. Si la convergence $L^p$ implique la convergence $p.p.$ alors c'est vrai mais je dis que j'ai un doute sur la véracité de cette implication (Il fallait réviser les probas...). Je me lance dans la démonstration de l'implication.
Q : C'est faux donc on peut plutôt chercher un contre-exemple.
R : Je propose des rectangles mais je ne vois pas bien comment on peut ne pas avoir de convergence p.p.. Je dis quelques bêtises qui mènent à la question suivante.
Q : Est-ce que R\Q est dénombrable?
R : Non (je rigole, je trouve ça drôle que j'ai dit quelque chose proche de ça).
Q : Quelle est la mesure de Q?
R : 0:
Q : C'est le cas d'un ensemble dénombrable en général?
R : Oui
Q : Pourquoi?
R : En combinant la sigma-additivité d'une mesure et le fait que la mesure de lebesgues envoie les points sur 0, on obtient le résultat.
Le jury me dit qu'on est proche du contre-exemple mais que l'on va passer à autre chose.
Q : Dans votre autre développement vous parlez du fait que les fonctions polynomiales sont denses dans les fonctions continues sur [0,1] pour la norme infinie. Est-ce que c'est vrai pour les fonctions continues sur la réunion de [0,1] et de [2,3]?
R : Oui, ça reste vrai. (Quelques secondes pour réflechir...) En effet, si l'on prolonge f sur [0,3] de manière affine entre 1 et 2, on peut appliquer l'énoncé du plan quitte à dilater [0,1]. J'illustre le tout d'un graphique.
Q : Graphiquement, comment représente-t-on la convergence uniforme?
R : On a une bande de demi-largeur epsilon autour du graph de notre fonction. A partir d'un certain rang, les graphs de toutes nos fonctions polynomiales sont dans cette bande. Je dessine cette bande en pointillés rouges.
Q : Donc visuellement on voit que la restriction de notre fonction prolongée de manière affine est bien limite uniforme de fonctions polynomiales (il voulait conclure avec un peu plus de détails graphiques apparemment). Vous utilisez des résultats d'inversion de sommes. Avez-vous des résultats d'inversion de somme et intégrales?
R : Je cite fubini et parle des cas positifs et intégrables selon la mesure produit. Je dis qu'on peut toujours voir une somme comme une intégrale et que c'est déjà ce que l'on a fait à la première question sur le développement.
Q :Pouvez-vous donner le rayon de convergence de la série des $\frac{x^{4n+1}}{((4n)!}$? Calculez la valeur de cette série en $x$ dans le rayon de convergence.
R : Le rayon de convergence c'est ... (pense l'infini) ... Bon je vais plutôt faire les calculs comme ça on sera sûrs. Je fais une majoration par l'exponentielle sur l'axe réel, je trouve bien un rayon infini. Pour la valeur, je dis que ça me rappelle ch et sh.
Q : Quel est le DSE de cosinus?
R : Je le dis à l'oral.
Q : Ils me demandent de l'écrire.
R : Ah! Ah je vois! J'utilise donc ch(x) et sh(x) pour trouver l'expression (que j'ai d'abord proposé à l'oral mais il manquait un facteur 1/2, j'ai donc fait les calculs au tableau).
Exercice :
Q : Soit an une suite complexe et sa série entière associée de rayon 1. Supposons que la somme des an converge. Que peut-on dire de la série entière quand z tend vers $1^-$ par l'axe réel?
R : ...
Q : Déjà, avez-vous une idée de ce qu'il se passe? Y-a-t 'il convergence?
R : Je dis que ça ne me parait pas très probable car la $\sum |a_n|$ n'est pas nécessairement convergente. Des compensations peuvent faire en sorte que tout ne se passe pas bien.
Q : Traitons donc d'abord le cas où $\sum |a_n|$ converge.
R : je me perds un peu et je fais apparaitre des modules en trop, mais, après quelques cquestions du jury, je montre que la limite est $\sum an$ en $1^-$.
Q : Et donc dans le cas où $\sum a_n$ converge?
R : Je dis que c'est certain que l'on n'a pas de convergence normale puisqu'une suite alternée donne immédiatement un contre-exemple. Néanmoins, on peut toujours espérer avoir convergence uniforme. Je sèche un peu ...
Q : Quels outils on a pour étudier des suites dans un evn?
R : J'ai dit qu'on pouvait montrer qu'elle était de cauchy pour la norme infinie.
Q : Qu'est-ce qu'une suite de Cauchy (j'ai eu la même question l'an dernier, sachez donc définir Banach, suite de cauchy,...)?
R : Je donne la définition.
Q : Qu'est-ce qu'un Banach?
R : Définition
Q : Quand est-ce que les suites de cauchy convergent?
R : Dans les Banach... Mais c'est dire que si elles convergent, alors elles convergent, ce qui n'est pas passionnant... Je parle des R espaces vectoriels de dimension finie.
Q : Est-ce qu'ici on a un banach?
R : Oui, en se ramenant au fait que R est un banach, on peut montrer que
Q : Oui, donc c'est un Banach. Comment se traduit ici le critère de cauchy pour notre série?
R : J'écris ce que ça veut dire.
Le jury m'indique que l'oral est fini.
Neutre mais tirant vers le côté positif dans leur attitude (hochements de tête, confirmation de ce que je disais en le présentant autrement,...). Le jury aidait juste ce qu'il fallait et ne faisait pas remarquer les erreurs, préférant poser une question qui me permettrait de me rattraper.
Contrairement à mon oral d'algèbre où le jury était plus fouillis, les questions de ce jury paraissaient millimétrées. Elles évaluaient mes connaissances tout en donnant une piste pour avancer sur l'exercice/question.
Cela s'est passé exactement comme je l'imaginais, des questions quand il y en a besoin pour avancer et qui cherchent à cerner mon niveau, du temps pour réfléchir, des questions sur le plan et ses erreurs,...
14
245 : Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
(Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la méthode QR)
- On m'a demandé de préciser un point de mon développement (présenté en 13mn50) sur lequel j'étais allé vite par peur de manquer de temps, je l'ai fait, pas de problème.
- Concernant mon développement, on m'a demandé si une certaine fonction était elliptique, j'ai montré que oui.
- Quelle est la vitesse de convergence de la méthode du gradient à pas optimal ? Ma réponse : c'est la même que pour le gradient à pas fixe (vitesse linéaire), mais c'est très difficile à montrer théoriquement.
- Exercice : étudier la suite $u_0 > 0$, $u_{n+1} = u_n\ e^{-u_n}$, et déterminer la nature de la série $\Sigma\ u_n$ (Réponse : elle diverge).
- Exercice : on se donne une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue croissante (au départ, elle n'était pas croissante, mais le jury m'a permis de faire cette hypothèse pour simplifier un peu) vérifiant \[\forall x \in \mathbb{R}, f(x+1) = f(x) + 1.\] On considère une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Étudier la "dépendance en $u_0$" de la suite des \[\frac{u_n-u_0}{n}.\] J'ai essayé pour une fonction $f$ particulière (affine), puis le jury m'a progressivement guidé dans l'exercice.
Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant. Lorsque j'avais une idée, même si ce n'était pas la bonne piste, on me laissait l'explorer avant de me guider.
Jamais je n'aurais pensé choisir cette leçon face à de l'analyse complexe : le stress de l'oral fait faire des choix surprenants.
Le plan que j'avais initialement prévu était beaucoup trop ambitieux : j'ai terminé avec 26 items au lieu de 40. D'ailleurs, je n'ai eu aucune question sur le plan ! Cela m'a surpris.
17.25
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement : quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis
Q : Comment retrouver ce résultat dès qu'on a un contre-exemple ?
R : Sur [0,1], si on a un contre-exemple g qui est continue nulle part dérivable et f une fonction continue sur [0,1], j'ai commencé par considérer f_n(x) = f(x) + g(x)/n, mais j'ai remarqué qu'elle n'est pas forcément nulle part dérivable, donc c'est sûrement pas ça qu'il faut considérer.
Q : A quelles conditions sur la fonction f est ce que les fonctions f_n sont nulle part dérivables ?
R : Si la fonction f est dérivable par exemple. (petit moment de réflexion) Ah on peut penser au théorème de Weierstrass en approximant f par des fonctions polynômes qui sont régulières.
Q : Comment se démontre le théorème de Weierstrass ?
R : j'ai expliqué la preuve par la convolution
Mon plan était en 3 parties :
I - Espaces de fonctions continues
II - Espaces L^p
III - Espaces de fonctions holomorphes
Questions sur le plan :
Q : Sur les espaces L^p, si l'ensemble est de mesure finie, on a une inclusion (L^p inclus dans L^q si q
Jury composé de deux femmes et un homme, c'est l'homme qui posait la plupart des questions et qui était le plus encourageant. J'avais l'impression que le jury ne comprenait pas très bien le développement, comme si c'était la première fois qu'ils le voyaient, ils ont d'ailleurs mis beaucoup de temps pour choisir le développement et prenaient beaucoup de notes.
A part le développement où j'ai dépassé les 15min (j'ai duré 16min), l'oral s'est passé comme je l'imaginais. Des questions classiques mais permettant de mettre en valeur mes connaissances. J'ai fait quasiment le même plan que celui que j'avais préparé pendant l'année (j'ai mis mon plan sur le site), avec 70 items à peu près.
18.75
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions/réponses:
Aidant. Seul l'un des membres du jury m'a posé des question, je pense que je suis tombé sur un spécialiste des opérateurs de Hilbert-Schmidt...
J'ai mis un peu plus de temps qu'à mon habitude pour rédiger mon plan.
14.75
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai commencé ma leçon avec des schémas numériques de calcul d'intégrales en insistant sur leur aspect historique et pratique. J'ai ensuite présenté les différentes méthodes utilisant des primitives puis les IPP et changement de variables. Dans une troisième partie, j'ai repris ces résultats en dimensions supérieures, en ajoutant les théorème de Fubini-Tonelli et de Fubini et la coaire puis mon premier développement. Enfin, j'ai parlé d'utilisation de l'analyse complexe et de son application à mon second développement. Globalement, je suis pas allée chercher très compliqué, il y a juste la formule de la coaire qui était la petite cerise sur le gâteau, et dont j'ai expliqué vite fait le principe lors de la présentation.
J'ai déroulé mon développement, il est pas très compliqué, j'ai bien pris le temps d'expliquer ce qu'il se passait, en faisant de dessins.
les question du jury sur le développement :
- application du développement à la fonction $f:t\mapsto \frac 1{1+t^2}$
- montrer que $\int_0^\pi \sin = 2\int_0^{\pi/2} \sin $
- le résultat est-il encore valable si on a un élément de $\mathbb L^2$?
les question du jury :
- comment fait-on pour la transformée de Fourier dans $\mathbb L^2$? (j'ai répondu comment on faisait théoriquement) Et en pratique? (j'ai pas su répondre)
- montrer que $\mathcal F (\chi_{[-1,1]}) = \frac {\sin t}t$. En déduire $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t dt$ et $\int_0^{+\infty} \frac {\sin t}t \frac {\sin 2t}{2t} dt$
- comment retrouver $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt \pi$? La gaussienne apparaît dans quelle loi en proba?
- si $f:[-1,1] \to \mathbb R$ vérifie les hypothèses que l'on veut, quel contrôle a-t-on sur
\[\frac 1 n \sum_{k=0}^n f \left( \frac k n \right) -\int_0^1 f \]
- comparer $\exp(\int_0^1 f)$ et $\int_0^1 \exp(f)$
- soit $a>0$, exprimer $\int_0^1 \frac 1{1+t^a} dt$ en une série qui converge (j'ai pas eu le temps de finir)
Le jury était très sympathique. La probabiliste était ravie que je prononce les mots "loi normale" et "Jensen"
Juste un petit coup de stress pendant la préparation en ouvrant le Schwartz, vu qu'il n'a ni index ni sommaire.
18
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pour les questions qu'on m'a posé :
- Pourquoi vous avez unicité de la solution pour $y' = -\frac{t}{\sigma^2} y$ ? Il fallait prononcer Cauchy-Lipschitz.
- Pourquoi $(g_\sigma)_\sigma$ forme une suite d'approximation de l'unité ? J'avais dit pendant la présentation, car $g_\sigma =\frac{1}{\sigma}g_1(\frac{\cdot}{\sigma})$ et $g_1$ est positive, d'intégrale $1$. Je réponds donc en donnant la définition d'approximation de l'unité et en vérifiant que ce procédé donne des approximations.
- On passe au plan: démontrer le théorème de changement de variable en dimension $1$ ? Je réécris l'énoncé, me trompe dans mes notations, galère, et m'en sors avec leur aide en remarquant que si $F$ est primitive de $f$ alors $(F\circ\phi)' = \phi' \cdot (F\circ \phi) $. Je me sens con.
- On passe aux exos. Soit $T$ le triangle parcourant (dans ce sens) $0$ puis $A$, puis $A(1+i)$. On me demande combien vaut
$$ \int _{\partial T}\exp(-z^2)\mathrm{d} z. $$ Je réponds que c'est zéro via le théorème de Cauchy. On me demande de l'appliquer dans ce cas et de voir lorsque $A \to +\infty $. J'écris bien Cauchy puis essaie une CVD pour montrer qu'un terme tend vers $0$, je galère, puis finalement on me dit qu'il fallait majorer plus finement (du genre pour $u \in [0,1]$, majorer $u^2$ par $u$ plutôt que $1$, sous l'intégrale). On finit pas le calcul, pour faire autre chose.
- Second exo: soit $P_n (t) = \sum_{k=0}^n \frac{\cos(k t)}{2^k}$. On demande de calculer
$$ \lim_{n \to+\infty}\int_{-\pi}^\pi |P_n (t)|^2 \mathrm{d} t. $$
Je calcule tranquillos, sans même me planter sur la formule de $\cos(a)\cos(b)$ (qui est?...) et je conclus. Là on me demande si on pouvait s'y attendre. Je réponds vite que la convergence normale de la série $\sum_k \frac{\cos(k \cdot )}{2^k}$ m'aurait permis d'intervertir la limite et l'intégrale. On me répond que c'est vrai, mais que $|P_n|^2$ n'est pas une "série" de fonctions (il y a 2 indices pour la somme). Qu'est ce qu'on peut quand même dire ? Je réponds qu'il y a convergence uniforme. On me demande pourquoi $(P_n)_n$ cvu vers $P$ implique $(|P_n|^2)_n$ cvu vers $|P|^2 $ ? Je réponds qu'en factorisant par $|P_n-P|$ il suffit d'avoir une bornitude de $|P_n+P|$ uniforme, qui est ici vérifiée ici (on majore par $4$). Ca leur suffit. On me redemande si on pouvait s'attendre au résultat. Je dis que c'est l'égalité de Parseval, et on me demande de l'énoncer (en m'accordant la constante). On s'arrête là.
En conclusion: peut mieux faire. Ca m'aurait mis en confiance de répondre à des questions sur mon plan. Malgré tout, le jury était globalement très sympathique donc je me dis qu'ils savaient ce qu'ils faisaient. _Rétrospectivement j'avais raison puisque j'ai eu la note de 19. Je pense que le jury a senti que le début de mon oral était un peu chaotique mais que j'ai pu rattraper un peu de confiance dans la seconde moitié._
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
19
213 : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
questions du jury :
- donnez des exemples d'ensembles convexes dans R^n, C^n, l2(N).
- expliquez le nom de l' "identité du parallélogramme"
- Comment on fait pour projeter un vecteur dans un e.v. de dimension finie quand on a une base non orthonormale, sans l'orthonormaliser ? (Ecrire le système linéaire).
- Si on a un sous-e.v. F, et p_F projection orthogonale, que vaut l'adjoint de p_F ?
- Est-ce que Pythagore est vrai pour 3 vecteurs ? dessiner un contre-exemple.
- Donnez une autre définition de famille totale.
- Est-ce qu'il existe des fonctions continues par morceaux sur [0;2pi] telles que leurs coefficients de Fourier réels vérifient an = 1/sqrt(n) ?
- On prends une fonction f dans L2_2pi, montrez que la série des (cn(f)/n)e^inx converge normalement sur R/
Attitude bienveillante, le jury m'a aidé sur certaines questions et m'a bien laissé le temps de réfléchir.
Comme je l'imaginais
19
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
265 : Exemples d’études et d’applications de fonctions usuelles et spéciales.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Mon développement portait sur le théorème d'existence d'un minimum pour une fonction coercive, continue, convexe dans un Hilbert. J'ai écrit dans mon plan qu'il y avait unicité et le jury m'a directement fait comprendre que mes hypothèses ne garantissaient pas l'unicité et m'a fait construire un contre-exemple. Sinon, le développement s'est bien passé.
Questions sur le développement :
Q : Un membre de jury m'a dit qu'on pouvait conclure avec un autre résultat que l'on va admettre : Si (un) CV faiblement vers alpha alors il existe une combinaison convexe des uk, k <= n qui converge fortement vers alpha. Comment conclure avec ce résultat ?
R : Le premier énoncé que le jury m'a donné était faux et j'ai galéré à conclure. 10 minutes plus tard, pendant la séance de question, le membre de jury qui m'a donné ce résultat a corrigé l'énoncé du résultat qu'il m'avait donné et j'ai pu conclure proprement avec.
Q : Justifier (à l'oral) qu'une suite est non bornée si et seulement il existe une sous-suite qui converge vers +-inf.
Q : Justifier que l'application x -> lim
Q : Au sujet de la convergence faible, montrer qu'une suite qui converge faiblement est bornée.
R : Question bien réussie. Il faut utiliser le théorème de Banach-Steinhaus
Il n'y a pas eu de questions sur le plan. On est passé directement à des exercices.
Exercices :
Q : Soit (y_1, ..., y_n) un vecteur de R^n et f : (x_1, ..., x_n) -> x_1 y_1 + ... + x_n y_n. Calculer le minimum de f sur la sphère de l^p.
R : J'ai directement donné l'existence grâce à la compacité, pour le calculer il faut utiliser le théorème des extrema liés. J'ai donné la condition que vérifie le minimum et je me suis emmêlé dans les calculs. Le jury m'a donné des indications pour que je puisse avancer dans le calcul mais je n'ai pas réussi à totalement conclure. Le jury est passé à la question suivante.
Q : Calculer (donner juste les idées) du minimum de phi : (a,b,c) -> intégrale de -1 à 1 de (t^3 - (at^2 + bt + c))^2 dt.
R : J'ai directement donné l'argument de la projection orthogonal en explicitant les espaces vectoriels sur lesquels on travaillait. On m'a demandé de faire un dessin.
Q : Soit f une fonction définie sur un compact K à valeurs dans R strictement convexe, montrer que f admet un maximum qui est atteint sur la frontière de K (et définir ce qu'est la frontière et la stricte convexité).
R : J'ai bien posé le problème et j'ai fait un dessin (ce que le jury a semblé apprécier). Comme l'idée ne me venait pas, j'ai dit que je vais essayer en dimension 1. Je donne l'argument, puis je passe à la dimension supérieure, en donnant l'argument à l'oral mais j'ai pas eu le temps de tout formaliser. L'oral s'est terminée là dessus.
Jury très bienveillant, qui met en confiance. Il donne de bonnes indications au bon moment.
Oui, je n'ai pas eu de surprise à part que la salle était équipée d'un tableau velleda.
Mon plan était assez court (27 items il me semble) mais je pensais avoir dit l'essentiel et donc ce n'était pas la peine d'écrire plus.
20
209 : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.
206 : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Questions sur le développement :
La conclusion est une double limite à faire dans un certain sens, et je j'avais expliquer le passage à la limite dans le mauvais sens. Donc ils m'ont demander de détailler avec des ε pour que je comprenne et me demandent ce qu'il faut faire et je dis dans l'autre sens et on passe à autre chose.
Justification d'une majoration dans le développement (norme p de la translaté de f moins f inférieur a 2^p||f||^p)
Je le fais rapidement et on passe.
Questions en l'air : comment sait-on qu'il existe des fonctions test ?
J'ai énoncé un exemple des fonction plateaux, et m'ont demandé comment on construit la partie C infini justement !
Je pense alors à la fonction exp(-1/(x^2-1)), je trace sont graphe.
Ils me disent ah ! Et celle la pourquoi est-elle intéressante ?
Je dis qu'elle est C infini et que ses dérivées de tout ordre sont nulles en 1 et-1 donc on peut la prolonger par zéro sur R en dehors de [-1, 1]. Je rajoute qu'on peut construire la généraliser à tout intervalle [a, b].
Dans la foulée le même qui m'a lancé surbles fonctions plateau me demande et des fonctions à support compact analytique sur C ça existe ?
Par exemples cette fonction dont vous avez parlez ?
Je dis que je sait pas mais que celle que j'ai donné ne fonctionne pas
Pourquoi ??
Parce que son DSE est nulle en 1 et-1 car ses dérivées de tout ordres sont nulles donc elle est pas analytique sur C donc pas analytique a support compact.
Il me disent ok et on passe à autre chose.
Question sur l'autre développement non choisi :
Questions sur weierstrass : une fonction continues sur [0,1]U[2,3] Est-elle limite uniforme de polynômes ?
Je trace la fonction demandée, et je dis qu'on relit les deux morceaux pour quelle soit continue sur [0,3] puis on applique Weierstrass dessus. Je dis que pour vraiment coller à la démo que je connais il faut aussi la prolonger pour qu'elle valle zéro.
Erreur dans le plan : pour la continuité des translations j'ai supposé f seulement mesurable, on me demande, comment doit être f plutôt ?
Je dis L1 !
Il me réponds mais encore ?
Lp pardon !!!
Voilà c'est ça.
Questions sur le théorème de Plancherel (dans le plan)
Je l'ai énoncé sur l'espace de Schwarz, alors que c'est sur L2 on me dit de préciser.
Je réponds que on le démontre dans S(R) puis, par densité on l'étends à L2.
On me dit comment ?
Je réponds que les fonctions C infini à support compact sont denses dans L2 d'après mon développement, et sont inclusent dans S(R) qui est aussi inclus dans L2, donc S(R) est dense.
Définition de l'espace de Schwarz ?
J'écris au tableau.
A quoi il sert ? Pourquoi on prends pas les fonctions test par exemple pour prolonger la transformée de Fourier ?
Car l'espace de Schwarz est stable par transformée de Fourier ce qui est indispensable pour démontrer le théorème Plancherel.
Démontrer riemann lebesgue qui est dans mon plan comme application du développement 2.
Un exercice :
Calculer la limite quand x tend vers + infini de :
\int_R |f(x+t)- f(t) | dt
(Convergence dominée)
J'ai pas vu tout de suite donc j'ai dis il faut utiliser mon développements 2,on le fait pour les fonctions test d'abord, j'écris avec le support puis il m'aide un peu mais je comprends pas où ils veulent aller puis je dit ah c'est une convergence dominée !
Il me dit oui alors comme c'est bientôt fini pouvez vous énoncer rapidement le théorème et dire comment ça marche ici, j'ai conclu à l'oral au plus vite et c'était fini.
Très gentil et agréable.
oui surpris d'avoir pu répondre à toutes leurs questions qui n'étaient pas vraiment difficiles
15
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai réussi à faire le dev en 15 minutes, modulo un $(-1)^k$ oublié, que j'ai corrigé dès la fin de mes 15 minutes.
Questions :
- À un moment tu as dit « multiplier par le conjugué » tu es sûr ? (Oui, c'était le conjugué en termes de fraction, pas de nombres complexes.
Petite question pour voir si je connaissais mon dev, à mon avis)
- Pourquoi le théorème de Dirichlet s'applique ici ? (n'ayant pas trouvé d'énoncé de Dirichlet pour les fonctions $C^1$ par morceaux, j'ai pris l'énoncé de Gourdon : on m'a demandé pourquoi C1 par morceaux implique la condition de Gourdon. Je n'ai pas su répondre. Erreur)
- Existe-t-il une série $u_n$ telle que pour tout $p$ dans $\mathbb{N}$, $\sum u_n^p$ converge, mais $\sum u_n$ n'est pas absolument convergente ? (j'ai tenté quelque chose, ils m'ont dit de regarder mon plan et l'exemple du Gourdon pour la règle d'Abel… j'ai écrit que la série $e^{inθp} / n^{αp}$ converge pour tout p par le lemme d'Abel, ils m'ont demandé pour quels θ, j'ai dit $θ \not\in 2\pi/p\mathbb{Z}$, ils me demandaient si ça existait, j'ai dit oui, ils étaient pas convaincus et sont passés à autre chose)
- Donnez un contre-exemple au théorème $u_n \~ v_n \implies \sum u_n \~ \sum v_n$ lorsque les suites sont de signe quelconque.
J'ai donné l'exemple du Hauchecorne, que j'avais lu durant la préparation et que j'ai détaillé, ils sont passés à autre chose.
- Soit A la somme de la série $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$. Peut-elle être égale à $0$ ?
J'ai tenté des trucs, ils m'ont demandé de séparer pairs et impairs, je ne savais pas quoi faire après, le temps était écoulé.
Trois personnes (2 mecs, une femme).
La femme était silencieuse, souriante, a posé une question. L'homme à gauche acquiesait lorsque je décrivais les grandes étapes de mon dev, puis m'a posé la plupart des questions.
Celui-ci au milieu rappelait le cadre mais n'a pas beaucoup parlé après, surtout pour gérer le temps et leur dire de passer à autre chose.
La présidente du jury est très sympathique, elle m'a beaucoup souri. Elle a fait le tour des valises et a interdit beaucoup de bouquins, un quart de la salle ne semblait pas au courant de la règle. Isenmann-Pécatte était bien interdit. Elle ne savait pas si elle interdisait « 66 leçons pour l'agreg » à quelqu'un, puis elle l'a interdit.
Les appariteurs et apparitrices étaient un peu perdus, c'était le premier jour d'oral. Ils ont oublié de photocopier une des trois pages du plan de quelqu'un dans la salle, et failli oublier de ramasser le plan de quelqu'un. Bien vérifier, donc, avant de monter dans les salles de passage !
Durant l'oral, j'ai demandé si j'avais droit à la « minute », en référence à un temps de relecture du dev entre les 6 min d'intro et les 15 min du développement, que la Présidente du Jury a annoncé à Paris vouloir mettre en place à partir de cette année. Le jury n'était pas au courant. J'ai donc passé une minute à parler de ça… lorsqu'ils m'ont dit que je pouvais la prendre, je n'ai pas osé perdre plus de temps. Ce détail a été vu avec la Présidente du jury lors d'un entretien à l'issue de mes trois jours d'épreuve. Nul doute que les consignes seront plus claires pour les prochaines sessions.
Bien regarder l'heure !! Et avoir une montre numérique, durant l'oral on oublie l'heure qu'on avait noté sur le cadran.
Les chemises c'est sympa mais pas à manche longue, j'arrivais pas à voir ma montre sauf à bien remonter la manche.
8.25
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Défense de plan : rien de spécial. Au début de mes 6 minutes j'ai écris au tableau : "dérivation <-> multiplication ; convolution <-> multiplication", en expliquant que la TF permet de transformer un problème de dérivation en problème de multiplication via la convolution, ce qui justifie son étude et motive la volonté de reconstruire f à partir de hat{f}. Ils ont apprécié (je crois).
Contenu du plan : relativement classique, j'ai fait L1, Schwartz, L2, puis une partie "résolution d'EDP" contenant des résolutions explicites (type chaleur par exemple) et la méthode des différences finies (option B, attention c'est une TF discrète donc içi).
Développement : Je suis allé trop vite donc j'ai brodé autour et j'ai au final fais 14 minutes. Ils ne m'en n'ont pas tenu rigueur. Je me contentais du cas simple (avec x^2) et 1D. J'ai tout de même expliqué comment passer au cas général comment généraliser en multi-D.
Question sur le développement :
- détailler la formule intégrale de Taylor.
- question sur la détermination principale de la racine carrée, que se
passe-t-il si on en prend une autre. même question pour la TF de la
gaussienne. (il y a un changement de phase).
- Que se passe-t-il si on suppose a intégrable et non C infini (notations du QueZui). (tout se passe bien par densité).
Question sur le plan :
- Comment calculer la TF de la gaussienne.
- Définition de la décroissance rapide.
- Preuve de si f et ˆf sont simultanément à support compact, alors f = 0.
- Détail sur la convolution et les probabilités.
- Pourquoi la TF est injective.
- Détail sur l'application du développement à la fonction d'Airy.
Exercices :
- Trouver les $f \in \L^1$ telles que $f \star f = f$.
- Soit $A >0$. On pose $E = \{ f \in L^\infty \cap L^1 \cap \mathcal{C}^\infty, \quad \mathrm{Supp} (\hat{f}) \subset B(0,A) \}$. Montrer que la dérivation de $E$ dans $E$ définit une opération continue.
- Pour finir : calcul de $\chi_{[-1,1]} \star \chi_{[-1,1]}$.
Jury très agréable, ils m'ont directement mis à l'aise. Ils semblaient en revanche totalement désintéressé lors du développement. Ils se partageaient bien la parole.
Pas de réponse fournie.
18.75
215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
C'était un couplage sur une impasse et une leçon que je trouvais difficile donc je n'ai pas brillée. Concernant les questions suivantes, j'avais parfois des sous-questions mais je ne me rappelle pas très bien de tout donc j'ai mis les questions phares.
Questions:
Pourquoi y \mapsto d(x,y) est continue à x fixé.
Si on prends un sev fermé est ce que le théorème s'applique?
Projection dans R^n; sur le disque unité. C'était censé à nous amener un truc mais j'ai rien compris de ce qu'il s'est passé donc je ne saurais retranscrire.
Donner un espace et une base hilbertienne de cet espace, autre que celui du plan.
Aidant et bienveillant.
Plutôt oui, déçu de ce que j'ai produit mais c'était du à ma faute.
Les 3heures sont passés super vite, je n'ai eu le temps de réviser qu'un seul développement, heureusement je connaissais le deuxième par coeur.
10
219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
C’est une leçon que j'avais bien préparé cette année, je connaisssais bien mon plan et les références donc j'étais assez confiant.
Mon plan était le suivant (merci Ewna):
I] Conditions globales d'existence
a)Existence et compacité
b)Unicité et convexité
c)Théorème de projection et conséquence théorique
d)En analyse complexe
II] L'utilisation du calcul différentiel
a)Condition d'ordre 1
b)Condition d'ordre 2
III] Recherche d'extremum
a)Méthode de Newton
b)Méthode de Gradient
Comme d’hab pour ce dev, quelques trous à compléter. On me demande ensuite d’expliquer ce qu’il se passe quand on projette sur un sous espace vectoriel fermé. J’ai bien ramé mais au final, on s’en sort, il faut utiliser la caractérisation.
On me demande ensuite la justification de Newton dans la leçon, je l'ai mis car c'est mentionné dans le rapport du jury mais j’avais oublié pourquoi on en parlait, en fait c’est surtout une méthode pour approcher le 0 d’une dérivée.
Pas d’autre question sur le plan malgré les nombreuses perches fournies dans celui-ci, on me propose en première exercice d’étudier $$\inf_{(a,b) \in \mathbb{R}^2}\int_0^1 \left( x^2-ax-b\right)^2 dx$$, exercice qui peut faire peur mais en fait il s’agit juste de calculer le projeté de la fonction carré sur l’espace des polynômes de degré au plus 1 pour le produit scalaire issu de l’intégrale. Il faut donc trouver une base orthonormée de $\mathbb{R}_1[X]$ et utiliser la formule du projeté orthogonal. Le jury a vu que je voyais comment faire et est passé à autre chose.
Ensuite, exercice classique sur les extrema liés, je l’ai mis dans mon plan parce que c’est essentiel mais je voulais pas en parler. Mais en gros, minimiser la surface d’un parallélépipède sous une contrainte de volume, on trouve grâce au multiplicateur de Lagrange.
Dernière question, montrer que $f(x,y)=x^2+y^2+10x\cos(y)$ admet un minimum. Il restait pas beaucoup de temps mais l’idée est de factoriser par $x^2+y^2$ et de montrer que $f$ est coercive et conclure.
Comme toujours jury très agréable
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Mon autre développement était le théorème de projection sur un convexe fermé + l'application projection est 1-Lipschitzienne.
Les 6 minutes se sont très bien passées même si j'ai dépassé d'une dizaine de secondes, ils n'en ont pas tenu rigueur, mais j'étais un peu dégouté parce que j'ai pas trop eu le temps de parler de ma dernière sous-partie sur la théorie de Baire.
Le développement s'est très bien passé aussi (14 minutes), l'un des jury a enchaîné en me posant quelques questions sur le dev, pour voir si je savais bien tout justifier : comment on construit la sous-suite au début ? Pourquoi une fonction intégrable est finie presque partout ? Comment montre-t-on la sous-additivité de la mesure ? (J'ai été un peu surpris par cette question qui s'éloignait vraiment des espaces complets... Mais bon j'ai bien répondu en rappelant au passage la définition d'une mesure, je pense que ça a été apprécié).
Le "leader" du jury (extrêmement sympathique) a repris la main en me demandant ce que je savais sur les inclusions entre les $L^p$, j'ai répondu qu'en général il n'y avait pas d'inclusion, mais qu'en mesure finie si, puis j'ai commencé à écrire et il m'a tout de suite demandé de préciser avec l'exemple de $L^2$ et $L^1$, il m'a demandé de démontrer (j'ai utilisé Hölder) puis il a enchaîné sur l'exo suivant :
Exo 1 : On considère $L^2([0;1])$ et $L^1([0;1])$, on a donc le premier inclus dans le second. Montrer que la boule unité fermée de $L^2([0;1])$ est fermée dans $L^1([0;1])$. A ce moment là je jubilais car j'avais déjà traité l'exo ! Je l'ai donc fait assez rapidement (il faut utiliser le critère séquentiel, et le lemme de Fatou)
Suite de l'exo : Montrer que $L^2([0;1])$ peut s'écrire comme union dénombrable de fermés de $L^1([0;1])$ d'intérieur vide. Commenter.
J'ai tout de suite commenté en disant que ça faisait de $L^2([0;1])$ un espace maigre dans $L^1([0;1])$. Puis pour le démontrer, j'ai voulu poser les boules de rayon $\frac{1}{n}$ mais le jury m'a dit "vous êtes sûrs ? La norme va être petite là." J'ai donc modifié par $n$ puis quand il a fallu justifier que c'était d'intérieur vide j'ai un peu bégayé, mais le jury m'a demandé "que dire de l'intérieur d'un sous-espace vectoriel ?" J'ai alors répondu "ah oui lorsque le sev est strict, l'intérieur est vide !" et ça a conclu l'exo.
Exo 2 : Dans $\ell^2(\mathbb{N})$, on considère $e_n=(z^{nk})_{k \in \mathbb{N}}$ où $z$ est complexe fixé de module strictement compris entre 0 et 1. Montrer que $e_n$ est dans $\ell^2$. (ça a été). Puis montrer que $(e_n)$ est une famille totale de $\ell^2$. J'ai tout de suite eu le réflexe de regarder l'orthogonal, j'ai écrit les choses, puis j'ai été vite bloqué... Mais le jury m'a aidé, même quand j'étais un peu gogole, et péniblement j'ai fini par conclure (l'exo n'est pas facile en vrai, il faut écrire la série, qui vaut 0, puis écrire la somme de la série, dire que c'est une fonction qui s'annule sur tous les $z^n$, utiliser le principe du prolongement analytique ...)
Exo 3 : Soit $T : L^2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{C}^0(\mathbb{R})$ une application linéaire continue qui vérifie :
$\forall t \in \mathbb{R}, \forall f \in L^2(\mathbb{R}), T(\tau_t f)=\tau_t T(f)$. Qui est $T$ ?
Alors là bon évidemment j'avais aucune idée... Puis le jury m'a suggéré de regarder $f \longmapsto T(f)(0)$, j'ai bidouillé un truc avec le théorème de Riesz... Mais après c'était difficile, et on n'a pas pu conclure...
Encore une fois le jury est très gentil et bienveillant ! Celui qui dirigeait l'échange s'est montré très sympathique, drôle, il faisait tout pour détendre l'atmosphère. L'autre jury était tout aussi sympathique, et la femme n'a presque pas parlé sauf pour demander une fois s'il existait un théorème du point fixe pour les itérés, j'ai fait remarquer que c'était dans mon plan, elle a dit "au temps pour moi" et on est passé à la question suivante. Je pense vraiment qu'il y a toujours un membre du jury qui se tait pour observer, lire le plan etc...
Le jury n'hésite pas à aider si on bloque un peu, valorise toutes les interventions pertinentes... Par contre encore une fois il ne laisse pas transparaître ce qu'il pense de la leçon, du dev... Ce qui est normal.
Comme pour l'algèbre (voir retour leçon 125 2024), il n'y a rien à redire sur la préparation, tout est très bien organisé de A à Z, les gens sont disponibles, bienveillants,...
J'avoue qu'en sortant de l'oral ça s'était bien passé selon moi mais pas au point d'avoir la note maximale ! La preuve qu'il ne faut pas nécessairement faire un oral parfait pour que ce soit le cas ! Le jury valorise vraiment toutes les initiatives, il faut montrer qu'on connaît son cours et qu'on a un peu de recul sur les choses... Ils ne s'attendent pas à ce qu'on résolve les exercices parfaitement du premier coup !
J'ai aussi remarqué (ça a été le cas dans mes 2 oraux) qu'il faut vraiment très bien maîtriser son développement et tout ce qu'il y a autour, car le jury part du développement pour poser les questions puis les exercices.
20
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Des questions sur mon développement (préciser le calcul du gradient de f, pourquoi l'application norme est convexe)
Puis des exercices (que peut on dire d'une fonction convexe bornée, la fonction x -> 1/2
tres souriants, encourageants.
L'oral s'est passé mieux que je ne pensais grâce au jury qui m'a mise en confiance.
15.75
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Voici la proposition de plan faite :
I - Généralités.
A/ Normes équivalentes. [G]
B/ Applications linéaires continues. [G]
II - Le cas de la dimension finie : équivalence des normes.
A/ Théorème d'équivalence des normes. [G]
B/ Les normes matricielles : applications à l'analyse numérique. [ALL]
III - Le cas de la dimension infinie : les espaces de Banach et de Hilbert.
A/ Les espaces de Banach. [G]
B/ Les espaces de Hilbert. [HL]
Au départ, quelques questions sur mon développement :
Q : Pour montrer le théorème de projection sur un convexe fermé vous utilisez le fait que $H$ est complet, peut-on diminuer un peu les hypothèses ?
R : Oui, il suffit de considérer seulement un convexe fermé non vide complet et la preuve marche pareil.
Q : Pouvez-vous détailler que c'est une bijection (L'application $z' \mapsto y + \overline{\lambda}z'$ du Hirsch-Lacombe).
R : Il suffit d'écrire explicitement l'inverse.
Q : Pouvez-vous détailler comment passer de $\forall \lambda \in \mathbb{C}^*,~\forall z'\in F$, $\text{Re}(\lambda\langle x-y, z\rangle) \geq 0$ à $x-y\in F^\perp$ ?
R : Il faut prendre $\lambda$ dans $\mathbb{R}_*^{+}$ puis $\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie réelle est nulle puis prendre $\lambda$ dans $i\mathbb{R}_*^{+}$ et $i\mathbb{R}_*^{-}$ pour montrer que la partie imaginaire est nulle et trouver le résultat.
Ensuite, j'ai eu des questions sur le plan et des exercices :
Q : Montrer que si $F$ est un sev de $H$ hilbert alors $F^\perp$ est fermé.
R : Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F^\perp$ tendant vers $x$. Montrons que $x\in F^\perp$. Soit $y\in F$, $\langle x,y\rangle = \langle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n,y\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x_n,y\rangle = 0$ par continuité de l'application $x\mapsto \langle x,y\rangle$ (Elle est linéaire et par Cauchy-Schwarz 1-Lipschitz) d'où le résultat.
Q : Montrer maintenant que $\overline{F}^\perp = F^\perp$.
R : Comme $F \subset \overline{F}$ on a donc $\overline{F}^\perp \subset F^\perp$, montrons l'inclusion inverse. Soit $x\in F^\perp$ et $y\in\overline{F}$ alors il existe $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $F$ convergeant vers $y$ et alors $\langle x,y\rangle = \langle x,\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} y_n\rangle = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\langle x,y_n\rangle = 0$ par continuité de $y\mapsto \langle x,y\rangle$ d'où le résultat.
Q : Dans votre plan vous mettez comme corollaire du théorème de Riesz que $\overline{B_{\mathbb{R}[X]}(0,1)}$ n'est pas compacte, pouvez-vous le montrer à la main ? Et pour quelle norme ?
R : Je considère alors la norme infinie pour les polynômes ($||\sum\limits_{i\in I} a_iX^i||_\infty = \max\limits_{i\in I} |a_i|$) et je cherche une suite d'éléments de la boule n'ayant pas de sous-suite convergente. Je prends la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$ et je suppose qu'il existe une sous-suite convergente, en particulier elle est donc de Cauchy donc en écrivant la définition d'une suite de Cauchy on a une absurdité car : $\forall \epsilon > 0,~\exists n_0\in\mathbb{N},~\forall n,m\geq n_0,~1 = ||X^{\varphi(n)}-X^{\varphi(m)}||_\infty < \epsilon$.
Q : Quel isomorphisme nous permet d'écrire le théorème de représentation de Riesz ?
R : Le fait que $H$ est isomorphe à son dual $H^*$ via $y \mapsto \langle \cdot,y\rangle$.
Q : Et que peut-on dire de ceci pour les Banach en général ?
R : C'est faux.
Q : Et que considère-t-on dans ce cas ?
R : Le bidual.
Q : Comment s'appelle les espaces isomorphes à leur bidual ?
R : Les espaces réflexifs.
Q : Pouvez-vous détailler pourquoi l'exponentielle matricielle est bien définie ? (Je l'avais mis dans le plan)
R : J'utilise une propriété des Banachs, une suite absolument convergente converge donc il suffit de montrer qu'elle est absolument convergente, je munis $M_n(\mathbb{R})$ d'une norme subordonnée, c'est une norme d'algèbre et donc : $\frac{|||M^n|||}{n!} \leq \frac{|||M|||^n}{n!}$ et la deuxième converge d'où le résultat.
Q : Pouvez-vous détailler pourquoi $P\mapsto P'$ n'est pas continue pour la norme infinie de $\mathbb{R}[X]$ ?
R : Encore une fois considérer la suite $(X^n)_{n\in\mathbb{N}}$, la norme de la dérivée tend vers $+\infty$ alors que sa norme vaut toujours 1 c'est absurde si elle était continue.
Q : Cherchons alors une norme pour la rendre continue.
R : J'ai déjà dit qu'elle était linéaire donc il suffit de trouver une norme pour lequel l'application est de Lispchitz. J'essaie quelques normes sur $\mathbb{R}[X]$ mais cela ne marche pas.
Q : Montrons que la constante de Lipschitz est 1 et considérez alors la norme $N(P) = \sum\limits_{k\in\mathbb{N}} |P^{(k)}(0)|$, pouvez-vous détailler pourquoi est-ce une norme ?
R : Le seul point délicat est l'équivalence $N(P) = 0 \Longleftrightarrow P = 0$, il faut écrire la somme nulle, c'est une somme (finie car c'est un polynôme) de termes positifs nulle, ils sont tous nuls et par la formule de Taylor pour les polynômes on trouve le résultat. Et alors $N(P') \leq N(P)$ d'où la continuité de l'application.
Q : Montrer que les compacts en dimension infinie sont d'intérieur vide.
R : Je réfléchis un peu et un jury me demande alors :
Q : Déjà en dimension finie qu'est-ce que vous pouvez dire ?
R : Je réfléchis jusqu'à considérer une boule fermée qui n'est évidemment pas d'intérieur vide. Je suppose par l'absurde qu'un compact en dimension infinie n'est pas d'intérieur vide, quitte à diminuer la boule on peut supposer qu'il contient une boule fermée. Mais un fermé d'un compact étant compact la boule est compacte mais donc par le théorème de Riesz, l'espace est de dimension finie c'est absurde.
L'oral s'est ensuite fini.
Le jury était très bienveillant et souriant, ils m'aidaient lorsque je ne voyais pas comment faire.
L'oral s'est passé comme je l'avais imaginé, le jury et les appariteurs permettent de faire en sorte de diminuer le plus possible notre stress pendant les épreuves et c'est vraiment très appréciable.
18.25
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Je n'avais pas tout à fait terminé mon développement (enfin, il restait un point à éclaircir, plus précisément), et un membre du jury m'a aidé. Ensuite, ils m'ont demandé pourquoi cette intégrale (qui définit la transformée de Fourier de la gaussienne) était calculable. Enfin, quelques questions sur mon plan, puis deux exercices (le premier était de calculer le maximum de $z \mapsto z(z-1)$ sur le disque unité, et le second était de déterminer les fonctions holomorphes $f$ qui vérifient $f \circ f = f$).
Le jury était d'une extrême bienveillance et a su rester professionnel et encourageant à tout instant malgré la piètre qualité de mon oral. Les questions posées ont pour but d'évaluer notre niveau de maîtrise sur les éléments de notre plan.
Deuxième jour d'oral, je me dis "boarf, le tirage pourra pas être pire qu'hier !" : bingo, il est pire qu'hier. Je tombe sur deux thèmes où je suis mauvais et où je maîtrise moyennement mes développements. Comme hier, je me ressaisis, je choisis celui où mes développements sont les plus aboutis et les plus simples à mémoriser, puis je me lance dans la préparation. À la fin, gros coup de stress à l'idée de faire face à des personnes extrêmement qualifiées dans le domaine pendant que je vais devoir me débrouiller pour survivre pendant une heure.
Pour ne rien arranger, le jury choisit le développement que je maîtrise le moins (relu rapidement la veille) parce que je pense qu'ils en avaient déjà marre des polynômes orthogonaux. Mon exposé est assez approximatif, mais j'en viens à bout en 15 min pile poil (je me suis juste trompé dans la paramétrisation d'une partie du contour, mais j'ai pu corriger après la fin grâce à leur aide). La suite de l'oral fut compliquée à gérer car j'avais un peu perdu confiance, mais je pense que les membres du jury s'en sont aperçu et ils ont posé des questions simples afin de me remettre en confiance et de voir si je maîtrisais tout de même les fondamentaux. J'en suis ressorti extrêmement déçu. Au niveau de la note, je m'attendais à un résultat inférieur (du style 2 ou 3), mais je m'en tire finalement avec une note qui m'a laissé dans la course.
Au niveau du temps, on a encore eu exactement les trois heures de préparation et le petit temps pour relire le développement choisi par le jury.
6
224 : Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le développement se passe parfaitement bien, 14'30 avec dynamisme et enthousiasme. Une petite question sur le développement ; j'utilisais la version itérée du théorème de point fixe de Banach, on m'a demandé de démontrer ce théorème (en admettant le théorème de point fixe). J'avoue que je me suis un peu emmêlé les pinceaux, le jury est intervenu en m'invitant à rester "calme et pragmatique", j'ai fini par y arriver. Pas d'autres questions sur le développement.
Questions sur le plan :
- Comment montre-t-on la formule de Plancherel pour la transformée de Fourier dans L1 inter L2 ? (formule autrement appelée formule de passage du chapeau pour les intimes) J'invoque le théorème de Fubini, le jury est content.
- Comment montre-t-on que L1 inter L2 est une partie dense de L2 ? J'explique que le sous espace des fonctions continues à support compact est dense dans L2 et est inclus dans L1 inter L2. On me demande de le prouver, je dis que c'est une propriété difficile à montrer, car très reliée à la construction même de la mesure de Lebesgue. Le jury a l'air ok avec cet argument, on passe.
- Mq la norme L2 de f et de sa transformée de Fourier sont égales pour f dans L1 inter L2. C'est un point important pour étendre par densité la transformée de Fourier à L2. Je veux utiliser la formule de Plancherel, mais pour cela, j'ai besoin de montrer que la transformée de Fourier est dans L1. J'essaie de le faire, mais je me rends vite compte que ce n'est pas garanti. Le jury voit que je ne sais pas faire, et me dit que cette formule est beaucoup plus facile à montrer dans l'espace de Schwartz. Ce sur quoi je rebondis en disant qu'en effet, dans ce cas, la transformation de Fourier est un isomorphisme de la classe de Schwartz, et donc on aura bien f chapeau dans L1, et une simple application de la formule de Plancherel donne le résultat.
- On me demande de dessiner dans R2 le carré fermé [0,1] X [0,1]. Jusque là tout va bien. Puis on me demande de prendre un point dans le plan R2 et de dessiner sa projection sur le carré. J'affirme que le carré fermé est bien un convexe fermé du Hilbert R2, puis je prends un point, et dessine sa projection. On me demande de le faire pour un autre point. Je prends un autre point, mais j'ai pensé qu'on me demandait de le refaire pour que j'ajoute du détail dans la manière dont je trouve la projection, alors je m'emmêle les pinceaux dans des délires de caractérisation par l'angle obtus, et un des jurys me dit : "mais la projection, ça minimise la distance!". Je réponds "ah oui!", je dessine la projection du second point, et puis on passe à un exercice.
On me donne V le sous espace des fonctions L2 positives presque partout. On me demande de montrer que c'est un convexe fermé de L2. La convexité est très facile, pour le caractère fermé, j'utilise le critère séquentiel, mais je me rends vite compte qu'il va falloir gérer les "presque partout". Le jury m'a sûrement senti hésitant, donc il m'a demandé d'écrire la définition de "f positive presque partout" avec les quantificateurs. Cela m'a bien aidé et j'ai su finir (l'ingrédient clef étant que la réunion dénombrable d'espaces de mesure nulle reste de mesure nulle).
Ensuite, question inévitable, on me demande de prendre f dans L2 et de trouver sa projection sur V. J'affirme qu'on va utiliser la caractérisation par l'angle obtus de la projection (que j'écris mal d'abord, ce que le jury me fait remarquer, donc je rectifie). Le jury est content, et m'invite à poursuivre. J'essaie de dire quelques petites choses, rien de bien folichon. Puis le jury m'incite à faire un dessin d'une fonction f dans L2. Je dessine une fonction continue positive partout. Le jury me demande si mon dessin va m'être utile. Je lui dis que non, puisque la fonction que je viens de dessiner est dans V, donc sa projection est elle-même. Je dessine une fonction plus générale, et montre alors que la projection cherchée est la fonction qui vaut f quand f est positive, et 0 sinon.
Autre exercice : Soit E un espace de Banach, p un projecteur (ie p^2=p) tel que le noyau et l'image de p sont fermés dans E. Montrer que p est continu. Je commence par dire que le noyau et l'image étant fermés dans E complet sont eux-même complets, et qu'ils sont supplémentaires dans E vu que p est un projecteur. Le jury est content, et m'introduis une norme, dont on me demande de montrer qu'elle est équivalente à la norme de départ sur E. Je trouve une des deux inégalités, et l'oral s'arrête là.
Un membre du jury menait l'entretien, les deux autres étaient très discrets. Jury peu agréable quand je suis rentré dans la salle, mais très souriant pendant mon développement.
On est une douzaine à préparer en même temps dans la même (petite) salle. La température monte vite...
Pour le plan, je n'ai rempli que deux pages sur trois. Cela me faisait une trentaine d'items, et manifestement, cela a suffi. Corollaire 1 : Ce n'est pas la taille qui compte...
En sortant de mon oral, j'étais dépité, les questions sur le plan ne s'étaient quand même pas très bien passées, et la résolution des exercices avait été très poussive. J'ai été beaucoup aidé, je pensais avoir une note autour de 10 grâce à mon développement qui s'était quand même bien passé. Corollaire 2 : En sortant d'un oral, vous êtes le pire des juges possibles, vous ne savez pas ce qu'a pensé le jury. Quand vous sortez d'un oral, dans la mesure du possible, restez positifs, et restez concentrés pour les oraux suivants, que cela se soit bien passé à votre goût ou non. Au moment des résultats, ma note m'a énormément surpris.
18
264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve puis me dit que je peux commencer dès que je le souhaite. Je souffle un coup et commence par la présentation de mon plan (qui tient exactement 6 minutes). Celui-ci tourne réellement autour des exemples, un théorème, une application directe par exemple du dit théorème. Les jurys se mettent d'accord pour partir sur l'injectivité de la transformée de Fourier (je me dis que je vais pouvoir y aller bien tranquillement étant donné que ce développement rentre largement). J'effectue mon développement, et même en ayant l'impression de prendre bien mon temps, le développement se termine en 13 minutes. Le jury n'a pas l'air d'avoir de problèmes avec ça, il passe au questions.
Questions liées au développement :
1) Pourquoi la fonction dans mon intégrante ($ x \mapsto e^{-bx^2} e^{itv} $) est mesurable
R: car elle est continue
2) J'ai utilisé le résultat suivant dans mon développement et qui fait partie de mon plan : Soit f dans $L^1(R)$ et $(\phi_j)_j$ une approximation de l'unité, alors $f * phi_j$ tend en norme 1 vers $f$. Donner les idées de la preuve de ce théorème.
R: On va utiliser toutes les hypothèse des approximations de l'unité, en séparant classiquement (un peu comme dans le théorème de Fejer) mais pour une des deux parties, celle qui ne relève pas du caractère approximation de l'unité, je bug, et je donne des idées à l'oral. Le jury me demande si je ne pourrais pas utilisé des résultats de densité. Je propose dès lors d'utilise les continues à support compact dans L1 + thm de convergence dominée. Le jury est ok, et passe à autre chose
Questions liés au plan :
1) Demande de détailler un exemple du plan qui utilise le corollaire permettant l'échange entre série et intégrale issue de Beppo-Levi. Ex suivant : $$ \int_0^1 \frac{ln(x)}{x-1} dx = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} $$
R: Voir Daniel Li, Intégration, exercice III.1 (page 124) - corrigé à la fin du Li
2) Donner un équivalent en $+\infty$ de : $$\int_0^{x} e^{t^2} dt$$
R: Question où j'ai eu du mal, le jury a du bien m'aider, , il fallait effectuait une IPP en écrivant 1 comme 2t / 2t, pour reconnaitre une dérivée de $e^{t^2}$, puis négligéait de 0 à 1 où l'intégrale de l'IPP n'était pas bien définit, et regardait dans l'IPP en terme de négligeabilité. Je ne me souviens plus de la réponse précise.
3) Soit $f : R^n \rightarrow [0;+\infty[$ mesurable et $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $R^n$. Montrer que : $$\int_{0}^{+\infty} \lambda(\{x, f(x) > t\}) dt = \int_{R^n} f(x) dx$$
R : Réécrire le membre de gauche, et utiliser le théorème de Fubini pour échanger.
4) En déduire le volume d'une hyperbole dans $R^n$ via la fonction $f: x \mapsto \exp(-||x||^2)$ où $||.||$ correspond à la norme euclidienne sur $R^n$
R: utiliser la question 3, avec $f$ et réécrire le tout, en terme de boules, on obtient une expression
5) Dans la question d'avant, via le calcul, le jury m'a demandé le lien entre B(0,r) et la boule unité.
R: B(0,r) = r*B(0,1)
6) Calculer sur $D=\{(x,y) \in R^2, \frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1\}$ l'intégrale : $$ \int_{D} y^2 dx dx$$
R: Je ne savais trop par quoi commencer, j'ai dès lors proposer de réécrire cette intégrale sur R^2 via des indicatrices (un peu comme en proba), le jury m'a dit que ça devait marcher mais que ce n'est pas ici ce qu'il cherchait, et m'a demandé si je ne pouvais pas écrire cette intégrale comme intégrale sur le bord d'un contour... Je me suis demandé (via mes souvenirs de physique de prépa) si ça n'avait pas un lien avec les théorèmes de Green-Ostrogratski ce que j'ai proposé à l'oral, ils m'ont dit oui, et j'ai donc dis que je ne connaissais pas du tout le dit résultat. Ils m'ont dit pas de soucis et sont passés à autre chose.
7) Comment calculer $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$$ (on arrivait à la fin de l'oral, donc ils n'attendaient pas le résultat total mais les grandes étapes)
R: J'ai proposé de le faire via résidu, avec la fonction $z \mapsto \frac{\exp{iz}}{z}$ Ils me demandent de proposer un bon contour, et de détailler les paramètrisations et le raisonnement, ce que j'effectue, avec un demi cercle- relevé autour de 0 (un peu comme un demi cd).
On arrive dès lors à la fin de l'épreuve.
RMQ: 1 visiteur
Jury composé de deux hommes et une femme, ce jury était très souriant et aidant, me laissant réfléchir, mais n'hésitant pas à donner des conseils. La femme n'a presque rien dit de l'oral et est aller s'étiré au fond de la salle en plein milieu de mon développement (pas très sympa...). Le jury était dirigé par un des deux hommes, mais les deux posaient les questions. Bonne expérience
RAS, comme imaginé. Je suis sorti très confiant de cette oral, tout s'étant très bien passé, et ayant su répondre aux questions du jury !
17.25
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Avant de commencer l'oral le jury me rappelle les consignes (6 minutes de présentation, 15 minutes de développement).
A la fin de ma présentation, le jury choisit les nombres de Bell comme développement. Je le finis en 14 minute.
Voici les questions posées avec des réponses partielles:
- Questions sur le développement :
Q : êtes vous sûre de la formule écrite au début du tableau (somme liée au dénombrement)
R : J'avais oublié de mettre une somme, je corrige donc cette erreur
Q : Pouvez-vous nous énoncer le théorème de Fubini utiliser dans ce développement?
R : Je donne l'énoncé demandé
Q : Pouvez-vous nous justifier l'unicité du développement en série entière?
R : J'ai donné la formule des coefficients en précisant que ma fonction devait être de classe C infini et ça les a convaincu
Q : Vous avez donner une expression de la fonction sur R en résolvant une équation différentielle. Cette égalité reste-t-elle vraie sur C?
R : Oui par le théorème du prolongement analytique dont je rappelle l'énoncé.
- Questions :
Q : Quel est le rayon de convergence de la série exponentielle?
Q : Connaissez-vous d'autres développements en série entière?
R : Je donne celui du cosinus
Q : Comment le démontrez-vous?
R : J'utilise la formule cos(x)=(exp(ix)+exp(-ix))/2
Q : Donnez l'ensemble des solutions de l'équation exp(iz)=1
R : Je n'ai pas trop su répondre à cette question... J'ai donné des pistes en écrivant z en forme algébrique et en utilisant l'unicité de la forme exponentielle modulo 2 pi et on est passé à une autre question
Q : Donnez le développement en série entière de ln(1+x) et son rayon de convergence
R : Je donne la formule et dit que le rayon de convergence est 1
Q : Que se passe-t-il sur les bords?
R : en -1 la série diverge et en 1 la série converge par le critère spécial des séries alternées (CSSA)
Q : Où a-t-on convergence uniforme (et normale) pour une série entière?
R : Sur tout compact dans le disque de convergence
Q : La fonction x -> ln(1+x) est-elle bien définie sur [0,1]?
R : Oui, car le CSSA donne une majoration du reste par son premier terme. On obtient donc une majoration uniforme du reste et donc une convergence uniforme vers 0 ainsi notre série est bien définie sur [0,1]
Q : Connaissez-vous d'autres théorèmes de convergence uniforme?
R : Le théorème d'Abel angulaire
Q : Pouvez vous nous l'énoncé rapidement car manque de temps?
R : Je m'embrouille un peu car le manque de temps me fait stressée
L'oral s'est terminé là dessus
Le jury était composé de deux hommes et d'une femme. Il était très bienveillant et m'aidait pour chaque questions lorsque je n'avais pas trop d'idées.
Pas de réponse fournie.
13.25
244 : Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.
243 : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Couplage un peu malchanceux pour moi, mais avec le livre "Les fonctions spéciales vues par les problèmes" je me disais que je serai armé
I - Fonctions usuelles de l’analyse réelle et complexe [Groux-Soulat, Tauvel, Amar-Mathéron,
Candelpergher, Bernis²]
1. Exponentielle, logarithme et fonctions circulaires.
2. Γ et ses proches voisins.
3. Liens avec les probabilités.
II - Séries de Dirichlet et un peu de théorie des nombres [Gourdon, Tenenbaum, Groux-Soulat,
Amar-Mathéron]
1. Généralités sur les séries de Dirichlet
2. $\zeta$ et les nombres premiers.
III - Fonctions spéciales de la physique et de l’analyse numérique [Berthelin, El Amrani, Demailly,
Rombaldi analyse réelle].
1. Polynômes orthogonaux et intégration numérique.
2. Liens avec la physique.
Je suis étonné de voir que le jury choisiss le développement le plus "facile", mais soit. Je stresse
un peu au début car je ne l’ai pas forcément refait au tableau et je n’ai pas vraiment eu le temps
de le revoir pendant ma préparation. J’ai également peur qu’il soit un peu trop court. Tant pis,
on y va. Je détaille au maximum pour pouvoir faire le plus long possible. J’ai une petite erreur
dans mon inégalité concernant la comparaison série-intégrale pour $\zeta$ mais je corrige vite. Je finis le développement en à peu près 12 minutes 30 mais je complète rapidement avec l’application au
fait qu’il n’y a pas de loi de probabilité sur $\left(\mathbb{N}^∗, \mathcal{P}\left(\mathbb{N}^∗\right)\right)$ telle que la proba d’être un multiple de
$k$ soit $1/k$. Ça dure au total 13 minutes 30.
Questions posées
I - Développement
1. Corriger une erreur : un +1 s’était transformé en −1, je corrige, pas de problème.
2. Réexpliquer pourquoi on a l’égalité :
\[
\mathbb{P}_s\left(\bigcap_{i = 1}^{n}\left(p_i\mathbb{N}^*\right)\right) = \mathbb{P}_s\left(\left(\prod_{i = 1}^np_i\right)\mathbb{N}^*\right).
\]
Je dis qu’en fait on a égalité des deux ensembles dans les proba car les pi étant des
nombres premiers distincts, ils sont premiers entre eux. Le monsieur du jury n’a pas
l’air de bien comprendre, du coup je dis "si p et q sont deux entiers qui divisent a,
alors le ppcm de p et q divise a et réciproquement". Le monsieur n’a toujours pas l’air
de comprendre, je réponds "c’est la définition du ppcm". Le monsieur demande alors
où est-ce qu’on utilise le fait qu’ils sont premiers distincts. Je dis alors que c’est pour
pouvoir dire que le ppcm c’est le produit. Il a l’air convaincu.
II - Plan
1. Remontrer comment on définit le logarithme avec l’argument. Je bugue un peu puis
je dis qu’on a une expression explicite avec du arccos. Ainsi, on a la continuité. Il me
demande maintenant pour l’holomorphie de Log. Là j’ai un éclair : il faut
utiliser les conditions de Cauchy-Riemann. Du coup j’écris en coordonnées dans $\mathbb{R}^2$ :
\[
\mathrm{log}(x+iy) = \frac{1}{2}\ln\left(x^2+y^2\right) + i\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)
\]
et je récupère Cauchy-Riemann. Cependant, dans mon calcul, j'avais modifié le terme
\[\arccos\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)
\]
en $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$, ce qui faisait qu'on n'avait pas tout le monde (on récupère juste le demi-plan supérieur) je dis que si on fait le calcul avec arccos c'est pareil et sinon pour récupérer le bout manquant on peut dire que $\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ c'est $ \frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$. Il a l'air convaincu mais pas trop non plus.
2. Une question de la dame : j'ai mis dans mon plan que $\Gamma$ était log-convexe. Expliquer pourquoi. Bon pas de soucis, je réécris la définition d'être log-convexe et avec Hölder c'est plié. Maintenant : montrer la réciproque. Évidemment Bohr-Mollerup c'était la suite logique mais je l'avais pas mis dans le plan exprès parce que je le connaissais pas tant que ça. Bon en tous cas je dis juste qu'il suffit dans ce cas de montrer que, si $f$ est ma fonction log-convexe, $f = \Gamma$ sur $(0,1]$ et qu'on utilisait la limite suivante :
\[
\Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\ldots(x+n)}.
\]
Enfin j'ai écrit l'inégalité qui faisait marcher un peu :
\[
f(nx+(1-x)(n+1)) = f(n+1-x) \leqslant (n+1)^x n!.
\]
J'ai dit qu'on devait trouver un encadrement comme ça avec des suites équivalentes à celle qui tend vers $\Gamma$. Elle a dit oui et elle est passée à autre chose.
3. Dernière question sur le plan : j'ai mis que les séries de Dirichlet étaient holomorphes sur un demi-plan droit $\mathbb{H}_{\sigma_c}$ en disant que $\sigma_c$ était l'abscisse de convergence (et non pas de convergence absolue !) du coup il me demande comment montrer que c'est holomorphe sur ce demi-plan. Je dis qu'on utilise le théorème d'holomorphie sous la somme et du coup c'est là où ça coinçait que j'aie pas mis que c'était une abscisse de convergence absolue. Du coup je dis que c'est une erreur et tout mais ils me disent oui ok mais du coup quel type de convergence vous récupérez. Je sais pas s'il parlait de avec convergence absolue ou sans mais du coup je dis convergence simple. Il me corrige du coup je dis ah convergence uniforme sur tous compacts. Il me demande si on a mieux. Je dis ah oui convergence normale sur tous compacts. Il me dit c'est ça. Et il me demande comment on peut s'en sortir sans convergence absolue. Je propose comparaison série-intégrale mais c'est des complexes. Je réfléchis un peu, je dis "Euler-MacLaurin" il me dit "plus simple". Il me dit "c'est une série complexe semi-convergente". Du coup je dis "ah oui une règle d'Abel" il me dit oui c'est ça. On s'est arrêté là pour l'oral, mais avant cette question, un monsieur m'a posé un exercice :
III- Exercice
Démontrer l'inégalité de Heisenberg. Moi je suis content, c'est un de mes développements je fais ça sans hésiter. Je lui dis que je connais et tout et je balance la preuve. Après il me dit euh ok mais utilisez un résultat de votre plan. Je suis perplexe et je dis "euh les fonctions de Hermite peut-être ?" Il me dit oui c'est ça, du coup je fais le calcul en utilisant le fait que les fonctions de Hermite étaient des fonctions propres de Fourier. Au final j'y arrive pas trop et puis il me dit "nan mais faut montrer la version additive". Je suis en mode whaaat ? J'étais parti pour minorer :
\[
\left(\int_{\mathbb{R}}|xf(x)|^2\mathrm{d}x\right) \times \left(\int_{\mathbb{R}}|\xi\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}\xi\right)
\]
mais le monsieur voulait me faire minorer :
\[
\left(\int_{\mathbb{R}}|xf(x)|^2\mathrm{d}x\right) + \left(\int_{\mathbb{R}}|\xi\hat{f}(\xi)|^2\mathrm{d}\xi\right)
\]
(En fait en utilisant le fait que $a^2+b^2 \geqslant 2ab$ c'est potentiellement trivial avec Heisenberg multiplicatif du coup) Mais bon du coup je me dis ok, faut le montrer avec les fonctions de Hermite et puisque c'est une base hilbertienne de $\mathrm{L}^2(\mathbb{R})$, avec Pythagore/Bessel-Parseval on récupère pour toute les fonctions de $\mathrm{L}^2(\mathbb{R})$. Du coup en fait, si $f$ est une fonction de Hermite, on récupère $\Vert xf \Vert_2^2 + \Vert f' \Vert_2^2$ (modulo la normalisation). Du coup bon je suis un peu bloqué et en fait c'est bon il fallait juste utiliser le fait que les fonctions de Hermite étaient des fonctions propres de l'oscillateur harmonique :
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \text{ }\forall x \in \mathbb{R},\quad -\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}h_n + x^2h_n(x) = (2n+1)h_n(x).
\]. Il me demande si je connais le nom de la quantité $\Vert xf\Vert_2^2 + \Vert f'\Vert_2^2$. J'hésite je réponds "ah c'est genre l'impulsion" il me dit "bon c'est l'énergie en fait" bon tant pis.
Le jury était très sympa et me mettait à l'aise : ils me laissaient boire quand je le voulais et étaient souriants. Par contre c'est perturbant de les voir perturbés.
Tout à fait. C'est une bonne chose qu'on ait véritablement 3 heures de préparation avec un peu de temps pour nous Sinon concernant la préparation, je pensais qu'on serait dans une grande bibliothèque en train de préparer la leçon, mais non, on est dans une salle de cours, au final ça a du sens. Concernant l'oral en lui-même, c'est exactement comme je l'imaginais. Par contre j'étais surpris de voir que le jury me demande de justifier autant certaines réponses. Très agréablement surpris par ma note au final, alors que je pensais au début que ma leçon était pas ouf ouf.
20
Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le jury a choisi l'équivalence des normes en dimension finie et le théorème de Riesz comme développement, j'ai réussi à le faire sans souci.
Questions sur le développement :
- le jury n'a pas aimé l'argument classique de la preuve avec l'ensemble des $x$ de norme $N_0$ (notations du Gourdon) égale à $1$ qui est compact comme image par une application continue d'un fermé borné de $\mathbb{K}^n$ donc d'un compact de $\mathbb{K}^n$ (et seulement de $\mathbb{K}^n$, à ce stade on ne connait pas encore les compacts d'un $\mathbb{K}$-evn de dimension finie), ils ont préféré me le faire écrire comme l'image du carré $[-1,1]\times[-1,1]$ que l'on sait compact (les $x$ dont la norme infinie vaut $1$ dans le plan, ils m'ont demandé de le dessiner), je n'avais jamais vu cet argument et il est effectivement bien plus clair et lève l’ambiguïté qui peut régner sur le potentiel raisonnement circulaire.
- l'un des membres du jury m'a ensuite demandé pourquoi l'isométrie de la preuve était continue : c'est par définition de la norme $N_0$ choisie (une question triviale on ne crache pas dessus).
- aucune autre question sur l'équivalence des normes, je connaissais par cœur le reste.
- aucune question sur le lemme de Riesz ni sur le théorème.
Questions sur le plan et exercices :
- on a commencé par une question classique : l'image réciproque d'un compact par une application continue est-elle compacte ? Réponse non (penser au sinus), je connaissais la réponse mais je ne rappelais plus du contre-exemple je l'ai reconstruit en direct et le jury à l'air d'avoir apprécié.
- je n'ai eu aucune autre question sur le plan.
- exercice : c'était sur les opérateurs à noyau (du type $T(f)(x)= \int_{0}^{1} K(x,t)f(x) dt $ pour $f$ continue sur $[0,1]$ et $K$ définie je ne sais plus comment)
1) Montrer que T est continue (théorème de continuité sous le signe intégral) : facile une fois que le jury nous fait remarquer que l'on a affaire à une intégrale et que chercher à majorer $|T(f)(x)|$ par une constante fois $|x|$ n'est pas la bonne idée...
2) Montrer que $T(B(0,1))$ est d'adhérence compacte. J'ai eu pas mal de souci avec cette question, je ne savais pas par où commencer et l'oral s'est terminé sur mes nombreuses tentatives plus ou moins foireuses de résolution, ce n'était pas très glorieux il y avait un nombre assez fou de notations pour les suites, suites extraites, le jonglage entre adhérence et image par T...(le membre du jury qui m'a donné l'exo ne voulait pas m'aider, je me sentais très seul devant mon tableau...)
Les deux premiers membres étaient très gentils et n'hésitaient pas à m'aider. Le dernier en revanche était très cassant et désagréable et ne réagissait pas du tout à ce que je disais à l'oral lorsque je réfléchissais à voix haute pendant la résolution de l'exercice (c'est lui qui m'a donné l'énoncé).
Tout est très bien organisé, rien à signaler.
15.5
208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
245 : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applcations.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J:= Jury. L:= Moi. L'ordre et l'énoncé des questions posées est approximatif. Le retour qui suit rend mal compte de la bienveillance du jury, qui est très souriant et encourageant dans ses questions.
J: Il me semble que vous n'avez pas totalement démontré la caractérisation du projeté que vous énoncez dans votre plan...\\
L: Oh non pardon ! J'ai oublié la réciproque...\\
J: Ce n'est pas grave, vous pouvez nous expliquer rapidement comment vous auriez fait ? \\
L: En développant les égalités de polarisation, et avec les inégalités sur les distances. \\
J: Quelles inégalités ? \\
L: Si $x_C$ est le projeté de $x$ sur $C$, $\forall z \in C, \vert x-z \vert \geq \vert x-c \vert$\\
J: Vous pouvez montrer que, dans un espace de Hilbert, si $F$ est un sev fermé , $F^{\perp}$ est fermé ?\\
L: Oui. C'est la caractérisation séquentielle de la fermeture, et la continuité de x --->
J: D'où vient cette continuité ?\\
L: \emph{Je beugue un peu en parlant d’égalités de polarisation au début mais je finis par trouver : } C’est Cauchy Schwarz qui nous assure que c'est une application lipschitzienne. \\
J: Si $F$ est un sev fermé de H, que dire des orthogonaux successifs de $F$?\\
L: euuuh… les orthogonaux successifs ? \emph{ À ce moment là je pense à des histoires de noyaux itérés, je m'imagine qu'on considère implicitement une suite de sevs}\\
J: Le biorthogonal de F, disons. \\
L: Ah, c’est F lui même. C'est encore une conséquence de la projection sur un convexe fermé. \\
J: Ok, on va passer aux questions sur le plan. Vous pouvez relire votre définition numéro X d'une application contractante ? \\
L: Oh non, désolée, j'ai oublié l'hypothèse la plus importante : evidemment $k<1$...\\
J: Et pour votre exemple Y, la complétude des $L^p$, il y aussi une coquille...\\
L: Euh... c'est pas le bon L ? \\
J: Relisez bien. \\
L: Ah ! C'est $p \in [1, + \infty[$, et surtout pas $ ]0, + \infty[$ ! Pardon ! \\
\emph{Je m'en veux encore de ces erreurs. Une simple relecture du plan à la fin des 3h aurait suffit à les éviter.}\\
J: Vous avez un exemple de normes qui ne sont pas équivalentes en dim infinie? \\
L: Oui, sur $C^0([0,1])$, on considère la norme $\norme{.}_{\infty}$ et la norme $\norme{.}_1.$ Elles ne définissent pas la même topologie car $(C^0([0,1]), \norme{.}_{\infty})$ est complet et $(C^0([0,1]), \norme{.}_{1})$ non. \\
J: Est-ce qu’on a quand même un sens ?\\
L: La norme norme $\norme{.}_1.$ est lipschitzienne par rapport à la norme $\norme{.}_{\infty}$. \\
J: Quelle est la constante? \\
L: \emph{J'ai besoin de l'écrire pour le voir, mais dès que je pose mon feutre sur le tableau, ça devient évident} Elle est 1-Lipschitzienne.\\
J: Vous avez un exemple concret de boule unité qui n’est pas compacte en dimension infinie ? \\
L: Euh bah par Riesz n'importe quel espace normé de dimension infini fonctionne donc par exemple… \emph{Je m'apprête à sortir le premier exemple d'evn de dimension infinie que je connais, mais on m'arrête.}\\
J: Un exemple précis? Disons de sphère unité qui ne soit pas compacte ? Sans utiliser Riesz.\\
L: Je vais prendre l'espace des fonctions continues… Non on va faire plus simple, je prends les polynômes, $\mathbb{R}[X]$… Je ne sais pas si j'essaie de contredir Borel-Lebesgue ou Bolzano-Weierstrass... Je vais essayer Borel-Lebesgue, je cherche un recouvrem-\\
J: On va contredir Bolzano-Weierstrass.\\
L:; Ok, donc je prend la norme sup sur les coefficients, $\norme{\sum a_k X^k}=max(\vert a_k \vert )$. Je cherche une suite de la sphère unité qui n’a pas de valeur d'adhérence dans la sphère unité. \\
J: Quelle est la suite la plus simple que vous puissiez imaginer ? \\
L: La suite des $X^n$. Elle ne peut pas avoir de valeur d’adhérence car si $P$ est un polynôme et de degré $d$ et que $n > d$… \\
J: prenez $P=X^d$\\
L: Si $n \neq d$ alors $\norme{X^n - X^d}=1$\\
J: Maintenant, on va passer aux exercices. On se place toujours dans $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme sup $\norme{.}$ que vous venez de définir. Soit $a \in \mathbb{R}$, soit l’application linéaire $f_a: P \rightarrow P(a)$ est-elle continue ? \\
\emph{ Au début j'étais persuadée que la réponse était "non" quel que soit le réel $a$. J’ai commencé à chercher une suite de polynômes telle que $\norme{P_n}$ tende vers 0 mais telle que $P_n(a)$ reste constant, sans m'en sortir. Le jury a fini par gentiment me pousser vers le caractère lipschitzien de ma fonction évaluation. En cherchant à majorer $P(a)$ j’ai alors vite compris ce que je devais faire pour conclure : une disjonction de cas en fonction de si $|a| < 1$ ou si $|a| \geq 1$, car si $P$ est un polynôme de degré $n$, alors $\vert P(a) \vert \leq (\sum_{0}^{n} \vert a \vert^k)$: on va donc avoir besoin d'étudier la série $\sum \vert a \vert^k$ pour se débarrasser de la dépendance en $n$. Si $\vert a \vert <1$ la série converge et on a notre constante de Lipschitz. Sinon, on trouve un contre exemple. J'ai posé la suite $P_n= \sum_0^n X^{2n}$ de sorte à avoir les $P_n(a)$ positifs. La suite des $\frac{f_a(P_n)}{\norme{P_n}})$ tend vers l'infini, donc $f_a$ n'est pas lipschitzienne donc pas continue.}\\
J: Et le cas $|a|=1$?\\
L: C’est comme pour $|a|> 1$ \emph{(Dans le deuxième cas de ma disjonction, j’avais écrit au tableau une inégalité stricte là où elle aurait pu être large)}\\
J: D'accord, deuxième exercice. On va montrer une généralisation de votre proposition W \emph{[La proposition en question : si $E$ est un espace de Banach, si $u \in L(E)$ vérifie $\vert \vert \vert u \vert \vert \vert < 1$ alors $(Id-u)^{-1}=\sum u^n$}]. On se place à nouveau dans $E$ un Banach. Montrez que si $u : E \rightarrow E $ est contractante (mais pas forcément linéaire) $Id-u$ est un homéomorphisme.\\
L: \emph{[Terrifiée à l'idée de me mélanger les pinceaux sur la définition d'homéomorphisme]} On veut donc montrer que $Id - u$ est bijective , continue , de réciproque continue. La première chose à laquelle je pense, c'est au théorème d'inversion locale...mais évidemment on ne peut pas utiliser ça ici, on est dans un espace de Banach quelconque, on ne peut pas du tout parler de différentiabilité... euh... je vais commencer par la bijectivité, la continuité on verra ensuite... \\
J: Vous ne pouvez pas faire ça maintenant ? \\
L: Si bien sûr : $Id-u$ est une somme de deux fonctions continues.\\
J: Bien, on continue.\\
\emph{Là,j'ai essayé d’étudier la série $\sum u^k$ sur la sphère unité car je voulais retrouver le même genre d’argument que dans ma proposition W. Mais sans la linéarité, ça ne marche pas du tout. Le jury me pousse à nouveau dans la bonne direction}\\
J: $u$ est contractante que pouvez-vous en déduire ?\\
L: Ah! $u$ admet un unique point fixe $x$. \emph{(Quelques secondes de bidouille d’égalités plus tard)}. Cet unique point fixe c'est l’image réciproque de 0 par $Id-u$. On voudrait faire ça pour tout le monde, pas juste pour 0.\\
\emph{Illumination : ça y est, je sais pourquoi j'ai pensé au théorème d'inversion locale en voyant l'énoncé ! Il faut utiliser le même genre d'astuce que dans la preuve du dit théorème ! Pour tout $y \in E$ je pose une fonction $F_y$ pour transformer le problème d'inversion $u(z) = y$ en un problème de point fixe $F_y(z) = z$. J'arrive très vite à poser la bonne fonction et à montrer qu'elle est contractante.}\\
L: Maintenant, montrons que cet inverse est continu. On va montrer qu'il est lipschitzien. \\
\emph{Là, ça a été beaucoup plus long que nécessaire : j'ai pris trop de temps à bien poser mes variables, et j'ai fait des erreurs de signe une ligne sur deux. Je finis pas montrer que, quand $u$ est $k$-contractante, $Id-u$ est $1-k$-lipschitzienne. Le jury m'empêche de me prendre les pieds dans mes erreurs de calcul, mais je suis déçue d'en avoir fait autant.}\\
J: Très bien, je vous pose un un dernier exercice qu’on aura pas le temps de finir. Montrez que si $f \in L(E)$ \emph{(je ne suis même plus sûre que $f$ était linéaire en fait)}, $f$ est continue si et seulement si $A= {x \in E, ||f(x)||=1} $ est fermé. \\
\emph{Je prouve le sens direct. Aucune difficulté, c'est juste dire que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est continue.}\\
J: On n'a pas le temps pour la réciproque. C'est terminé.\\
Très aidant et bienveillant.
Oui, tout à fait. J'avais peur de l'étape "vérification des livres" mais aucun soucis
16
241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Le jury m'a tout d'abord posé quelques questions sur le développement (optimisation de la vitesse de convergence vers les polynômes de Bernstein dans le cas d'une fonction lipschitzienne + utilisation de l'indépendance de variables aléatoires réelles dans le développement).
On est ensuite passé sur des exercices : un premier sur une suite (x_n) bornée dans qui vérifiait des conditions et l'on m'a demandé ce que l'on pouvait dire dessus. J'ai donc pensé au théorème de Bolzano-Weierstrass et j'ai dit qu'on allait essayé de montrer qu'elle converge en montrant qu'elle admet une unique valeur d'adhérence (et c'était ce qu'il fallait faire). Ensuite j'ai du montré que la boule unité fermé de L^2 était un fermé de L^1 mais je n'ai pas réussi à aller bien loin dans l'exercice car je me suis embrouillé entre les deux espaces... Cependant la suite de l'exercice consistait à partir sur le lemme de Baire et les ensembles Gdelta-denses. Enfin j'ai eu un dernier exercices qui consistait à chercher une fonction vérifiant des conditions avec un opérateur et il fallait utiliser le théorème du point fixe de Banach pour conclure (un peu comme dans la démonstration de Cauchy-Lipschitz local avec le théorème du point fixe).
Le jury a été plutôt bienveillant et a cherché à m'aider dès que j'étais coincé.
C'était mon tout premier oral et ça s'est passé comme je l'imaginais (tant sur la préparation que l'oral).
14.25