Retours d'oraux : Algèbre

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que des questions portant sur mon plan, mes développements, ce que j'ai dis dans ma défense.

    Suite au théorème de structure des groupes abéliens finis :
    -qu'en est-il de l'unicité? (je ne prouve que l'existence)
    -le faire sur un exemple: Z/36Z x Z/45Z x Z/60Z

    Par rapport à la transformée de Fourier discrète:
    -qu'est-ce que la Fast Fourier Transform?
    -comment multiplier des polynômes avec?
    -peut-on généraliser les caractères? (y a t'il une théorie des caractères?)

    Sur Sn :
    -pouvez-vous donner un système minimal de générateurs?
    -que dire en général sur le cardinal d'un famille génératrice pour un groupe fini quelconque?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas cassant mais pas sympathique non plus, aidant juste ce qu'il faut.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oral qui s'est plutôt bien passé, juste 2 surprises:
    -on a des tableaux blancs à marqueur
    -pas mal d'aller-retours et de bruit pendant la préparation

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    140 : Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.

  • Autre leçon :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lüroth

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Les questions ont porté sur :
    - la décomposition en éléments simples (comment calculer les coeffs, etc)
    - le fait qu'une conique soit rationnelle
    - un peu sur le développement

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est assez bien passé, le jury était assez sympa. J'ai mis le théorème de Lüroth avec des applications aux courbes rationnelles, d'où la question sur les coniques.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Structure des polynômes symétriques

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, notamment l'importance du poids et de si la récurrence passe ou pas. Question facile, mais avoir les idées au clair, ce qui fut laborieusement le cas pour moi.

    Questions sur la factorialité de A[X1,… XN], j'ai parlé de l'euclidiennité, la factorialité, etc. et de voir si cela passe à l'anneau de polynômes.

    Donner un exemple de polynôme à plusieurs variables qui admet un infinité de racines sans être nul.

    Question : On se donne un polynôme de 3 variables sur R symétrique. Ses zéros forment une quadrique de révolution. ( petit bad )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury n'est pas cassant, mais assez fatigué. Il avait l'air de pas vouloir être là … et ce dès mon arrivée dans la salle.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est assez mal passé je pense, les questions sur le développement m'ont un peu trop arrêté du coup on n'a pas eu le temps de faire des trucs sympas.

    Et ils n'en avaient que faire des applications sympas que j'avais mise ( détermination des polynômes de matrices invariants par similitude, algorithme de Faadeev, etc. ), sans doute parce que je me fais piéger sur les petites questions ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    sous quelles conditions sur la forme quadratique q a-t-on l'égalité en F et son double orthogonal (pour la forme q) ?

    on considère la forme quadratique réelle qui a une matrice A associe Tr(A^2). Est elle dégénérée ? quel est son cône nilpotent ? (j'ai donné des exemples qui montraient qu'il n'était pas vide, mais je n'ai pas su le caractériser, le jury a vite abandonné cette question). quelle est sa signature ? (je n'ai traité que la dimension 2, puis j'ai dit que ça se généralisait mais le jury m'a directement mis sur une autre question).

    Puis : comment enseigneriez-vous cette matière à des élèves de niveau L2 ? et comment l'exposeriez vous à un public non spécialiste, par exemples des physiciens ? J'ai répondu qu'il fallait insister sur la représentation polynomiale, l'interprétation géométrique avec les coniques, le jury a eu l'air d'approuver.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    jury qui ne donne pas d'indices mais qui est assez réactif aux propositions

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu une hésitation dans mon développement, parce que j'ai écrit de manière trop dégueulasse et qu'un a s'est transformé en q, mais j'ai su me rattraper.. le jury avait du mal à comprendre le développement, j'ai du réexpliquer plusieurs points qui étaient pourtant assez simples. L'un des 3 membres a été complètement muet, les autres n'avaient pas l'air de se sentir très concernés par le sujet..

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Enveloppe convexe de On(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Montrer que les bissectrices d'un triangle se croisent (Indication : utiliser l'équation normale d'une droite ???) --\textgreater pas su faire :(

    Montrer que les médianes se croisent.

    Utilisation de Hahn-Banach ?

    On prend deux sphères disjointes, $x_0$ un point de la première, $y_0$ le projeté de ce point sur la deuxième, $x_1$ le projeté de $y_0$ sur le première etc. Montrer que ça converge et dire vers quoi.

    Comment motiveriez-vous la géométrie affine à une classe ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?



    Le jury parlait bien mais n'aidait presque pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury : Est-ce que la représentation standard est toujours utile ?
    Votre serviteur : Oui, mais autant on peut trouver la table de $\mathfrak{S}_4$, autant c'est moins évident pour les autres $\mathfrak{S}_n$. D'ailleurs, peut-être que ça ne donne qu'un caractère en plus parfois ?* [Regarde pour la classe des transpositions.] Ah, pour $n\neq 3$ ça donne bien toujours deux représentations. Et pour $n=3$ [Calculs.] le caractère tordu est le même.
    * Ça donne toujours un caractère en plus, et parfois la torsion par la signature en donne un deuxième gratuit.

    J (c'est le vieux qui baragouine) : Est-qu'il y a un élément d'ordre 15 dans $\mathfrak{S}_5$ ?
    VS : Non parce que…
    J : Regardez le cardinal de $\mathfrak{S}_5$.
    VS, un peu agacé : C'est 120, donc ça ne nous aide pas. Par contre, on peut conclure parce que si on avait un élément d'ordre 15, blablabla, d'après la décomposition en produit de cycles, blablabla.
    J : Alors quel est le premier $\mathfrak{S}_n$ pour lequel on a un élément d'ordre 15 ?
    VS : $\mathfrak{S}_8$ pour les mêmes raisons.

    J : Si on regarde les isométries du carrés comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, qu'est-ce qu'on trouve ?
    VS : Alors il y a telle symétrie qui donne telle permutation, telle rotation qui donne telle permutation…
    J : Qu'est-ce que vous êtes en train de construire comme groupe ?
    VS : Le groupe diédral $D_4$ ?
    J : Et est-ce qu'on peut généraliser le résultat ?
    VS : oui, $D_n$ est toujours inclus dans $\mathfrak{S}_n$.

    J : Que peut-on dire des représentations des groupes de cardinal $p^3$ ?
    VS (je fais la version sans l'hésitation, ça a pris un certain temps) : Soit le groupe est commutatif, et on connait ses représentations, soit $Z(G)$ est de cardinal $p$ (centre non trivial et quotient non cyclique). Ensuite, on peut regarder les représentations de dimension 1, qui se factorisent par le groupe dérivé. Je n'ai pas été franchement plus loin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt faisable, pas facile mais pas franchement dur non plus. Les gens ont été plutôt cools, sauf un vieux qui marmonnait et qui ne faisait aucun effort d'articulation. Mais les autres lui demandaient de se taire, donc ça allait.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas du tout de questions sur le plan, ça m'a étonné.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nullstellensatz via le résultant (théorème des zéros de Hilbert)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    $A[X_1,\ldots,X_n]$ est noethérien, certes. Mais peut-on borner le nombre de générateurs d'un idéal ?
    Début de réponse : si $A$ est un corps, l'espace des polynômes homogènes de degré $d$ est de dimension $\begin{pmatrix} n+d-1 \\ n-1 \end{pmatrix}$, qui devient arbitrairement grand quand $d$ croît.

    Est-il alors possible de retirer des générateurs à l'idéal engendré par les polynômes homogènes pour en borner le nombre ?
    Je ne sais pas et on passe à autre chose.

    Peut-on utiliser le résultant pour déterminer l'intérieur des matrices diagonalisables dans $\mathbb{C}$ ?
    Oui, en exprimant la non-annulation du discriminant du polynôme caractéristique, mais ça n'a rien à voir avec la leçon puisqu'il n'y a qu'une indéterminée.

    Que signifie la propriété universelle des anneaux de polynômes (exprimée en termes de morphisme dans mon plan) ?
    Ça veut dire que $X_1,\ldots,X_n$ engendrent $A[X_1,\ldots,X_n]$ en tant que $A$-algèbre.

    Comment démontrer le théorème de d'Alembert-Gauß en utilisant les relations coefficients-racines ?
    Lire Gourdon ou demander à Denis Serre (selon vos préférences).

    Est-ce que $A[X_1,\ldots,X_n]$ est principal ? Pourquoi ?
    Si $n\geqslant 2$, non. Si l'idéal $(X_1,X_2)$ était engendré par un élément, celui-ci serait une constante pour des raisons de degré. C'est impossible, encore pour des raisons de degré.

    Est-ce que les polynômes à plusieurs indéterminées peuvent servir à résoudre des équations polynomiales, disons de degré $3$ ? Et de degré plus grand ?
    Oui, il existe des expressions via les relations coefficients-racines. En degré $4$, ça marche encore, mais dès le degré $5$, ça foire.

    Finalement, qu'est-ce qui se cache derrière tout ça ?
    La question de la résolubilité du groupe symétrique, et la théorie de Galois.

    Comment enseigneriez-vous ceci à des élèves de niveau L3 ?
    Réponse censurée : en faisant des rappels sur les polynômes à une indéterminée et en insistant sur la différence qu'il y a entre le cas d'une et de plusieurs indéterminées.
    Réponse non censurée : en donnant les définitions et en démontrant les théorèmes, comme pour n'importe quel autre sujet.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre, questions de niveau moyen à facile.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Galois inverse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question assez faciles. Le jury était assez sympathique (Il y avait Caldero dedans).

    Prouver qu'un extension finie de Q ne contient qu' un nombre fini de racines de l'unité

    Prouver X^2 +X +1 est irréductible dans F_2, puis F_32

    Irréductibilité des poly cyclotomiques sur F_p

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Relativement bien, même si je me suis un peu embrouillé sur le ien entre irréductibilité dans Q[X] et dans Z[X].

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    143 : Résultant. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques explications sur le développement, des questions sur le plan, des exos.

    Dans l'ordre. Sur le développement quelques explications qui n'étaient pas clair pour le jury.

    Sur le plan : j'ai mis que le corps des nombres algébriques était un corps sans mettre d'où le résultant apparaît. Ils m'ont donc demander d'expliquer. (Sol : $Res_T ( P(X- T) , Q(X) )$

    Sur le théorème de Bézout : Est ce que vous connaissez une généralisation ? J'ai répondu qu'on peut généraliser au plan projectif à l'aide de la théorie de la multiplicativité des points d'intersection et qu'il y avait égalité dans l'inégalité du théorème faible de Bézout. Ça leur a suffit.

    Application : trouver les points d'intersection de $X^2 + YX + Y^2 - 1 = 0$ et $2X^2 + Y^2 - .. = 0$ un truc du genre. Sol : on fait le résultant en $Y$ on solve en $X$ on $x = 1$ ou $-1$ et on en déduit les points d'intersection.

    Sur le discriminant (qui est dans le plan) : connaissez vous un lien entre le discriminant d'un polynôme de degré $3$. On montre que le signe du résultant permet de dire s'il y a 3 racines réelles. Je n'ai pas eu à faire les calculs en entier.

    Sur le discriminant. Calculer le discriminant de $P(X) = X^n + aX + b$. Sol : par la formule avec le reste de la division de $P$ par $P'$. Pareil, ils ne m'ont pas demandé de finir les calculs.

    Est ce que vous connaissez un critère sur $P \in \mathbb{Q}(X)$ pour que son groupe de Galois soit dans $\mathfrak{U}_n$ + des questions sur le groupe de Galois. Je n'ai pas fini la question.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sympa mais surtout enclin à éviter TOUT calcul. En gros je leur disais juste comment il fallait faire.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    gros stress au début parce que je savais pas quoi choisir comme sujet. Puis gros stress parce qu'une fois la leçon choisie il y a un sardanapale qui a pris LE Apéry pour faire la leçon 142 ! et il n'y en avait pas d'autre dans toutes les autres malles. Au final j'ai sorti les définitions de résultant de tête et c'est (peut-être) passé parce que je n'ai pas eu de questions reloues à ce niveau là.

    Du bruit durant la préparation.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    127 : Droite projective et birapport.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Surjectivité de l'exponentielle matricielle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quasiment que des questions sur le développement et le plan.

    sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford,

    Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3

    Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie

    Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau

    Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut.



    Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau.

    Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court.

    J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir.

    Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos.

    - Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez).

    - D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ?

    - $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ?

    - Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante :
    $$
    \begin{matrix}
    1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\
    0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\
    0 \esperluette 0 \esperluette 9
    \end{matrix}
    $$
    Calculer ses racines carrées.
    Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir.

    - Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
    On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf.

    Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

  • Note obtenue :

    11.75

  • Leçon choisie :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Construction des corps finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Exercices qui étaient pour la plupart en lien avec le développement développé. Aucune question sur le plan. Pas de question pédagogique.

    Prendre un générateur de $F_q^*$ ($q=p^n$) et donner son ordre, en déduire le degré du polynôme minimal sur $F_p$. Cette question avait pour but de me faire dire que, lorsque l'existence de $F_q$ était établie, le résultat du développement, i.e. l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur $F_p$, devenait quasiment immédiat.
    Ensuite, un deuxième exo qui me demandait de décomposer $X^8+X$ en irréductibles sur $F_4$.
    Puis, un exo sur le morphisme de Frobenius F : déterminer noyaux et images des itérés $F^{°i}$, puis montrer que les itérés de F forment une base des automorphismes de corps de $F_q$, j'ai juste eu le temps de montrer que c'était une famille génératrice, puis il m'a dit que la liberté se montrait par argument de cardinalité.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le niveau n'était pas bien difficile, mais le jury, sympathique, mettait un gros rythme dans son interrogation, ne me laissant souvent que peu de temps pour réfléchir. Je me suis sans doute parfois un peu précipité pour donner certaines réponses, ce qui m'a fait dire quelques bêtises.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très surpris par le deuxième exo. Lorsque j'ai écris $F_4=\{0,1,\alpha,\alpha +1\}$, où $\alpha$ est racine de $X^2+X+1$, le jury m'a vite demandé si $\alpha$ était racine de $X^8+X$. Après quelques instants de réflexion, j'ai fini par dire que $\alpha^4=\alpha$ car $\alpha \in F_4$, et avant d'avoir le temps de poursuivre mon raisonnement, le jury m'a directement affirmé que $F_4$ était inclus dans $F_8$ puis a enchaîné sur la suite de l'exercice. Or je me suis aperçu, à tête reposée à l'issue de l'oral, que c'était complètement faux : durant tout l'exercice, le jury a fait comme si 8 était puissance de 4. Alors, soit le jury est particulièrement machiavélique en me donnant des résultats faux, mais comme il a enchaîné directement sans me laisser le temps de réfléchir à ce qu'il disait, et que les deux autres membres du jury n'avaient pas l'air au taquet sur l'exo, je pense plutôt que le jury n'a pas remarqué non plus son erreur.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des exercices et des questions sur le plan : il y avait 5 résultats dans mon plan qui étaient des dl classiques ils m'ont demandé de donner les idées de démos des 3 que je n'ai pas proposés (lemme de morse, réduction des formes quadratiques sur un corps fini et ss-groupes compacts de Gln).

    - Montrer que l'ensemble des classes de congruence des matrices symétriques est fini ssi K*/K*^2 est fini
    - Montrer que l'ensemble des formes quadratiques de signature p,q est un ouvert
    - Est ce que vous connaissez un résultat général sur la réduction de formes quadratiques ? (ils voulaient le théorème de Witt que je ne connaissais que de nom)
    - Montrer que O(q) est un groupe. Dans le cas réel, quand ce groupe est-il compact ?


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury vraiment sympa qui s'excuse quand il pose une question un peu bête, qui acquiesce dès que je pars dans la bonne direction et qui aide quand je bloque. L'oral était principalement guidé par Tosel.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un oral qui ressemblait plus que d'habitude à notre préparation, des résultats du plan à démontrer ou expliquer.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A noter, des questions sur le groupe symétrique que je n'avais pas mis dans le plan.

    Prouver le lemme que j'avais admis dans mon développement (c'est à dire le lemme du Goblot). Trois preuves différentes du fait que $\Gamma$ (voir le Goblot, à nouveau) est un groupe.

    La réciproque du théorème chinois est-elle vraie ? Le démontrer.

    Montrer qu'un sous-groupe fini de $SL_2(\mathbb{R})$ est cyclique (avec des indications).

    Où ai-je utilisé le groupe symétrique dans mon plan ? (dans l'étude des groupes de Sylow)

    Donner les p-Sylow du groupe symétrique d'ordre 4.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?

    On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.

    Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
    Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur mon développement (un point que j'avais peu détaillé, notations). Les invariants de similitude sont les espaces ou les polynômes ?
    -Les actions que vous donnez sont-elles à droite ou à gauche ? (je sais jamais)
    -Vous avez centré votre exposé sur les invariants et les formes normales. Que peut-on dire de la structure des orbites ? Par exemple pour l'action d'équivalence, que peut-on dire des orbites de rang fixé ? (j'ai parlé d'adhérence et de semi-continuité) Est-ce que ces orbites sont des sous-variétés ? (Pour rg=0 et rg=n, c'est trivial, sinon, je ne savais pas, et je leur ai dit - vu que le rang n'est pas continu, je ne voyais pas comment procéder).
    -Ex: si un sg additif $G$ est stable par multiplication à gauche et à droite par $M_n$, montrer que $G=\{0\}$ ou $G=M_n$. (Si non nul, on a une matrice dont un coeff est non nul, donc on a une matrice avec $a_{1,1}=1$ dans $G$ en permutant/dilatant, puis par pivot de Gauss, on tue les coeff sur la première ligne et la première colonne, et en multipliant par la matrice $E_{1,1}$, on obtient $E_{1,1}$, donc tous les $E_{i,j}$ par permutation, donc $M_n$.
    -A propos de réduction simultanée et d'action diagonale (ce que j'avais fait pour la conjugaison et la congruence), que se passe-t-il pour l'action d'équivalence ? Nb de classes, invariants, etc. (J'ai un peu tâtonné, cherchant à réduire l'un puis l'autre sans trop de succès. Ils m'ont dit de regarder le cas où la dim=1 -> On voit alors que on a soit (0,0), soit (1,0) ou (0,1), soit (1,x), $x\neq 0$, et le rapport $x$ est un invariant. Retour à $n>1$, on veut regarder la classe de (Id,M), et on voit que c'est (Id, P), où P est semblable à M)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un peu sec tout au début quand j'avais pris des mauvaises notations dans mon plan sur les invariants de similitude et que je confonde action à droite et à gauche, mais après, avec les exercices, ils sont vite devenus assez enthousiastes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension nie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Ellipsoïde de John Loewner

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur mon développement, effectivement il y avait des petites chose qui était pas hyper précises et auxquelles je n'avais pas fait attention (par exemple lorsqu'on montre qu'un certain ensemble de formes quadratiques est compact, pour montrer la fermeture on utilise la caractérisation séquentielle, et ils ont beaucoup insisté pour préciser dans quel espace ça converge, pour quelle norme, etc...), mais j'ai aussi l'impression qu'ils ont pas écouté grand chose à ce que j'ai raconté pendant 15mn.

    Ensuite autant de questions sur mon plan, un des membres du jury m'a dit qu'il le trouvait pas rigoureux parce que je me place au début dans un espace vectoriel sur un corps $K$ quelconque, et ensuite je passait allègrement de $K$ à $\mathbb{R}$ et inversement sans forcément le préciser dans le plan, donc il m'a fait reprendre une par une les propositions en me demandant pour quel corps c'était vrai, et sinon qu'est ce qu'il se passait, etc..

    Exercices :
    -Déterminer la signature de $q(x,y)=x^2+y^2+xy$ (ils m'ont beaucoup embêté sur le changement de base que je faisais, j'ai pas trop compris ce qu'ils attendaient)
    -Soit $q:M_n(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}, M\mapsto tr(M^2)$ Montrer que c'est une forme quadratique et calculer sa signature (indice : considérer la restriction à $S_n(R)$)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le membre du jury précédemment cité était assez cassant, il enchaînait les questions très vite, coupait la parole aussi bien à moi qu'aux autres membres du jury. Les autres n'ont pas dit grand chose, à part un qui m'a donné des exercices à la fin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ça s'est passé comme je l'imaginais, le jury était un petit peu agressif mais il y en avait toujours un pour calmer le jeu.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le plan, ils m'ont fait corrigé une bébé erreur. Et sur mes annexes (pivot de Gauss pour obtenir des équations de sev)
    Detailler un point de mon développement.
    Exos :
    - Prouver la formule de changement de base dans la base duale
    - Montrer que tout endomorphisme d'un C-ev de dimension finie admet un hyperplan stable (bizarre qu'ils m'aient demandé celui là vu mon plan qui mettait en avant pas mal d'application de la transposition déjà)
    - l'exo classique sur les intersections d'hyperplan (que j'ai oublié de rajouter dans mon plan..)
    - montrer à la main (sans les bases antéduales), que deux formes linéaires définissent le même hyperplan ssi elles sont proportionnelles avec un coeff non nul

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le plus neutre du monde possible.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je voulais les titiller avec Hahn Banach (j'avais révisé la preuve) mais ils en ont pas parlé.
    Bon oral cependant je pense !

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur le développement : préciser pourquoi vous prenait un corps de rupture de $Y^2-xY+1$ (pour ceux qui connaissent le développement), c'était juste pour vérifier si j’avais compris ce que je faisais. Pourquoi Res(P ,Q) mod p = Res (P mod p, Q mod p), j’ai dit que c’était parce que je résultant passait aux morphismes mais pourquoi je ne savais pas exactement.
    Le boss me dit : - C’est quoi un résultant ?
    - Un déterminant, et le déterminant mod p c’est le déterminant des coeff mod p.
    Le boss : ok ça me va (même si l’autre juré souhaitait un peu plus de détails je crois)

    Questions sur le plan :
    - Pourquoi $X^3+X+1$ est irréductible sur Q(i) ?
    - Le polynôme est irréductible sur Q car pas de racine (s’il a une racine, on vérifie les hypothèse de divisibilité comme d’hab), puis on dessine la tour d’extension et comme P est de degré 3 et Q(i)/Q de degré 2 c’est bon (en détaillant un peu plus).

    - Connaissez-vous un générateur de Q($\sqrt 2, \sqrt 3$) ?
    - Oui $\sqrt 2 + \sqrt 3$ et je dois donner la preuve.

    - Pouvez-vous montrer qu’il existe un polynôme irréductible de tout degré dans Fq ?
    - Elément primitif car Fq* est cyclique puis le polynôme minimal d’un générateur convient.

    - Montrer que $X^4+1$ est réductible sur tout Fp
    Ça je m’en souvenais plus alors que c’était écrit dans le Perrin, que j’avais utilisé pour quasiment tout le plan, je m’en suis voulu. J’ai un peu galéré, j’ai essayé pour p=2, c’est Frobenius, puis pour p>2 il fallait juste trouver un racine dans Fp² donc un élément d’ordre 8 dans Fp²* qui existe car c’est un groupe cyclique d’ordre (p+1)(p-1), qui est divisible par 8.
    - Et comme $X^4+1=(X^2+1)-2X^2$ ça vous dit quoi au niveau de la réciprocité quadratique ?
    - 2 est un carré (je l’avais relu le matin quand j’avais revu mon développement)

    Le boss reprend la main et ne la relâche plus :
    - On revient à Q($\sqrt 2, \sqrt 3$)/Q, pouvez-vous me donner tous les générateurs ?
    - Euh… j’ai écrit un élément $a+b \sqrt 2 + c \sqrt 3 + d \sqrt 6$. Bon $a$ n’engendre pas grand-chose et on ne peut pas avoir deux des coefficients parmi $b,c,d$ qui sont nuls.
    Le boss : oui donc par exemple $b \sqrt 2 + c \sqrt 3$
    J’ai dessiné la tour d’extensions, dit qu’il faudrait montrer que son polynôme minimal est de degré 4.
    Le boss me parle de groupe de Galois, je baragaouine quelques trucs que je savais dessus et ça lui convient.

    Le boss demande si ses collègues ont d’autres questions.
    Un juré : Une dernière question, comment vous montrer que 1/x est constructible, si x l’est ?
    - Alors c’est le théorème de Thalès, je fais un dessin, mais pas le bon (j’ai dessiné le droite reliant 1 à 1 et x à x ce qui n’est pas top…). Je leur dit que ça ne va pas trop ça. Les types sourient, le boss fait une petite blague (« oui ça c’est juste une règle de 3 »). Ils me disent que c’était pas la bonne droite à considérer. Ah oui il faut juste relier 1 à x, et voilà.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    3 types, un boss et deux autres. Le boss menait la plupart du temps la discussion mais les autres étaient aussi actifs (contrairement aux autres oraux). Jury dynamique et sympa (l’oral s’est bien déroulé, ça doit aider).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais qu'on me titillerait plus sur la réciprocité quadratique et le résultant mais en fait non (tant mieux).
    En fait on a presque plus parlé de polynômes irréductibles que d'extensions de corps (bon ok c'est très lié). A part la dernière question, rien sur les nombres constructibles.

    C'était mon dernier oral et j'avais été juste niveau temps lors du premier, donc là j'ai essayé d'être efficace pendant la préparation pour pouvoir relire mes développements.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Gentil, met à l'aise et est dans l'optique d'une discussion critique sur le plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps de préparation est très court (2h30 en fait) !!! Je prévoyais de mettre les tables de caractères de groupes classiques en annexe mais n'ai eu le temps que de dresser celle de S4 à la va vite... Je l'ai signalé pendant ma défense de plan. Le jury m'a demandé à l'oral : "Si vous aviez fait les tables de caractères de H8 et D4, que pourriez-vous en dire ?" ce qui m'a permis de parler à l'oral de ce que je n'avais pas eu le temps d'écrire.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Gentil, met à l'aise et est dans l'optique d'une discussion critique sur le plan. Un membre du jury n'a pas beaucoup parlé...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps de préparation est très court (2h30 en fait) !!! Je prévoyais de mettre les tables de caractères de groupes classiques en annexe mais n'ai eu le temps que de dresser celle de S4 à la va vite... Je l'ai signalé pendant ma défense de plan. Le jury m'a demandé à l'oral : "Si vous aviez fait les tables de caractères de H8 et D4, que pourriez-vous en dire ?" ce qui m'a permis de parler à l'oral de ce que je n'avais pas eu le temps d'écrire.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Retour rapide sur le développement pour quelques question de notation (l'un des profs n'aimait pas ma façon d'introduire les endomorphismes d et n), ils ont voulus savoir si j'utilisais bien la décomposition de Dunford pour montrer la surjectivité de l'exponentielle.

    -Des questions sur le plan, j'avais oublié de finir ma définition de valeur spectral et ils m'ont fais remarqués qu'en dimension finie (ie dans le cadre de la leçon) valeur spectral et valeur propre c'est la même chose (j'aurais pas du en parler quoi). Ils m'ont demandés comment je justifiais l'existence de l'exponentiel d'un endomorphisme (j'ai un peu galéré). Ils m'ont demandés de démontrer quelques propositions du plan (avec plus ou moins de réussite), et ils sont revenus sur quelques critères de diagonalisation aussi je crois. Pour finir j'ai eu un exo où il fallait trouver la décomposition de Dunford d'une matrice et en déduire que l'application qui associe à une matrice de Mn(C) sa partie nilpotente était non continue.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le Jury était plutôt souriant, jamais cassant et a aidé beaucoup. Globalement l'oral était plutôt agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On avait plus de 3h entre le tirage du sujet et la fin de la composition (3h05 à 3h10), sinon pour ce premier jour les surveillant ont un peu galérés pour la mise en place.

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Base de Burnside

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Qqs questions sur le développement:
    -pourquoi G/H abélien <=> D(G)inclus dans H
    -pourquoi G/H isomorphe à Z/pZ
    Surtout des questions sur le plan :
    -qu'est-ce qu'une action n-2 transitive
    -démo des isomorphismes exceptionnels (en particulier PSl(2,F3)=A4)
    -j'avais parlé de représentation par permutation donc ils m'ont demandé de refaire la table de S4 en gros
    -pourquoi la somme des carrés des degrés vaut le cardinal du groupe ?
    -un seul exercice : action de On par congruence sur Sn++, quels sont les invariants ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillants, ils sont là pour qu'on donne le meilleur de nous-mêmes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu de la chance sur le tirage. Les examinateurs ne vont pas chercher la petite bête et vérifient surtout si vous connaissez ce que vous avez mis dans le plan. Il faisait 33°C à Lille à ce moment là (premier jour) donc c'était épuisant.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    SO₃(R) et les quaternions

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense de plan s'est très bien passée, avec un bon timing et le jury avait l'air intéressé (enfin, avec ce tirage c'est dur d'intéresser mais ils ont été réceptifs).
    Pour le développement, j'ai fait tout ce que je voulais sans me tromper. Le jury ne m'a pas interrompu pendant ma conclusion ; j'avais fini en 14min 30 donc je me suis dit que j'allais continuer à blablater 30 secondes, et finalement j'ai blablaté plus d'une minute mais le jury ne m'a pas interrompu donc le dvp a duré plutot 15min30 / 16min. Suivent les questions :

    Q : pourquoi vous avez cette formule pour les quaternions ? (j'ai dit que la multiplication était donnée par $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$, plutôt que les relations d'anticommutation).
    R : historiquement c'est comme ça que l'a introduit Hamilton etc. On retrouve les relations d'anticommutation comme ça blabla

    Q : pourquoi ça définit bien un produit ?
    R : il prolonge celui de R et de C, et on vérifie que ça définit bien une structure d'algèbre etc.

    Q : oui mais c'est-à-dire ?
    R : pardon ?

    Q : vous avez pas une méthode plus directe ?
    R : on peut trouver une représentation matricielle sur $M_2(\mathbb{C})$ comme ça puis voilà

    Q : et la conjugaison quaternionique se manifeste comment ?
    R : là j'ai dit une connerie (conjugaison) et je me suis rattrapé en disant que c'était le passage à l'adjoint etc.

    Q : quelle est l'intérêt d'utiliser cet isomorphisme ?
    R : informatiquement on a moins d'erreur de calcul que par le produit matriciel dans $SO_3$.

    Q : comment on détermine l'angle de la rotation définie par un quaternion $q$ ?
    R : (là j'ai réfléchi et baragouiné un truc chelou) je veux la trace de la matrice alors je regarde dans la base orthonormée $\left(i,j,k\right)$ et je regarde comment faire pour avoir les coeff diagonaux et ça donne $1 + 2 \cos \theta$. J'ai commencé à écrire des trucs il m'a demandé d'arrêter ça prendrait trop de temps.

    Q : si j'ai trois points $A$ $B$ et $C$ sur le cercle unité, montrer que $ABC$ équilatéral $\iff$ $z_A + z_B + z_C = 0$
    R : par action du groupe affine je me ramène à $A = 1$ (là je me fais un peu engueuler) euh pardon par action des isométries je me ramène à $A = 1$ et j'obtiens que l'un des cas est évident ($1 + j + j^2 = 0$). Pour l'autre implication j'ai été coupé dans ma démo par "que peut-on dire des parties imaginaires des deux autres affixes ?" donc j'ai fait un sourire (j'allais y venir mais il l'a dit avant que je le dise moi) et j'ai dit "bah elles sont de signes opposées et" et là je me fais couper "oui ok passons à autre chose"

    Q : dans votre formule de ptolémée pourquoi vous le mettez en première partie (géo affine euclidienne) et pas en projective ?
    R : ça se montre en projectif mais à l'aide des affixes complexes, et pour illustrer cette partie, je le mets là. On le montre comme ça blabla

    Q : Ok. Et en projectif alors ?
    R : alors bah j'pense que faut utiliser le birapport pour montrer la cocyclicité ça doit bien se faire...

    Q : oui bah faites alors
    R : alors je dois trouver une homographie qui balance ça comme ça

    [...]

    quelques indications plus tard je pense à utiliser une inversion par l'un des points qui marche bien

    Q : les inversions c'est des homographies ?
    R : je crois (grosse bêtise)

    Q : vous êtes sûr ?
    R : je regarde

    beh non c'est une anti-homographie (i.e la conjuguée complexe d'une homographie) mais ça résout quand même le problème

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable, très calme avec une voix très basse et pas trop speed. Assez bienveillant je dirai. Ils ont vu mon tirage ils ont dû se dire miskine on va pas gueuler trop fort.
    L'un des trois membres du jury a été beaucoup plus muet (seule question c'est le coup du triangle équilatéral)
    Les premières questions sur mon développement étaient essentiellement d'un seul membre. Les dernières étaient de la troisième membre du jury.
    Le jury a été très sympatique dans l'ensemble, je ne l'ai pas senti agacé ou quoi, mais visiblement ils sont tous sympas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment : j'ai eu le pire tirage que je pouvais imaginer, et dans la panique j'ai pas su quel bouquin prendre. Heureusement que j'avais de très bons développements.
    J'ai fait un plan pas très complet je pense pour ce qui est de la géométrie euclidienne et projective, j'ai essayé de rattraper ça avec beaucoup de trucs sur les constructibles et les quaternions. Ça a l'air de leur avoir plu quand même, on verra.
    Pour la préparation, j'ai pas trouvé les malles du premier coup mais c'est parce que je suis un gland doublé d'un abruti !
    Les appariteurs sont vraiment sympas et j'ai juste eu du mal à récupérer une quatrième feuille pour mes annexes mais bon.
    J'ai été surpris parce que la discussion paraît très très courte (bien plus courte que à la préparation à l'école, mais c'est ptet que nos profs veulent vraiment nous pousser tout au bout de nos retranchements).
    On verra pour la note, je pense que j'ai fait un des meilleurs trucs possibles pour moi sur cette leçon, que je n'ai pas préparée dans l'année, et c'était vraiment la pire après la 162. Pas de bol ça arrive, j'ai quand même l'impression d'avoir sauvé les meubles.
    Je pense qu'il faut surtout en retenir que y a pas de jury méchant et ils ont tout fait pour qu'on ait des discussions intéressantes, et ils ont cherché à juger de mon niveau de réflexion au delà des trucs bateaux sur les triangles donc je suis content.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Chevalley-Warning

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury attentif pendant le plan et le développement, pas de questions sur le développement.
    Questions :
    - pourquoi est-ce qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $\mathbb{F}_q$ ? (parce que $\mathbb{F}_{q^n}^{\times}$ étant cyclique, $\mathbb{F}_{q^n}$ est une extension monogène de $\mathbb{F}_q$, il suffit de prendre le polynôme minimal d'un générateur)
    - trouver une condition nécessaire pour que $2^n-1$ soit premier (réponse : $n$ premier).
    - si G est un groupe tel que l'action naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G$ n'a que deux orbites, que peut-on dire de $G$ ? (réponse : $G$ est un p-groupe abélien isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. Pour cela, montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe caractéristique pour obtenir que $G=Z(G)$, puis constater que tous les éléments non triviaux de $G$ sont de même ordre, qui est donc nécessairement premier et finir en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis ou en remarquant que $G$ peut être vu comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel).
    - quelle est la structure du groupe $(\mathbb{F}_q,+)$ ? (réponse : idem.)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des trois membres du jury posait essentiellement toutes les questions et les autres essayaient d'aider ou posaient de petites questions sur le plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris par l'absence de question sur le plan, mais sinon j'aimais bien cette leçon.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Isomorphisme kleinien

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Jury très attentif pour le développement puis beaucoup de questions sur les résultats utilisés (classification des formes quadratiques sur un corps fini, pourquoi le Frobenius permute les racines du polynôme minimal (...) ainsi que quelques questions sur le groupe dérivé).
    - Jury moins attentif sur le plan (une des jury m'a demandé pourquoi je n'avais pas parlé de groupes d'isométries de solide, ma réponse fut de lui indiquer le numéro correspondant dans le plan...).
    - Très insistant sur les polynômes symétriques et l'algorithme associé, résolution sur un exemple.
    - Rapide question sur le nombre minimal de transposition pour engendrer S_n.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Seul un des jurys posait des questions, tendance à l'aide, pas cassant du tout... Certains passages ressemblaient plus à une discussion qu'à autre chose.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai mis un peu de théorie de Galois, j'étais surpris que le jury ne parte pas dans cette direction. Sinon il faut veiller à tout définir même les choses évidentes comme le S... de SL_n(K), SO(n,K), SO(q)...

  • Note obtenue :

    18.75

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury très sympathique et souriant ! J'ai donc fait comme DVPT la topologie des classes de similitude qui caractérise la réduction.
    Ensuite ils m'ont demandé un contre exemple
    rép: prendre une matrice 2x2 de polynome caractéristique X²+1 et donc elle est diagonalisable sur C mais pas sur R, donc sa classe de similitude sur C est fermée, mais sa classe de similitude réelle est l'intersection entre la complexe et Mn(R) donc est fermée.
    Il m'ont demandé de changer les hypothèses pour que le théorème marche tout le temps
    rép : il fallait considérer des endomorphismes semi-simples
    J'ai eu ensuite quelques exercices :

    1) on se place dans Fq^n, soit A=diag(1,0,..,0)
    calculer le cardinal de l'oribte de A dans l'action par conjugaison.
    rép: on a la formule : Orbite=Groupe/stab
    il suffit de calculer le stab de A qui est l'ensemble des matrices qui commutent avec A

    2)soient deux matrices semblables sur C, le sont elles sur R ?
    rép : oui, séparer en partie réelle et imaginaire, puis raisonner par l'absurde avec un polynome ayant une infinité de racines et est donc nul. puis conclure.

    3) comment caractériser les matrices symétriques réelle?
    rep: signature + sylvester

    4) démontrer sylvester

    5) On se place dans Op,q une orbite de cette action (forme quadratiques réelles)
    les orbites sont elles connexes?
    J'ai juste eu le temps de parler des cas les plus simples commes On,0 et O0,n

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury patient, souriant et m'aidait pendant les questions et me disaient lorsque je répondais juste !
    Il avait l'air de bonne humeur du coup moi aussi.
    J'avais plus l'impression d'échanger plutôt que de passer un concours.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai vraiment été surpris, je pensais me faire détruire lors de cette leçon, mais cela s'est bien passé. J'ai mis le plan à mon niveau sans mettre de choses que je ne maîtrisais pas et ça s'est plutôt bien passé !

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Pouvez-vous rapidement montrer que les sous-groupes finis de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont conjugués à des sous-groupes de $O(n)$?
    2. Démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
    3 L'intérieur d'un convexe est-il toujours convexe ? Si oui, pourquoi ?
    4. Quels sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les trois membres du jury étaient attentifs et intervenaient régulièrement pour me questionner, mais aussi me guider dans la difficulté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Bézout faible (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Montrer det(fog)=det(f)det(g)
    Sur quels corps det est continue?
    Donner un exemple où l'on a exactement dd' points dans le théorème de bezout ( P= (x-x_1)...(x-x_d) et Q=(Y-y_1)...(Y-y_d') )
    GLn(R) est il connexe par arcs, puis montrer que non.
    Et Gln(C) , avec une idée d'une demo.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aide

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    12

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques précisions sur le développement ont été demandées.
    Ensuite on m'a donné des exercices en lien avec le théorème de Wilson et son utilisation.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement là pour aider et faire avancer la discussion.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Fluide. Des questions très basiques au début et un exercice plus difficile à la fin (j'ai eu besoin d'un peu d'aide pour l'exercice).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Gentil, aidant. Cependant, ils ont fait deux fautes en essayant de me poser des questions, cela m'a un peu destabilisé.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai proposé 3 développements, Sylow+ majoration du cardinal d'une partie génératrice minimale, Prolongement des caractères+classification des groupes abéliens finis et Frobénius Zolotarev+calcul de (2/p) (FZ se démontre à partir du fait que GL(E) est engendré par les dilatations)

    Ils ont choisi le théorème de classification des groupes.
    Ils m'ont demandé pourquoi le prolongement proposé était bien défini, j'ai donné tous les éléments mais je n'ai pas su recoller les morceaux et au bout de 5 minutes ils m'ont dit regardez c'est parce que vous n'avez pas utiliser les 2 côtés de l'égalité.

    A un moment j'ai dit qu'on pouvait prendre n'importe quel caractère non trivial du groupe engendré qui réalise le ppcm des ordres alors qu'il fallait choisir un morphisme injectif, ils m'ont donc demandé de construire un caractère injectif d'un groupe cyclique.

    Ils m'ont demandé de redémontrer le théorème du produit direct dans le cadre des groupes abéliens parce que je m'en suis servi dans ma démonstration. J'ai répondu de manière concise en me servant de quelques éléments que j'avais écris au tableau.

    Ils m'ont demandé si c'était difficile de démontrer le fait qu'il existait un élément dont l'ordre est égal au ppcm des ordres. J'ai répondu que non, la clef était le fait que si les ordres de a et b sont premiers entre eux alors l'ordre de ab est le produit des ordres mais que ça ne marchait pas si le groupe n'était pas abélien.

    Ils m'ont demandé de donner la classification des groupes abéliens de type fini sans démonstration. Par chance je connaissais la réponse et j'avais oublié de le mettre dans mon plan; j'ai parlé rapidement des groupes abéliens libre de type fini et que donc avec le théorème que l'on avait montré, en concaténant les 2 résultats on obtenait la classification voulue.

    Ils m'ont demandé si le lemme sur le ppcm des ordres était vrai sur les groupes non abéliens (visiblement le juré ne m'avait pas écouté). J'ai répondu que pour S3 ça ne marchait pas, il n'a pas d'élément d'ordre 6.

    Ils m'ont demandé de démontrer pourquoi il n'y avait que la signature comme morphisme non trivial de Sn dans C*. J'ai dit tout ce qu'il fallait sauf le fait que les transpositions sont conjuguées et ont donc toute la même valeur, un juré me l'a demandé, j'ai corrigé en disant que les transpositions sont conjuguées et C* est commutatif.

    Ils m'ont demandé de montrer que Q n'était pas un groupe libre de type fini. J'ai dit que si l'on avait un groupe abélien de type fini alors il y avait une distance entre ce groupe intersecté avec R+* et 0.
    Ca ne les a pas trop satisfait, quand bien même la réponse était juste, ils m'ont fait démontrer que le groupe <1/2,1/3,1/7> était isomorphe à Z (sans passer par la classification des sous groupes de R). Je n'ai aucune idée de comment ils voulaient que je conclus. Ils ont finalement dit que la distance avec 0 leur suffisait.

    Dans mon plan il y avait la connexité de Gln(C)/Gln+(R)/Sln(C ou R), ils m'ont demandé de démontrer la connexité de Gln+(R). J'ai donc montré que les transvections et les dilatations étaient reliées à l'identité puis pour n'importe quelle matrice on écrit que c'est un produit de transvections et 1 dilatation et l'on fait le produit des chemins.

    Ils m'ont demandé de donner un système de générateur de On(R), j'ai dit que les réflexions engendraient On(R). Le juré qui dirigeait l'oral m'a dit qu'il avait des lacunes sur ce qu'était une réflexion et m'a donc demandé ce que c'était. Je n'ai pas su répondre :/
    Ils m'ont donc demandé ce qu'il y avait dans On(R). J'ai répondu qu'il y avait les rotations. Ils m'ont demandé de montrer que ça ne pouvait pas engendrer On(R). J'ai dit "alors si je ne dis pas de bêtises les rotations commutent", un juré avait une tête de pas content j'ai donc dit "bon apparemment j'ai dit une bêtise" et les jurés ont souri. Je ne sais pas comment mais dans ma tête ça a fait tilt, j'ai dit que les rotations avaient toutes un déterminant positif et donc elles ne peuvent pas engendrer On(R). J'ai dit que peut-être On(R)= et ils m'ont demandé quel était le déterminant de -l'identité. J'ai donc directement proposé de regarder la matrice diag(-1,1,1,1,...,1) et là ils m'ont dit que l'ensemble de ces endomorphismes engendraient On(R). Un juré a dit à l'autre juré que c'était ça une réflexion.

    J'avais proposé un exercice qui était "Montrer ,sans utiliser de produit semi direct, que tout groupe non commutatif d'ordre 2p avec p premier impair était isomorphe au groupe diédral D2p". Ils m'ont donc demandé de le démontrer, j'y suis presque arrivé et ils m'ont dit bon on voit que ça va marcher mais on n'a plus de temps.
    (C'est un exercice tiré du Cortella)


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très gentil.

    Mais je pensais quand même avoir une meilleure note...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ils n'ont pas choisi mon développement original :/

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Montrer que 561 est de Carmichael sans la caractérisation explicite (Réponse : Regarder les $a^{561}$ mod(3),mod(11),mod(17) + Th chinois)
    -Montrer que la définition du n-ième polynôme cyclotomique dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{\F_p}$ (p premier à n) coïncident. (Réponse : Utiliser la relation $\Pi_{d|n} \Phi_d = X^n-1$ )
    -Montrer que pour p premier à n, les facteurs de $\Phi_n$ dans $\mathbb{\F_p}$ sont de degré égal à l'ordre de p dans $(Z/nZ)^x$. (Réponse : Prendre un facteur irréductible, regarder le corps de rupture, et raisonner sur le degré de l'extension car on doit avoir $p^m \equiv 1$ mod(n) )
    -Montrer que si $(Z/nZ)^x$ est cyclique, il existe un p premier générateur de ce groupe. (Réponse : Utiliser le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.)
    -Montrer que si P,Q $\in \mathbb{Z}[X]$ unitaires sont de pdcd $\neq$ 1 dans $\mathbb{C}[X]$, c'est encore le cas dans $\mathbb{Z}[X]$ (Réponse : On a le résultat dans $\mathbb{Q}[X]$ par contrapposée, puis on utilise le Lemme de Gauss et le contenu pour trouver un diviseur dans $\mathbb{Z}[X]$ de P.)
    -Donner un bon algorithme déterministe de primalité (Réponse : Algorithme AKS)
    -Expliquer "méthode de Monte-Carlo" (Réponse : Algorithme utilisant de la génération aléatoire, qui répond en temps fini, qui a toujours raison s'il répond "Non", mais qui a une probabilité d'erreur s'il répond "Oui". Ex : Test de Miller-Rabin pour savoir si n n'est pas premier.)
    -Expliquer le test de Miller-Rabin (Réponse : Utiliser k variables aléatoires de loi uniforme sur $\{1,..,n-1\}$ et tester si les entiers générés sont témoins de Miller-Rabin de n ou non.)
    -Donner la complexité du test de primalité naïf (Réponse : $O( exp(1/2.log_2(n)) )$, donc exponentiel )
    -Expliquer les calculs de chiffrement du RSA + donner la complexité (Réponse : Exponentiation binaire dans Z/nZ, O(log(e)) produits dans Z/nZ. )
    -Est-ce que casser RSA <-> Résoudre le problème de factorisation n=pq ? (Réponse : On ne sait pas)
    -Comment retrouver d avec (p-1)(q-1) et e. (Réponse : Euclide étendu)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant dans le fond.
    L'un des membres a fait toutes les questions concernant l'algorithme RSA et la complexité.
    Sinon, ils m'ont aidé à remettre les idées de mon développement en ordre (j'avais oublié le bon ordre pour les utiliser).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plan de rêve, préparation tranquille. Mais j'ai quand même réussi à mélanger l'ordre des idées de mon développement, ce qui m'a attristé car c'était un développement tout simple. (Remarque : En ayant mélangé tous mes arguments, mais en étant capable de me corriger à chaque erreur de logique, j'ai quand même eu 5/6 au développement. La bienveillance était donc de mise.)

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des questions pour éclaircir des points du développement
    Questions :
    1. Dimension de K[u] (degré du polynome minimal) et preuve (j'ai déterminé K [u]~K [X]/($\pi_u$)}, mais plus simplement à l'aide du polynôme minimal, les puissances supérieures au degré du polynôme minimal s'écrivent avec un degré plus petit)
    2. Donner la décomposition de Dunford de $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
    3. Preuve de la propriété : en dimension finie il existe toujours un polynôme annulateur (avec l'aide du jury)
    4. Question sur la division euclidienne de deux polynômes (j'ai écrit A=BQ+R mais ils attendaient le nom?? L'écriture de la division avec les conditions sur le degré du reste a semblé satisfaire le jury)
    5. Exemples de polynôme annulateur (avant de repondre ils ont conseillé de prendre des exemples issues de la géométrie). J'ai donné la symétrie axiale dans l'espace en donnant la matrice diagonale dans une base adaptée (ils ont demandé pourquoi u est diagonalisable évident avec la matrice donnée)
    6. Connaissez vous ce qu'est un projecteur ? Oui! pop=p donc $x^2-x$ est annulateur
    7. Exercice : G sous groupe fini de $GL_2(\mathbb{C})$. Que peut on dire de G? (Astuce : les valeurs propres sont les racines de l'unité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, le jury a donné plusieurs indications pour répondre aux questions qui m'ont posé problème.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Déroulement de la préparation
    Le temps de préparation commence à l'ouverture des sujets dans la "salle de tirage".
    Il faut écrire les intitulés des sujets sur une feuille A5
    Il faut ensuite se déplacer jusqu'à la salle de préparation avec ses affaires personnelles dans une caisse en plastique.
    Les plans sont ramassés 10 minutes avant la fin des 3h pour les photocopies.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Automorphismes de Sn

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a commencé par revenir sur le développement. Ils m'ont demandé de justifier que $\mathfrak S_n$ était engendré par les $(1\, i)$, je n'attendais pas cette question et j'ai eu un peu de mal à le faire (j'ai pris le cas de $\mathfrak S_3$ pour ensuite faire le cas général). Puis le jury m'a demandé de réexpliquer un point du développement sur lequel je suis passé un peu rapidement. Ils m'ont ensuite demandé qu'elle était la plus petite partie génératrice de $\mathfrak S_n$ (la réponse était dans mon plan) puis quelle était le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrer $\mathfrak S_n$ (j'ai eu l'intuition du résultat, le jury a confirmé que c'était une bonne idée et j'ai trouvé la preuve rapidement).

    Ensuite, ils sont passés aux questions sur le plan. Ils m'ont demandé comment je faisais pour prouver que le groupe multiplicatif d'un corps fini était cyclique, à partir de la formule $n=\sum_{d\mid n} \varphi(d)$. Je me souvenais du plan de la preuve, mais je ne me souvenais plus vraiment d'un point, le jury m'a donné une indication et ça m'est revenu. Puis ils m'ont demandé si le caractère fini du corps était nécessaire (non). Ils m'ont demandé quelle topologie je mettais sur les espaces de matrices et ils m'ont demandé quelles étaient les propriétés topologiques de $\mathrm{SO}_n(\mathbb R)$ (j'avais mis dans le plan qu'il était connexe par arcs, mais je n'avais pas dit qu'il était compact). Ils m'ont demandé de prouver que $\mathrm{GL}_n(K)$ était engendré par les transvections et les dilatations (à partir du fait que $\mathrm{SL}_n(K)$ est engendré par les transvections). J'ai mentionné l'algorithme du pivot de Gauss lors de la présentation du plan, le jury m'a donc demandé à quoi servait cet algorithme et quelle était son efficacité.

    Comme je parlais de la fonction indicatrice d'Euler dans le plan, ils m'ont demandé si je connaissais une formule pour $\varphi(n)$. J'ai dit que oui, en utilisant la multiplicativité de la fonction. Ils m'ont alors demandé de prouver la multiplicativité. J'ai répondu qu'on pouvais le prouver avec le théorème chinois, ils m'ont alors demandé comment je construisais le morphisme de $\mathbb Z/pq\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/q\mathbb Z$. J'ai posé l'application dans le bon sens, donc ça a été. J'ai dit une petite bêtise : je me suis fait la réflexion que ce que je faisais jusque là fonctionnerait sans supposer $p$ et $q$ premiers entre eux. Le jury m'a demandé si j'étais sûr de ça, j'ai dit que j'allais vérifier et je me suis rendu compte de mon erreur. Ils m'ont alors demandé ce qui se passait dans le cas où $p$ et $q$ ne sont pas premiers entre eux. J'ai répondu qu'il fallait alors considérer $\mathrm{PPCM}(p,q)$. Ils m'ont ensuite demandé comment inverser ce morphisme, j'ai répondu par l'algorithme d'Euclide étendu et le jury est passé à la suite.

    Le jury m'a demandé si je connaissais un système de générateurs de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. J'ai tenté une première réponse (fausse). Comme je ne connaissais pas la réponse, le jury m'a donnée deux matrices puis m'a demandé de montrer que les deux matrices étaient génératrices. J'ai essayé d'adapter la preuve du cas $\mathrm{SL}_n(K)$, mais ce n'était pas vraiment ça. Le jury m'a beaucoup guidé et après plusieurs minutes, j'ai fini par réussir. J'avais parlé du groupe dérivé de $\mathfrak S_n$ dans le plan, le jury m'a demandé de définir ce que c'était en général et quelles étaient ses propriétés. Enfin le jury m'a demandé comment faire pour déterminer un générateur de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$. J'ai répondu que je ne connaissais pas de méthodes autres que d'essayer. Le jury m'a demandé alors de le faire pour $p=17$, j'ai commencé à essayer avec 2. Le jury m'a alors fait différentes remarques, j'ai senti qu'ils essayaient de me faire comprendre quelque chose mais il n'y avait plus de temps et ça s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La préparation.
    Je suis passé sur une leçon que j'aimais bien et connaissais bien, je savais quoi mettre dans mon plan, je connaissais plutôt bien mes développements et je savais quelles références utiliser et malgré tout, je n'avais que très peu d'avance. J'ai fini d'écrire le plan 10 minutes avant qu'il ne soit ramassé pour photocopie. Il ne faut pas trainer lors de la préparation ! (et ne pas faire des plans à 40 items...)

    L'oral.
    J'ai été surpris par les questions : le jury a posé beaucoup de questions sur le plan, comment je faisais pour démontrer tel résultat, etc, mais presque pas d'exercices.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Gauss (polygones constructibles)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Suite au développement sur Gauss, que je pensais bien maîtriser, il y a eu deux questions :

    -A un moment du développement, vous dites que pour k dans (Z/pZ)*, g_k qui à (somme de 1 à p-1 des x_i w^i) associe (somme de 1 à p-1 des x_i w^(ik) ) est un morphisme de corps, vous pourriez le montrer ?
    (Pour ceux qui sont hors contexte : on se place sur l'espace vectoriel Q(w), de base {w, ... w^(p-1)} )

    "Oui alors on va commencer par montrer que c'est un morphisme de groupe (là on me dit que c'est pas la peine), puis pour le côté morphisme de corps on va calculer g_k( x * y) et g_k(x) * g_k(y) séparément et constater qu'ils sont égaux."
    J'avais déjà réfléchi vaguement à cette question donc je pensais que ça allait être facile, je développe et je dis "bon voilà c'est égal", sauf que le jury me fait remarquer que j'ai "mal" développé ma somme double ou du moins affirmé quelque chose d'a priori faux.
    A partir de là ils ont passé pas mal de temps à m'aider à essayer de montrer que c'était bien un morphisme, mais je n'y suis pas parvenu...je ne sais pas si c'est vraiment dur à montrer ou si c'est juste la panique au tableau qui m'a fait louper cette question qui n'avait pas l'air si méchante...

    -A un autre moment du développement, vous dites que l'espace vectoriel associé à la valeur propre -1, s'il n'est pas égal à {0}, est de dimension 1 sur K_i, vous pourriez expliquer ?

    Donc là je réexplique ce que j'ai dit pendant mon développement, en stressant un peu car si on me demande de réexpliquer, je m'attends à avoir encore fait une erreur de raisonnement. Mais non, cette fois-ci c'est bon, mon explication est correcte. J'avais du expliquer un peu trop rapidement la première fois. "On prend deux éléments x et y associés à la vp -1, alors g(x/y)=-x/-y=x/y donc x/y est dans K_i et donc x=ly où l € K_i donc E-1 est bien de dimension 1 sur K_i. "

    Ensuite fin des questions sur le développement, et premier exercice :
    -Soit K une extension de degré 2 de Q, montrez que K = Q(racine(d)) avec d un entier relatif.
    Aucune idée de comment faire, mais bon je dis que je vais prendre un élément x de K\Q, considérer son polynome minimal, et puisque c'est un polynome de degré 2, exprimer x en fonction des coefficients. Je commence à dire "peut-être qu'on pourrait montrer K=Q(racine(delta))" mais on me fait remarquer que delta n'est pas un entier. Donc je fais la réflexion qu'on pourrait multiplier les coefficients par les ppcm de leur dénominateurs pour se ramener au cas entier. On me dit que c'est pas une mauvaise idée, et avant ça on me fait remarquer que delta ne peut pas être le carré d'un rationnel.
    L'exercice s'est arrêté plus ou moins à ce moment là, car je bloquais et qu'on avait passé pas mal de temps dessus (car j'avais déjà du réfléchir pas mal + être aidé avant d'en arriver à ce stade...)

    -Vous dites que la somme et le produit d'algébriques est algébrique, montrez-le.
    Question de cours, donc. Bon ça j'ai su faire, l'idée est de se servir de la formule des degrés :
    si a et b sont algébriques sur K, alors on va mq K(a,b) est de degré fini sur K, ça permettra de conclure car il contient a+b et ab
    Or K(a,b)=K(a)(b) donc [K(a,b) : K]=[K(a)(b) : K(a)] [K(a) : K]. a est algébrique sur K donc le crochet de droite est fini
    b est algébrique sur K et donc sur K(a) aussi (puisque K(a) contient K), donc le crochet de gauche est fini.
    Donc on a bien l'extension K(a,b) qui est finie, donc algébrique.

    L'oral s'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Sur les 3 membres, l'un n'a pas dit grand chose, un autre s'est comporté normalement disons, et le dernier je l'ai trouvé assez sec.
    Ils aidaient un peu lorsque je bloquais à une question, mais pouvaient aussi me laisser patauger plusieurs minutes par moments.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est mal passé, mais dans la mesure où je suis tombé sur deux leçons que je n'appréciais pas du tout, ça ne m'a pas tant surpris que ça...
    La surprise s'est faite sur les questions du jury, j'espérais avoir majoritairement des leçons de cours et en fait pas vraiment...

    Dommage, j'avais profité de la préparation pour lire à peu près toutes les démonstrations des théorèmes de mon plan + celles de thm cités dans le rapport du jury (genre "montrer que la cloture algébrique de Q est algébriquement close" dans je ne sais plus quel rapport de leçon.)
    Ben du coup je n'ai eu qu'une question de ce type là, sûrement car j'ai galéré beaucoup trop longtemps sur les autres...

  • Note obtenue :

    7.25

  • Leçon choisie :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Autre leçon :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a aidé à compléter mon développement qui avait deux trous (ce développement est assez long, pour pouvoir conclure j'ai passé vite).
    J'ai eu du mal. Notamment comment le quotient des polynomes reste à coefficients entiers.

    Dernier jour de mes oraux j'étais très fatigué avec une table de prof qui empêchait de se reculer du tableau pour voir plus large.

    Q : construire le corps à 4 éléments. Table de multiplication. J'ai su faire.
    Q : plonger le corps dans une extension (réponse : la dimension de l'e.v était fractionnaire donc pas possible de plonger le corps, toutes les puissances supérieures des nombres entiers ne conviennent pas). J'ai su faire
    Q : différence entre irréductible et admettre des racines (sur des exemples velus). Critère d'irréductibilité dans une extension de corps.
    Q : Sur le plan expliquer le lien avec les codes de Hamming (corps fini et décodage)
    Q : Sur les corps de décomposition. Pas su répondre. en travaillant sur F27


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, mais parfois j'avais un peu le sentiment d'avoir des rames...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais du proposer en dev la classification des formes quadratiques sur Fp, plus simple, que je maîtrisais bcp mieux. Il faut prendre un développement de niveau pas élémentaire mais qu'on maîtrise suffisamment. Le premier jour ce serait passé mais avec la fatigue, le dernier jour des oraux c'est dur....

    Pronostic de note (casse gueule) : 11

  • Note obtenue :

    12.5

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique) #effectif #méthodeEuler

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lie-Kolchin

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Dans Lie-Kolchin, où vous servez vous de l'hypothèse "G non abélien"?
    -A la fin on écrit D^(l-1)(G)=D(D^(l-2)(G)), ce qui n'est possible que parce que l>=2, car G non abélien.
    Montrez le théorème de trigonalisation simultanée dans le cas abélien?
    -On a plus besoins d'aucune hypothèse sur la partie si ce n'est qu'elle est abélienne. La récurrence ce passera exactement comme dans Lie-Kolchin. Le cas trivial est le cas où tous les éléments sont des homotéthies. Sinon il existe un élément qui a un sous-espace propre non triviale et non tout l'espace, c'est ce sous espace qui permet de conclure par récurrence sur la dimension.
    Connaissez-vous un exemple de sous groupe résoluble connexe de GLn(C)?
    -Le sous groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles.
    Plusieurs définitions équivalentes de groupe résoluble?
    -Définition par le groupe dérivée et par la suite de sous groupes distingués.
    Décrire les classes de conjugaison de Sn?
    -Une classe est déterminée par une partition de n.
    Les donner et les dénombrer pour n=5.
    Quels sont les éléments du groupe symétrique qui peuvent s'écrire comme des carrées?
    -On regarde d'abord ce qui ce passe sur les cycles et on voit que les carrées sont les éléments qui n'ont dans leur décomposition en cycles à supports disjoints que des cycles impairs et des paires de cycles pairs. (Il m'a fallut pas mal d'aide pour celle là)
    Si l'on choisit uniformément deux éléments dans un groupe fini G peut on estmer la proba qu'ils commutent l'un avec l'autre?
    -Je n'ai pas réussi à conclure. Si G est abélien la prob est 1 sinon: on écrit ce que l'on cherche à calculer comme un quotient, puis on développe ça comme une somme sur les éléments de G, comme G est abélien #(G/Z(G))>=4, c'est cette inégalité qui pourra nous aider.
    Pouvez vous montrer que le centre d'un p-groupe est non trivial?
    -Démonstration classique.
    Quels sont le groupe d'ordre 49?
    -Selon le thm de structure des GAF, il n'y a que deux groupes abéliens non isomorphes, tous les groupes d'ordre p^2 sont abéliens.
    Les groupes d'ordre p^2?
    -Même réponse il suffit de changer 7 par p.
    On a une représentation du groupe symétrique via les matrices de permutations, pouvez vous donner toutes les sous-représentations irréductibles de cette représentation?
    -Soit (ei)_i une base de R^n S_n agit sur R^n par f.ei=ef(i). La droite engendrée par la somme des vecteurs de la base est invariante. L'hyperplan d'équation f(somm(liei))=somme(li)=0 en est un supplémentaire stable. A isomorphisme près la théorie des représentation donne l'unicité.
    Oui mais pouvez vous montrez que ce sont bien les seules, pas à isomorphismes près?
    -On finit par y arriver par le calcul.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury aidait beaucoup et était sympathique.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Endomorphismes semi-simples

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Autre dvlpt: Résolution d'une équa diff ordinaire/ suite récurrente sachant factoriser le polynôme caractéristique. Exemple tiré du livre MP, Dunod j'intègre, Warusfel, Ramis, Ruaud, Moulin...)

    L'échange a commencé par des éclaircissements sur le dvlpt lui même. Bien justifier que la décomposition donné par le lemme des noyau est valable pour un sous-espace stable car les projecteurs sont donnés par des polynômes en l'endomorphisme. Ensuite, ils m'ont interrogé sur la
    - dimension de k[u], donner un majorant;
    - polynôme minimal d'un projecteur p, reconnaître que c'est semi-simple, sous-espaces stables de p
    - décomposition de Dunford d'un matrice 2 x 2, le même que "PAYEUR" ou bien avec un 2 à la place du 0. Diagonalisable puisqu'elle admet 2 valeurs propres, partie nilpotente nulle donc c'est directement sa décomposition de Dunford.
    - indice de nilpotence maximal pour un endomorphisme nilpotent, considérer un élément x dans E\ker(u^(r-1)) et la famille libre (x, u(x), u²(x)...). Appliquer u à différente puissance.
    - G sous groupe de GL_n(C), tq tout élément soit de carré l'identité. G Abélien, c'est donc un groupe de matrices qui diagonalise dans une même base, avec valeurs propres \pm 1. Considérer un isomorphisme de groupe Gl_n =Gl_m et conclure que m=n.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury m'a aidé quand j'en avais besoin et laissé réfléchir lorsque je le décidais. Il est rester assez neutre mais plutôt bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était un peu plus cool que ce que j'imaginais, le jury n'a pas pinaillé sur des détails de mon plan ni posé de question piège.

    Les oraux blancs organisé dans ma préparation m'ont donné une idée fidèle du déroulement le jour j.

    En revanche dans les dernières minutes de la préparation, je trouve que les messages des surveillants (pensez à prendre votre fiche ou ranger les livres dans le bac ou aller aux toilettes ou que sais-je) sont franchement gênant, ce sont des moments important de révision des développement.

    On doit rendre nos brouillons (où on est sensé écrire nos dvlpt). Je ne sais pas si cela compte pour l'évaluation.

  • Note obtenue :

    13.25

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au départ quelques questions pour préciser mon développement; il y avait deux notions de continuité avec le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, ils voulaient que je précise à nouveau alors que je l'avais dit oralement. De même une précision sur le fait qu'au tableau j'avais écrit que les deux matrices avaient les mêmes valeurs propres et je n'avais pas noté "avec même multiplicité" mais je l'avais dit oralement.
    Des précisions sur la matrice de passage qui est diagonale dans le cas du développement.

    Ensuite, des questions en rapport avec le développement. Je ne me rappelle plus de tout mais on m'a demandé si c'était possible de créer une norme qui vérifiait N(A) = N(Ap) pour toutes suites de matrices Ap semblable à A. La réponse était non en utilisant la deuxième partie du développement on arrivait au fait que la norme de toute matrice nilpotente est nulle ce qui est bien évidemment impossible (j'ai eu un bug sur la fin).

    On m'a demandé: Est ce qu'on a la même continuité qu'avec le polynôme caractéristique avec le polynôme minimal? Je n'avais pas tout de suite bien compris la question. On a alors précisé la question: si j'ai une suite Ap semblable à A, alors est ce que le polynôme minimal de A va être le même que celui de la limite de Ap. J'ai dit que ça semblait faux puis j'ai trouvé un contre exemple.

    Après on m'a donné comme exercice: Soit A,B deux matrices, est ce que AB et BA sont semblables?
    C'est assez facile de voir que c'est vrai si elles sont inversibles.
    Ensuite si on suppose que AB est nulle est ce que c'est tout le temps vrai?
    On regarde les valeurs propres donc si on trouve BA non nulle avec AB nulle c'est faux. Un contre exemple en dimension 2 n'est pas trop dur à trouver. Pour m'aider on a essayé de m'indiquer le fait que l'image de B est incluse dans le noyau de A mais j'avais pas de suite compris et j'ai un peu galéré du coup.
    (j'ai aussi dit une grossière erreur en voulant aller vite, j'ai dit que si AB=0 alors A=0 ou B=0 et donc BA=0 mais je me suis repris assez vite)

    Après on m'a parlé un peu de mon plan. J'avais mis la relation par congruence, ils voulaient savoir ce que ça donnait quand on se restreint au groupe orthogonal. Il fallait parler du théorème spectral.
    Ensuite on me demande combien de matrices diagonales il y a dans l'orbite. J'ai instinctivement répondu une seule en disant que les valeurs propres restaient les mêmes dans l'orbite avant de me reprendre en précisant qu'il n'y avait qu'une seule matrice diagonale à permutations près des éléments de la diagonale.

    Enfin on revient encore sur mon plan, j'avais écrit que deux matrices semblables sur C le sont aussi sur R. C'est vrai mais je n'avais pas préciser que les matrices étaient réelles (ça paraissait obvious). Du coup ils m'ont demandé de l'écrire avant les quantificateurs et je me suis loupés en écrivant que les matrices étaient dans C... Donc après on me donne un contre exemple (en plus je fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique...), et là je capte enfin où est l'erreur!
    Puis on me demande une idée de la démonstration (je connaissais mais j'ai buggé à nouveau et j'ai pas réussi à conclure juste à l'oral).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était assez neutre. Il y avait deux hommes et une femme. Seul la femme souriait un peu quand je répondais correctement, c'est elle qui me posait le plus de questions. Un des homme ne m'a posé qu'une seule question mais voulait impérativement que je fasse le développement des classes de similitudes. Le dernier était très neutre, mais me donnait beaucoup de pistes pour m'aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le début de la préparation est déroutant, c'était ma première épreuve et je n'avais pas de suite réalisé que ça avait réellement commencé. J'ai été aussi surpris du fait que l'on se balade librement dans le couloir pour chercher ses livres.
    Enfin j'étais surpris du fait que l'on ne me pose aucune question ni sur le théorème de Lie-Kolchin, ni sur le lemme de Morse qui figuraient tous deux dans mon plan.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    6 minutes: Je n'avais pas eu le temps de les préparer donc elles n'étaient pas terribles, je pense avoir dit des choses intéressantes mais pas au bon moment.

    Développement: Je le connaissais bien je l'ai fait dans les temps et je pense l'avoir fait proprement. Je me suis juste trompée dans l'injectivité j'ai pas pris le bon polynôme interpolateur mais ils ne m'en ont pas voulu.

    Questions développement:
    Jury: Quelle norme vous utilisez?
    Moi: La norme 2 c'est à dire la norme subordonnée à la norme euclidienne qui est égale à la racine du rayon rayon spectral de ...
    J: Vous avez une idée de comment ça se démontre?
    M: Décomposition polaire
    J: Pour la surjectivité où est ce que l'on se sert de l’hypothèse de défini positivité?
    M: Pour définir le logarithme des valeurs propres.

    Questions Plan:
    J: Est ce que que vous avez un critère de diagonalisation sur F_p?
    La réponse était une matrice A à coeff dans F_p est dzable ssi A^p=A. Je ne l'ai pas trouvé mais j'ai su le démontrer.

    J: Dans mon plan vous avez défini la semi-simplicité par la diagonalisation dans une extension dans K (c'est juste mais c'est pas la définition usuelle), est ce que vous avez une autre caractérisation de la semi simplicité avec les polynômes?
    M (avec de l'aide): A est semi simple ssi son polynôme minimal est sans facteur carrés.
    J: Montrez le.
    Là j'ai pas mal galérer, il fallait passer par une caractérisation avec des sous espaces stables, mais avec beaucoup d'aide j'ai fini par m'en sortir.
    J: Vous avez mis dans votre plan que Dn(C) est dense dans Mn(C), est ce que Dn(R) est dense dans Mn(R)?
    M: Je sais qu'on utilise le fait que C soit algébriquement clos dans la preuve...
    J: Oui donc la preuve sur C ne marche pas sur R. Trouvons un ct-ex en dimension 2.
    J'ai ressorti une matrice que j'avais mise dans mon plan qui avais pour valeurs propres +/-i, j'ai calculé le polynôme caractéristique car ils n'avaient pas l'air convaincus.
    J: Ok et pourquoi on ne peut pas approcher cette matrice par une suite de D_n(R)?
    M (avec de l'aide): Si A_k est une suite de matrices de D_n(R) alors pour tout k le polynôme caractéristique de A_k est à racines réelles or l'application qui a une matrice associe son polynôme caractéristique est continue
    J: Et qu'est ce que vous utilisez pour savoir si un polynôme de degré 2 a des racines réelles ?
    M: Ah oui! Le discriminant qui lui aussi est continue donc la limite d'une suite de matrice de D_n(R) ne peut pas être ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympathique, ils savaient quand aider et quand laisser réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu un très bon tirage, cette leçon était l'une des leçons que je connaissais le mieux! Et je maitrisais les 2 développements. Malgré ça écrire le plan et réviser les 2 développements m'ont pris les 3h de la préparation, je n'ai donc ni eu le temps de réviser les preuves ni de préparer les 6 minutes. L'en-tête de la première page du plan prends de la place on ne peut donc pas écrire autant que ce que je pensais. Sinon pas de surprises.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice
    \[\left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 2
    \end{array}
    \right).\]
    Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ?

    Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan ou le développement. On m'a par contre demandé de mettre en application le théorème pour déterminer les sous-groupe distingués de S4. Puis le jury est parti assez loin dans les questions, on a dérivé sur les transvections...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des jurés a presque monopolisé la parole en posant quasiment toutes les questions (la seule femme du jury n'en a posé aucune). Le jury m'alimentait en permanence de questions, de sorte que je ne reste pas sans rien faire au tableau même quand je ne trouvais pas les réponses. L'expérience était vraiment positive, même si la note n'était pas très bonne à l'arrivée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris qu'il n'y ait pas de questions sur le plan ou le développement. J'avais à disposition un tableau blanc (velleda).

  • Note obtenue :

    8

  • Leçon choisie :

    120 : Anneaux $Z/nZ$. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le plan. Le niveau des questions était assez bas à mon sens, mais il fallait être capable d'y répondre rapidement et sans erreur.

    Question : Calculer le 6-ème polynôme cyclothymique.
    Question : Questions sur l'indicatrice d'Euler, lien avec le théorème chinois
    Question : Théorème de Wilson, démonstration
    Question : Démonstration de RSA
    Question : Autre application du théorème chinois ? Equations diophantiennes. Exemple ?
    Question : Nombre d'automorphismes de Z/nZ ?

    ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique qui ne m'a pas tenu rigueur d'avoir posé la division euclidienne de X^8-1 par X^4+1.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise particulière, si ce n'est la préparation qui se fait dans un milieu assez bruyant et dense.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense de plan, ainsi que la présentation du développement se sont bien passés. Mais j'ai fait une erreur dans la présentation qu'ils m'ont fait corriger après et cela a bien duré 5 bonnes minutes. J'enchainais petites erreurs sur petites erreurs. La partie Questions commençait mal. J'ai pu me rattraper par la suite avec les autres questions et exercices. Voici ceux dont je me rappelle :
    -Donner la signature de la forme quadratique $A \rightarrow Tr(A^2)$ ( Résultat qui était dans mon plan et que j'ai signalé. On est donc passés à un autre exercice.)
    -Soit q une forme quadratique sur E un K-ev et u un vecteur de E. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que u puisse être compléter en une base orthogonale pour q. ( Ils m'ont laissé le temps de la réflexion au tableau, ce qui m'a permis de proposer des pistes et finalement résoudre l'exercice sans aide)
    -Il s'agissait dans cet autre exercice de montrer qu'un espace quadratique se décompose comme somme d'espaces hyperboliques et d'un espace sans vecteur isotrope. Ils m'ont dit de raisonner par récurrence, ce qui m'a permis de faire l'exercice.
    Des questions sur le plan étaient posées entre les exercices, notamment "Comment définissez-vous le discriminant d'une forme quadratique dégénérée ? " (La définition était pourtant dans le plan) ou encore des questions sur les carrés dans Fp.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sec voire agacé lorsque je faisais mes petites erreurs après la présentation de mon développement. Ils étaient nettement plus sympas lors de la partie exercices et le plus agacé des trois a même fini par sourire ! L'un des trois jurys ne parlait pas du tout et se contentait d'écrire des trucs.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise durant l'oral.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose.
    — Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose.
    — Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p.

    Après ça, c'était terminé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Suite de polygones

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Le jury a posé d'abord des questions sur ma présentation (6min) et est revenu sur ce que j'avais noté au tableau. Je m'attendais à ces questions et j'ai su y répondre rapidement.
    - Ensuite, le jury est revenu sur mon développement et ils ne le connaissaient pas à priori. Ils m'ont demandé de réexpliquer la fin sur la limite.
    - Sur le plan : j'avais oublié un mot dans un théorème (endomorphismes qui commutent et diagonalisables sont diagonalisables dans une même base), ils m'ont demandé de le démontrer. Puis ils m'ont demandé si on pouvait avoir des hypothèses plus faibles. Ils m'ont posé un exercice mais je ne m'en souviens plus.
    - Question sur endomorphisme diagonalisable sur un corps fini : j'ai cité le théorème et je l'ai redémontré
    - Exercice sur une matrice A telle que A^2+A+In=0 (pas eu le temps de finir)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury agréable

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui bien passé. La préparation s'est bien déroulée, j'ai eu le temps de faire le plan que je voulais, revoir les développements et les démonstrations des théorèmes. J'ai pu aussi préparer l'introduction en insistant sur l'intérêt de la diagonalisation, et les outils pour y parvenir (cf Grifone + X-ens).

  • Note obtenue :

    14.75

  • Leçon choisie :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme d'Euclide étendu et complexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a posé quelques questions pour bien refixer les hypothèses de ma leçons. Puis est passé à une lecture plus approfondie du plan.
    Après quelques questions pour me demander si je pouvais un peu plus généraliser certains résultats de mon plan ou les réécrire pour éviter d'utiliser des termes partant un peu trop loin (comme ensemble réticulé, pour définir pgcd et ppcm), l'un des jury a remarqué (à voix haute) que mon plan manquait d'exemple.
    La fin de l'échange a donc été constitué de recherche de contre-exemples à mon plan (Donner un idéal non-monogène de Z[X], par exemple).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique, bien que peu souriant. Bien que l'un d'entre eux semblait commencer à se tendre vers la fin, ils m'ont tous les trois encouragés à avancer lorsque je touchais une corde sensible de leurs questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été beaucoup plus rapide lors de cette préparation qu'au moment de mes oraux blancs. Pour autant, il ne faut pas prendre tout son temps ;).
    Le jury me mettait étrangement en confiance et était très apaisant (moi qui ai eu à résoudre de gros soucis de stress, à côté du travail propre au concours). Cette dernière remarque concerne d'ailleurs l'ensemble de mes épreuves !

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    103 : Exemples de sous-groupes distinguées et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lie-Kolchin

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le dév (Lie Kolchin) notamment sur le côté groupe topologique : pour quelle topologie. J'ai dû détailler pourquoi la topologie usuelle sur Mn(C) donne bien que Gln(C) est un groupe topologique. Ils m'ont demandé beaucoup de détails pour juste dire que le produit et l'inverse étaient continus.
    Apres je m'étais un peu planté dans la précipitation pour montrer que les sous groupes dérivés étaient bien connexes, donc ils m'ont demandé de redétailler ce point (conclusion : il faut vraiment relire son dev en entier avant de passer meme sur les points qu'on pense avoir bien en tete)

    Ensuite ils m'ont demandé de donner D(SLn(C)) pour n>=3.
    Ensuite j'ai du montrer que si G est un groupe de cardinal n non abélien, alors G/Z(G) ne peut pas etre cyclique.

    Ensuite on m'a demandé de montrer que dans ce cas la (ie G non abélien), n/4 <= Card(Z(G)) <= n/2, ce qui (je m'en suis rendu compte a froid) est faux (on a card(Z(G)) <= n/4 puisque G/Z ne peut pas etre d'ordre 2 ou 3 ce qui le rendrait cyclique). Puis que quand g et h sont des variables aléatoires uniformes sur les éléments du groupe : Proba(gh = hg) <= 5/8 mais l'oral s'est arrêté avant que je commence a trouver quelque chose.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury avait en moyenne une bonne attitude, ils me laissaient un peu de temps pour réfléchir et me filaient des tuyaux au bout de ce moment si je trouvais rien.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, finalement on a a peu pres eu nos 3h de préparation, pas de grosse surprise.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J’ai proposé en développement un autre « même des noyaux » faisant intervenir le PPCM et le PGCD, ainsi que la dualité (cf Carnet de voyage et algébrie de Caldero-Perronier) et ils ont choisi celui là plutôt que Dunford (comme d’habitude Dunford ras le bol !!)

    Questions :
    - est ce que ce développement n'est valable que en dim finie ? Finalement non à priori
    - redéfinir l'application transposée
    - montrer que P(transposée de u) = transposée de P(u) si P est un polynôme : bon jusque là ...
    - Montrer que Ker(transposée de u) = Im(u) orthogonal (au sens du dual)
    - montrer que (A+B) orthogonal = A orthogonal inter B orthogonal (au sens du dual)
    Tout ça c’était sûrement pour vérifier que je connaissais bien le peu de difficulté de mon développement ..

    - Une application de mon développement plutôt difficile avec des anneaux du type K[X]/(PQ) et un morphisme de cet anneau dans K[X]/(P) x K[X]/(Q) qui a un polynôme associe sa classe modulo P et modulo Q.. on m'a demandé quelle structure avait le noyau de ce morphisme (c'est un ideal) puis on m'a demandé de la calculer et c'était (P) inter (Q) et après on a posé un endomorphisme bizarre pour utiliser mon développement mais c’est trop flou et j’avais vraiment du mal à comprendre ce qu’ils voulaient..

    - Donner un exemple de matrice 2x2 dont le polynôme caractéristique est pas scindé et donner sa décomposition de Dunford du type Semi simple + nilpotent : j'ai dit A =
    0 1
    -1 0
    sa décomposition est A = A + 0 puisque le polynôme minimal de A est X^2 + 1 qui est irréductible donc A est semi simple

    - Cest quoi les sous espaces stables de la matrice posée ? Alors on voit que c'est un endomorphisme cyclique donc y'a autant de sous espaces stables que de diviseurs unitaires du polynôme minimal c'est à dire un seul qui est E tout entier

    - Et une preuve plus numérique sans utiliser les endomorphismes cycliques ?
    Une droite peut pas être stable sinon il y aurait une valeur propre donc il n'y a que E tout entier

    - Soit F l'ensemble des endomorphismes cycliques de E : quelle est la topologie ? (Ouvert, fermé ?)
    J'ai rien su dire ducoup il m'a dit de montrer que c'est ouvert ..

    Donc on pose x dans E et fx la fonction qui a u associe le déterminant de la famille (u^i (x))

    Et l'union indexée par les x de E des images réciproques f^(-1)(C*) est un ouvert et c'est exactement l'ensemble des endomorphismes cycliques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas très souriant, parfois même en désaccord entre eux par rapport aux questions qu’on me posait.
    Cependant, pas cassant non plus, malgré tout ils ne m’ont pas non plus mis mal à l’aise !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, temps de préparation correct, j’avais prévu 1h30 pour le plan et 1h20 pour les développements et les premières phrases de l’oral.
    L’accès aux malles est simple

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction des endomorphismes normaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - J'ai commencé mon plan en disant que les matrices diagonales sont faciles à inverser et pratiques pour les calculs. Le jury m'a fait remarquer qu'il est plutôt rare de diagonaliser une matrice pour l'inverser.

    - Le développement c'est bien déroulé, le jury n'avait pas de question dessus.

    - Le jury m'a demandé comment s'appelle une matrice de la forme
    (a -b)
    (b a)
    Et à quoi cela correspond géométriquement.

    - Ensuite j'ai du montrer que si M est diagonalisable alors tout espace stable par M admet un supplémentaire stable. Je suis bien parti mais j'ai mis quelques minutes avant de pouvoir conclure.

    - Le jury a demandé de montrer que tr(AtA)=0 implique A=0 (que j'utilisais dans mon développement). J'ai dit que ça provenait d'un produit scalaire, et j'ai du le démontrer. On m'a demandé comment s'appelait ce produit scalaire (Dit de Frobenuis).

    - On m'a demandé la décomposition de Dunford de exp(M) connaissant celle de M puis de montrer que M diagonalisable SSI exp(M) l'est, et enfin la CNS pour que exp(M)=I (tout ceci était dans mon plan).

    - Le jury m'a demandé de montrer que l'adhérence de Dn(R) ne valait pas Mn(R). J'ai d'abord trouvé une matrice non trigonalisable sur R (car j'avais dans mon plan l'adhérence de Dn(R) qui vaut Tn(R) ). Le jury a alors demandé de montrer directement le résultat sans utiliser mon plan. (Penser au discriminant).

    - Comme j'avais fait une partie topologique, le jury a demandé de donner une caractéristique topologique sur la classe de conjugaison de M lorsque M est diagonalisable. J'avais déjà vu ce résultat mais j'ai eu un peu de mal à retrouver la preuve. Le Jury m'a aidé, et j'ai finalement réussi.

    - Pour finir, le Jury m'a demandé comment je ferais concrètement pour diagonaliser M symétrique. J'ai dit qu'il fallait calculer le polynôme caractéristique, mais le jury a reformuler la question en suggérant que la matrice M est de taille 100. J'ai dit qu'il fallait trouver les valeurs propres de M. Qu'on pouvait les approximer par méthode itérative. J'ai énoncé le nom de la méthode de la puissance pour calculer la plus grande valeur propre de M après un peu d'aide. Le jury a dit oui et m'a demandé comment conclure. J'ai dit qu'il fallait résoudre un système linéaire AX=cX et le jury a demandé comment on conclut ensuite, par récurrence en calculant l'orthogonal de X. L'oral c'est terminé ici.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le jury a posé des questions relativement proches du plan.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement s'est bien passé, j'ai pris exactement 15 minutes.

    Questions sur le développement : où interviens précisément le fait que p est premier impair ? Rappeler la formule qui lie le cardinal du groupe et le cardinal des orbites. Comment démontre-t-on cette formule ?

    Questions sur le plan :
    Avec Frobenius vous dites qu'on peut montrer que si deux matrices sont semblables dans un sur-corps alors elles sont semblables. Frobenius c'est un peu compliqué, vous savez comment on peut le démontrer dans le cas particulier où les corps sont R et C ? Là je dis oui et je fais la démo avec le déterminant.
    - Est ce qu'on peut généraliser cette méthode ?
    - Oui pour une extension finie.
    - Seulement finie ?
    - On s'y ramène on considérant le corps engendré par les coefficients de la matrice.
    - Ok très bien mais ça marcherait pas dans quel cas ?
    - Euhhhh je sais pas ... J'ai l'impression que ça marche tout le temps ...
    - Regardez bien votre démonstration avec le déterminant !
    - Ah oui ça marcherait pas sur des corps finis.
    - C'est ça ; pour les corps finis on a besoin de Frobenius.

    D'ailleurs en parlant de Frobenius, comment vous montrez votre lemme truc (c'est le lemme qu'on a besoin pour montrer Frobenius qui dit qu'il existe un polynôme annulateur ponctuel en x exactement égal au polynôme annulateur). Je commence à le démontrer, après deux trois lignes il me dit "ok c'est bien, je vais vous proposer une autre méthode"). Il me fait faire une autre démo que je connaissais aussi avec des réunions de noyaux, mais je lui ai fait remarqué à la fin que ça marchait pas sur les corps finis (une nouvelle fois lol).

    Comment vous montrez que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont co-diagonalisables ?
    - Alors il y a deux preuves, une un peu chiante où on montre que les sous espaces propres de l'un sont stables par l'autre et on montre que la restriction à un espace stable d'un endomorphisme diagonalisable reste diagonalisable ... (il me coupe)
    - Et ça se démontre comment ? (je réponds il me dit ok)
    - Mais moi je préfère la démo où on fait une récurrence sur la dimension de l'espace car on a pas besoin de démontrer ces deux propriétés.
    - Montrez moi.
    - (Je fais la démo ... ) Ah ouais, en fait on a besoin de montrer les mêmes propriétés ....
    - Oui ...
    - Bon au moins la récurrence permet de démontrer le résultat pour un nombre quelconque d'endomorphismes.
    - C'est vrai.

    On va passer aux exercices : Quel est le stabilisateur de l'identité pour l'action de congruence ? (j'ai pas compris l'intérêt de la question, la personne qui m'a posé la question m'a dit ok quand j'ai donné la réponse mais à mon avis elle s'est trompée dans son énoncé d'exercice car là il n'y avait vraiment rien à faire ...)

    Ensuite lors des dix dernières minutes on m'a donné un gros exercice en me guidant avec des questions : montrer que tout sous algèbre des matrices complexes telle que tous ses éléments sont diagonalisables est commutative. C'était assez laborieux, il y avait une récurrence à faire pour avoir une expression avec des nilpotentes et des trucs dont je me souviens plus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury est très sympathique, il fait remarquer gentiment quand on dit des bêtises ou quand on oublie une hypothèse.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On a un peu moins de trois heures pour préparer. Sinon RAS.

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie

    Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie "fonctions symétriques élémentaires" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien.
    Questions :
    - pourquoi parle-t-on de fonctions "symétriques"?
    - résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) )
    - trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente
    - f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!)
    Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai fait des erreurs de notation dans mon développement et dans mon plan, notamment un problème de définition du symbole de Legendre ; on a passé un certain temps - 10/15 minutes je dirais - à remettre tout ça en ordre. POur ce qui est des questions, je me souviens de celles-ci :
    - Expliquer rapidement la démonstration de la classification des formes quadratiques sur un corps fini
    - 15 est-il un carré modulo 37 ? (et montrer que le symbole de Legendre est multiplicatif)
    - Donner une application du théorème de Cauchy sur les groupes : je n'en avais pas, j'ai fais quelques remarques sur le résultat (notamment dit que c'était une réciproque partielle du théorème de Legendre) ; on m'a demandé d'expliquer pourquoi dans un groupe abélien fini le produit de 2 éléments dont les ordres sont premiers entre eux est un élément d'ordre le produit des ordres, avec un contre-exemple dans le cas non abélien
    - A la fin : s'inspirer de la démonstration du théorème des 2 carrés pour trouver les nombres premiers irréductibles dans Z[sqrt(d)] ; après quelques remarques et indications, le temps était écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury globalement souriant, plutôt vers la fin qu'au début je dirais, mais jamais désagréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était le 1er jour de canicule, j'ai dû aller me mettre de l'eau sur le visage plusieurs fois pour ne pas avoir trop chaud ; il faut bien penser à boire et à manger pendant la préparation (on oublie facilement dans ces circonstances) pour éviter de se sentir faible devant le jury

  • Note obtenue :

    17.75

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je pense avoir fait un plan riche que je ma^trisais bien, et les questions ont
    principalement tourne autour, ce qui fait que je m'en suis bien sorti. La seule
    question qui ne ressemblait a rien de ce que j'avais deja vu je n'ai pas reussi a
    y repondre!
    Dans mon plan je parle de generateurs de Gl(E), O(E)...etc avec des appli-
    cations a la structure de ces groupes, je reduis les matrices orthogonales et
    unitaires et les deux parties que je prefere et sur lesquelles j'aimerais ^etre inter-
    roge sont le denombrement sur les corps nis gr^ace a des actions de Gln(Fq) et
    les representations de groupe.
    Je propose en developpements la surjectivite de l'exponentielle matricielle com-
    plexe via Dunford que je montre dans le dev, et la decomposition polaire dans
    Gln(R)+ application a unitairement semblables implique orthogonalement sem-
    blables (pour deux matrices reelles)+ application a la reduction des matrices
    orthogonales en partant de celle des unitaires.
    Ils choisissent le deuxieme dev, je le fais dans le temps imparti, rien de special
    a dire (la montre electrique au poignet pour se chronometrer aide bien).
    Les questions:
    Jury: dans votre dev vous utilisez l'existence et l'unicite d'une racine symetrique
    de nie positive, comment montreriez-vous ce resultat?
    Moi: pour l'existence on fait comme ca (je commence a detailler l'unicite au
    tableau).
    Jury: ok, nissez d'expliquer a l'oral (je le fais).En quoi votre dev est pertinent
    par rapport a la lecon?
    Moi: deja on montre et on utilise la decomposition polaire qui nous dit que
    quand on restreint l'action par translation a gauche de Gln(R) sur lui-m^eme a
    On(R), chaque orbite contient une unique matrice de nie positive.Et aussi...
    Jury:ok c'est ce que je voulais entendre.Soient a et b des reels tels que a2+b2 6= 0
    et A =
    a

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    On m'a demandé de détailler pour quelle raison un groupe $G$ dont le quotient par le centre est cyclique, est nécessairement abélien.

    Sur le plan :
    Commentaires sur la table de caractères de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ils attendaient que je dise qu'il s'agit d'une matrice de Vandermonde. Je n'ai pas su l'interpréter cependant, mais nous sommes passés à autre chose.
    Démontrer que le groupe dual de $\mathfrak{S}_n$ est d'ordre $2$ (ie on ne trouve que la signature et le caractère trivial) pour $n\geq 2$.
    Expliquer l'identité $\mathcal L(E,F)^G = \operatorname{Hom}_G(E,F)$.
    Comment démontrer qu'une représentation est irréductible ? (On calcule la norme du caractère associé) Illustrer ce principe avec la représentation standard de $\mathfrak{S}_5$.
    Peut-on lire des informations sur la table de caractère d'un groupe ? (Oui, on peut repérer les sous-groupes distingués. On ne m'a pas demandé de preuve mais juste d'expliquer, et d'illustrer sur un exemple)
    Commentaires sur le théorème de Maschke : comment marche-t-il ? Est-il encore vrai dans d'autres contextes (ie on quitte $\mathbb C$).

    Pas d'exercice à proprement parler.

    Sur les cinq dernières minutes, on est partis en terre inconnue sur ce qu'on pourrait dire de représentations de groupes infinis. On m'a demandé de donner des exemples de représentations de $SO_2(\mathbb R)$ (abélien, on s'attend à ce que les irréductibles soient de degré $1$) et de $SO_3(\mathbb R)$. C'était des questions assez informelles sur la toute fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant. J'ai été surpris par les questions qui m'ont été posées: toutes portaient sur le plan, aucun exercice, et des questions assez ouvertes. On m'a plus souvent demandé si je connaissais un résultat plutôt que si j'en connaissais la preuve.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de l'élément primitif en caractéristique 0

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan, aucune question sur le développement.

    1) Vous dites qu'en caractéristique nulle, un polynôme irréductible sur un corps $K$ est scindé à racines simples sur son corps de décomposition. Avez-vous un contre exemple dans le cas des corps finis ?
    J'ai d'abord donné le premier exemple de polynôme en caractéristique p qui me venait, $X^p-1$, j'ai expliqué que la dérivée était nulle mais j'ai réfléchi et ait remarqué que ce polynôme n'est pas irréductible ^^ Je me suis alors souvenue vaguement du contre exemple pas trivial, il faut se placer sur $K= \mathbb{F}_p(X^p)$ et considérer $T^p-X^p \in K(T)$. Il avait l'air content que je connaisse cet exemple alors il m'a aidé à le retrouver.

    2) Vous dites dans votre plan que les corps de ruptures sont isomorphes, pouvez-vous expliciter l'isomorphisme ?
    Il faut prendre l'isomorphisme qui envoie une racine sur l'autre et qui fixe le corps de base. C'est bien un isomorphisme car il transporte une base sur une base.
    - Si on prend un polynôme dans un corps de rupture $K(a)$, pouvez-vous donner son image par cet isomorphisme dans le corps de rupture $K(b)$ ?
    Il suffit d'écrire le polynôme et d'appliquer le morphisme.
    - Si on prend deux polynômes de degré $(n-1)$ dans $K(a)$ et qu'on fait leur produit, on va avoir un polynôme de degré $(2n-2)$ dans $K(a)$, alors que vous dites que la base de $K(a)$ est donnée par $(1,a,a^2,...,a^{n-1})$, pouvez-vous expliquer?
    Il s'agit de considérer le polynôme minimal de $a$ sur $K$ qui est de degré $n$, et d'expliquer que dans $K(a)$ il est nul, donc on peut exprimer les termes de degré $n$ et plus en fonction de ceux de degré inférieur à $n-1$.
    - Est ce que $K(a)$ et $K(b)$ sont isomorphes en tant que corps ?
    J'ai répondu que je pensais que non, mais je n'étais pas sûre, et je n'avais pas d'argument qui me venait. On est passé à l'exercice suivant. (la réponse est oui)

    3) On considère le polynôme $X^3-3$ dans $\mathbb{Q}$ (je l'avais mis dans le plan en application des extensions cyclotomiques). Quels sont les corps de ruptures complexes ?
    J'ai commencé par décomposer le polynôme dans $\mathbb{C}$ avec les racines troisième primitive de l'unité. Ensuite j'ai fait le petit diagramme avec $\mathbb{Q}(j)$, $\mathbb{Q}(^3\sqrt{3})$ et le corps de décomposition $\mathbb{Q}(j,^3\sqrt{3})$. J'ai raconté les degrés en utilisant Eisenstein et le fait que $j$ était complexe (les arguments classiques) et bon je me suis quand même retournée pour savoir si c'était bien ça qu'il voulait parce que je crois que j'avais un peu oublié la question (j'étais lancée ^^). Il m'a dit de continuer, et a reposé la question sur les corps de rupture complexes. J'ai donc donné $\mathbb{Q}(j*^3\sqrt{3})$ et $\mathbb{Q}(j^2 * ^3\sqrt{3})$, puis il m'a demandé le lien avec $\mathbb{Q}(^3\sqrt{3})$. J'ai expliqué qu'ils étaient isomorphes, il m'a alors demandé s'ils étaient égaux. J'ai répondu que non, l'un était réel, l'autre complexe. On a ensuite changé d'exercice.

    4) Vous donnez un théorème de construction des corps fini en utilisant les polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_p$, mais vous donnez l'énoncé du dénombrement des polynômes seulement après. Vous supposez donc qu'il en existe déjà pour les construire ?
    J'ai expliqué que je trouvais intéressant de d'abord donner la méthode de construction en supposant qu'on a un polynôme, et d'ensuite dire qu'en plus on pouvait toujours le faire grâce au dénombrement, puisque avec la formule qui donne le nombre de polynôme irréductible unitaire sur $\mathbb{F}_p$ par récurrence, on pouvait montrer que ce nombre était strictement positif.

    5) Pouvez-vous construire $\mathbb{F}_9$?
    J'ai expliqué le principe (j'ai d'abord dit qu'il fallait prendre un polynôme de degré 3, je commençais à fatiguer alors il m'a dit d'écrire ^^). J'ai pris $X^2-X-1$, et j'ai écrit tous les éléments de $\mathbb{F}_9$ (on prend une racine $\alpha$ de $X^2-X-1$ et on écrit tous les polynômes de degré inférieur strictement à 2 évalués en alpha). Ils m'ont demandé ensuite de multiplier deux éléments entre eux, puis de trouver l'inverse de $\alpha$. J'ai cherché au pif (et avec de la chance ai trouvé en deux coups), mais ils m'ont demandé s'il n'y avait pas plus simple. J'ai vu que j'avais écrit $\alpha^2-\alpha-1=0$, alors j'ai remarqué qu'en factorisant on avait immédiatement le résultat... ^^
    - A quel autre domaine de l'algèbre cela vous fait-il penser?
    J'ai d'abord dit à la théorie des codes que j'avais étudié en M1 mais bon, impossible d'en dire plus ^^
    Il m'a suggéré l'algèbre linéaire, avec les polynômes minimaux, etc. Ils m'ont donné une écriture, $A^5+3A^3-2A=I_n$ avec $A$ une matrice, et demandé d'en trouver l'inverse (factoriser par $A$). Ils ont continué dans cette voie mais je ne me souviens plus bien des énoncés, et c'était la fin de l'oral.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt gentil, en fait il y en avait essentiellement un qui parlait. Un des trois n'a presque rien dit, mais il souriait tout le temps et la troisième était un peu plus sèche, mais pas méchante.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'étais plutôt contente en sortant, j'ai dit quelques conneries mais je n'ai eu aucun blanc, j'avais une idée de réponse pour chaque question. Pour la préparation, je me suis remémorée le plan entre le tirage et le moment où on était dans la salle de préparation, puis j'ai écrit ma leçon en 1h45, écrit mes développements en 20 minutes et eu le temps de revoir quasiment toutes les preuves des propositions que j'avais mises dans le plan.

  • Note obtenue :

    12.25

  • Leçon choisie :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries d'un espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un échange (très) détaillé est disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas trop agréable, avec des visages très fermés même si j’ai réussi à décrocher un sourire à un des trois sur l’histoire d’un Fp-espace-vectoriel de dimension fini. Pas beaucoup d’aide pour répondre, j’ai du tout chercher tout seul. Des fois, ça allait vite, des fois un peu moins.Sur le coup, ça ne m’a pas marqué, mais avec le recul, je me suis rendu compte que je n’ai pas eu beaucoupde questions sur les polynômes irréductibles, mais surtout sur de la factorialité, le pgcd, les éléments/idéaux irréductibles et premiers, corps finis, etc

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Niveau développement, le jury avait le choix entre : "Le critère d'Eisenstein et l'application à l'irréductibilité de $\Phi_p$" ou "Le théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)"...

    J : Sur le développement, pourquoi $p$ divise les coefficient $q_i$ et $r_i$ ? Par exemple que se passerait-il si $p=8$ ?
    R du candidat : En particulier comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps pour $p$ premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ est un anneau principal donc factoriel et il y a alors l'unicité de la décomposition en irréductibles. Pour $p=8$, j'exhibe un contre-exemple simple, ce qui montre l'importance de $p$ nombre premier. (Le jury ne semble pas convaincu).

    J : Rappeler pourquoi $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour $k\in [1,p-1]$ ? (Par rapport à l'irréductibilité de $\Phi_p$ toujours dans l'application de mon développement).
    R du candidat : J'écris l'égalité du coefficient binomial à sa forme fractionnaire et fait passer le dénominateur de l'autre côté afin d'appliquer le lemme de Gauss élémentaire sur la divisibilité. Ils voulaient plus de précision, j'ai donc utilisé le théorème de Wilson (c'était dans mon plan) en précisant qu'on peut le démontrer par Bézout, pour justifier totalement la divisibilité initiale. (Le jury dit ok).

    J : Sur le plan pédagogique pourquoi avoir fait une sous-partie "nombres premiers entre eux" ?
    R du candidat : Je trouve que le titre "nombres premiers" est pas suffisamment précis, donc je trouve que c'est plutôt légitime d'en parler un peu. D'ailleurs je l'ai aussi fait, car si on prend le cas de deux nombres premiers, ils sont forcément premiers entre eux, et cela permet d'obtenir d'autre propriétés intéressantes sur l'arithmétique des entiers telles que le lemme chinois avec les problèmes de congruences ou encore les équations diophantiennes de degré 1. (Le jury dit ok).

    J : Comment savoir si un nombre est premier ?
    R du candidat : Je précise dans mon plan, qu'en partie 4, j'ai parlé de trois tests importants de manière logique et progressive dont un probabiliste (Fermat, Euler et Solovay-Strassen) mais qu'il existe des tests plus basiques comme le crible d'Eratosthène ou encore celui de la méthode des diviseurs premiers jusqu'à la partie entière de la racine du nombre. Exemple sur 113 où j'en profite pour rappeler les règles de divisions par $2$, $3$ et $5$ et aussi comment la division euclidienne peut être utile. (Le jury dit ok).

    J : D'ailleurs, pour une équation diophantienne de degré $1$, y a-t-il unicité du couple de solutions ?
    R du candidat : Non d'après le théorème de Bézout, il existe une infinité de couple d'entiers qui vérifie par exemple l'équation $ax+by=1$. On essaye par exemple sur $a=5$ et $b=7$ où on trouve des solutions particulières à la main (petits nombres) et on applique la méthode habituelle pour avoir la forme générale des couples de solutions. Au lieu de $1$ on peut prendre $d$ entier tel que $pgcd(a,b)$ divise $d$. (Le jury dit ok).

    J : Mais sinon y a-t-il des méthodes algorithmiques pour trouver de tels couples d'entiers ?
    R du candidat : On peut commencer par utiliser l'algorithme une division euclidienne jusqu'au dernier reste non nul et on fait ce qu'on appelle une remontée de Bézout. Mais algorithmiquement c'est lourd. Sinon de manière plus efficace on peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide. (Le jury dit ok et ne semble pas en vouloir plus).

    J : A quel autre domaine des mathématiques vous fait penser une équation de la sorte ?
    R du candidat : On peut penser notamment au domaine de l'algèbre linéaire notamment avec le cas des systèmes affines (ici). On reprend l'exemple de $a=5$ et $b=7$ et ils me demandent le noyau "du système". On trouve bien une droite linéaire. (Le jury dit ok).

    J : Ok, prenons l'équation $x^2+y^2=7z^2$. Quelles sont les solutions entières ?
    R du candidat : Le premier réflexe que j'ai c'est de passer modulo $7$ et c'est la bonne idée. Ils me précisent que l'on fait l'hypothèse qu'un des deux est inversible modulo $7$. Donc j'arrive une contradiction avec une propriété sur les carrés modulo $p=7$ (le fameux critère $p\equiv 1 \pmod 4$). Et je précise aussi que puisque $7$ est un nombre premier, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps donc un des deux $x$ ou $y$ est nécessairement divisible par $7$. Ils me demandent ensuite s'il n'y a pas une solution qui marche directement et je précise en effet que la triviale convient. On l'élimine donc et pour conclure l'exercice, j'ai du mettre en place comme je le précise au jury la méthode de "descente infinie" afin de terminer et s'apercevoir que seul $(0,0,0)$ marche. (Le jury dit ok).

    J : Expliquez RSA et sa sécurité ?
    R du candidat : J'explique plus en détails l'énoncé du plan car c'était peut-être mal rédigé et du coup c'est plus clair dans leur tête. Ensuite, je précise par rapport à la sécurité de RSA, que si un attaquant souhaitait intercepté le message (sans clé privée bien sûr) il devrait extraire une racine $e$-ième modulo $p$. C'est un problème type "log discret" qui est généralement "difficile". (Le jury dit ok).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient corrects et bienveillants. Ils m'ont donné des petites indications quand je mettais un peu de temps à répondre mais ils laissaient le temps de s'exprimer. Déçu qu'ils n'aient pas poser de questions sur la partie "théorie des anneaux" où les éléments premiers ne sont pas toujours ceux que l'on croit. Dommage car c'est une partie intéressante mais bon... Les trois jurys ont participé a la discussion. Au final, je pensais m'être débrouillé et avoir fait un oral correct (je pensais avoir au moins la moyenne par exemple) mais au vue de la note finale, on peut se fier à rien et encore moins à leur attitude (peut-être qu'ils n'ont pas accroché à mon approche de cette leçon, je ne sais pas). C'est la vie :'( ...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Il faut compter environ 2h40 pour composer (chercher les livres dans les malles ou dans son sac et faire attention au moment des photocopies). J'avais préparé sérieusement cette leçon pendant l'année en classe (de base j'étais allé plus loin, notamment dans les tests de primalités et les notions de factorisation de grands nombre ainsi que dans le domaine des racines modulo $p$) mais le jour-j, avec le stress, on en sait un peu moins que d'habitude et donc j'ai mis les résultats où j'étais sûr. Mais bon je ne sais pas si ça a changé grand chose au final. Donc je recommanderais, de bien s'entraîner au format 3h pendant l'année pour avoir aucune surprise...

    Sinon les surveillants dans les salles et ceux qui mènent à "l'abattoir" sont sympathiques et disponibles !

  • Note obtenue :

    4.25

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur la loi de la réciprocité quadratique : idée de la preuve de la classification des formes quadratiques sur un corps fini, l'histoire de l'hyperplan affine pour le dénombrement.
    Questions sur le plan : donner un exemple de groupe toujours abélien, j'ai dit les groupes d'ordre p^2, ils m'ont demandé de le montrer.
    Exercices : 1. Si on prend une permutation qui s'écrit comme produit de r transpositions à supports disjoints dans Sn, je devais dénombrer le nombre de permutations de Sn qui commutaient avec, c'était quelque chose comme r!(n-r)!2^r
    2. Dans Sp, p premier, combien y-a-t-il de sous groupe d'ordre p ? (p-2)!

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant, patient lorsque je n'arrivais pas à répondre, sans pour autant me laisser m'éterniser sur ce que je n'arrivais pas du tout à faire

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je m'attendais à plus de questions sur la théorie des groupes, mais le jury a préféré suivre mon développement qui fait plutôt du dénombrement et donc mes questions étaient essentiellement du dénombrement. J'avais bien relu les preuves sur les p-groupes pendant la préparation, et ça n'a pas été inutile !

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Suites de Sturm

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On me demande de tester l'algorithme de Sturm sur un polynôme à 2 inconnues, de degré 3. Je fais toutes les divisions euclidiennes au tableau le jury avait l'air de les faire aussi sur un papier.. A la fin personne n'a trouvé le même résultat --> on passe à autre chose !
    Petite remarque du jury sur le fait que les symétries vectorielles ne sont pas forcément diagonalisables en caractéristique 2.
    On me demande à quelle moment l'hypothèse de la caractéristique 0 intervient lors de la preuve de la caractérisation d'une racine d'ordre k avec le polynôme dérivé. Je galère comme un naze, ils m'aident beaucoup.
    Ils me demandent un contre ex si on est en carac p : il était dans mon plan.
    Enfin on me pose un exo de dénombrement d'un ensemble ( qui était l'ensemble des zéros de 3 polynomes à 2 indéterminés je crois) on me fait poser une application chelou et je devais montrer qu'en fait l'ensemble c'était l'image réciproque de 0 par cette application. Ca a dérivé sur les corps finis j'ai pas tout suivi...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Extraordinairement gentil et aidant alors que j'étais trop naze.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment, il y avait une erreur au tout début de mon développement que je n'avais jamais remarqué donc ça met pas à l'aise.
    J'ai beaucoup hésité et j'ai l'impression que le jury m'a pas mal aidé. Je ne m'attendais pas à avoir une telle note avec ce que j'ai fait. Comme quoi, ne vous découragez pas même si vous pensez avoir râté !!!!!!

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Polya

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C'était mon premier oral, j'étais très stressée donc je ne me rappelle plus très bien des questions. Celle à laquelle je n'ai pas pu répondre m'a marquée : en définitive il fallait donner l'ordre d'un élément de Z/nZ et je ne trouvais pas, ce qui me stressait, ce qui faisait que j'avais encore moins de chances de trouver... Du coup, conseil : révisez les résultats de base ! Je me rappelle quand même de trois autres questions, mais j'en ai eu environ sept au total : la première question toute bête (c'est un classique à l'agreg), en l'occurrence "Que donne le théorème de structure des groupes abéliens finis pour Z/15Z ?" (que Z/15Z est isomorphe à lui-même (et l'unicité de l'écriture comme dans le théorème)); j'ai aussi eu "Que pouvez-vous dire sur la structure du groupe alterné A_n ?" (que A_n est simple pour n=3 et n>=5 (mais pas pour n=4, cf. les doubles transpositions (avec l'identité))) et "Que dire de Phi qui va de [1,1] x ... x [1,n] (intervalles d'entiers) dans S_n qui à (a_1,...,a_n) associe (1 a_1) (1 a_2) ... (1 a_n) ?" (elle est bijective).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très poker face (alors qu'en général les jurys sont souriants), et qui a grimacé quand je n'ai pas réussi à donner l'ordre d'un élément de Z/nZ. Le jury a essayé de m'aider un peu mais ça n'a pas marché; j'ai eu l'impression de passer beaucoup de temps dessus, comme je bloquais complètement j'aurais préféré que le jury passe à autre chose (mais bon ça se comprend qu'ils s'attendent à ce que j'arrive à trouver l'ordre d'un élément de Z/nZ; c'est juste qu'avec le stress du jour J, on n'aime pas du tout bloquer sur un truc simple et on préférerait zapper).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps passe très très vite pendant la préparation; je trouvais mon plan très incomplet quand il était temps de le donner (c'est triste quand on a plein de choses à dire sur un sujet et qu'on n'en a dit qu'un tiers...). J'étais surprise que le jury ne soit pas plus encourageant (pendant les oraux blancs et après pendant les deux autres oraux que j'ai passés les jurys étaient toujours encourageants). Vu ma note le jury devait être plus content que ce qu'il laissait paraître.

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère de nilpotence de Cartan

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Ils ne connaissaient visiblement pas le critère de nilpotence de cartan ( qui se trouve dans le beck) et ont même cru pendant quelques (longues) minutes que m'ont énoncé était faux et m'ont donc fait écrire l'énoncé au tableau jusqu'à se rendre compte qu'il n'y avait aucune erreur (ouf).
    Mon developpement s'est bien passé. Ils m'avaient demandé avant de me lancer si je pouvais, si le temps me le permettait, prouver le lemme dont je me servais à la fin. Après mon developpement je leur ai proposé de leur montrer, mais ils n'ont finalement pas voulu.
    Ils m'ont ensuite demandé comment il pouvait être utile concrètement ( j'ai dis que c'était un lemme important dans la théorie des algèbres de Lie) et ont demandé une version plus faible qui serait plus directement utile, j'ai donc dis qu'on en déduisait le fameux critère : si A tq pour tout k on a tr(A^k)=0 alors A nilpotent.
    Ensuite, j'avais marqué dans mon plan un exemple de matrice qui n'était pas diagonalisable dans R ( la fameuse (01)(-10)) sauf que j'avais oublié le - et que je n'arrivais pas à comprendre mon erreur. Ils ont donc voulu une interpréation de la matrice en terme géométrique pour que je vois les valeurs propres. (A la toute fin je me suis rendue compte que ah oui en fait elle est symétrique donc ce que je disais choquait...)
    Ensuite je ne me souviens plus clairement mais dans mon plan j'avais parlé de symétrie vectorielle et ils m'ont demandé de le representer et j'ai beaucoup buggé, n'arrivant pas à m'absoudre des symétries orthogonales. J'avais mis de la topologie dans mon plan alors ils m'en ont parlé et j'ai dis des enormes conneries mais m'en suis heureusement rendu compte avant la fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extremement sympathique. Malgré un membre qui était assez froid, les autres étaient sincèrement de bonne humeur mais c'était très agréable !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Chose à savoir : on a droit à nos notes du temps de préparation pendant l'oral ! Pas pendant le developpement evidemment mais pendant la séance de questions.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème spectral

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le développement issue du Gourdon, Algèbre, puis sur des démonstrations de théorèmes du plan.
    Question sur la différence entre la définition d'ellipses du Rombaldi et du Bernis puis le jury a demandé de tracer quelques exemples d'ellipses dans le plan.
    Question sur les formes quadratiques définies, dégénérées à l'aide d'un exercice puis sur la réduction de Gauss de xy + yz + zx et questions sur le critère de Sylvester.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été bienveillant

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation difficile dû à une chaleur élevé dans les salles de préparation
    La préparation est raccourcie de 5 min pour aller chercher les livres.

  • Note obtenue :

    7.75

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Maschke

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Il n’y a eu que très peu de questions sur les représentations (que des bases, définitions, premières propriétés, exemples). La majeure partie des questions était sur la décomposition de dunford : démonstration de l’existence, détermination de la décomposition pour une matrice 2x2 triangulaire supérieure avec un paramètre alpha, complexité de l’algorithme.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    13.5

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions autour du développement, sur des passages où j'ai été un peu rapide en laissant les calculs de côté. Et une petite bêtise que j'avais écrit dans un des lemmes du développement et dont la preuve (bonne) ne correspondait pas à ce que je voulais montrer.
    Pas trop de questions sur le plan, plutôt des exercices.
    Un développement de déterminant, une application sur Mn(Z), applications dans le plan R2 et applications en lien avec le développement.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement sympathique, il aidait si besoin et pas du tout cassant. Il faut dire que c'était durant la semaine de la canicule et que les épreuves étaient éprouvantes pour tout le monde.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de surprise particulière dans le déroulement. Attention 3h c'est très court, même si je connaissais mon plan et mes développements, on a peu de temps pour tout écrire. Mon objectif était d'obtenir la moyenne, en ce sens, maîtriser son plan son développement et répondre à quelques questions m'ont assuré du résultat.

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Etude de O(p,q)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques remarques / questions sur mon développement, pour aller un peu plus loin. Je l'avais conclu par une remarque sur un résultat topologique qui en découlait, ils m'ont aiguillé dessus. Ensuite quelques questions sur le théorème de réduction des endomorphismes orthogonaux, arrivé par les questions précédentes justement. Ensuite un exercice traitant d'isotropie d'une forme quadratique, pas très dur et assez court mais comme c'est un thème que je n'avais pas beaucoup travaillé, j'ai bégayé et n'ai fini par y parvenir qu'après 10 minutes et l'aide du jury.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt bienveillant, pas avec un grand sourire non plus, mais pas cassant du tout. Cependant, sur les 3 membres, seul l'homme maintenait la discussion (les deux autres étaient des femmes qui ne m'ont posé qu'une seule question chacune, et n'ont plus décroché un mot ensuite...), je suppose que le sujet ne devait pas trop les brancher...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Globalement oui. il faut juste bien avoir conscience que la préparation ne dure pas 3h exactement mais 2h40. Dans les faits ce n'est pas gênant, mais mieux vaut ne pas l'apprendre le jour J. Après, ça se déroule vraiment comme un oral blanc, du moins c'est ce que j'ai ressenti.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Sylow (version opération de groupes)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Lors du développement (14’40”) j’ai démontré les 4 points suivants (où G est un groupe de cardinal p^α m) :
    1. Existence d’un p-Sylow,
    2. Un p-sous-groupe est toujours inclus dans un p-Sylow,
    3. Les p-Sylow sont deux à deux conjugués, donc il y en a un unique si, et seulement si, il est distingué,
    4. Leur nombre k vérifie k ≡1 mod p et k|m.

    Questions sur le développement :
    — Dans le premier point, vous utilisez Stab(aS) = aSa^−1. Expliquez-nous cette égalité. Je l’ai démontré par double inclusion.
    — Dans le quatrième point, pourquoi T est distingué dans N ? On fixe S un p-Sylow et on considère T tel que ∀s ∈ S, sTs^−1 = T. On pose N =< S,T >. Soit H = {n ∈ N, nTn^−1 = T}, alors H est un groupe (à bien justifier, le jury m’attendait sur le fait que H est stable par inverse) contient S par hypothèse, mais aussi T. Donc H = N, c’est-à-dire T distingué dans N.

    Questions, exercices :
    — Déterminer les p-Sylow de S4. On a 24=2^3 * 3. On commence par les 3-Sylow. Ce sont des groupes d’ordre 3. Comme les seuls éléments de S4 d’ordre 3 sont les 3-cycles (au nombre de 8), on a quatre 3-Sylow : (< σi >)1≤i≤4, avec σ1,σ1^- 1 ,σ2,σ2^-1 ,σ3,σ3^-1 ,σ4,σ4^-1 les huit 3-cycles. Pour les 2-Sylow je sais que c’est plus dur. Soit G un 2-Sylow. Notons V4 le groupe engendré par les doubles transpositions. Indication du jury : montrez que G contient V4, une transposition et un 4-cycle. Soit τ une transposition, par le point 2 du développement il existe H un 2-Sylow contenant < τ >. Comme G= σHσ^−1 (point 3 du développement), alors G contient la transposition στσ^−1. De même G contient un 4-cycle. Comme V4 est distingué dans S4 (à expliquer au jury) alors le même raisonnement donne V4 ⊆G. On s’est arrêté là avec le jury. Mais quelques calculs dans S4 montrent que les trois 2-Sylow sont :
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(24),(13)}
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423),(12),(34)}
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1342),(1243),(14),(23)}

    — Un produit de groupes cycliques est-il cyclique? Non. J’ai précisé dans le plan qu’il y a équivalence dans le théorème Chinois.

    — Pourquoi Fq* est-il cyclique? J’ai proposé deux méthodes. La première utilise le théorème de structure des groupes cycliques permettant d’obtenir la formule n = somme sur d|n des ϕ(d). On conclut comme dans le Perrin (page 74). La seconde passe par le théorème de structure des groupes abéliens finis. On écrit Fq* isomorphe à Z/a1Z ×···× Z/arZ avec 2 ≤ ar|···|a1, de sorte que ∀x ∈ Fq*, x^a1 = 1. Ainsi Fq* ⊆{racines de X^a1 −1} de cardinal au plus a1 (on est sur un corps commutatif). D’où a1···ar = q−1≤ a1, donc a2 =···= ar =1. Finalement Fq* est isomorphe à Z/a1Z cyclique.

    — Déterminer le groupe dérivé de GLn(k) pour k corps commutatif. Intérieurement je me dis que l’on peut avoir à faire à des groupes infinis, mais passons. Via le déterminant on a D(GLn(k)) inclus dans SLn(k). Je dis au jury que suivant l’hypothèse sur k on a égalité. Il est satisfait. (cela est vrai sauf si k =F2 et n =2)

    — Trouver tous les groupes finis G tels que Aut(G)={Id}. Je pense tout de suite à Aut(Z/nZ) isomorphe à (Z/nZ)^× , de cardinal ϕ(n) (il m’ont demandé de redéfinir l’indicatrice d’Euler). Cela me permet de conclure que ϕ(n) = 1, c’est-à-dire n = 1 ou 2 (à expliquer au jury). Donc {1} et Z/2Z conviennent. On va montrer que c’est les seuls. Indication du jury : regardez les automorphismes intérieurs. En effet, pour tout g ∈G, l’application h |→ ghg^−1 vaut l’identité par hypothèse. Cela montre que G est abélien. Par le théorème de structure, on peut supposer G = Z/a1Z×···×Z/arZ. Si f ∈Aut(Z/a1Z), alors F :(xi mod ai)1≤i≤r |→ (f(x1 mod a1), x2 mod a2,··· , xr mod ar) est dans Aut(G), donc F=Id puis f=Id. Comme on a traité le cas cyclique au début on en déduit que a1 =1 ou 2, avec toujours 2≤ ar|···|a1. Si a1 =1,G={1}. Si a1 =2 on obtient l’existence de 1≤ s ≤ r tel que G est isomorphe à (Z/2Z)^s =F2^s, structure de F2-espace vectoriel. Dans ce cas GL_s(F2) ⊆ Aut(G) = {Id}. Finalement s =1 et G =Z/2Z. (lorsque s > 1, GL_s(F2) n'est pas trivial)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation :

    Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage.

    Passage :

    Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié.
    Développement réalisé sur un grand tableau à feutre. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev.
    Dans mon plan (disponible sur le site) j'ai fait une dernière partie "géométrie". Aucune questions sur ce sujet.

  • Note obtenue :

    18.75

  • Leçon choisie :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Autre leçon :

    122 : Anneaux principaux. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples que j’avais énoncées dans mon plan ou dans mon développement (par exemple : « qu’est-ce que l’ordre d’un élément d’un groupe ? », « pouvez-vous énoncer le théorème de relèvement C1 ? », etc.).

    Une partie significative (peut-être dix minutes ?) de l’échange a consisté à redémontrer un lemme que j’avais admis pour la preuve de mon développement, a savoir que dans un groupe abélien fini, il existe un élément ayant pour ordre l’exposant du groupe. J’ai été très fréquemment coupé dans ma démonstration par le jury qui voulait des exemples, des précisions, des liens avec d’autres théorèmes, etc.

    J’ai également eu beaucoup de demandes de preuves des résultats les plus simples énoncés sans preuve : pourquoi les valeurs d’un caractère d’un groupe abélien fini sont-elles des sommes de racines de l’unité ; démontrer l’existence et l’unicité de la décomposition polaire d’une matrice réelle inversible…

    Quelques exercices très simples et questions proches de mon plan appelant seulement des exemples ou contre-exemples m’ont été posées, notamment (je ne me souviens pas de tout) : le fait que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d’ordre l’exposant reste-t-il vrai si le groupe n’est plus supposé abélien ? Les noyaux de Dirichlet constituent-ils une approximation de l’unité ? Comment peut-on démontrer les identités trigonométriques de base à partir de la définition du sinus et du cosinus en séries entières ?

    Le seul exercice un peu élaboré qui m’ait été posé est : que peut-on dire d’un morphisme de groupes (U,×) ⟶ (U,×) (où U est le groupe des racines de l’unité). Je n’ai malheureusement pas réussi à faire l’exercice, pour cause de stress et canicule, et le jury m’a fait passer à autre chose, ce qui fait que j’ai été surpris de ma note…

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois jurés qui se répartissaient assez bien les rôles, chaque membre ayant visblement sa préférence dans mon plan, si bien qu’ils m’ont posé des questions sur des sujets assez distincts. Posture assez neutre : ni particulièrement sympathique, ni cassant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je passais l’agrégation en candidat libre, et n’avais jamais fait d’oraux blancs ni assisté à des oraux. C’était ma dernière épreuve, après ma leçon d’analyse et l’épreuve de modélisation.

    J’ai été surpris par le fait que mes développements, que je connaissais pourtant bien, m’ont « échappé », et j’ai perdu facilement une demi-heure à tenter de retrouver un bout manquant du théorème de Wantzel, que j’ai finalement abandonné pour présenter celui sur les caractères de groupes abéliens finis.

    Dès lors, assez peu de temps disponible pour relire mon plan, ce qui fait que j’ai laissé quelques erreurs, en particulier sur l’énoncé de mon développement (oubli d’une hypothèse d’abélianité du groupe, je crois) : j’ai donc fait tout mon développement avec l’hypothèse omise, et le jury a semblé offusqué du fait que j’aie incorrectement écrit mes hypothèses. Je me suis rattrapé dès que le jury m’a tendu une perche, mais je pensais avoir beaucoup perdu pour cette raison (spoiler : non).

    Autre conséquence de ce manque de temps : pas eu le temps de bien réfléchir à ce sur quoi je voulais insister dans ma défense de plan, et ma présentation a donc assez peu apporté à l’écrit. En particulier, je n’ai pas du tout réussi à insister sur la partie qui m’intéressait le plus (cyclotomie et théorème de Wantzel), si bien que je n’ai eu aucune question à ce sujet pendant l’oral.

    Un point important, qui concerne mes deux oraux : ce sont manifestement les thèmes développés qui étaient proposés dans le rapport de jury qui ont appelé le plus de développements. Je pense qu’il vaut donc mieux ne suivre les pistes proposées dans le rapport qu’à condition d’avoir un peu de bouteille…

    Cela dit, il paraît clair avec du recul que sur un sujet aussi simple, maîtriser deux développements pertinents assurait de pouvoir avoir une bonne note, les trois heures servant simplement à organiser les idées et exemples venant de multiples champs des mathématiques…

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury :
    - Lorsque l'on parle d'homéomorphisme dans la décomposition polaire, de quelles topologies parle-t-on ?
    - Quelles peuvent être les applications du théorème spectral ? Je ne vois pas ce que le jury veut me faire dire, on me demande donc à quel objet peut s'associer une matrice symétrique. Je répond donc que le théorème spectral peut servir à l'étude générale des formes quadratiques, le jury me demande de l'expliquer.
    - Expliquez pourquoi on peut simultanément diagonaliser deux endomorphismes symétriques qui commutent.
    - Montrez l'existence et l'unicité de l'adjoint. Je réponds que ça découle du théorème de Riesz-Fréchet en dimension finie, que le jury me demande de démontrer.
    - Montrez que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est ouvert dans l'ensemble des matrices symétriques. Le jury s'attendait à ce que j'utilise la caractérisation par les mineurs principaux.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, très neutre, laissait du temps pour réfléchir et n'aidait que si je ne m'en sortais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le tableau était très petit ce qui était un peu déstabilisant pour le développement.

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    Pas de réponse fournie.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Tirage (option choix de leçon d'agreg-m ne fonctionnait pas) :
    - Exponentielle de matrices. Applications
    - Nombres complexes de module 1. Sous groupes des racines de l'unité.
    ---------------------------------------
    Q - Pourquoi exp(A) est un polynôme en A ?
    R : car R[A] est un sous espace de Mn(R) qui est de dimension finie donc à son tour il est de dimension finie puis fermé, et l'exp est une limite de suite de matrices de R[A] qui converge.

    Q - Vous précisez que vous prenez - dans le dév - un polynôme interpolateur de Lagrange, mais si vos valeurs propres ne sont pas toutes distinctes, comment vous le définiriez ? (je n'avais pas abordé la question des multiplicités dans mon dév)
    R : *bégaiement* [...] Euh bah si il y a plusieurs des valeurs propres avec multiplicité >1 alors mon polynôme interpolateur aura un degré plus petit.

    Q - Vous avez dit à la fin 'A_k est une suite d'un compact de Mn(R) qui a une unique valeur d'adhérence donc elle converge' mais de quel compact parlez vous ?
    R : *quelques embrouilles avec la question et mon esprit* Je prends l'ensemble des matrices dont le rayon spectral en inférieur au majorant que j'avais introduit.

    Q - Vous avez dit qu'il était simple de calculer l'exponentielle d'une matrice diagonalisable, est-ce que c'est vrai ?
    R : Bah il suffit de trouver les valeurs propres, puis des vecteurs propres associés, on diagonalise et on calcule avec la formule.
    Q - Si je prends [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]] par exemple ? [...] Déjà pourquoi elle est diagonalisable ?
    R : *heu qjknqdsùdk"
    Q - elle est symétrique
    R : Ok je vois, bon alors trouver les valeurs propres puis des vecteurs propres peut être long donc il aurait fallu dire que c'est facile si on possède déjà des vecteurs propres.

    Q - D'ailleurs on aurait pas forcément besoin de valeurs propres (ou vecteurs propres je sais plus..) n'y aurait-il pas plus simple avec les projecteurs spectraux ?
    R : Si on a le polynôme caractéristique, on pourrait regarder la décomposition en éléments simples de la fraction 1 / Ki(A) et [...]
    Q - Il y a peut-être plus simple, prenez [...]
    S'en suit un long dialogue avec 2 membres où j'étais vraiment perdu à cause des notations + du stress de la position de l'interrogé, je n'ai pas réussi à conclure et on est passé à autre chose. Le but étant de trouver une expression des projecteurs sur les sev propres parallèlement aux autres.

    Q - Est-ce que exp : Mn(R) dans Gln(R) est surjective ?
    R : Non car déjà en dimension 1 l'exp est à valeurs stt positive.
    Q - Et en dimension 2 ?
    R : Si je prend la diagonale [-1 , 1 ] son déterminant est stt négatif or det(exp(A))=exp(tr(A)) > 0 donc c'est pas possible.
    Q - Ok alors est-ce que les matrices de Gln(R) de déterminant strictement positif sont toutes atteintes ?
    R : Je ne pense pas... (j'ai sorti la matrice du rapport de jury diag(-1,-1) mais manque de bol cette matrice était atteinte). J'ai précisé à l'oral que j'avais une idée d'un antécédent pour cette matrice puis un membre du jury m'a demandé de développer.
    J'ai essayé de me souvenir du Rombaldi où on avait la réponse mais la réponse que j'ai donné n'était pas complètement juste, au final on m'a fait calculer l'exponentielle de la matrice [[0,-a],[a,0]] pour m'aiguiller, puis de manière assez naturelle (sauf erreur de calculs et aide de meilleurs notations) je suis arrivé sur le résultat de [[cos(a), -sin(a)],[sin(a),cos(a)]] et j'en ai déduit un antécédent.

    Q - Pouvez-vous nous donner une matrice de Gln(R)+ non atteinte ?
    R : Je ne sais pas
    Q - Prenez diag(-1,-2), que pouvez-vous dire ?
    R : Déjà si elle a un antécédent alors cet antécédent n'est pas diagonalisable sinon l'exp de ses valeurs propres serait > 0
    Q - Oui c'est vrai, que peut-on conclure alors ?
    R : (là j'ai beaucoup galéré alors que la réponse était écrit dans mon plan : exp(A) est diagonalisable SSI A est diagonalisable, mais finalement je n'ai pas su répondre dans le temps imparti, je me suis pas mal embrouillé avec ce qu'ils m'ont dit)

    Fin de l'oral.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique, je n'ai pas senti d'agacement même après m'être embrouillé sur des choses simples. C'était vraiment un dialogue tout du long avec les membres du jury qui aidé dès que je bloquais/ ne savais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment de surprise sur le déroulement, j'avais un plan assez court (25 objets) mais qui - je trouvais - traitait le sujet convenablement.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Vous dites que Z[X] n'est pas euclidien, mais qu'on peut quand même faire une division euclidienne avec ce polynôme. Expliquer.
    - A-t-on toujours unicité de cette "décomposition euclidienne" ?
    - Vous avez précisé que vous pouvez appliquer cette égalité de polynômes car les "racines sont simples", expliquez. (un détail qui manquait de précision dans mon dev pour montrer que X^n-1 = produit des phi_d)
    - Calculer phi_6 (utiliser la formule précédente et tripatouiller un peu pour trouver phi_6(X) = 1-X+X²
    - Montrer que les triangulaires supérieures à diagonale unité forment un p-Sylow de GL_n(F_p) (c'était dans mon plan)
    - Existe-t-il un corps à 10 éléments ?
    - 17 est-t-il un carré modulo 41 ? (j'ai pris l'initiative de montrer que 41 était bien premier avant, puis avec la réciprocité quadratique, c'était tout bon)
    - Posons p=41. Ecrivez F_41² comme quotient de F_41 par quelque chose (direct avec la question précédente: X²-17 est irréductible car 17 n'est pas un carré modulo 41)
    - Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6 (poser n = 6 p_1 ... p_n + 5 si il y en a un nombre fini, et décomposer n en produit de nombres premiers, en remarquant que ces nombres premiers sont tous congrus à 1 modulo 6).
    - La dernière était était bizarre, et j'avais absolument aucune idée. Il m'a demandé s'il y avait "beaucoup" de nombres premiers à 10 chiffres. L'oral s'est terminé là-dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriant et sympathique, en particulier celui du milieu qui semblait "diriger" la séance. Les deux autres étaient un peu plus muets et distants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    A part le fait que j'ai réalisé cet oral sur un tableau blanc (d'autant que les trois quarts de ces foutus feutres n'avaient plus d'encre), tout s'est bien passé.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes abéliens et non abéliens finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Connexité par arcs dans les matrices nilpotentes (privées de la matrice nulle)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1) Questions sur le dev
    - Plusieurs questions pour préciser les objets introduits dans la démonstration (je crois qu'ils n'ont pas vraiment compris le dev, la faute à une présentation un peu brouillonne)
    - Pourquoi l'application qui à $M$ associe $M^n$ est continue?
    - Pourquoi $GL_n^{+}(\mathbf{R})$ est connexe par arcs? (que j'avais admis pour le dev)
    - Pourquoi l'application qui à une matrice inversible associe son inverse est continue? (utiliser la formule de la comatrice)

    2) Questions sur le plan
    - Faire le lien entre les noyaux itérés et l'ordre de nilpotence d'un endomorphisme nilpotent
    - Soit E un espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme trigonalisable qui stabilise le drapeau $F_i$ et $g$ un isomorphisme. Quel est le drapeau stabilisé par $g \circ u \circ g^{-1}$? (c'est le drapeau $g(F_i)$). Quel est le principe très général derrière ce résultat? (c'est un résultat sur les stabilisateurs d'une action de groupe)
    - Est ce qu'il existe des matrices non trigonalisables dans $M_n(F_q)$ (une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé, il suffit de choisir un polynôme $P$ de degré n qu'on ne peut pas scinder dans $F_q[X]$ et on considère la matrice compagnon de $P$)

    3) Exercices
    - Soit $u$ un endomorphisme. Trouver l'ensemble des polynômes en $u$ qui sont nilpotents (si $\mu_u$ est le polynôme minimal de $u$ et $\mu_u = {P_1}^{\alpha_1} {P_2}^{\alpha_2}... P_k^{\alpha_k}$ est sa décomposition en éléments irréductibles de $K[X]$ alors l'ensemble de nilpotents de $K[u]$ est l'ensemble des multiples de $P_1 P_2 ... P_k$)
    - Trouver la dimension maximale d'un sev de $M_n(K)$ constitué de matrices nilpotentes (c'est $d = n(n-1)/2$, exhiber le sev des matrices triangulaires supérieures de diagonale nulle de dimension $d$, et montrer par un argument de dimension que s'il existait un sev de matrices nilpotentes de dimension strictement supérieure à $d$, il intersecterait de façon non triviale l'ensemble des matrices symétriques ce qui est absurde, puisqu'une matrice symétrique et nilpotente est nulle)
    - On suppose $K = \mathbf{C}$. Montrer que $u$ est diagonalisable ssi le seul polynôme en u nilpotent est l'endomorphisme nul (j'ai séché sur celle là).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un peu d'aide, neutres.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    Pas de réponse fournie.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Espace tangent et extrema liés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je suis passé en 2021, pas en 2020 mais le site ne permet pas d'effectuer de retour pour cette année au moment où je l'écris.

    Questions sur le développement :
    1) réexpliquer le lemme sur les formes linéaires nécessaire à la démonstration du théorème comme si je devais le faire devant une classe
    2) ce dernier est-il toujours vrai si les formes linéaires ne sont pas indépendantes ?
    3) exemple ou l'espace tangent n'est pas un espace vectoriel ? Je n'en avais aucune idée donc le membre du jury m'a demandé de considérer un lemniscate, et notamment où ça clochait (le point du centre ne permet pas de créer un $C^1$ difféomorphisme dans son voisinage, problème d'injectivité)

    Autres questions :
    1) donner un exemple où la famille duale n'est pas une base (prendre $\mathbb{R}[X]$, la base des $(X^n)$ et la forme linéaire $P \mapsto P(1)$)
    2) faire l'application des extrema liés à la quadrique (Exo Directions principales d'une quadrique p408 dans le PGdCD de Rouvière, 4e édition)
    3) quel rapport entre la leçon et la différentielle ?
    4) déterminer le gradient du déterminant (je ne suis pas allé au bout, mais j'ai plus ou moins compris que c'était la comatrice)
    5) l'application $M \mapsto \Phi_M : X \mapsto Tr(XM)$ est un isomorphisme de $M_n(\mathbb{R})$ vers son dual. Quelle est sa norme ($M_n(\mathbb{R})$ est muni de la norme de Frobenius) ? (c'est une isométrie)

    --- u est maintenant un endomorphisme d'un ev de dimension finie --

    6) rapport entre Frobenius et les formes linéaires ? "Démontrer" la partie où il existe un supplémentaire stable au sous espace engendré par un vecteur u-maximal. Ils voulaient juste la formule que l'on peut trouver dans le livre de G. Berhuy : Algèbre, le grand combat tout en haut de la page 1020 (deuxième édition)
    7) démontrer l'existence d'un vecteur u maximal

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extrêmement poli, courtois, me disait une petite phrase lorsque visiblement je n'avançais pas ou que j'allais faire une grosse c***rie alors que j'étais près du but.

    Surtout réfléchir à voix haute qu'ils voient bien où ça coince pour qu'ils vous débloquent (enfin, s'ils ont envie...).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Rien à signaler, organisation absolument impeccable.

  • Note obtenue :

    18.75

  • Leçon choisie :

    Pas de réponse fournie.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction de Jordan d'un endomorphisme nilpotent

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    150 / 120 - Lecon choisie : 150

    La leçon 150 est une des seules pour lesquelles j’avais pratiquement 5 développements qui passaient plus ou moins bien ! Les générateurs de GLE, la décomposition polaire, la réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents, la réduction des endomorphismes normaux, et enfin la caractérisation de sylvester des matrices symétriques avec le critère de Sylvester (classification des formes quadratiques réelles).

    J’ai commencé ma préparation en récitant mes développements (réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents et réduction des endomorphismes normaux) sur un brouillon.

    Mon plan fut assez facile à construire pour les grandes lignes. Mais ensuite, j’ai eu du mal à vérifier chacun de mes items, vérifier l’ordre dans lequel je les mettais, leur cohérence avec le reste et surtout leur démonstration. J’ai navigué entre le Dreveton (j’étais assez peu convaincue de leur plan, je ne l’ai donc pas suivi, mais j’ai pu l’utiliser pour rajouter des exemples et vérifier que je n’avais pas oublié de trucs hyper importants), le H2G2, le Grifone et le Gourdon (et Objectif Agrégation pour qq exemples).

    J’ai fait ce plan (de mémoire - à prendre avec des pincettes) :
    I/ Action par équivalence :
    Notions générales concernant les actions de groupes (vocabulaire de base)
    Action par équivalence : pivot de gauss, invariants totaux, exemples (par ex, rg(tA) = rg(A)...)
    II/ Action par conjugaison :
    Action de Gln(C) sur l’ensemble des matrices diagonalisables
    Action de GLn(C) sur l’ensemble des matrices nilpotentes -> 1er dev : réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents
    Action de GLn(C) sur l’ensemble des matrices normales -> 2eme dev : réduction des endomorphismes normaux.
    III/ Action par congruence :
    définition de l’action par congruence, brefs rappels sur les formes quadratiques
    Classification des formes quadratiques sur R (et sur C)
    Théorème spectral (qui fait le lien entre l’action par conjugaison et l’action par congruence) : décomposition polaire


    J’ai rempli mes 3 pages au max, en aérant bien sûr, mais je n’avais plus de place pour rajouter le moindre item ! Par exemple, je n’ai pas eu la place de mettre la classification des formes quadratiques sur C, ni l’énoncé de la décomposition polaire.

    Je savais démontrer tous les résultats de mon plan ! Je pense que ce fut le plus gros point fort de mon plan. Et surtout, je n’ai pas essayé d’aller très loin, mais vraiment de me restreindre à ce que je maitrisais. Par exemple, dans le rapport du jury, il est noté : “ il faut présenter différentes actions (translation à gauche, …)“. J’ai passé qq minutes à rechercher dans mes livres si je trouvais une bonne référence pour les translations à gauche, mais n’ayant pas trouvé, je n’en ai pas du tout parlé dans mon plan. Le passage concernant ce truc dans le H2G2 ne m’inspirait pas. Je n’en ai donc pas parlé du tout.

    Bref, j’ai construit un plan basique, avec uniquement des résultats dont je connaissais une démonstration. J’ai aussi essayé de mettre pas mal d’applications, même simplistes, ou alors des petits exos du Gourdon ou des remarques prises dans le Objectif Agreg pour illustrer ma leçon.

    A la fin de la préparation, j’ai pris le temps de préparer ma défense de plan, et les 3 premières phrases que j’allais dire. Heureusement parce qu'une fois devant le jury, j’étais tellement stressée que je bégayais !

    Même si je connaissais bien mes développements et avais une idée du plan, j’ai trouvé le temps de préparation hyper court. Il faut être rapide !!

    Passage :

    Le jury choisit la réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents (dev pris dans le Gourdon, mais retravaillé maintes fois !). Je me lance, commence par détailler mes notations, puis j’énonce à l’oral les trois parties de mon développement.
    Pendant mon dév, j’ai eu l’impression que les 3 jury me regardaient mais ne prenaient pas de notes.
    Je finis mon développement par faire un exemple, sur une matrice de taille 10, nilpotente d’indice 3. Et j’ai expliqué comment obtenir la réduction de Jordan de cette matrice, et expliciter sa classe de similitude. J’ai tracé son tableau de Young, et j’ai dit que je savais qu’il y avait une théorie autour des tableaux de Young, mais que je ne maîtrisais pas cela. Le jury ne m'a posé aucune question sur les tableaux de Young.
    J’ai senti que les jurys écoutaient vraiment mon exemple, et appréciaient. Je pense avoir mis 14 minutes pour mon dev.
    J’avais récité ce développement au moins une dizaine de fois au tableau, pendant mes révisions. Je le trouvais difficile et il m’a demandé un vrai travail en amont. Lors de mon oral, ça devait donc se sentir que je le connaissais vraiment et avais l’habitude de le réciter au tableau.

    Questions :

    Sur le dév :
    comment être sûr que la récurrence descendante s’arrête ?
    Ils m’ont demandé de re-préciser des petites choses sur mon dév, que j’avais écrites au tableau mais ils voulaient peut être vérifier que j’avais vraiment compris ce que je disais
    Unicité de la réduite de Jordan d’une matrice

    Sur mon plan :
    Ils m’ont fait corriger 2 propositions de mon plan, dans lesquelles j’avais oublié un mot
    Classification des formes quadratiques sur C : j’ai énoncé et démontré ce résultat
    Existence de bases orthogonales pour une forme quadratique donnée : à démontrer

    Autres questions :
    densité dans Gln(C) des matrices diagonalisables
    Continuité de l’application qui à une matrice A associe son polynôme caractéristique
    ->Montrer qu’une matrice est nilpotente ssi 0 est dans l’adhérence de sa classe de similitude

    J’ai pu répondre facilement à toutes les questions, sauf à la dernière où il m'a fallu qq indications du jury.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était sympathique et m’a donné des indications, me corrigeait gentiment lorsque je me trompais…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surprise de ne pas avoir droit à mes notes pour la présentation du plan (6min).

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    Pas de réponse fournie.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Simplicité du groupe alterné An

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Simplicité du groupe alterné An

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury commence par me poser des questions sur le développements:
    * Réexpliquer pourquoi dans $\mathcal{A}_5$, si a est un $5$-cycle alors un autre $5$-cycle est conjugué de a ou a² (je l'avais expliqué à l'oral)*
    * Donner un argument rapide pour dire que a et a² ne sont pas conjugués dans $\mathcal{A}_5$ (On regarde le cardinal de la classe de conjugaison de a qui est l'ensemble des $5$-cycles).

    On en vient aux questions sur le plan:
    * Je donne en application du premier théorème d'isomorphisme le théorème chinois, on me demande de préciser l'isomorphisme (donc de refaire la preuve) et d'indiquer comment en trouver la réciproque (en utilisant le théorème de Bézout).
    On me demande alors si je connais un algorithme rapide de calcul des coefficients de cette écriture, j'ouvre grand les yeux de surprise et indique que je ne connais que l'algorithme d'Euclide étendu mais n'ai aucune idée de sa rapidité, on passe à autre chose.
    *Dans mon plan je définis deux éléments conjugués comme deux éléments dans une même orbite pour l'action d'un groupe sur lui-même par conjugaison. On me fait remarqué qu'après j'applique cette définition aux matrices et on me demande si il n'y a pas un problème, je répond que oui puisque l'ensemble des matrices n'est pas un groupe multiplicatif (ndlr: il serait surement préférable de ne pas chercher à le définir et de se contenter de donner des exemples ou, même si je ne suis pas sûr que ca fonctionne, parler d'action des inversibles sur un anneau par conjugaison).

    Premier exercice:
    On se donne $G$ un p-groupe, on cherche à démontrer que pour tout diviseur $d$ du cardinal de $G$ il existe un sous-groupe de $G$ de cardinal $d$.
    *J'énonce mon idée: démontrer l'existence d'un sous-groupe non trivial distingué et utiliser une récurrence forte et un passage au quotient pour obtenir le résultat.
    *On me demande alors, logiquement, comment garantir l'existence d'un tel sous-groupe.
    Je passe une minute à réfléchir à voix haute, dire toutes les bêtises qui me passent par la tête et à expliquer pourquoi ca ne fonctionne pas (parfois avec l'aide du jury). On me demande alors de donner la définition du centre d'un groupe, je la donne et fini par réagir? Je redémontre alors que le centre d'un p-groupe est non-trivial (on utilise la formule des classes, voir Perrin prop 4.15).
    *On en revient alors au théorème.
    Je donne le cardinal de l'image réciproque d'un sous-groupe $H$ de $G/Z(G)$ par la projection canonique (si $H$ est de cardinal $a$ et $Z(G)$ de cardinal $b$ l'image réciproque est de cardinal $ab$) et je dis qu'il faudrait redémontrer que c'est un sous-groupe, on me dit que ce n'est pas nécessaire,. Avec un peu d'aide du jury j'explique comment avec la récurrence forte on peut trouver un sous-groupe qui convient, soit en regardant un sous-groupe image réciproque par la projection canonique, soit en regardant un sous-groupe du centre.

    Deuxième exercice:
    Que dire de l'action par conjugaison de $O_n(\mathbf{R})$ sur $S_n(\mathbf{R})$ ?
    * Je commence par montrer que cette action est bien définie.
    * Je précise que le théorème spectral nous assure que l'orbite contient une matrice diagonale. On me demande si elle est unique. Je répond que non à cause de l'algorithme de Gauss et de la description des orbites pour l'action par congruence. On me demande si ce que je dis s'applique ici, je répond que non puisque c'est l'action de $Gl_n(\mathbf{R})$. On en reste là pour l'instant

    Troisième exercice:
    On considère une matrice réelle $A$ telle qu'elle soit semblable à $2A$, que dire de $A$ ?
    *Ayant encore mon deuxième développement en tête je cherche à exprimer le polynôme caractéristique de $2A$ (noté $P_{2A}$) à partir de celui de $A$ (noté $P_A$). J'écris $P_{2A}=2^n\,P_A$, on me dit que l'idée est bonne mais que c'est faux. On me fait reprendre la définition, je montre alors que $P_{2A}(X)=2^n\,P_A(X/2)$ (où n est la taille de la matrice).
    * Avec l'aide du jury je fini par dire que , puisque deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique $P_A(X)=2^n\,P_A(X/2)$, on m'indique que je peux conclure avec ça, je prends le temps de réfléchir et explique si $\lambda$ est une valeur propre non nul de $A$, alors c'est également le cas de $\lambda/2$, $\lambda/4$ etc, on a donc plus de valeurs propres que la dimension de l'espace, c'est absurde, $A$ est donc nilpotente.

    Retour au deuxième exercice:
    On considère la matrice $ \left(\begin{array}{ll}
    1 & 0 \\
    0 & 2 \\

    \end{array}\right) $, donner une autre matrice diagonale dans son orbite.
    Péniblement je fini par regarder ce que donne le conjugué par la matrice $ \left(\begin{array}{ll}
    0 & 1 \\
    1 & 0 \\

    \end{array}\right) $ (c'est $ \left(\begin{array}{ll}
    2 & 0 \\
    0 & 1 \\

    \end{array}\right) $). L'oral se termine là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été dans l'ensemble bienveillant bien que l'un des membres avait l'air parfois peu convaincu par mes réponses (mais ce n'était peut-être qu'une impression). Il n'hésitait pas à aider en donnant des indications ou en indiquant à creuser une piste.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de surpise.

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Ce retour concerne la session de 2021.

    Après quelques questions sur le développement présenté (notamment l'existence de racines primitives de l'unité dans une clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$ et la construction de ladite clôture algébrique), ils m'ont posé des questions sur l'autre développement (sur les polygones constructibles à la règle et au compas en admettant la caractérisation de Wantzel) puis sur la leçon en général :

    - Peut-on construire un cube de volume 2 ? (Non $\sqrt[3]{2}$ est de degré 3 sur $\mathbb{Q}$ et 3 n'est pas une puissance de 2, mot-dièse ThmDeWantzel comme chacun le sait)

    - Ah oui ? Et on est sûr que $\sqrt[3]{2}$ est de degré 3 sur $\mathbb{Q}$ ? (Oui c'est dans le nom. Et parce que si $X^3 - 2$ n'était pas irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, il aurait une racine rationnelle puisqu'il est de degré 3. Or ce n'est pas le cas.)

    - Peut-on construire un carré d'aire $\pi$ ? (Non sinon $\sqrt{\pi}$ serait algébrique sur $\mathbb{Q}$ et donc $\pi$ aussi puisqu'il appartiendrait à l'extension finie $\mathbb{Q}\left( \sqrt{\pi} \right)$.)

    - Est-ce que les nombres constructibles à la règle et au compas sont constructibles au compas seul ? (Oui. Il m'a juste demandé ce que j'en pensais et je lui ai donné l'heuristique derrière le théorème de Wantzel (équations algébriques de degré $\leqslant 2$) et que donc ce serait pas déconnant.)

    - Etant donnés deux polynômes annulateurs non nuls de deux éléments algébriques $x$ et $y$ sur un corps, peut-on construire un polynôme annulateur non nul de $xy$ et si oui comment ? (Si $P$ est annulateur de $x$ et $Q$ est annulateur de $y$, le polynôme $R(X) = \mathrm{Res}_Y (Y^{\mathrm{deg}P}P(\frac{X}{Y}),Q(Y))$ convient.)

    - Comment démontrer le théorème de Steinitz sur l'existence et l'unicité à isomorphisme près de la clôture algébrique d'un corps quelconque ? (J'ai dit qu'on utilisait le lemme de Zorn mais que j'avais pas les détails. On est passé à la suite.)

    - Que peut-on dire de l'anneau $\mathbb{F}_{17}[X]/(X^2 - 11)$ ? (C'est un corps parce que 11 n'est pas un résidu quadratique modulo 17, cf la loi de réciprocité quadratique.)

    - Quel est le degré de l'extension $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ sur $\mathbb{Q}$ ? (4)

    - Peut-on trouver $\alpha$ tel que cette extension soit égale à $\mathbb{Q}(\alpha)$ ? ($\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$. Une inclusion est évidente. Pour l'autre, remarquer que $\frac{1}{\alpha} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ et qu'alors $\alpha + \frac{1}{\alpha} = 2 \sqrt{3}$ et $\alpha - \frac{1}{\alpha} = 2 \sqrt{2}$.)

    - Est-ce qu'il existe un corps intermédiaire entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}(\alpha)$ qui ne soit ni $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ni $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ? (Oui, $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$.)

    - Est-ce que vous pouvez donner sans réfléchir le degré de l'extension $\mathbb{Q}(j,\sqrt{2},\sqrt{3})$ sur $\mathbb{Q}$ ? (8. Utiliser la multiplicativité des degrés et le fait que le polynôme $X^2 + X + 1$ est le polynôme minimal de $j$ sur $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ puisque sinon il serait décomposé et aurait une racine non réelle dans un corps réel.)



    Le jury me laissait le temps de réfléchir s'il y en avait besoin (par exemple pour la question sur la constructibilité au compas seul). J'ai un peu bégayé sur le carré d'aire $\pi$ parce que j'ai fait un lapsus : j'ai commencé par dire "$\pi$ n'est pas constructible car pas algébrique". Le membre du jury m'a dit "ce n'est pas $\pi$ qu'on veut construire". Je n'ai pas eu d'autre indication.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement neutre. L'un des membres s'appliquait à regarder par la fenêtre pendant la défense de mon plan et de mon développement. Il a posé une ou deux questions au début mais sans plus. En fait un seul des membres a vraiment posé des questions, les deux autres ne sont intervenus qu'en une occasion chacun.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Il s'agissait de mon dernier oral donc je savais bien à quoi m'attendre. Le personnel était sympa. Je dirais néanmoins que 3h (disons 2h45) de préparation, c'est court. J'avais préparé cette leçon durant l'année et j'avais prévu de faire une partie supplémentaire : je l'ai faite sauter par manque de temps. Mais elle était tout à fait optionnelle donc ça ne m'a pas porté préjudice.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries dun espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Burnside

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D’abord quelques questions sur le développement :
    -Pourquoi est ce qu’on peut prendre une base de Vect(G) formée d’éléments de G ?
    On prend tous les éléments de G : c’est générateur et on extrait une base
    -Pourquoi Vect(G) est de dimension finie ?
    C’est inclus dans l’ev des matrices qui est de dimension finie
    -Préciser pourquoi nilpotent implique trace nulle
    -Ensuite ils ont essayé de ma demander si sur un corps autre que C la condition Tr(A^k)=0 pour tout k était encore équivalent à nilpotent
    Un sens est encore vrai (la trace est encore nulle si on est nilpotent car un nilpotent est trigonalisable quel que soit le corps) et ensuite j’ai essayé de
    chercher pourquoi l’autre sens ne serait pas vrai. Ils ont fini par me demander sur quel corps je pouvais me placer pour que la trace de In soit nulle alors
    que In est non nilpotente : j’ai répondu F2 pour les matrices de taille 2 par exemple.

    -Est-ce que je peux mettre tout groupe fini dans Gln (la question n’était pas posée aussi clairement mais j’ai bien compris ce qu’ils attendaient)
    J’ai répondu que oui par Cayley puis les matrices de permutation.
    Question sur le plan :
    -pourquoi si f trigonalisable l’endo induit sur un sous espace stable l’est aussi ?
    Le rapport du jury soulignait le fait qu’il fallait bien avoir compris ce point : le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit divise celui de u donc il
    est également scindé
    -dans mon plan j’ai énoncé la trigonalisation simultanée mais pour une famille finie d’endomorphismes, on m’a demandé si c’était important que la famille
    soit finie (non) et ce qui était important alors (qu’ils commutent 2 à 2)
    -Un autre moyen (que Dunford) pour calculer l’exponentielle de matrice (j’avais parlé de l’exponentielle de matrices dans mon plan) ?
    J’ai mis un peu de temps à comprendre ce qu’elle voulait me faire dire mais j’ai réussi à sortir les polynômes interpolateurs de Lagrange.
    -Un condition suffisante pour que si u et v sont nilpotents u+v le soit aussi
    J’ai répondu que si ils commutaient cela fonctionnait (c’était dans mon plan)
    -Ils ont ensuite essayé de me faire démontrer un proposition de mon plan à la main (j’avais essayé avant de donner un argument de dimension mais qui
    était un peu flou) : N=Vect(u, tr(u)=0) : étant donné une matrice de trace nulle ils voulaient que je le décompose en combinaison linéaire de nilpotents. Je
    n’ai pas réussi à aboutir

    -Un exercice : déterminer l’ensemble de P(u) de K[u] tels que P(u) soit nilpotent (u étant un endomorphisme fixé quelconque
    Je n’ai pas réussi à finir mais ils ont réussi à me faire dire des choses : c’est un sev (car les polynômes en u commutent) de K[u] donc de dimension plus
    petite que le degré du polynôme minimal de u

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très gentil et encourageant, un des 3 était super enthousiasmé dès qu’il me posait une question et tous hochaient la tête dès que je
    commençais à dire quelque chose qui était bien pour m’encourager.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.00

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Surjectivité de l'exponentielle matricielle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le dév :
    -Comment justifiez-vous que exp(N+M) = expNexpM si N et M commutent ? (argument à l'oral avec le binôme de Newton et le produit de Cauchy)
    -Vous avez dit qu'on peut aisément vérifier que l'exponentielle est de classe C^1, comment ? (j'ai justifié qu'elle était différentiable en 0 de différentielle l'identité, mais ensuite je me suis embrouillé pour montrer le caractère C^1 alors qu'il suffisait de dire qu'elle était C^infini comme somme d'une série entière)
    -Vous dites dans votre plan que l'exponentielle sur M_n(R) n'est pas surjective sur GL_n(R), avez-vous un contre-exemple ? (je mets du temps à en retrouver, ils m'aident en me faisant redire que dét expA = e^trA ; et donc que les matrices inversibles de déterminant négatif ne sont pas atteintes (quel type de raisonnement utilisez vous ? -raisonnement par l'absurde); ils me demandent un exemple concret de taille n, je donne une matrice diagonale avec que des 1 et un -1, je dis que c'est la matrice d'une réflexion orthogonale, on me demande à quelle condition elle est orthogonale, je bégaye (c'est si la base est orthonormée))
    Ensuite j'ai un exo sur les matrices semi-simples (qui sont dans mon plan), où je dois dire à quelle condition la matrice 2x2 (a -b ; b a) est semi-simple ; c'est tout le temps le cas (car le polynôme caractéristique est irréductible dès que b est non nul, et c'est une homothétie si b=0).
    On passe ensuite au cas général de taille n, je dois montrer qu'une matrice est semi-simple ssi elle est semblale à une matrice diagonale par blocs formée de blocs de taille 1 et de taille 2 de la forme précédente. Il fallait se souvenir que le polynôme minimal d'une telle matrice est le PPCM des polynômes minimaux des blocs, ce que j'ai mis un certain temps à faire.

    Deuxième exo : calculer la puissance d'une matrice 2x2. J'ai utilisé une technique décrite dans le plan (qui vient du Mansuy premier chapitre) qui donne directement A^m = (coeff)A + (coeff)I , on m'a fait faire le détail des calculs (ce qui prend du temps avec les petites erreurs dues au stress).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Simplicité du groupe alterné An

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai eu des questions pas uniquement liées aux parties génératrices mais certaines parties de mon plan l'ont suggéré (j'ai aussi tendu qques perches, l'oral est VRAIMENT un jeu de séduction...)
    -On revient sur mon dev (preuve du Perrin) où j'ai démontré que les 3-cycles engendrent An (>=3) puis J'ADMETS que les 3-cycles sont conjugués dans An (n>=5) en disant que c'est le caractère n-2 transitif de An qui fait marcher. J'admets aussi que les bi-transpo sont conjuguées dans A5, puis je fais A5 simple puis An, n>5
    - On me demande quel est D(An) n>=5. Je dis An et je finis par le remontrer en cherchant un peu (je savais que ça tournait autour de G/D(G)...) j'ai oublié de mentionner ce résultat dans mon plan
    -On me fait chercher sur des exemples (dans An) comment écrire un élément comme produit de commutateurs. Je galère un peu mais je finis par y arriver
    -Je mentionne dans mon plan le groupe diédral et j'explique qu'avec la formule de Burnside ""on peut calculer des colliers de perles"". On me demande ce qu'est la formule de Burnside. Je dis que je ne me souviens pas parfaitement de la formule, mais que la preuve m'y aidera : je fais donc la preuve et retrouve l'expression
    -Autour de mon autre développement on va me poser deux questions, la première : je mentionne que les géné de SLn,GLn permettent d'aboutir à Frob_Zolotarev en sachant que la signature et le symbole de Legendre sont les uniques morphismes non triviaux de leurs espaces de départ respectifs dans +1-1. On me demande de justifier que le Symbole de Legendre est bien uniq mor non trivial et je fais la justification tout komilfo ils avaient l'air content
    -On me pose alors un exo : mq GLn est engendré par les dzables inversibles. Je demande hypothèses sur le corps ils me disent à vous de voir. Je n'avais jamais vu et j'ai eu la bonne réaction face au jury : je cherche 30s voir si qqch me vient, finalement non et je dis que je teste sur n= 2 et je finis pas trouver : si K corps infini ça marche, ou alors n< |K| doit suffire.
    -On finit sur un exo raffinant les générateurs de Sn lorsque n est premier. Je donne des idées pas trop bêtes mais je n'y arrive pas, l'oral s'arrête là. On a du y rester au plus 3 minutes (je pense qu'il est bon de connaitre cet exo !)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    -Tout comme on me l'avait vendu. Ils sont trois, lors des 6 minutes la femme me regarde tout du long et les deux autres scrutent le plan, il faut vraiment chercher à regarder le jury et jouer de ses qualités pédagogiques pendant la présentation du plan (si on n'est pas un monstre, faire un dév pas trop dur en cherchant à bien faire comprendre les idées lors des différentes étapes du dév etc)

    -Le jury scrute tout les détails du plan et font préciser à l'oral : j'ai du, par ex, écrire que la signature était l'unique mor à valeurs dans C : j'ai précisé que c'était C* à l'oral, ce genre de choses !

    -Encore une fois, le jury ne cherche pas à piéger et est très gentil : il rappelle les modalités de l'épreuve, ne cherche pas à vous déstabiliser, il essaie de voir ce que vous pouvez faire en 35 minutes !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    3H c'est vraiment très court, je pense qu'il est vraiment bon (ma leçon s'y prêtait aussi) d'aller chercher vite dans les livres et de plier le plan en max 1h45 pour avoir le temps de revoir certaines preuves un peu de base du cours et ses développements

    En ce qui concerne mon plan, j'ai fait on ne peut plus classique : I-géné sur les parties génératrices, II-Cas des groupes monogènes, III-Des études de groupes classiques

    Je pense qu'on peut parler de dualité dans un groupe (abélien?) mais il faut avoir investi un peu le sujet, sous l'angle que connaître G* renseigne sur G. J'avais travaillé le truc mais j'y ai pas pensé le jour J et j'ai préféré revoir des preuves le jour J que de commencer à réfléchir à comment faire une partie cohérente en 30min. En tout cas, ce n'est pas nécéssaire pour assurer une super note et ça me fait dire aussi que l'originalité n'est absolument pas obligatoire pour avoie >=15 (absolument RIEN n'était original dans mes plans/dev)

    BON COURAGE aux futurs agrégatifs !!!

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Etude de O(p,q)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Pouvez-vous justifier que O(p,q) est stable par transposition?
    2. Pouvez-vous justifier que l’exp de la transposée c’est la transposé de l’exp?
    3. Pouvez-vous ré-expliquer pourquoi on a L ∩ S (R) ≃ O(p, q) ∩ S++(R)?
    4. Justifiez que p = 0 ssi O(p,q) est compact.
    5. Vous utilisez que l’exponentielle réalise un homéomorphisme, sauriez-vous justifier la surjectivité ?
    6. Toujours dans cet homéomorphisme, comment prouver la continuité de la réciproque ?
    7. En lien avec votre dev, que peut on dire de H tel que, ∀t ∈ R, exp(tH) ∈ O(p, q) ?
    8.Pouvez-vous justifier que exp(A) ∈ K[A]?
    9. Et alors, en utilisant cela, auriez-vous un moyen de calculer une exponentielle matricielle pour une matrice
    diagonalisable sans avoir à calculer des matrices de changement de base?
    10. Un petit calcul ; pouvez-vous calculer exp ([a b] [b a]) ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de 2 hommes et 1 femme, vraiment sympathique et bienveillant, souriant, la femme acquiesçait la plupart du temps, me donnait des indications si besoin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On a 15 min de latence entre le moment où on doit poser les stylos et le moment où on passe devant le jury.

  • Note obtenue :

    13.75

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions "d'ouverture" sur le développement (calcul dans un cas particulier, que se passe-t-il si on fait agir $GL_n(\mathbb{F}_q)$ sur l'ensemble des couples (F,G) de sev de $\mathbb{F}_q^n$ avec dim F fixée, dim G fixée et F et G pas forcément en somme directe ? Autre question sur le développement : on voit que le terme dominant dans la somme correspond au q-uplet (1,1,...,1) : comparer avec ce qu'il se passe dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ (densité des matrices à $n$ valeurs propres distinctes). Montrer que $A \in M_n(\mathbb{F}_q)$ est diagonalisable ssi $A^q = A$.

    Pas de question sur le plan.

    Exos :

    - Compter les k-cycles dans $\mathfrak{S}_n$.

    - Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Compter les couples $(F,G)$ de parties de $E$ telles que $F \cap G$ est vide.

    - "Exercice qui n'a rien à voir" : Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments. Compter les couples $(F,G)$ de parties de $E$ telles que $F \cup G = E$. (on se ramène au précédent en passant au complémentaire)

    - Montrer par un dénombrement une formule dont je ne me souviens plus exactement. C'était une somme de coefficients binomiaux.

    - Calculer $$\sum_{(i_1,...,i_r) \in \mathbb{N}^r, i_1 + ... + i_r = n} i_1...i_r$$ ($r$ et $n$ sont fixés)

    - Rappeler la définition de $p$-Sylow et trouver le nombre de $p$-Sylow dans $GL_n(\mathbb{F}_p)$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment de surprise, un peu déçu qu'on n'ait pas parlé du lemme de Sperner pour montrer le théorème du point fixe de Brouwer (c'était dans mon plan). J'avais également fait exprès de ne pas mettre le dénombrement des matrices trigonalisables dans $M_n(\mathbb{F}_q)$ (j'avais les diagonalisables et nilpotentes à la fin du plan).

  • Note obtenue :

    19.75

  • Leçon choisie :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1 . Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dimension du commutant

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le développement pour commencer, notamment pour justifier l'invariance du rang/de la dimension de l'espace des solutions par extension de corps. Quelques questions sur le plan pas très difficiles.

    Premier exo: soit $f: \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R}$ multiplicative et telle que $f(0)=0$ et $f(I_n)=1$. Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f(A) \neq 0$.
    Deuxième exo: si $E$ est un $\mathbf{R}-$ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E$, que dire de la dimension de $\{ u \in \mathcal{L}(E) : F \subset Ker(u) \}$ ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique, ils m'ont mis très à l'aise et j'ai senti qu'ils m'ont tiré vers le haut en dynamisant beaucoup l'échange.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction des endomorphismes normaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions autour du développement notamment, des questions basiques mais qui ont su tous de même me déstabiliser. Ils ont finit par un exercice classique en me demandant les sous espaces stables d'un endomorphisme nilpotent dont l'indice de nilpotence était la dimension de l'espace.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un jury très bienveillant et aidant lorsque l'ont bloque. C'était très appréciable surtout lorsque l'on cède à la panique face à des questions simple ça aide à se remobiliser.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est déroulé comme prévu en terme d'organisation, pour ce qui est des questions un peu étonné que le jury ne s'intéresse pas vraiment aux plans sur ce coup ci.

  • Note obtenue :

    12

  • Leçon choisie :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Autre leçon :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Indicateur de Frobenius-Schur

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au début, des questions sur le développement : quelques rectifications mineures (oubli de lettres, mauvais mot, etc), puis on me demande à quoi tout cela sert. Je leur parle du cas où on a des actions réelles, ça donne des identités ; je dis aussi que ça peut permettre de distinguer deux groupes (il me demande un exemple : le groupe diédral a une représentation irréductible réelle de degré 2, alors que celle des quaternions n’est pas réalisable sur les réels).
    Pour les questions :
    — Calculer le rang de $^tAA$ ; pourquoi $\ker(^t AA)= ker(A)$ ?
    — Donner une matrice symétrique complexe non diagonalisable (j’ai un peu eu du mal mais j’ai trouvé après des indications)
    — Combien d’orbites pour la congruence sur les matrices symétriques réelles ? (réponse : $n(n+1)/2 +n+ 1$)
    — Est-ce que $\mathcal S^{+}_{n}(\mathbf R)$ a une structure algébrique ? Et $\mathcal S^{++}_{n}(\mathbf R)$?
    — Montrer que $\text O_n(\mathbf R)$ est un sous-groupe compact maximal de $\text{GL}_n(\mathbf R)$ (celui-là j’ai un peu galéré ; cf Caldero-Germoni pour détails)— J’ai parlé de réduction simultanée de deux formes quadratiques, mais ils ne l’avaient pas vu dans mon plan : ils m’ont demandé ce que c’était.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Il était à l'écoute, et pouvait aider au besoin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je me suis moi-même surpris au temps sur le développement.

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries d’un espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème chinois et applications

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Quels sont les sous-groupes de Z/nZ ? Pouvez-vous les dénombrer ?
    - Questions sur les idéaux de l’anneau Z/nZ.
    - Calculer phi(150) où phi est l’indicatrice d’Euler.
    - Calculer phi(p^alpha) où alpha est un nombre premier.
    - Résoudre dans Z/7Z l’équation x² - 5x + 6 = 0.
    - Est-ce que la résolution d’un trinôme de degré 2 à l’aide de la formule du discriminant reste vraie dans un corps quelconque ? Si non, quelle condition il faut ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des membres du jury me laissait peu de temps pour réfléchir, il essayait de me presser. Sinon ils sont globalement bienveillants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    9

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Bruhat

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question sur le développement : Est-ce qu'il y a une permutation qu'on a plus de chance d'avoir ? Voir le commentaire qui suit l'exercice dans Oraux X-ENS, Algèbre 1 : l'orbite correspondant à une certaine permutation est un ouvert dense.

    Questions diverses :
    -Dimension d'un sous-espace propre d'une matrice compagnon.
    Réponse : 1 (observer que la matrice compagnon à laquelle on retire une homothétie possède une sous-matrice inversible de taille n-1).
    -Soit M dans M_n(C). Montrer que M est somme de deux matrices inversibles
    Réponse : l'écrire comme somme d'une triangulaire inférieure inversible et d'une triangulaire supérieure inversible.
    -Le critère topologique de nilpotence dans M_n(C) était dans mon plan (ssi 0 est dans l'adhérence de la classe de similitude) avec une coquille. On me demande de le prouver (sûrement pour me faire remarquer l'erreur, mais sans me dire que quelque chose cloche). Je signale la coquille et je fais la preuve.
    -Montrer que pour toute matrice trigonalisable, il y a une matrice diagonale dans l'adhérence de la classe de similitude
    Réponse : conséquence immédiate d'un lemme qu'on utilise dans la preuve du critère topologique de nilpotence.
    -Unicité dans la question précédente ?
    Réponse : Non (on peut permuter les coefficients de la diagonale), mais oui à permutation près : c'est la matrice diagonale où chaque valeur propre de M est répétée autant de fois que sa multiplicité algébrique ; on utilise la continuité du polynôme caractéristique pour le montrer.
    -Montrer qu'une fonction f continue et constante sur chaque classe de similitude se factorise par la fonction polynôme caractéristique
    Réponse : pas évident, utilise la question précédente.
    -En application de la réduction de Frobenius, j'indiquais que les matrices diag(C_{X^2}, C_{X^2}) et diag(C_{X^2}, C_{X},C_{X}) (où C_P est la matrice compagnon de P) ont même polynôme caractéristique, même polynôme minimal mais ne sont pas semblables. On me demande si c'est vraiment une application de Frobenius.
    Réponse : non, elles n'ont simplement pas le même rang. Mais c'est Frobenius qui permet d'avoir l'idée de les construire.
    -Pour l'action par équivalence, je proposais en corollaire de l'équivalence à J_r l'égalité chi_{AB} = chi_{BA} (voir Gourdon algèbre). On me demande de le prouver.
    -Pour l'action par congruence, je proposais des exemples de signatures de formes quadratiques sur des matrices. On me demande de prouver le résultat pour le carré de la trace.
    Réponse : C'est le carré d'une forme linéaire : (1,0).
    -Toujours dans l'action par congruence, j'avais mis la réduction des formes quadratiques sur C et sur R, mais pas sur les corps finis (plus de place sur la feuille). On me demande le résultat.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    -Un des trois membres du jury posait la plupart des questions et conduisait la discussion. Les deux autres sont intervenus ponctuellement, avec des questions plus faciles.
    -Une question m'a semblé beaucoup plus difficile que les autres, j'ai eu droit à des indications. Pour les autres questions, on m'a laissé réfléchir et ils n'ont pas eu besoin d'intervenir, mais je pense qu'ils m'auraient aidé si besoin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Beaucoup de questions qui demandent de démontrer une proposition du plan. En connaissant (presque) par cœur le plan (connaître les parties et sous-parties par cœur et savoir quelles références utiliser), on peut l'écrire en 1h30, ce qui laisse ensuite du temps pour relire les développements ainsi que les preuves des résultats du plan que le jury risque de demander.

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d’équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Après le développement sur le théorème des 2 carrés (pour les nombres premiers), on me demande d'expliquer à l'oral comment en déduire le théorème général sur les entiers (qui était dans mon plan comme corollaire). J'arrive à expliquer dans les grandes lignes.

    Ensuite j'ai eu quelques exercices d'arithmétique, quelques exercices sur les p-groupes (j'en parlais un peu dans mon plan), et quelques exercices sur le symbole de Legendre. J'ai à peu près tout réussi, parfois avec l'aide du jury.

    Le jury tenait à poser des exercices uniquement en lien avec ce qui était dans mon plan. Il faut donc bien orienter le plan vers des choses que l'on aime (ce qui est possible sur cette leçon qui est très large), et que l'on maitrise ! Par exemple ma partie sur les p-groupes était assez courte et je n'énonçais que des résultats assez simples, mais j'ai quand même eu beaucoup d’exercices dessus, certains assez poussés. C'est vraiment important de maîtriser chaque notion dont on parle.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury aidait beaucoup, il ne laissait jamais réfléchir plus d'une minute. Il y avait donc un échange permanent, ce qui était plutôt agréable et permettait d'avancer vite et de faire beaucoup d'exercices. Le jury était cependant très neutre.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, tout était bien organisé.
    J'ai fait un plan en 2h15, sans trop me presser, même si je n'avais pas du tout préparé cette leçon avant et que j'ai donc du prendre un peu de temps pour réfléchir à l'organisation du plan. Ensuite pendant 30 min j'ai refait sur feuille chacun de mes développements, 2 fois, et enfin sur le quart d'heure restant j'ai relu mon plan et corrigé quelques bricoles, et réfléchi un peu dans ma tête à ce que j'allais pouvoir dire pendant les 6 min de présentation.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Sophie-Germain

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Concernant le développement :
    * ils m'ont demandé une petite précision sur le début : pourquoi peut-on supposer PGCD(x,y,z)=1 et x,y,z deux à deux premiers entre eux
    * s'il existait des nombres de Sophie-Germain et combien y en a-t-il
    * je connaissais bien ce développement, le jury ne m'a rien demandé de plus.

    - Concernant l'échange :
    * j'ai eu beaucoup de questions sur le plan : le théorème de Gauss, un contre-exemple pour montrer que l'implication principal ->euclidien est fausse, idem pour factoriel->principal, montrer que premier implique irréductible et si la réciproque est vraie dans le cas général
    * on a poursuivi avec un exercice : montrer que SL_2(Z) est engendré par les matrices (écrites ici en ligne) ((1 1) (0 1)) et ((0 -1) (1 0)). J'ai eu du mal avec cet exercice mais le jury m'a aidé pour qu'on puisse avancer.
    * lorsqu'il restait deux minutes d'oral le jury a préféré faire un autre exercice plutôt que de finir le premier (un peu étrange, même si c'était sûrement pour me permettre de me rattraper car je ne comprenais pas très bien les indications données par le jury sur le premier exercice) : calculer PGCD(X^(n)-1,X^(k)-1). J'ai à peine eu le temps de dire qu'on pouvait essayer une division euclidienne en supposant n>=k et de factoriser les polynômes à l'aide des racines n-ièmes de l'unité que l'oral c'est arrêté.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très gentil et patient et n'a pas hésité à m'aider lorsque j'ai bloqué sur l'exercice.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tout est très bien organisé, il n'y a rien à signaler.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    191 : Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Burnside

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question sur le développement :


    J=Jury,M=moi

    Le développement s’est bien passé (pas d’erreurs) et je l’ai terminé en 14 minutes.

    J : Comment vous vous assurez de l’existence d’une base de Vect(G) avec des éléments de G ?

    M : C’est le théorème de la base incomplète

    J : Vous avez dit que c’est le déterminant de Vandermonde mais ce n’est pas vraiment le cas ?

    M : J’avais oublié de « sortir » les lambdas pour effectivement avoir une matrice de type Vandermonde.

    J : Est ce que le résultat est vrai pour des groupes de Gln(Q) ?

    M : Hum… Bien que j’utilise le fait que tous polynôme est scindé je pense que le résultat reste vrai il suffit de faire tout ce que je viens de faire dans C qui est une extension de Q ?

    J : (pas vraiment) que pouvez vous dire des groupes de GLn(Q) et de GL(C) ?

    M : Ah oui effectivement un groupe de Gln(Q) est un groupe de Gln(C) donc le résultat est encore vrai !

    (Il y avait aussi une petite erreur j’avais écrit 0^k=0 et j’avais oublié de dire k différent de 0)


    Questions sur d’autres points :


    Jury pose des petites questions sur les polynômes caractéristiques puis me pose une question que je ne comprends pas, il reformule je ne comprends toujours pas, je dis (de manière un peu hasardeuse)que le polynôme caractéristique est invariant par similitude…

    Finalement je crois que sa question était en gros de montrer que pour un endomorphisme son polynôme caractéristique est invariant par similitude. Je le fais sans difficulté en utilisant la définition du polynôme caractéristique (det(XIn-A)).

    J’avoue que cela m’a un peu surpris je ne comprenais pas ce qu’il voulait et j’ai du répéter 3 fois la même chose mais le jury était sympathique et n’a pas été agacé par cette difficulté de compréhension.


    Trois questions du même type

    Si u est nilpotent/trigonalisable/diagonalisable et on a F tq u(F)cF alors u restreint à F est encore nilpotent/trigonalisable/diagonalisable.

    M : Il suffit d’utiliser la caractérisation des endomorphismes par les polynômes.

    Diagonalisable : existence polynôme annulateur scindé à racines simples

    Nilpotent : polynôme caractéristique qui vaut X^n

    Trigonalisable : polynôme caractéristique scindé


    Questions sur le plan :


    J : Que pouvez vous dire de l’adhérence des matrices diagonalisable ? (c’était dans mon plan)

    M : Sur R et sur C ce sont les matrices trigonalisables

    J : Pouvez vous le montrer ?

    M : J’explique l’idée…

    J : Pouvez vous le faire vraiment ?

    Je galère un peu mais finalement ça va à peu près.


    J : Qu’est ce qu’un endomorphisme semi-simple ? (c’était dans mon plan)

    M : Un endomorphisme dont le polynôme minimal est sans facteur carré

    J : Oui mais une autre vision ?

    M : Ah oui la vraie définition c’est u est semi simple si pour F tq u(F)cF alors il existe un supplémentaire G tq u(G)cG.

    J : Mais du coup c’est une généralisation de quoi ?

    M : De la diagonalisabilité en effet u est semi simple ssi u est diagonalisable dans une extension mais je crois que cela est faux si le corps n’est pas parfait.



    J : Soit M,N deux matrices nilpotentes de même rang et de même polynôme minimal. Sont elles

    semblables ?

    M : Si leur indice de nilpotence est n oui par la décomposition de Frobenius (je ne voulais pas trop en parler car je ne maîtrise pas trop ça)

    J : Pouvez vous décrire les blocs obtenus ?

    M : Ah oui vu que c’est nilpotent on a des blocs avec que des 0 et des 1

    J : Comment ils s’appellent ?

    M : Les blocs de Jordan

    Je donne des pistes (sans dire de bêtises) et il semble que ce soit l’idée mais le temps est écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sympathique. Ils étaient attentifs mais pas du tout cassant. C'était un oral sympathique !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de surprise, je maitrisais bien cette leçon (contrairement à la leçon 191).

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications

  • Développement choisi : (par le jury)

    Générateurs de O(E)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Précision sur l'autre développement : il s'agit d'une version où à chaque étape, la proportion est dans [a,A], segment strictement inclus dans [0,1] et non une proportion 1/2 comme dans le développement proposé sur ce site, il y a des matrices qui commutent et de la codiagonalisation.

    Beaucoup de questions sur le développement (cf. Perrin p.143 pour plus de détails, ou ce site):

    Q : Pouvez-vous définir une réflexion orthogonale?
    R : Je donne la définition à l'aide des matrices en fixant une base
    Q : Pouvez-vous le définir sans les matrices?
    R : Je le définis à l'aide de l'axe de renversement et de l'hyperplan.
    Q : Et pour les renversements?
    R : Je dis que c'est pareil mais on n'a plus une droite et un hyperplan mais des espaces de dimension 2 et n-2.
    Q : Pour parler de dimension d'un ensemble, que faut-il vérifier (je parle dans mon développement de l'ensemble des points fixes d'un élément de O(E) et j'utilise sa dimension)?
    R : Que ça soit un espace vectoriel.
    Q : Pourquoi est-ce évident qu'il s'agit d'un espace vectoriel? Fu = {x dans E tels que u(x) = x}, u dans O(E)
    R : Il est non vide et stable par C.L.
    Q : On peut le réécrire autrement cet ensemble?
    R : Ah oui... Comme le noyau d'un endomorphisme.
    Q : Et comment on l'appelle ce noyau?
    R : C'est l'espace propre de u pour la valeur 1.
    Q : On se donne une rotation dans $R^3$. Quels renversements l'engendrent?
    R : Je ne sais pas vraiment. Ma seule idée est de suivre l'algorithme de la preuve et de trouver les réflexions. Je suis donc le développement et trouve les dites réflexions.
    Q : Est-ce que la génération est minimale? En clair, peut-on engendrer un élément de O(E) en moins de codim(Fu) réflexions?
    R : Je ne pense pas, on peut peut-être trouver un contre-exemple.
    Q : Plusieurs membres du jury me posent des questions en même temps et veulent me faire prendre deux points de vue différents : théorique vs contre-exemple.
    R : Après un moment à être perdu, je finis par suivre la piste d'un des membres du jury qui veut que je démontre théoriquement que c'est minimal. Je me rends compte que ça a un lien avec les hyperplans des réflexions et leur intersection.
    Q : Et du coup, vous avez un contre-exemple?
    R : Petit temps de réflexion... Oui, une diagonale avec des -1 puis des 1.
    Q : Est-ce que la matrice de permutation de (1 2 ... n) est orthogonale?
    R : Oui, les colonnes forment une b.o.n.
    Q : Vous savez quelles réflexions l'engendrent?
    R : pas vraiment de réponses, toutes les questions précédentes étaient un peu mélangées donc on a fini par sauter celle-ci.
    Q : Que donne le produit de deux réflexions dans R^2?
    R : (après aide du jury et après avoir oublié ce qu'on me demandait à la base tellement j'ai eu de questions intermédiaires) une rotation.


    Sur le plan:

    Q : Démontrer que le polynome caractéristique de $u_{|F}$ (F stable par u) divise celui de u.
    R : Je dis que ça revient à ce dont je parlais dans ma présentation de plan et que matriciellement c'est évident.
    Q : Montrer que g et f commutent et sont diagonalisables implique qu'ils sont co-diagonalisables.
    R : Un peu laborieux mais j'y arrive.
    Q : Que peut-on dire du commutant de f diagonalisable?
    R : Je parle de stabilité des espaces propres mais je ne sais pas si c'est une CNS. Le membre du jury ayant posé la question m'aide et on trouve à l'oral que c'en est bien une.
    Q : Quelle est la dimension de ce commutant?
    R : La somme des carrés des dimensions des espaces propres.


    Le jury me dit que nous n'avons plus beaucoup de temps et nous passons à un exercice.

    Q : Soit u dans L(E) de polynôme caractéristique scindé à racines simples. Dénombrer les espaces stables de u. Il vous reste 30s (merci, c'est trop)
    R : J'ai juste le temps de dire qu'il y a au moins toutes les sommes directes d'espaces propres. Je n'ai pas eu le temps de les compter ( $2^n$ si je ne m'abuse).

    C'est fini, merci et bonne journée.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient assez neutre dans leur ton, ni sévères ni gentils. Ils avaient envie de poser beauuuuuuuucoup de questions, des petites questions parfois mais en plein milieu d'autres. Ce qui fait que j'ai au moins perdu le fil de ce que l'on faisait 2 fois lors de l'oral. J'imagine que ça leur permet aussi de tester les reflexes des candidats.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, l'oral s'est passé comme je m'y attendais. J'étais un peu déçu qu'ils ne choisissent pas le développement sur lequel j'avais apporté des ajouts personnels. Ils n'ont pas hésité sur le développement qu'ils voulaient voir. J'avais l'impression qu'ils avaient déjà beaucoup de questions prêtes sur O(E) et qu'ils ont juste vu qu'ils pourraient facilement poser des questions pendant la troisième partie de l'oral.

  • Note obtenue :

    12

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le groupe SO3(R) est simple

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Il y a des problèmes d'affichage dans les retours d'oraux, mon 2e développement était la décomposition polaire avec une application aux sous-groupes compacts maximaux de $GL_n(\mathbb{R})$)

    - Dans mon développement (présenté en 13mn20), il y avait un argument pas convaincant. Lorsque j'ai expliqué avec un dessin comment écrire un élément de $SO_3$ comme produit de deux réflexions, j'ai fixé un point pour illustrer mon propos, et les réflexions que j'ai construites semblaient dépendre du point... (en fait, ce point servait à construire deux réflexions qui convenaient ensuite pour tous les points, mais je l'ai mal expliqué)... Ça m'a beaucoup déstabilisé. Avec de l'aide, j'ai réussi à rendre l'argument rigoureux, mais j'ai un peu ramé car il y avait plusieurs façons de s'en sortir, le jury m'en suggérait une par ses indications, et je voulais me diriger vers une autre... bref.

    - Un petit détail à corriger dans le développement : l'un des éléments considérés devait être distinct de l'identité, ce que j'avais oublié de préciser.

    - J'ai admis un lemme de connexité par arcs pour mon développement, on m'a demandé pourquoi (parce que ça rendait le développement trop long et que ce n'était pas dans le thème de la leçon) et si c'était difficile à démontrer, j'ai dit non, on m'a répondu OK.

    - Pourquoi considérer les composantes connexes par arcs et pas juste connexes ? ... parce que ça marche.

    - Quel est le centre de $GL(E)$ (c'était dans le plan) ? Une matrice du centre commute avec les transvections, donc avec les matrices élémentaires, donc elle est scalaire. La réciproque est facile.

    - Dans la classification des isométries, l'unicité des angles est à quoi près ? Au départ, j'ai dit "à permutation près", SAUF QUE, il faut faire attention à l'orientation des axes (pour des axes non orientés, l'angle est défini dans $[0,2\pi[$, non multiple entier de $\pi$, ET au signe près).

    - Que se passe-t-il avec la décomposition polaire dans $\mathscr{M}_n(\mathbb{R})$ ? J'ai répondu qu'il y avait toujours existence dans $O_n(\mathbb{R}) \times \mathscr{S}_n^+(\mathbb{R})$ mais pas unicité (la matrice nulle est symétrique positive... ). On m'a demandé la preuve mais j'ai eu un trou (cf. Rombaldi).

    - Montrer que $GL_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs. J'ai utilisé le pivot de Gauss pour écrire un matrice $M$ inversible comme produit de transvections et de $diag(1,...,1,\det M)$, et j'ai joint continûment chaque matrice à l'identité (bon, j'ai fait comme si $\mathbb{C}^*$ était convexe, erreur d'étourderie, mais j'ai bien dit "connexe par arcs", et je n'ai pas eu de remarque).

    - Comment montre-t-on que $PGL_2(\mathbb{F}_3)$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_4$ ? J'ai bien répondu (cf. Perrin pour la preuve).

    - Quels sont les automorphismes de $SO_3$ ? Je n'en sais trop rien, mon brave monsieur (c'est écrit quelque part dans le Perrin).

    - Déterminer les morphismes de groupe de $SL_n(\mathbb{K})$ vers $\mathbb{K}^*$. Il n'y a que le morphisme trivial (regarder l'image d'un commutateur).

    - Déterminer les morphismes de groupes de $GL_n(\mathbb{C})$ vers $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Pas le temps de faire grand-chose : l'oral s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, composé de trois personnes, était bienveillant et n'hésitait pas à m'aider lorsque je séchais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ne vous fiez pas à votre impression ! J'ai eu du mal à digérer le fait que le jury insiste bien sur les points que je maîtrisais le moins, cela m'a déstabilisé, mais j'ai quand même obtenu une très bonne note.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement consistait des lemmes préliminaires puis l'existence seulement. Ils m'ont posé quelques précisions sur ce que j'avais fait, puis m'ont posé les questions suivantes :
    - Si d est le degré du polynôme minimal de u, pourquoi (id_E, u,..., u^{d-1}) est une base de K[u] ?
    - Si F est un SEV stable par u, pourquoi le polynôme minimal de l'endomorphisme induit divise le polynôme minimal de u ?
    - Exemple sur une matrice 2x2

    Sur le plan :
    - Comment définit-on le polynôme minimal ?
    - Est-ce-que des SEV E_1,...,E_r sont en somme directe si et seulement si leur intersection deux à deux est nulle ?
    - Pourquoi l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à r est un fermé ?
    - Que se passe-t-il pour les matrices de rang égal à r avec r - Questions sur les matrices compagnon (dimension d'un sous-espace propre associé, CNS de diagonalisabilité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury composé de deux hommes et une femme, ils étaient neutres, pas très encourageants, pas un seul sourire à part à la fin

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Questions très élémentaires, à part la question sur les SEV en somme directe j'ai répondu directement et justement, je ne sais pas pourquoi ils n'ont pas cherché à poser des questions plus "dures", j'ai l'impression que ça a un peu plafonné la note

  • Note obtenue :

    14.5

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Formes de Hankel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai présenté dans une première partie les définitions de multiplicité algébrique et analytique, en mentionnant leur équivalence, puis la définition des fonctions symétriques élémentaires et relation coefficient-racine, et enfin mon premier développement, les formes de Hankel. J'ai ensuite parlé d'extension algébrique de corps avec le Perrin, puis de nombres constructibles avec mon deuxième développement.

    Le jury a choisi les formes de Hankel, et ne m'a jamais parlé de nombres constructibles..
    Les questions qui m'ont été posées :

    - Pourquoi la multiplicité analytique et égale à la multiplicité algébrique? (je me suis peut-être un peu embourbée dans ma démonstration, alors qu'il y avait plus simple), ils m'ont fait remarquer qu'il fallait un corps de caractéristique nulle pour que ma démo marche.
    - Quelle est la forme de Hankel du polynôme $X^3-aX^2 + bX -c$, en supposant connues les sommes de Newton? J'ai juste écrit la définition de la forme quadratique de l'énoncé sans aller plus loin, à mon avis, il voulait savoir si j'allais oublier les facteurs 2 ou non.
    - $X^n - X+1$ est-il scindé à racines simples? calculer $\sum_{\omega~racine} \frac 1\omega$
    - Pouquoi un corps fini n'est jamais algébriquement clos?
    - Soit $P \in \mathbb Z[X]$ tel que $P(0) \neq 0$ et $(*) : P(\omega) = 0 \implies |\omega| \leq 1$
    1) trouver $A \in \mathcal M_n(\mathbb Z) | \chi_A = P$
    2) MQ il n'existe qu'un nombre fini de $P \in \mathbb Z[X]$ vérifiant $(*)$
    3) conclure que les $\omega$ sont des racines de l'unité (pas fini, mais on n'était plus très loin)
    - Soit $x = (x_1,...,x_n) , y= (y_1,...,y_n) \in \mathbb C^n$ tels que, pour tout polynôme symétrique $P, P(x) = P(y)$. Montrer que $x$ et $y$ sont dans la même orbite pour l'action naturelle du groupe symétrique sur les n-uplets.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils m'ont pas mal apporté d'aide au cours de l'entretien, sans pour autant que je sois passive. J'ai su réagir à chaque indice. J'ai d'ailleurs trivialisé la dernière question en un rien de temps, alors que la personne qui m'a posé la question avait peur qu'on n'ait pas le temps de finir, ce qui a eu l'air de beaucoup impressionner un autre membre du jury.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je me suis sentie très à l'aise durant cet oral, ce qui m'a beaucoup surprise, parce que tout au long de l'année, j'ai toujours eu un peu de mal à être à confiante à l'oral.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dunford et l'exponentielle de matrice

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :


    1. Comment détermine-t-on une relation de Bézout (pour la famille de polynômes du dév) ?

    2. Peut-on avoir une majoration du degré des coefficients de Bézout de cette relation ?

      1. On se donne la décomposition de Dunford d'une matrice A, sa partie diagonalisable est un polynôme en A. Comment trouver un tel polynôme ?

      2. Bon, essayons en dimension 2

      3. Bon essayons avec une matrice de la forme a*I_2

    3. Montrez que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn(C)

    4. Soit p un projecteur. Quand est-il symétrique ?

      1. Soient p et q deux projecteurs orthogonaux. Est-ce que pq est diagonalisable ?

      2. Regardons en dimension 2.

    5. Soient F et G deux espaces stables par u. Si les endomorphismes induits par u sur F et G sont diagonalisables, est-ce que l'endomorphisme induit par u sur F+G est diagonalisable ? (Il y en avait une autre avec, je ne me souviens plus trop, c'était du genre si u est diagonalisable alors les induits le sont, la réciproque est-elle vraie ?)

    6. Un endomorphisme de rang 1 est-il diagonalisable ? Il y a des conditions ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un peu aidant, mais pas tant que ça.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La rédaction du plan m'a pris plus de temps qu'à mon habitude, c'est un temps que j'aurais vraiment apprécier prendre pour réviser les preuves du plan.
    Lorsqu'on m'a posé des questions, j'aurais du gribouiller sur le tableau pour montrer que j'étais en train de chercher, peut-être le jury m'aurait-il plus de temps pour réfléchir aux questions.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pour les questions posées:

    - On commence par revenir sur une inégalité que j'ai écrite (c'est dans la fin du dév). Je justifie l'inégalité.

    - J'ai utilisé l'inversion de Moëbius, on me demande de démontrer. Je l'explique oralement en disant que $\mu$ est l'inverse pour la convolution arithmétique de $1.$ Je le montre et on m'arrête avant de finir.

    - On me parle de la cyclotomie et de mon exemple portant sur $\mathbb{Q}(a)\cap\mathbb{Q}(b)= \mathbb{Q}$ lorsque $a,b$ sont racines primitives d'ordres premier entre eux. Je dis que la tour d'extensions me permettant de faire la preuve est dans l'annexe. Je la présente et retrouve la preuve. Ca prend un peu de temps parce que cet exemple est non-trivial.

    - Là on me demande de majorer le nombre d'automorphismes de $\mathbb{Q}(a)$. Je n'ai pas parlé d'automorphismes de corps donc ça me surprend mais j'essaie de me souvenir de vagues choses. Je hasarde que l'automorphisme fixe $\mathbb{Q}$. On me dit oui, pourquoi ? Je dis c'est un morphisme d'anneaux entre 2 corps. D'accord, mais pas suffisant. Je réfléchis un coup, et je dis que le morphisme doit être unitaire. Un membre du jury a l'air content que je dise ça. On revient sur le problème initial. Je me rends enfin compte que le morphisme est entièrement déterminé par l'image de $a$, qui est une racine primitive de l'unité, donc je dis: je pense il y en a au plus $\varphi(n)$. On me répond: en fait même plus fort, ça divise. On m'aide à écrire le morphisme à considérer et montrer qu'il est injectif.

    - On revient sur un item du plan où je parle de $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q} (\sqrt{2}) \subset \mathbb{Q} (\sqrt{2},\sqrt{3}) = \mathbb{Q} (\sqrt{2}+\sqrt{3}).$ On me demande "comme ça vite fait" de trouver le polynôme minimal de $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, ce que j'expédie. On me demande en passant si c'est surprenant que cette extension soit monogène: je réponds non puisqu'en caractéristique nulle le théorème de l'élément primitif s'applique (il n'est pas dans mon plan). On me demande ensuite s'il existe d'autre corps entre $\mathbb{Q} $ et $\mathbb{Q} (\sqrt{2}+\sqrt{3})$, en me posant la question de sorte que je prononce les mots "extension intermédiaire". Je dis: si c'est une extension intermédiaire non-triviale elle est nécessairement quadratique donc de forme $\mathbb{Q} (\sqrt{d})$. Là on me demande d'en donner. Je réponds $\mathbb{Q} (\sqrt{2}),\mathbb{Q} (\sqrt{3})$ et même $\mathbb{Q} (\sqrt{6})$. On me demande si c'est les mêmes, je réponds en pensant qu'on me demande si $\mathbb{Q} (\sqrt{2}) = \mathbb{Q} (\sqrt{3})$, tandis qu'on me demande bien sûr s'ils sont isomorphes. Ils me demandent si un isomorphisme de corps peut envoyer $\sqrt{2}$ sur $\sqrt{3}$. Je raconte n'importe quoi pendant quelques temps, puis via leur aide comprend que le polynôme minimal est inchangé par isomorphisme de corps donc on peut pas avoir isomorphisme. Ils me disent d'autres trucs du genre sur $\mathbb{Q} (\sqrt{2}+\sqrt{3})$, et honnêtement je comprends rien mais je fais bien semblant.

    - On me lance sur un exercice: soit $K$ de caractéristique $p$, et $a \in K$. Montrer que $X^p-X+a$ est soit scindé sur $K$, soit irréductible sur $K$. Je prends un corps de décomposition et une racine. On me demande de factoriser $X^p-X$: je réponds $X$ multiple de polynômes cyclotomiques, mais là dans $K[X]$ je sais pas trop comment ceux-ci se réduisent. Ils voient que ça m'aide pas à trouver des idées, donc on me propose de trouver d'autres racines en en prenant une. Je vois pas trop, on me demande si je vois un truc en caractéristique $p$ qui peut m'aider, je parle du Frobenius, je l'écris mais ça m'aide pas. On en reste là.


    En conclusion, je pense c'était pas si mal. Ca m'a déstabilisé qu'on me parle d'automorphismes de corps parce que j'y connaissais rien donc j'ai dû comprendre ces choses en live. Malgré tout heureux d'en avoir enfin fini. _Rétrospectivement j'ai eu 17,75 sur cet oral, ce qui est parfaitement honorable quant à mes faibles qualités d'algébriste._

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17.75

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction de Jordan (par la dualité)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement :
    - J'avais un petit problème de quantificateur écrit au tableau, on me l'a fait relevé et j'ai immédiatement corrigé.
    - On m'a demandé lorsque j'effectue une "récurrence sur la dimension" de quel type de récurrence il s'agissait. Je ne comprenais pas la question j'ai donc explicité quel était l'hypothèse de récurrence de manière plus précise, mais le jury m'a fait soulevé que c'est un type de raisonnement par récurrence particulier : j'ai compris qu'ils voulaient que je dise qu'il s'agissait d'une récurrence forte.
    - J'ai utilisé le lemme des noyaux dans mon développement : on m'a demandé de l'énoncer précisément.
    - Application 1 : Comment montrer à partir de la décomposition de Jordan qu'une matrice est semblable à sa transposée.
    - Application 2 : Montrer que si u admet un espace stable de dimension k alors u admet un espace stable de dimension n-k.
    J'ai compris l'argument pour l'application 2 mais j'ai eu du mal à le formaliser, le jury m'a un peu aidé mais ne s'est pas plus attardé puis on est passé aux questions sur le plan.

    Questions sur le plan / Exercices :
    Q : Calculer la dérivée n-ième en 0 sur factorielle n de X^k (pour 0 <= k <= n). Comment interpréter le résultat en terme de dualité ?
    R : Question bien réussie. Cela donne le symbole de Kronecker, cela signifie que la famille de formes linéaires considérées est la base duale de la base canonique. D'où la formule de Taylor...

    Q : Montrer que u est diagonalisable si et seulement s'il existe n hyperplans d'intersection nulle stable par u.
    R : Question bien réussie avec une indication pour le sens réciproque. Le jury m'a demandé, pour m'aider, la dimension d'une intersection d'hyperplans.

    Q : Dans le plan, il est écrit que pour toute forme linéaire phi sur Mn(K) il existe une matrice A tel que pour tout M, phi(M) = tr(AM). Que dire de l'application phi -> A. Quel interprétation peut-on en faire dans le cas K = R ?
    R : Question bien réussie. Il s'agit d'un isomorphisme. Dans le cas K = R, la réponse attendue était le lien avec le produit scalaire canonique sur Mn(R).

    Q : En dimension infinie, que dire de l'application définie dans le théorème de Riesz ?
    R : Question bien réussie. L'application est injective mais non surjective. Le jury ne m'a pas demandé de contre-exemple.

    Q : Que dire de (ExF)* ?
    R : J'ai dit que j'imagine que c'est isomorphe à E* x F*. Pour le montrer j'ai essayer de donner un isomorphisme mais j'ai un peu galéré à le construire. Le jury m'a donné comme indication : quelle est la dimension de ExF et comment le montrer ? Je suis parti sur une mauvaise piste sur la démonstration et l'oral s'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique, qui met en confiance et donne pas mal d'indications.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui je n'ai pas eu de surprise.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Bézout faible (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'étais très satisfait de mon plan, basé majoritairement sur… Berhuy (!! bien content de l'avoir amené, malgré son poids) :
    I — Déterminants : définitions
    a. Déterminant d'une famille de vecteurs
    b. Déterminant d'un endomorphisme
    c. Déterminant de matrices
    -> avec l'interprétation géométrique (cf. BMP) et un dessin en annexe (cf. annexe graphique du plan d'EWna!)
    II — Calcul explicite de déterminants
    a. Mineurs et cofacteurs
    b. Pivot de Gauss
    c. Cas pratiques (déterminant par blocs, matrice circulante)
    III — Applications
    a. Polynôme caractéristique
    b. Résultant
    42 items en tout, qui m'ont rempli les trois pages.

    J'ai fait un (je trouve) bon oral, une intro sympa et fluide. Le dev s'est presque bien passé. Presque…

    Questions :

    - J'ai passé un mauvais quart d'heure sur une phrase innocente dans le dev Bézout faible, mais qui ne l'est pas : « Si $(x,y)$ est un zéro commun de $P$ et $Q$, alors $x$ est l'une des racines de $Res_Y(P,Q)$, $y$ est l'une des racines de $Res_X(P,Q)$. » [cf. Foissy, Ninet]
    Non seulement je m'étais perdu dans mes notations au tableau, puis j'avais confondu (et j'ai longtemps confondu $Res_Y$ et $Res_X$)… et surtout je n'avais pas cette proposition dans mon plan, donc il m'a demandé de la redémontrer à partir de mon plan, ce que je ne savais pas faire. C'est la Proposition 7.2.2 dans Fleury 2nde édition : mettez la dans votre plan ! Elle est pas difficile à démontrer mais elle est technique et utilise la représentation du résultant via l'isomorphisme avec les coefficients de Bézout [cf. von zur Gathen, Gerhard], bref… Visiblement la seule femme du jury n'était pas au point avec le résultant, j'entendais le jury qui discutait technique derrière moi. Après quinze minutes de tentatives, ils passent à autre chose en disant « C'est un point technique. »
    - Dans mon intro j'avais dit que le calcul du déterminant par la formule explicite était en complexité « exponentielle » (alors que j'ai écrit $O((n+1)!$) opérations). Ils m'ont demandé de redétailler ces calculs, puis m'ont demandé si j'étais sûr avec mon « exponentielle ». J'ai dit oui, ils m'ont demandé de comparer la factorielle et l'exponentielle, j'ai commencé à dire que factorielle était inférieur à l'exponentielle, puis pour me ressaisir j'ai fait un graphe qui m'a corrigé. « Et mathématiquement, vous le prouvez comment ? » J'ai écrit n! / e^n, je veux prouver que ça tend vers +inf, ils m'ont demandé « quel outil de L1 utiliser ?! » je ne savais pas, j'ai dit qu'on devait utiliser la formule de Stirling, mais que je ne la connaissais pas (« Y a du e, du n, du 2pi, une racine carrée… mais je ne saurai pas la retrouver ») super
    - Comment montrer que det(M) = det($^t m$) ? -> via la formule explicite, et le changement de variable j <- sigma(j) qui est bien valide car on somme sur tous les j donc on ne change pas le det avec une permutation des j
    - Dans mon plan j'avais mis en exemple « Les symétries sont diagonalisables ». Comment faire via le déterminant (et le polynôme caractéristique) ?
    Alors là je dis qu'une symétrie vérifie s² = Id, donc s annule X² - 1, puis je me perds en disant (mais quoi, Id != 1, donc pourquoi!?) et ce sont eux qui me rappellent que quand on étudie un polynôme d'endomorphisme, le coefficient constant est mis en face de Id… bref super [j'ai l'impression que je me suis beaucoup auto-saboté durant mon oral]
    Mais comment utiliser le déterminant ? On me demande alors la définition géométrique d'une symétrie, je donne celle d'une symétrie… orthogonale !
    Mais dans le cas d'un espace pas nécessairement euclidien ? Eh bien je redécouvre, avec l'aide du jury, le concept de symétrie par rapport à un sev, parallèlement à un autre… Bon, j'avais fait des dessins, donc j'espère qu'ils notent la tentative de recherche. Après toutes ces élucubrations, je dis que matriciellement en prenant des bases de V et W, alors la matrice admet des 1 sur le sev V, -1 sur le sev W, donc voilà.
    - Exo : soit u,v deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie, v nilpotent, uv = vu.
    Montrez que det(u+v) = det(u).
    D'abord j'ai commencé avec Dunford sur u + v mais u, v ne sont pas des polynômes en u donc c'est pas nécessairement ça. Ils me disent que commencer avec un exemple, je pars sur les homothéties, pour lesquelles det(u+v) = det(λid + v) ie. le polynôme caractéristique de -v évalué en λ, or -v est nilpotent car v l'est, donc son polynôme caractéristique est X^n, d'où det(u+v) = λ^n. Le temps était écoulé. (ils m'ont dit qu'ensuite j'aurais dû prendre un inversible, puis après généraliser ça par densité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois personnes (2 hommes, une femme). Neutre, aucun sourire contrairement aux deux précédents jurys. Ils m'ont posé des questions, j'ai répondu ou non, l'oral s'est conclu. La personne qui m'a posé la question était quand même intéressée que je demande comment finir l'exercice.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai fait : 45 minutes pour réécrire les titres et sous-parties de mon plan, puis les deux devs (dont suites de polygônes que j'avais dû connaitre par cœur car Isenmann-Pécatte était interdit cette année-là), puis 1 h 45 sur le plan, 10 minutes à faire des dessins en annexe. J'ai passé les dernières minutes à me reposer (pour éviter d'avoir un coup de barre comme le 1er jour), préparer mon intro, et surtout relire la preuve du fait que les formes n-linéaires alternées forment un espace vectoriel de dimension 1, car j'avais peur que le jury m'interroge dessus.

  • Note obtenue :

    11.25

  • Leçon choisie :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dimension du commutant

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    Mon développement était bien rendu (il est assez simple), une femme du jury m'a posé des questions simples auxquelles j'ai donné des réponses un peu vaseuses. finalement on a réussi à se comprendre.

    Questions :
    Ma leçon comportait beaucoup de thèmes différents : Corps finis, extrema liés, réduction des endomorphismes normaux & nilpotents, etc. Pendant l'année j'étais passé en oral blanc sur cette leçon et j'avais eu quasi-exclusivement des questions sur les corps finis. Le jour J j'ai eu quasi-exclusivement des questions sur la réduction et les algèbres de polynômes :

    Quelle est la dimension de K[u] ? (c'est une algèbre quotient de dim le degré du pol minimal)

    Montrer que si P(u) = 0 et P(0) != 0, u est inversible dans K[u]
    J'ai bien galéré, il est bien de dire que les inversibles de K[u] sont les polynômes premiers à pi (le pol minimal de u) par le théorème de Bézout. Je le savais mais il me manquait un truc, alors j'ai fait à la main et ça a pris du temps. Au final, si P(u) = 0, pi divise P, donc X ne divise pas pi, donc X est premier à pi, donc u est inversible dans K[u]...
    C'est quasiment le premier exo dans Gourdon d'algèbre.

    - Une question où il fallait utiliser les projecteurs spectraux (ceux qui sont dans le lemme des noyaux). Par réflexe je redémontre le lemme des noyaux (je suis conditionné), ils me demande ce que je fais, pourquoi ne pas juste utiliser les résultats ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury avait l'air agréablement surpris par ce que je racontais. Par ailleurs celui qui menait était vraiment sympathique.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu une note bien plus haute qu'attendu. Je crois que le jury aime bien cette leçon, bien faite.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Dunford et l'exponentielle de matrice

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions:
    Ils m'ont fait corriger des étourderies dans ce que j'avais écrit concernant mon développement

    Concernant la fin de mon développement, ils m'ont guidé pour obtenir des démonstrations différentes.




    Question plan :
    Questions sur la codiagonalisation de matrice. Je l'ai énoncé pour une famille finie, ils m'ont demandé si infini ça marchait. Je n'avais pas d'argument donc est partie sur la démonstration dans mon cas et l'extension à une famille pas forcément finie d'endomorphisme.

    J'avais mis trigonalisation avant diagonalisation. Ils m'ont demandé de justifier. Je sais que lorsque j'avais préparé les leçons de réductions j'avais fais ce choix pour une raison mais je ne me rappellais plus pourquoi. J'ai dit que c'était parce que le diagonalisation était un cas particulier de la trigonation. Après ils m'ont demandé si j'avais à l'enseigner si je le ferais comme ça. J'ai répondu que ça pouvait être pertinent également de faire la diagonalisation avant pour s'habituer à certaines manipulations et pour simplifier la venue de la trigonalisation.

    Ils m'ont demandé de justifier mon dev 2 : de base c'est pas lui que j'avais mis mais au moment de faire le plan j'ai eu un trou sur la structure de mon plan donc j'ai fait comme j'ai pu. J'ai dit que la preuve reposé sur le fait qu'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes est diagonalisable, dont la preuve vient du fait que la dimension d'un sous espace propre est entre 1 et la multiplicité de la valeur propre qui elle même vient du fait que le polynôme caractéristique d'un endomoprhisme induit divise celui de l'endomorphisme (résumé brièvement).

    Ils m'ont aussi demandé de dénombrer le nombre de sous-espace propre d'un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes. Ils ont fait beaucoup de sous-questions pour me guider au résultat.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aidant, souriant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais que les questions posés aller être plus difficile. Il y en avait bien sûre auxquelles je n'ai pas su répondre mais les jurys m'aidaient à obtenir les résultats.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes finis de S0(3)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement était plutôt rapide donc il m'ont demandé de répéter des justifications que j'avais donné seulement à l'oral.

    Il y avait une erreur dans mon plan, j'avais écrit "les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont +1 ou -1" et ont vite compris que je maîtrisais mal les valeurs propres des matrices orthogonales, alors toutes les questions ont tourné autour de ceci et en lien avec la classification des matrices de SO2(R) ou O2(R).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Peu expressif mais ils accompagnaient vraiment bien, en laissant de la liberté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais dû mettre moins de points de mon plan sur les généralités des espaces euclidiens, j'aurais eu alors plus de temps pour parler des matrices de Gram par exemple. Pour l'oral lui-même je suis content, bien que mes manque de connaissances sont vites révélées, j'ai su répondre aux problématiques qu'ils me posaient pour corriger mes lacunes.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Autre leçon :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Assez déçu du tirage, je tombe sur deux leçons que j'ai préparé mais loin de mes sujets de prédilections.

    J’ai essayé de faire ma leçon rapidement parce que je sais que la méthode de gradient est assez longue donc je voulais bien l’avoir en tête, j’ai pas été trop ambitieux sur le plan, je me suis cantonné au minimum.

    Le jury me demande l’autre développement au final, celui que j’avais déjà présenté l’année dernière. A la suite du dev, on me demande de définir l’exponentielle de matrice, je crois que je l'ai pas trop fait proprement malheureusement, aussi de préciser mon polynôme interpolateur que j'utilise dans la preuve, et d'expliquer pourquoi la norme 2 dans le cas des matrices symétriques donne le rayon spectral. Aussi, on me demande pourquoi $A↦A−1$ est continue (il faut passer par la formule avec la comatrice) et pourquoi $\exp(PAP^{-1})=P\exp(A)P^{-1}$ (Argument de continuité).

    Puis on passe rapidement au plan, on me demande si en plus de la somme directe entre les matrices symétriques et antisymétriques, il n’y a pas autre chose d’un point de vue euclidien. Donc on a regardé la forme Trace et en fait les deux espaces sont orthogonaux.

    Ensuite, par rapport au théorème spectral, on me demande pourquoi les espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux , je m’exécute. Enfin, on m’interroge sur une proposition de mon plan qui dit $S_n^{++}(\mathbb{R})$ est ouvert dans $M_n(\mathbb{R})$ (J'ai mal dû lire ce qui était écrit dans le Rombaldi), finalement ils m’ont dit que c’était plutôt ouvert dans $S_n(\mathbb{R})$ et l’oral s’est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    148 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon second développement était l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur $\mathbb{Q}$ précédé par un lemme (celui du Gozard) et du corollaire qui permet de trouver le degré de l'extension $\mathbb{Q}(\zeta)$ (pour que ça rentre bien dans la leçon).

    Mes 6 minutes se sont très bien passées, j'ai dépassé de 5-6 secondes mais ils n'en ont pas tenu rigueur.
    Le développement (que j'ai d'ailleurs fait en passant par la formule d'inversion de Möbius) s'est aussi très bien déroulé (14 minutes), même si j'aurais préféré qu'ils choisissent les polynômes cyclotomiques...

    Ils m'ont ensuite posé quelques questions sur le développement : justifier rapidement une divisibilité (argument d'irréductibilité, les polynômes sont 2 à 2 premiers entre eux donc le PPCM est le produit etc...).
    Le résultat final du développement était que le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ était équivalent à $\frac{q^n}{n}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. L'un des jury (celui qui dirigeait l'oral) me demande alors si je peux interpréter le résultat, s'il ne me fait pas penser à quelques chose (j'avais préparé cette éventuelle question : il s'agissait de faire une analogie avec la répartition des nombres premiers...)
    L'autre homme dans le jury m'a demandé d'appliquer la formule d'inversion de Möbius à l'indicatrice d'Euler, j'ai fait une petite erreur de calcul que j'ai tout de suite corrigée.
    Puis, ce même monsieur me demande d'énumérer quelques polynômes irréductibles de degré 2,3 sur $\mathbb{F}_2$ en utilisant la formule du développement. Je me suis trouvé un peu poussif dans les calculs mais ça a été...
    Le "jury leader" a repris alors la parole pour me demander de démontrer une proposition du plan que j'avais mise en valeur pour les 6 minutes (il s'agissait de $K[X]/(P)$ corps $\iff P$ est irréductible. Je commence la démonstration au tableau et il m'arrête assez rapidement, voyant que je la connaissais. Puis il me demande de construire $\mathbb{F}_9$ avec ce procédé, puis d'en énumérer les éléments, puis de multiplier deux éléments (je pense que cette question est systématique en cas de leçon sur les corps...)
    L'oral s'est poursuivi sur 2 exercices :

    Exo 1 : Soient $x,y$ algébriques sur un corps $K$ de polynômes minimaux respectifs $\mu_x$ et $\mu_y$. On suppose que $\mu_x$ est irréductible sur $K[y]$. Montrer que $\mu_y$ est irréductible sur $K[x]$.
    Je n'avais jamais fait cet exercice, mais je pense que le jury a apprécié les bons réflexes : interpréter degré de l'extension et degré du polynôme minimal, appliquer la base téléscopique... Puis j'ai eu de l'aide du jury pour conclure.

    Exo 2 : Montrer que $X^4+1$ est réductible dans tous les $F_p$.
    J'avais déjà vu ce résultat mais évidemment je ne me souvenais pas de la démonstration... J'ai commencé par regarder dans $\mathbb{F}_2$, réflexe qui a été apprécié du jury. Et à partir de là ils m'ont dit "ok on prend maintenant $p$ impair". J'ai suggéré d'aller chercher une racine, ils m'ont dit "oui dans quelle extension?" j'ai dit $\mathbb{F}_{p^2}$ ils ont dit oui, puis à partir de là j'ai bégayé (la fatigue des 3h et de tout l'oral commençait à se faire ressentir...) mais ils m'ont aidé en me disant "que dire de l'ordre d'une telle racine" j'ai dit "ah oui, d'ordre divisant 8", ils m'ont dit "oui, pourquoi c'est obligatoirement 8 ?" j'ai répondu puis le jury m'a aidé à conclure parce que j'ai un peu gogolisé sur la fin... Comme quoi il ne faut pas que l'oral se passe de façon optimale pour avoir la note maximale !

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était d'une extrême bienveillance, vraiment très gentil. Surtout le "leader" (j'ai cru comprendre qu'il y a toujours un des membres du jury qui dirige l'oral en rappelant les modalités, en posant la majorité des questions) était souriant, mettait à l'aise... Tout pour mettre en confiance !
    Il n'hésitait pas à aider quand j'avais des petits bug... Le 3e membre du jury (une dame) n'a pas parlé du tout, sauf à la toute fin pour une indication sur l'exo 2.
    Une chose à dire je pense, c'est qu'il ne faut pas s'attendre à ce que le jury laisse transparaître quoi que ce soit. Il ne dira rien quant à la qualité du plan, des 6 minutes, du dev...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'organisation de la préparation est optimale ! Le personnel est vraiment à notre disposition. La présidente du jury vient rappeler toutes les modalités,... On a un peu de temps pour souffler, se détendre, manger un bout (c'est important) avant l'oral, le temps qu'ils fassent les photocopies. Tout est très bien indiqué, bref rien à redire sur le lieu et le personnel

    Ayant suivi une prépa agreg, j'ai eu la chance d'avoir des oraux blancs, ce qui fait que je savais à peu près à quoi m'attendre. Au début de la préparation, lorsque j'ai reçu le tirage, j'ai tout de suite choisi la 125 mais j'ai un peu paniqué 1/2h plus tard parce que je me disais "oh la la mais qu'est-ce que t'as pris, les corps c'est dur quand même..." mais bon j'ai bien fait de rester dans ce choix parce qu'en vrai je pense que le jury sait que les corps c'est dur et donc si on maîtrise la base ça suffit ! Pas besoin d'aller dans les dingueries d'extensions séparables et de théorie de Galois, je n'ai rien mis de tout ça dans mon plan et c'est passé ! Par contre un bon point de mon plan a été la constructibilité ; je recommande de s'y intéresser pendant l'année, ça demande pas un investissement de ouf et ça paie (même si pour le coup le jury ne m'a posé aucune question dessus...)

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Wantzel

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Plan que j'ai proposé :
    I - Généralités sur les extensions de corps. [PER]
    A/ Notion d'extensions de corps.
    B/ Elements algébriques.

    II - Corps de rupture et décomposition : construction des corps finis. [PER]
    A/ Corps de rupture.
    B/ Corps de décomposition.
    C/ Construction des corps finis.

    III/ Nombres constructibles. [CAR]
    A/ Généralités.
    B/ Lien avec la théorie des corps.
    C/ Réponse aux trois problèmes historiques

    Le début de l'échange a commencé avec des remarques, questions sur le développement choisi (Wantzel) :
    - Pourquoi une équation cartésienne d'une droite s'écrit avec des coefficients dans $K_i$ ?
    - Comment construire le produit de nombres constructibles ?

    Ensuite, il y a des questions sur mon plan et des exercices :
    Q : Votre deuxième développement permet de trouver des polynômes irréductibles de tout degré sur $\mathbb{F}_p$, peut-on le retrouver différemment ?
    R : Oui, en utilisant le fait que $\mathbb{F}_q^\times$ est cyclique, en prenant a un générateur on montre que $\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_p[a]$ et en prenant le polynôme minimal de a on a le résultat.

    Q : Mais dans ce cas là comment construisez vous les corps finis au départ ?
    R : Comme le corps de décomposition de $X^q - X$ dans $\mathbb{F}_p[X]$

    Q : A quelle condition a-t-on $\mathbb{F}_{p^n}$ sous-corps de $\mathbb{F}_{p^m}$ ?
    R : Si et seulement si $n | m$, je dis que cela revient à montrer que $X^n-X | X^m-X$ et donc que $n | m$.

    Q : D'accord est-ce qu'un sens ne serait pas plus facile en précisant la tour d'extension ?
    R : Oui, en écrivant $\mathbb{F}_{p} - \mathbb{F}_{p^n} - \mathbb{F}_{p^m}$ on a directement que $n | m$ par multiplicativité des degrés.

    Q : Montrer que $X^4 + 1$ est réductible modulo tout $p$ premier.
    R : Si $p = 2$, $X^4+1 = (X^2+1)^2$ donc est réductible et sinon prenons $p$ impair et regardons dans une extension de degré 2 : $8 |(p-1)(p+1)$ (car c'est le produit de deux nombres pairs consécutifs) donc $X^8-1 | X^{p^2-1} - 1$ donc comme le deuxième est scindé, le premier l'est et donc en prenant une racine primitive 8-ième dans $\mathbb{F}_{p}$ on a une racine de $X^4 + 1$ dans une extension de degré 2, il est donc réductible modulo tout $p$.

    Q : Vous avez utilisé un résultat ($P$ de degré $n$ irréductible ssi il n'admet aucune racine dans une extension de degré au plus $\frac{n}{2}$), montrez le.
    R : Prenons un sens, supposons que $P$ est réductible donc il s'écrit $P = QR$, quitte à considérer $R$ on peut supposer $Q$ de degré au plus $\frac{n}{2}$, on considère alors un facteur irréductible de $Q$ puis le corps de rupture de $Q$ qui permet de trouver une racine de $P$ dans une extension de degré au plus $\frac{n}{2}$. Et le sens réciproque (avec aide du jury) :
    Supposons $P$ irréductible et admette une racine $x$ dans une extension $L$. Alors $K(x)$ est un corps de rupture de $P$ de degré $n$ donc $[L:K] \geq n$ d'où le résultat. (Résultat montré dans le Perrin p.78)

    Q : Comment montrez vous que l'ensemble des algébriques est un corps ?
    R : De deux manières : par le résultant pour trouver un polynôme annulateur de la différence et du quotient ou (voir preuve Perrin p. 67)

    Q : $X^7 - 2$ est-il réductible sur $\mathbb{Q}$ ?
    R : Non il est irréductible par le critère d'Eisenstein en prenant $p = 2$.

    Q : Montrons à présent qu'il est aussi irréductible sur $\mathbb{Q}(j)$.
    R : (Avec aide du jury) On considère $\sqrt[7]{2}$, on écrit les extensions $\mathbb{Q} - \mathbb{Q}(\sqrt[7]{2}) - \mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2})$ d'un côté et $\mathbb{Q} - \mathbb{Q}(j) - \mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2})$ de l'autre. On a $[\mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2}):\mathbb{Q}(\sqrt[7]{2})] = 2$ (car $j$ est annulé par un polynôme de degré 2 dans $\mathbb{Q}(\sqrt[7]{2})$ et que $j$ n'est pas dedans) alors $[\mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2}):\mathbb{Q}] = 14$ et donc $[\mathbb{Q}(j,\sqrt[7]{2}),\mathbb{Q}(j)] = 7$ donc $X^7-2$ est le polynôme minimal de $\sqrt[7]{2}$ dans $\mathbb{Q}(j)$ donc est irréductible.

    Q : Vous avez essayé d'utiliser le théorème de l'élément primitif, quand est-il valable ?
    R : Dans les corps de caractéristique nulle et les corps finis et en général c'est faux.

    Q : Avez-vous un contre-exemple ?
    R : Je ne me souvenais plus trop de la forme du contre-exemple mais voir Perrin p. 87 et Ortiz pour la preuve.

    Q : Connaissez-vous les polygones constructibles ?
    R : Oui, j'ai parlé du théorème et j'ai dit qu'un des sens était dur car utilisait de la théorie de Galois.

    Q : Nous allons montrer le sens facile. Prenons $p$ premier, donner une CN pour que le polygone à $p$ côtés soit constructible.
    R : (Après de l'aide du jury), on cherche donc a construire $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ qui a pour polynôme minimal le polynôme cyclotomique $\Phi_p$ de degré $p-1$, mais par le théorème de Wantzel si $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ est constructible alors il est algébrique de degré une puissance de 2 donc $p-1 = 2^\alpha$ et donc $p$ est un nombre premier de Fermat.

    Q : Maintenant, montrer que si l'on sait construire le polygone à $pq$ côtés (avec $p$ et $q$ premiers) alors on sait construire le polygone à $p$ côtés et à $q$ côtés.
    R : (Après aide du jury) On sait donc construire $e^{\frac{2i\pi}{pq}}$ et donc comme le produit de constructibles est constructible en prenant la puissance $q$ ou $p$ on obtient de le résultat.

    Q : Montrer que dans $M_n(K)$ ($K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), $\chi_{AB} = \chi_{BA}$.
    R : Je dis que je le montre avec $A$ inversible, on écrit $AB = ABAA^{-1}$ et donc $AB$ et $BA$ sont semblables et on a le résultat. Ensuite, on utilise la densité de $GL_n(K)$ dans $M_n(K)$ et la continuité de l'application $A \mapsto \chi_{AB}$.

    Q : Maintenant, supposons l'avoir montré sur $M_n(K(T))$ pour $K$ un corps quelconque cette fois-ci, montrer que cela permet de le montrer sur $M_n(K)$
    L'oral s'est fini une minute après donc je n'ai pas eu le temps de traiter l'exercice.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury m'a mis en confiance dès le départ et était très bienveillant et souriant, dès que je proposais des idées ils m'aidaient afin de construire la solution.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est très bien passé comme je le pensais car j'apprécie beaucoup la théorie des corps. J'ai pu finir le plan assez rapidement car le Perrin est très bien pour construire le plan et j'ai donc pu peaufiner mes développements pour bien m'en souvenir.

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur mon développement (comment je construis formellement Q le polynome associant les valeurs propres lambda_i de AtA à leur racine, est ce que je connais des applications de la decomposition polaire)
    Puis des corrections de mon plan (j'ai du corrigé les formules du cardinal de Gln(K) et Sln(K) où K est un corps fini, j'avais fait des erreurs de recopiage...)
    Ensuite des exercices portant surtout sur des sous groupes de Gln(K) (par exemple si G est un sous groupe de Gln(K) vérifiant pour tout A dans G : A^2=In, alors G est abelien et donner son cardinal)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    très souriants, encourageants. Ils m'ont donné des pistes régulièrement et si je ne voyais vraiment pas ils disaient "pas grave on passe à autre chose"

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé mieux que je ne le pensais notamment grâce au jury qui m'a mise en confiance.

  • Note obtenue :

    13.75

  • Leçon choisie :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Longs échanges à propos du développement, quelques questions sur le plan. Puis un petit exercice (trouver le maximum sur la sphère unité de la fonction $x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ pour $u$ endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel de dimension finie).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    RAS. Le jury était peu bavard, mais efficace dans ses questions. Ils cherchent vraiment à tester la compréhension des résultats écrits par le candidat. Ah si, un membre a qualifié ma défense du plan de "lecture insipide" (mais c'était probablement le cas, ce n'est pas un point sur lequel j'ai travaillé au cours de l'année).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Alors, premier jour donc pas mal d'organisation à expliquer. On tire les couplages, et je me décompose littéralement en découvrant deux sujets que je ne maîtrise pas. Je me ressaisis et choisis la leçon qui me parle le plus, et dont les développements sont les plus simples (histoire de réussir au moins ça).
    La préparation se passe bien, mais je m'y étais préparé au cours de l'année. J'ai globalement fait le plan que j'avais prévu, qu'on peut découper en deux grosses parties : calcul exact de valeurs propres / localisation et calcul approché de valeurs propres.
    Pendant l'oral j'ai l'impression de plutôt bien réussir sur les questions qui concernent la première partie, mais je n'ai quasi rien réussi sur la deuxième. Je ressors donc extrêmement pessimiste de ce premier jour.
    Finalement, la note obtenue est au-dessus de mes espérances.

    Au niveau du temps, on a bien eu pile poil les trois heures de préparation et on a même un petit temps pour relire le développement choisi par le jury. Donc il faut penser à le rédiger proprement au brouillon.

  • Note obtenue :

    10.25

  • Leçon choisie :

    181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

  • Autre leçon :

    153 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d'éléments propres. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Hahn-Banach géométrique

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon plan pour contexte:
    I. Ensembles convexes
    1. Généralités
    2. Séparation (dev 1: Hahn Banach)
    3. Projection sur un convexe fermé
    II. Barycentres
    1. généralités
    2. lien avec la convexité
    III. Polyèdres en dimension 3
    1. Généralité
    2. Classification des polyèdres réguliers
    IV. Applications affines
    (dev 2:point de Fermat)

    Pas de questions ni de remarques sur le développement.
    Sur le plan le jury m'a fait énoncer le théorème de Carathéodory que j'avais omis (je ne l'avait pas trouvé dans les refs) et m'a fait remarqué que les applications affines sont un exemple trop trivial d'application convexe.

    Exercices:
    I. donner une condition nécessaire et suffisante sur A dans Sn(R) pour que X->tXAX soit convexe.
    Je tente la méthode naïve de prendre une combinaison convexe, vu que c'était un mauvaise piste le jury me guide pour me faire remarquer qu'on regarde une forme quadratique. A partir de la on conclut assez rapidement en utilisant le théorème d'inertie de Sylvester: A=tPDP où P est inversible, D diagonale avec des 1,-1 et 0 sur la diagonale. L'application s'écrit alors tXtPDPX=tYDY est convexe si et seulement si il n'y a que des 1 ou des 0 sur la diagonale de D, c'est à dire si et seulement si A positive.

    II. Cette fois A définie positive et B un vecteur. Que dire des extremums de X->tXAX+tBX.
    Calculer la différentielle de façon classique. On trouve 2tXAH+tBH. On en déduit le gradient facilement qui vaut en X 2AX+B. on trouve le point critique qui est unique. C'est un minimum puisque l'application est convexe.

    III. Donner un algorithme pour déterminer l'enveloppe convexe d'un nombre fini de point.
    Je ne savais pas faire on n'a pas perdu beaucoup de temps.

    IV. démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
    Je ne savais pas faire et cette fois le jury ne m'a pas guider du coup j'avanças lentement. L'épreuve s'est terminée durant cette question (une démonstration est faite dans le livre carnet de voyage en algébrie)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury à été sympathique et m'a bien aider dans les exercices.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Beaucoup plus d'exercice que ce à quoi on avait été préparé au cours de l'année dans notre prépa. Je ne avais pas qu'on avait 15 minutes entre la fin de la préparation et le passage pendant lesquelles on peut relire notre plan et nos notes ce qui est sympa.

  • Note obtenue :

    12.5

  • Leçon choisie :

    103 : Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dixon

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement s'est bien passé, il n'a duré que 12'30, mais j'ai eu un trou sur le calcul final, je me suis un peu embourbé. Au bout d'une minute ou deux de réflexion, le jury finit par m'expliquer comment finir le calcul, je le fais sans problème (cf ma version du développement pour plus de détails à ce sujet, il y a une erreur dans la référence dans laquelle je prenais le développement). Aucune question sur le développement.
    Questions sur le plan:
    - Mq deux matrices réelles conjuguées dans C sont conjuguées dans R. C'était un résultat du plan que je connaissais bien, j'ai su le prouver.
    - Mq dans un corps algébriquement clos, une matrice et sa transposée sont conjuguées Là encore, un résultat du plan que j'avais révisé pendant la préparation : l'ingrédient secret est la réduction de Jordan (qui existe toujours car on est dans un corps algébriquement clos). Une fois avoir dit ça, le jury ne m'a pas demandé de détailler davantage.
    - J'avais écrit une proposition dans laquelle j'affirmais que deux matrices semblables ont même déterminant, trace, polynôme caractéristique et minimal. Le jury m'a demandé si certains de ces invariants en impliquaient d'autres. J'ai eu un peu de mal à comprendre ce que le jury voulait sur cette question. On m'a donc demandé si, sachant que le polynôme caractéristique était invariant pour deux matrice semblables, je pouvais en déduire que le déterminant était le même. C'est vrai puisque (au signe près), le déterminant est le coefficient constant dans le polynôme caractéristique. J'ajoute qu'on a aussi que la trace est invariante car c'est (encore au signe près) le coefficient de degré n-1 dans le polynôme caractéristique. Le jury est content.
    - Est-ce qu'il suffit pour deux matrices d'avoir le même polynôme caractéristique et minimal pour être semblables ? Non, on peut trouver des contre-exemples.
    - Est-ce qu'en rajoutant des hypothèses sur les matrices qu'on considère, ce résultat peut devenir vrai? Je donne un ou deux idées, peu intéressantes. Le jury rajoute alors : "des hypothèses, même très fortes". Je donne alors l'hypothèse de diagonalisabilité, le jury est content et me demande de développer pourquoi ça marche. J'arrive à le faire. Essentiellement, les deux matrices vont être diagonalisables grâce au polynôme minimal, et le même polynôme caractéristique permet d'affirmer qu'elles auront les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités. Elles seront donc conjuguées à la même matrice diagonale, donc conjuguées entre elles.
    - Trouver deux matrices dans C ayant même polynôme caractéristique et minimal mais qui ne sont pas conjuguées entre elles. J'affirme que pour des raisons de taille de blocs de Jordan, il faut taper au moins en taille 4 pour les matrices pour avoir un exemple. J'essaie de construire des matrices qui font le job, mais grosse galère. Je mets des 1 sur les diagonales de mes matrices, et après j'essaie de faire joujou avec les tailles des blocs de Jordan, mais je n'y arrive pas. Le jury me demande pourquoi je m'escrime à mettre des 1 sur la diagonales; Je réponds en effet que ce n'est pas pertinent, et donc je mets des zéros (pour ces histoires de blocs de Jordan, j'ai une meilleure intuition avec les matrices nilpotentes). Je finis par y arriver, mais on y a passé du temps.

    Un exercice pour conclure. On fait agir par conjugaison le groupe A4 sur l'espace X des 3-cycles contenus dans A4. Mq les 3-cycles n'engendrent pas A4.
    Aucune idée pour démarrer : je dis donc que si les 3-cycles engendraient A4, on pourrait montrer que ce groupe est simple (je n'étais pas trop sûr de moi ici), ce qui n'est pas puisque le sous groupe des doubles transpositions est distingué dans A4. Le jury m'invite à résoudre l'exercice en utilisant l'action par conjugaison qu'il m'a introduite, en écrivant la relation orbite stabilisateur. J'essaie ensuite quelques trucs qui n'aboutissent vraiment pas, je parle du fait que le type caractérise entièrement les classes de conjugaison dans Sn (c'était dans mon plan), mais je ne sais pas trop quoi en faire. A la fin, le jury me demande de dénombrer les 3-cycles de A4, je le fais, et l'oral s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury plutôt sec au départ, mais souriant à l'issue de la défense de plan et très souriant à l'issue du développement, ce qui m'a mis en confiance. Pendant la séance de questions, le jury était aidant mais me laissait bien le temps de réfléchir c'était très agréable. L'exercice final était plus un dialogue qu'une séance de questions, encore une fois très agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Nous sommes très nombreux à préparer en même temps dans la même salle (une douzaine de personnes dans une petite salle). La température monte vite.
    Je n'ai pas réussi à retrouver entièrement mon développement sur le théorème de Dixon pendant la préparation, développement qui est tombé au moment de l'oral. Ca ne met vraiment pas en confiance ! Pourtant, cela s'est quand même très bien passé, grâce à la réactivité et la bienveillance du jury. Corollaire : Rester concentré et motivé en toute circonstance !

  • Note obtenue :

    18.25

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Fitting et cardinal du cône nilpotent

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je rentre, le jury me rappelle les consignes de l'épreuve. Puis me disent que je peux quand je le souhaite. Je commence par présenter mon plan de leçon (environ 6'10 - le jury ne m'arrête pas malgré ce léger dépassement). Puis tous les membres du jury étaient d'accord pour prendre mon développement sur le nombre de matrices nilpotentes de taille dxd sur un corps de cardinal q. Ils me rappellent que je peux regarder BRIÈVEMENT mes notes (ce que je ne fais pas connaissant bien ce développement l'ayant présenté 2 fois au cours de l'année de préparation)

    Je fais exprès lors de ce développement de passé sous silence le cardlinal de GLn(Fq) qui fera l'objet de ma première question du jury (perche tendue prise). Puis le jury n'ayant pas d'autres questions sur le développement, celui-ci passe aux questions réponses.

    Voici les différentes questions qui m'ont été posées :
    1) Ayant parlé dans la leçon des différentes actions sur les espaces de matrices, donc ayant parlé de la matrice Jr relié à la relation d'équivalence et du rang. Le jury me demande la classe de similitude de Jr.
    R: Je sèche, ceux-ci me posent diverses questions (en terme de sous-espaces stables etc...). Après quelques échanges, sur avoir seulement 0,1 comme valeurs propres de dimension exactement n-r et r, on arrive enfin au fait que ces matrices sont celles des projecteurs.
    2) Montrer que A4 n'est pas engendré par les 3 cycles
    R: (en posant une action de A4 sur le sous-groupe engendré par les 3 cycles par conjugaison) puis en supposant par l'absurde que cela était le cas, en appliquant la relation orbite stabilisateur, on obtient une contradiction
    3) Considérons E un ensemble fini non multiple de p premier et sigma une permutation d'ordre p. Montrer que sigma a un point fixe.
    R: Passer par l'absurde et écrire la décomposition en cycle à support disjoint de sigma. Or l'ordre de sigma est le ppcm des ordres de cycles à support disjoint. Celui-ci étant p, tout les cycles sont d'ordre p, ou 1. Puis en écrivant l'équation aux classes associé à l'action du sous-groupe engendré par sigma sur E. On obtient une contradiction.
    (Cette question j'avais toutes les idées, mais un peu de mal à mettre en place, le jury m'a accompagné tranquillement quand je bloquais)
    4) Considérons u un endormorphisme diagonalisable de E un K-ev de dimension n. Déterminer la dimension du commutant de u
    (La j'avoue que j'ai vu ça j'ai totalement bloqué, je voyais pas le lien avec ma leçon, spoiler : y'en avait pas. - j'ai essayé de poser une action par conjugaison depuis le groupe linéaire sur L(E). Mais ça n'aboutissait pas. Le jury m'a conseillé de regardé deux cas extrêmes : a) u une homothétie b) u possède n valeurs propres distinctes)
    R : dim C(u) = la somme des ( multiplicité des espaces propres) au carré. En s'intéressant à l'écriture matricielle voire : http://mpstar.lamartin.free.fr/fichiers/matieres-640-1413608066.pdf par exemple

    5) (On a parlé un moment pendant l'oral d'endomorphismes cycliques à la question 4) donc on est revenu brièvement dessus à la toute fin de l'oral alors qu'il restait 1 minute). Le jury m'a demandé de redonner précisément ma définition d'endomorphisme cyclique :
    R: il existe x0 dans E, tel que (x0,u(x0),...,u^n-1(x0)) est une base de E.

    6) Il restait 10 secondes (le jury me l'a fait savoir en posant la question). Quel x0 conviendrait si on considère u diagonalisable à n v.p simples pour montrer que u est cycliques ?
    R: x= sommes des x_i où les x_i sont des vecteurs.p associés aux v.p


    Mon impression en sortant : L'impression d'avoir bien géré mes 6 minutes, d'avoir bien fait mon développement (pas de questions dessus), mais d'avoir bloqué sur les questions, où ils devaient de temps en temps me donner des indications. Spoiler : ne vous écoutez pas toujours, vous êtes le moins bon pour vous juger après une épreuve !!

    RMQ : 1 visiteur

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable (composé de deux hommes et une femme, et dirigé par un des deux hommes), qui laisse le temps de réfléchir s'il voit que vous cherchez, mais qui n'hésite pas aussi à vous aider si vous bloquer, à vous donner des indications. Jury qui vous conseille d'avoir confiance en vous, que la réponse est là. Très plaisant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est passé comme prévu, pas de surprises, comme lors de la préparation toute l'année. Concernant la préparation, pensez à profiter des 15 minutes de battements pour relire tranquillement vos développements prise en note pendant la préparation, et à revenir sur vos 6 minutes !

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Von Neumann des sous-variétés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Plan :

    I- $\mathrm{GL}(E)$ et $\mathrm{SL}(E)$, générateurs. (Perrin, Rombaldi)
    1. Déterminant et $\mathrm{SL}(E)$,
    2. Centres et générateurs,
    3. Aspects combinatoires dans les corps finis.

    II- Actions et sous-groupes remarquables de $\mathrm{GL}(E)$ (Rombaldi, Perrin)
    1. Translation et équivalence.
    2. Conjugaison et réduction.
    3. Stabilisateurs et autres sous-groupes remarquables.

    III- Aspects topologiques et géométriques (Rombaldi, Alessandri, Mneimné-Testard).

    Je suis content du plan, je l'avais déjà préparé pendant l'année mais cette fois j'ai pu rajouter la partie de combinatoire sur les corps finis qui est un vrai plus dans cette leçon. La partie I tourne autour de la simplicité de PSL$(E)$ globalement, la partie II permet de mettre en valeur les aspects présentés dans le rapport du jury (stabilisateurs d'actions sur des sommes directes, des drapeaux, des formes quadratiques avec de la classification...) et qui est très bien présenté dans le Rombaldi, avec une sous-partie 2. qui n'a plus ou moins qu'un seul item : la réduction de Frobenius. J'ai pu mettre en annexe un tableau regroupant les différentes actions et les "formes normales" dans une orbite. La troisièle partie, enfin, traite du cas $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ avec de la topologie (compacité de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$, densité de $\mathrm{GL}_n$ et connexité par arcs lorsque $K = \mathbb{C}$, connexité par arcs également de $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$,...) et également de la géométrie en lien avec la topologie (produits scalaires invariants sur les sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ : mon premier développement, et une petite partie sur l'exponentielle et les groupes de Lie matriciels avec mon deuxième développement : le théorème de Cartan-Von Neumann disant que les sous-groupes fermés de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont des sous-variétés de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$).

    Défense du plan :

    Je fais au tableau un triangle avec un sommet algèbre linéaire, un sommet géométrie et un sommet groupe et j'ai mis au milieu GL(E) (celui qui unifie le tryptique) et ça justifiait donc l'intérêt de ce groupe. J'ai dit que la partie I traitait plutôt de l'aspect groupe (générateurs, centres, simplicité...), la partie II faisait le lien entre groupes et algèbre linéaire en regardant des actions sur des objets particuliers (sommes directes, drapeaux, formes quadratiques). Enfin je disais que la partie III traitait du lien entre groupes et géométrie avec un peu de topologie en plus.

    Questions posées
    I- Développement
    1. Où est-ce qu'on utilise, dans le développement, que $\mathfrak{g}$ et $\mathfrak{g}'$ (un supplémentaire) sont supplémentaires ? Je réponds que ça intervient clairement pour appliquer le théorème d'inversion locale à la fonction :
    \[
    \begin{array}{ccrcl}
    \Phi & : & \mathfrak{g} \times \mathfrak{g}' & \longrightarrow & \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\\
    & & (M,M') & \longmapsto & \exp(M)\exp(M').
    \end{array}
    \]
    en $(\textbf{O}_n,\textbf{O}_n)$.
    2. Réexpliquer pourquoi il existe un voisinage $W \in \mathcal{V}_{\mathfrak{g}'}(\textbf{O}_n)$ tel que $\exp(W) \cap G = \{I_n\}$. On utilise le lemme que j'ai montré précédemment : Soit $(H_k)_{k \in \mathbb{N}} \in G^{\mathbb{N}}$ tel que :
    \[
    H_k \xrightarrow[k \to +\infty]{} I_n
    \]
    et :
    \[
    \forall k \in \mathbb{N}, \quad H_k \neq I_n.
    \]
    Alors toute valeur d'adhérence de la suite $\displaystyle \left(\frac{\mathrm{Log}(H_k)}{\Vert \mathrm{Log}(H_k) \Vert}\right)$ (bien définie à partir d'un certain rang) appartient à l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$.

    En effet, grâce à ce lemme, on raisonne par l'absurde : si pour tout voisinage $W$ de $\textbf{O}_n$ dans $\mathfrak{g}'$, $\exp(W) \cap G \neq \{I_n\}$, alors on a :
    \[
    \forall k \in \mathbb{N}^*, \quad \exp\left(B_{\mathfrak{g}'}\left(\textbf{O}_n,\frac{1}{k}\right)\right)\cap G \neq \{I_n\}.
    \]
    On a donc à disposition une suite $H_k = \exp(N_k)$ avec $N_k \xrightarrow[k \to +\infty]{}0$, $N_k \in \mathfrak{g}'$ et $H_k \in G \setminus \{I_n\}$. Ainsi, d'après le lemme, les valeurs d'adhérence de la suite $\displaystyle \left(\frac{N_k}{\Vert N_k \Vert}\right)$ sont dans $\mathfrak{g}$, mais également dans $\mathfrak{g}'$ par fermeture de ce sous-espace vectoriel de dimension finie ! ABUSRDE !
    3. Comment est défini l'exponentielle/le logarithme de matrice ? Si on prend une norme d'algèbre sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, alors, pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, la série :
    \[
    \sum_{k \geqslant 0} \frac{M^k}{k!}
    \]
    converge absolument, donc converge. Cela définit donc une application $\exp$. Par convergence normale, on montre que $\exp$ est en fait de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. De même, pour toute matrice $M \in B(I_n,1)$, la série :
    \[
    \sum_{k \geqslant 1}(-1)^{k-1}\frac{(M-I_n)^k}{k}
    \]
    converge absolument, donc converge. Cela définit une application $\mathrm{Log}$ et on vérifie qu'il s'agit de la réciproque de $\exp$ sur ce voisinage.
    4. Redéfinir ce qu'est une sous-variété et l'espace tangent en un point. Je bugue un peu mais en refaisant un dessin j'arrive à retrouver la définition. Dans mon développement, j'ai utilisé la définition suivante de l'espace tangent en un point $x$ d'une sous-variété $M$ de $\mathbb{R}^n$:
    \[
    T_xM = \left\{\gamma'(0), \text{ } \gamma : (-1,1) \longrightarrow M, \text{ }\gamma(0) = x\right\}.
    \]

    II- Plan
    1. Item $4$ : ça veut dire quoi ? J'avais mis la suite exacte :
    \[
    \{e\} \rightarrow \mathrm{SL}(E) \hookrightarrow \mathrm{GL}(E) \overset{\det}{\twoheadrightarrow} K^* \rightarrow \{e\} \
    \]
    en disant que ça permettait de montrer l'isomorphisme suivant :
    \[
    \mathrm{GL}(E) \simeq \mathrm{SL}(E) \rtimes K^*.
    \]
    Je réexplique donc quelle est la loi du produit semi-direct : on la trouve à partir d'une section du déterminant, qui doit être un morphisme de groupes :
    \[
    \begin{array}{rcl}
    K^* & \longrightarrow & \mathrm{GL}(E) \\
    \lambda & \longmapsto & D_{\lambda} := \mathrm{Diag}(1,\ldots,1,\lambda).
    \end{array}
    \]
    et on a la loi :
    \[
    \forall (M_1,M_2,\lambda_1,\lambda_2) \in \mathrm{SL}(E)^2\times \left(K^*\right)^2, \quad (M_1,\lambda_1) \rtimes (M_2,\lambda_2) = (M_1D_{\lambda_1}M_2D_{\lambda_1}^{-1},\lambda_1\lambda_2),
    \]
    de sorte que l'application :
    \[
    \begin{array}{rcl}
    \mathrm{SL}(E) \rtimes K^* & \longrightarrow & \mathrm{GL}(E) \\
    (M,\lambda) & \longmapsto & MD_{\lambda}
    \end{array}
    \]
    soit un isomorphisme de groupe. Le jury a l'air content.
    2. Redémontrer les formules des cardinaux sur les corps finis. Pour rappel :
    - $\left \vert \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \left(q^n-1\right)\left(q^n-q\right)\ldots\left(q^n-q^{n-1}\right)$.
    - $\displaystyle \left \vert \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\right \vert = \left \vert \mathrm{PGL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \frac{\left \vert \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert}{q-1}$,
    - $\displaystyle \left \vert \mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert = \frac{\left \vert \mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)\right\vert}{n \wedge (q-1)}$.

    Les parties délicates à justifier sont le cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ et celui de $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$. Pour $\mathrm{GL}_n$, on dénombre les bases sur $\mathbb{F}_q^n$ : le premier vecteur de base doit être non-nul : $q^n-1$ choix. Le deuxième vecteur de base doit être non-colinéaire au premier. On retire donc un sev de dimension $1$ : $q^n-q$ choix. Le troisième vecteur de base ne doit pas être dans le plan engendré par les deux premiers vecteurs de base : $q^n-q^2$ choix, etc. Enfin, pour justifier le cardinal de $\mathrm{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$, il faut dire que le centre de $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ est constitué des homothéties qui sont dans $\mathrm{SL}_n(\mathbb{F}_q)$. Ce doit donc être des homothéties de rapport une racine $n$-ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$. Il ne reste donc plus qu'à justifier qu'il y a $n \wedge (q-1)$ racines $n$-ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$. Si $\delta := n \wedge (q-1)$, on montre que les racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ sont des racines $\delta$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ grâce au théorème de Lagrange, et enfin, le polynôme $X^{\delta}-1$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{F}_q$ étant donné qu'il divise $X^{q-1}-1$ qui est scindé à racines simples dans $\mathbb{F}_q$ : il y a donc exactement $\delta$ racines $\delta$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$, et donc il y a $\delta$ racines $n$-ièmes de l'unité dans $\mathbb{F}_q$.
    3. Redémontrer que les éléments de $\mathrm{O}(q)$, pour $q$ une forme quadratique non-dégénérée sont produits d'au plus $n$ réflexions. Je réponds que dans le cas général c'est très dur (c'est un de mes développements). Elle me demande donc dans le cas euclidien. Je refais sans problèmes avec un dessin (qu'ils m'ont demandé de refaire parce qu'au début il était trop petit), puis la dame qui m'a posé la question me demande ce que ça donne en dimension $2$. Je fais un dessin avec une rotation et je dis que ladite rotation s'écrit comme produit de deux réflexions. La dame me demande alors en dimension $3$. Je suis un peu perdu, et elle me demande "c'est quoi les éléments de $\mathrm{O}_3(\mathbb{R})$ ?" Je commence donc à lister : les rotations, les anti-rotations,... et enfin elle me demande "du coup elles s'écrivent comme produit de combien de réflexions ?" du coup je dis "euh au plus 3 du coup" et elle a l'air satisfaite. J'ai pas trop compris du coup. Elle me demande enfin si je connais les grandes lignes de la démonstration dans le cas général. Je dis qu'il faut distinguer les cas selon s'il y a des vecteurs fixes isotropes ou non. Globalement j'écris les étapes de mon développement et elle a l'air satisfaite.

    III- Exercice
    On considère $(E, \Vert \cdot \Vert)$ un $\mathbb{R}$-evn de dimension finie et on suppose que le groupe $\mathrm{O}(E) := \left\{u \in \mathrm{GL}(E) \text{ } \left \vert \text{ } \forall x \in E, \quad \Vert u(x) \Vert = \Vert x \Vert \right. \right\}$ agit transitivement sur la sphère unité. Montrer que la norme $\Vert \cdot \Vert$ est euclidienne. V'là l'exo ! Je suis complètement perdu au début et j'essaie de montrer que la norme vérifie l'identité du parallélogramme et je n'y arrive pas. Ensuite le monsieur du jury me demande ce que je sais sur le groupe $\mathrm{O}(E)$. Je réponds qu'il est compact. Le monsieur me demande pourquoi et je réponds qu'il est fermé et borné. Et ensuite le monsieur du jury me dit "donc il possède un produit scalaire invariant." J'étais pas prêt du tout à utiliser ce résultat ! On a donc à disposition une norme euclidienne $\Vert \cdot \Vert_e$ sur $E$ tel que les éléments de $\mathrm{O}(E)$ stabilisent cette norme. Je dis donc ensuite qu'il suffit de montrer que $\Vert \cdot \Vert$ et $\Vert \cdot \Vert_e$ sont égales. Le monsieur du jury me fait raffiner en disant qu'il suffit de montrer qu'elles sont égales sur la sphère unité pour $\Vert \cdot \Vert$ puis, par transitivité de l'action de $\mathrm{O}(E)$ sur la sphère, il suffit de montrer qu'elles sont égales en un seul vecteur. Puis il me demande s'il n'y a qu'un seul produit scalaire invariant. Là j'étais trop perturbé, du coup j'ai dit "euh oui ? Je sais pas." Le monsieur du jury me dit donc qu'on peut multiplier le produit scalaire invariant par un scalaire strictement positif, et ça restera un produit scalaire invariant. On s'est arrêté là mais du coup en y réfléchissant, si on prend $x$ tel que $\Vert x \Vert = 1$, on a juste à renormaliser la norme euclidienne invariante par $\Vert x \Vert_e$ pour avoir $\Vert x \Vert_e = 1$ et donc on en conclut que $\Vert \cdot \Vert = \Vert \cdot \Vert_e$ : c'est une norme euclidienne.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les membres du jury étaient très gentils et mettaient à l'aise : ils me laissaient boire quand je le voulais, ils me laissaient prendre des pauses si j'étais stressé etc.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, tout à fait. Vous pouvez regarder mon retour d'analyse (celui où j'ai choisi la 244 par rapport à la 243) pour plus de détails. Un truc qui m'a étonné par contre c'est qu'ils me demandaient beaucoup de détailler. Je pensais au début qu'il suffisait de donner les idées pour que ça passe, mais des fois j'ai dû détailler à fond (je crois que c'était sur les questions auxquelles j'étais pas sûr au premier abord)

  • Note obtenue :

    19.75

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Remarque: ceci est un retour sur la session 2024 non 2023, je sais pas lire désolé.

    Le jury a choisi le théorème de Dirichlet faible (ma version est celle du FGN), le développement s'est déroulé sans problèmes.
    Pour les questions sur le développement :
    - le jury m'a demandé de repréciser pourquoi, lorsque l'on montre que l'ordre de $a$ est exactement $n$, si $p$ ne divise pas $\Phi_{d'}(a)$ alors le produit sur les $d'$ divisant $d$ est également non nul modulo $p$. J'ai évoqué, comme c'est le cas dans la référence et dans les divers versions de ce développement sur ce site, le fait que $\mathbb{F}_p$ soit un corps (intégrité), cela n'a pas vraiment convaincu le jury mais comme visiblement je n'arrivais pas à donner l'argument qu'ils attendaient ils sont passés à autre chose (j'ai très certainement perdu des points là dessus car j'étais persuadé que cet argument fonctionnait mais le jury n'était pas d'accord peu importe ce que je leur disais...)
    - ensuite ils m'ont demandé pourquoi on avait le droit de choisir $a$ de telle sorte que $\Phi_{d}(a)$ soit différent de $0$, $1$ ou $-1$ (nombre fini de racines).
    On est ensuite passé aux questions sur le plan et exercices.

    Questions sur le plan :
    - le jury m'a demandé de démontrer les résultats sur les polynômes cyclotomiques utilisés dans le développement que j'avais aussi mis dans le plan (la formule avec $X^n-1$ et le font qu'ils sont unitaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$ par récurrence et division euclidienne, facile à faire)
    - je parlais des tests de primalité dans mon plan et un des membres du jury m'a demandé si je connaissais un critère pour savoir où fallait-il s'arrêter pour connaître la primalité ou non d'un entier n, il s'agissait du résultat avec racine de n (voir Rombaldi par exemple). Évidemment je l'ai oublié et on a perdu 5 bonnes minutes pour que j'essaye de m'en rappeler alors que c'est un résultat très simple, j'ai dû perdre pas mal de points là dessus.
    - je mentionnais également les carrés dans les corps finis (le paragraphe du Perrin copié-collé) et le jury m'a demandé de reprouver le cardinal des carrés non nuls de $\mathbb{F}_q$ (j'ai réussi à le faire) et l'oral s'est terminé sur ça.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extrêmement bienveillant et donnait de l'aide alors que j'étais très nul sur deux questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tout est très bien organisé, rien à signaler.

  • Note obtenue :

    12

  • Leçon choisie :

    127 : Exemples de nombres remarquables. Exemples d'anneaux de nombres remarquables. Applications.

  • Autre leçon :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Q: pourquoi y’a t’il (p-1)/2 carrés dans Fp?
    A: preuve en considérant x→x^2 morphisme de groupe puis premier théorème d’isomorphimse avec le noyau et l'image de l’application
    Q: Vous savez faire la division euclidienne de 5+2i par 2+i (c'étaient pas ces complexes là mais osef)
    A: oui je sais faire ! Bon j’ai fait une erreur de calcul (la norme au carré de 2+i c’est 5, pas 3…) mais ils m’ont dit “vérifiez votre denominateur” et à part ça je connaissais la méthode
    Q: vous savez prouver le lemme sur les isomorphismes d’anneaux que vous admettez?
    A: oui, je fais la preuve que j’avais revue au brouillon. Pareil, théorème d’isomorphimse
    Q: pourquoi Z[X]/(X^2 +1) est isomorphe à Z[i]?
    A: on envoie i sur X. Il faut expliciter le morphisme car Z n’est pas un corps donc les histoires de corps de rupture ça marche pas.
    Q: est-ce qu’il y a une infinité d’irréductibles dans Z[i]?
    A: il faut montrer qu’il y a un infinité de nombre premiers congrus à 3 modulo 4. Il y a une infinité de nombre premiers congrus à n’importe quoi modulo n’importe quoi… euh non pardon c’est faux ce que je viens de dire, surtout pas !...mais 3 et 4 sont premiers entre eux donc ça marche
    Q : vous savez prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers congrus à 3 mod 4
    A: je bafouille un truc sur les corps finis avant d’admettre que je sais pas.
    Q: Ok, passons à la suite. Dans le plan vous affirmez que ll'ensemble des nombres algébriques sur un corps K est un corps, vous savez le prouver?
    A: on considère K(x,y) pour x et y algebriques et on montre que c’est une extension de degré fini de K qui contient x/y et x-y
    Q: quel est le degré de la racine 4eme de 2 sur Q?
    A: j’essaie un truc par multiplication de degrés d’extensions, sans succès
    Q: cherchez plutôt un polynôme minimal sur Q.
    A: X^4-2 polynôme annulateur, je veux qu’il soit irréductible…euh…ahah! C’est le critère d’eisenstein avec p=2

    Q: Vous savez prouver votre théorème de caractèrisation des éléments algebriques sur un corps ?
    A: oui. Je refais (une partie, ils ont pas voulu voir toutes les implications sinon c’est très long) la preuve, c'était pas parfaitement fluide mais je m'en suis sortie assez vite
    Q: pourquoi ça existe un polynôme minimal
    A: on considère l'idéal des polynômes qui annulent a algébrique, c'est un idéal dans K[X] on prend son générateur c’est le polynôme minimal
    Q: pourquoi on peut faire ça ?
    A: car K[X] est principal
    Q:Pourquoi ?
    A: car K est un corps
    Q: pourquoi le polynôme minimal est irréductible?
    A: par l’absurde, s’il était réductible on aurait un facteur de degré plus petit qui annulerait a ce qui contredirait la minimalité
    Q: C’est quoi le degré de R sur Q?
    A: infini. On prend un transcendant x dans , [Q(x): Q] de degré infini puis base télescopique avec la convention infini x infini= infini
    Q: comment on sait qu’il existe des nombres transcendants dans R?
    A: l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable, R est Indénombrable.
    Q: votre application 12.5 mise à la fin du plan avec une astérisque là, C privé d’un nombre dénombrable de points est connexe par arcs, c'est une application de quoi?
    A: oui pardon je l’ai rajoutée à la fin: c'est une application du fait que R est Indénombrable
    Q: vous savez le montrer?
    A: OUI ! J’ETAIS TROP CONTENTE ! C’EST MA PREUVE PRÉFÉRÉE DE TOUTE L'ANNÉE !
    Q: vous affirmez que Z[(1+i racine (19))/5] n’est pas euclidien comment vous le prouvez?
    A: euh …par l’absurde… je crois qu’on contredit l'irrationalité de racine(19) mais je ne me rappelle plus des détails
    Q: vous avez un exemple de Z[w] qui ne soit pas principal?
    A: c'est un sous anneau de C qui lui est principal…
    Q: ça va nous aider ça ?
    A: bah je me dis que je peux chercher un idéal de mon Z[w] tel que son générateur dans C ne soit pas dans Z[w]...
    Q: on va plutôt en trouver un qui ne soit pas factoriel. Vous avez une idée du choix de w?
    A:non
    Q: w=iracine(5)
    A: ahhhh oui ! Bon supposons qu’il n’est pas factoriel…(hésitation, je sais plus par où partir)
    Q: ça veut dire quoi qu’il n’est pas factoriel ?
    A: on n’a pas d’unique décomposition en irréductibles. Ah! Donc on va chercher un elt qui a deux décompositions distinctes en irréductibles
    Q: prenez 6
    A: bon déjà 6=2 * 3. Ensuite…(1+iracine(5))(1-iracine(5)). Il faut montrer que les éléments qu’on vient de voir sont irréductibles. Je m’en sors par un raisonnement que la norme d’arithméticiens. Ensuite je m’embrouille à essayer d’expliquer de 2 et 3 ne divisent pas (1+iracine(5))(1-iracine(5) (je me rends compte maintenant que j’aurais pu le déduire de l’irréductibilité). Le jury m’empêche de m’embourber plus.
    Q: et donc ?
    A: donc Z[iracine(5)] n'est pas factoriel
    Q: donc il n’est pas…
    A: principal
    Q: donc il n’est pas…
    A: euclidien
    Q: Ok, c'est presque la fin…Vous définissez e comme la somme des 1/(n!), pourquoi cette somme est définie?
    A: on regarde la série entière exponentielle des x^n/(n!) et on montre qu'elle a un rayon de CV infini. C'est parce que n!/ (n+1)! tend vers 0, c’est le critère de … Cauchy ou d’Alembert je sais plus. Cauchy je crois. Du coup la série est bien définie sur R et donc en particulier en 1
    Q: vous savez montrer que l’ensemble des suites à valeur dans {0,1} est Indénombrable ?
    A: oui , c'est encore l’argument diagonal de Cantor
    Q: ok c'est terminé

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu un gros trou de mémoire sur un détail dans mon développement. Je suis passée à la suite et suis revenu dessus à la fin.
    Je n'ai eu aucune question sur les nombres constructibles alors que j'imaginais en avoir.
    Il faisait vraiment très chaud.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    122 : Anneaux principaux. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Le théorème des deux carrés

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Lorsque j'ai fini mon développement on m'a demandé d'éclaircir quelques points où j'avais oublié quelques détails puis nous sommes passés sur des questions.
    Le jury m'a demandé de redémontrer que Z[i] était un anneau euclidien puis ensuite on a regardé les idéaux premiers de Z[i] : le jury m'a demandé de montré tout d'abord que pour A un anneau, B un sous-anneau de A et p un idéal premier de A, B \cap p était un idéal premier de B. On a ensuite appliqué cela avec A = Z[i] et B = Z. Il fallait montré que p était engendré par un nombre premier q et on a ensuite étudié le cas où q était congru à 1 modulo 4 puis 3 modulo 4. Enfin, on a terminé l'oral en me demandant quelle était la propriété vérifiée par les anneaux principaux que les anneaux euclidiens ne vérifient pas.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été plutôt muet et neutre et n'intervennait qu'assez rarement. Cependant lorsque le jury me donnait des indications je sentais dans la voix qu'ils étaient assez bienveillants.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris au début par le jury qui paraissait plutôt neutre et blasé mais j'ai compris ensuite qu'ils essayaient d'être le plus neutre possible.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Surjectivité de l'exponentielle matricielle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    150 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction des endomorphismes normaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Description du jury :
    Deux hommes (J1 et J2) et une femme (J3), très souriants et agréables. J1, l’homme qui m’a fait entrer me redonne les consignes après m’avoir demandé la leçon que j’ai choisie, et me dit que je peux me lancer quand je veux. Jury tout du long très agréable et avenant.
    Déroulement de l’oral :
    Défense de plan : Je commence par introduire l’intérêt de diagonaliser pour travailler avec des outils plus simples. Puis je présente de façon trop confuse l’algèbre K[u] et j’introduits les polynômes annulateurs et minimal.
    Je raconte des choses et donne des critères de diagonalisation mais je passe trop de temps dessus et c’est très confus, je me rends compte que je n’ai presque plus de temps.
    Je saute aux applications et j’en mentionne quelques-unes de plus que je n’ai pas intégré dans mon plan (équa. diff) puis conclus en disant « je suis désolée je n’ai même pas eu le temps de parler de trigonalisation ».
    Développement : le jury me demande quels sont mes deux développements. Je m’excuse de ne pas l’avoir dit à l’oral (décidemment, pas très contente de ma défense) puis je donne les deux développements (j’avais oublié d’encadrer le thm de Dunford, i.e. la moitié du développement {lemmes des noyaux + Dunford}…). Le jury demande {Réduction des endomorphismes normaux}.
    Je réalise le développement du thm en 12 minutes 15 et je décide donc de rajouter le corollaire matriciel avec les matrices unitaires. Je m’embrouille un peu et suis confuse quelques minutes entre A, matrice normale et u, endomorphisme canoniquement associé à P, lui, unitaire. Mais je retombe sur mes pieds et finis à 15 min 20.
    Questions :
    En lien avec le développement :
    J2 : Remontrer l’équivalence f est normal ssi ∀(x,y)∈E^2,⟨f(x)│f(y) ⟩=⟨f^* (x)│f^* (y) ⟩
    Je le fais sans encombre et proprement.
    J2 : Redétaillez pourquoi, à la fin de la démonstration, l’endomorphisme associé canoniquement à la matrice de passage est un endomorphisme unitaire
    Si on l’écrit avec x = x1 e1 + x2 e2 … on le retrouve facilement.
    J2 : Mais sinon, on ne peut pas dire quelque chose de plus simple avec les bases ?
    Si, qu’elle transforme une base orthonormée en base orthonormée.
    J2 : Oui ok
    J1 : Quelles sont les applications de ce thm ?
    Les applications de ce thm sont plutôt celles de la version réelle de ce thm, le thm spectral, valable dans le cas des endomorphismes symétriques, qui se démontre comme ce thm à la différence près qu’on ne connaît pas l’existence d’une valeur propre, mais en fait dans le cas symétrique les vp sont réelles donc il en existe au moins une, puis le reste du developpement suit le même principe. Et ses applications sont très nombreuses : existence d’une racine carrée pour une matrice symétrique positive, thm de décomposition polaire, on l’utilise aussi quand on cherche l’enveloppe convexe d’On(R)…
    J1 : que dire de la réduction d’endomorphisme anti-symétrique ?
    Je prends quelques minutes pour y réfléchir… je dis qu’il faudrait que je l’écrive et que s’il attend une réponse immédiatement alors je ne l’ai pas en tête tout de suite.
    J1 : on va passer au plan alors.
    J3 : vous avez dit que l’idéal des polynômes annulateurs était engendré par UN polynôme. Vous pouvez préciser ?
    Oui j’ai dit un car je le prends unitaire, mais dans les faits il y en a plusieurs.
    J3 : C’est-à-dire plusieurs ?
    Et bien en fait je prends le polynôme minimal, c’est-à-dire celui qui est unitaire, et tous ses multiples non nuls engendrent aussi l’idéal.
    J3 : Ah donc il n’y en a qu’un ?
    Un seul qui est unitaire, oui.
    J1 : Vous pouvez démontrer que « u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est sars » ?
    Oui, je commence à l’écrire au tableau. Je veux démontrer une équivalence donc je commence par le sens direct. Et là je bloque… Je dis que je sais le faire, qu’il faut que ça me revienne… Je dis que je vais alors me lancer dans l’autre sens, plus simple, que je fais directement avec le lemme des noyaux. Je reviens alors sur le sens qui m’a posé problème et j’écris la tête que va avoir le polynôme minimal : au moins scindé avec des puissances potentiellement, que j’aimerai pouvoir enlever. Je dis que là le lemme des noyaux ne va pas m’aider, car il va juste me redonner la décomposition des sous espaces caractéristiques.
    J1 : Oui donc vous, vous ne voulez pas les puissances, est-ce qu’on ne pourrait pas les enlever.
    Ah oui, en fait je pose P(X) ce polynôme sans les puissances, et je montre alors, sans savoir pour l’instant que c’est le polynôme minimal, qu’il annule bien u et on a alors montré le résultat.
    J1 : Ok oui, on passe à la suite.
    J2 : Est-ce que vous pouvez montrer que si F, s.e.v. de E est stable par u, et u trigonalisable, alors u restreint à F l’est aussi ?
    Je le fais sans encombre, avec le déterminant par bloc, me donnant que le polynôme caractéristique de uF divise celui de u, mais j’en oublie un peu ce qu’on voulait faire.
    J2 : et donc pour en revenir à la trigonalisation ?
    Ah oui, après le polynôme caractéristique de u est scindé donc comme celui de uF le divise, il l’est aussi et donc uF est trigonalisable.
    J2 : Ok.
    Ah oui, après le polynôme caractéristique de u est
    J2 : On prend A diagonalisable et on pose l’endomorphisme φ:M→AM-MA. Que dire de φ ?
    Ok on va avoir envie de montrer qu’il est diagonalisable. Je me vois mal exhiber sa matrice.
    J1 : Matrice qui serait de quelle taille ?
    n^4
    J1 : Oui donc un peu gros
    En effet. Mais donc regarder son polynôme caractéristique me semble par raisonnable.
    J1 : Il serait de quel degré ?
    n^4.
    J1 : Sûre ?
    Euh, non. n² pardon.
    J1 : Oui donc encore une fois un peu gros…
    Là je patine....
    J2 : et si on regardait un polynôme annulateur ? Sur φ:M→AM pour commencer.
    Je prends P = ∑▒〖akX^k 〗 qui annule φ, on a alors P(φ) = 0 = ∑▒〖akφ^k 〗
    J2 : C’est quoi φ^k ?
    La composée de φ^k fois.
    J2 : Et là on peut pas l’écrire explicitement ?
    Ah si, ça fait AkM et donc après si P annule A alors P annule φ^(après quelques petites corrections sur P(φ) ou P(φ)(M)).
    J2 : Et ensuite que peut-on conclure ?
    Alors ça va faire la même chose pour la partie MA, on va avoir cette partie annuler mais je vais avoir un pb avec le φ de base car je ne connais pas ses puissances aussi facilement (remarque qu’ils n’ont pas entendue je pense car ils m’ont dit qu’on pouvait conclure maintenant, et en disant « ok on peut conclure » ils m’ont dit « ben non pas si vite »). Donc j’ai écrit φ²(M) = A²M -AMA -AMA +MA² mais j’ai encore un pb avec ces AMA qui ne s’annulent pas…
    J1 : c’est la fin on va devoir s’arrêter là.
    Ah déjà ? (très sincère, c'est passé très vite)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas cassant et plutôt agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Déçue de la défense de plan, super mal organisée, à l’arrache, brouillon, même si j’ai introduit le sujet et l’intérêt de son étude, je pense que ce n’était vraiment pas glorieux, j’ai oublié de donner mes deux dvts, j’avais même oublié d’en encadrer un…
    Mais globalement super satisfaite. J’ai fait un super plan, très complet : j’ai rempli en totalité les feuilles, j’ai fait 51 items. J’ai fait un bon développement, j’ai répondu très bien aux questions de cours malgré le bug sur le sens direct du thm « u est diagonalisable ssi son polynôme minimal est s.a.r.s » et l’impasse sur l’exo qu’ils m’ont donné à la fin. En sortant j'espérais avoir au moins 12/13 voire plus.

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    154 : Exemples de décompositions de matrices. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Comme tous mes autres oraux, je commençai par « Bonjour à tous, je suis très content d’être là ! » avec un grand sourire. Le jury était composé de trois personnes, ils commencèrent par me rappeler les modalités de l’épreuve, notamment à quel moment on avait accès à nos brouillons (tout le temps sauf pour le développement). Nous avions le droit de relire rapidement nos feuilles avant de faire le développement et après que le jury ai fait son choix.
    J’étais très fier de ma défense de plan, c’était un tableau avec double entrée, d’une part, décompositions additives contre décompositions multiplicatives, d’autre part, théorie contre applications à l’analyse numériques. Il y avait même une accroche avec la phrase « Diviser pour mieux régner » suivie d’une introduction historique. J’avais simplement oublié de parler de ma première partie, mais on ne me posa aucune question dessus.
    Le développement choisi fut « décomposition polaire », je lis mon développement avant de le présenter au tableau, ce qui ne me servit à rien, car je lisais en diagonale. Je me reposais sur le Caldero-Germoni et il est préférable de l’avoir sous les yeux pour lire les lignes qui suivent.
    Je ne rencontrai aucun problème pour montrer la compacité de On(R), la continuité de l’application et sa surjectivité. Arrivé au moment de montrer son injectivité, je me trompai avec les polynômes interpolateur, j’avais écrit que je voulais envoyer sqrt(li) sur li. (J’aurais dû me rendre compte tout de suite que ça ne pouvait pas être cela. Aurait-on eu besoin de polynômes interpolateur s’il suffisait de prendre X² ?) Forcément, la suite ne fonctionnait pas donc je passai à la continuité de la réciproque sur laquelle il manquait des éléments à cause de ma précipitation. (Il ne faut pas se laisser intimider par une erreur). Je revins ensuite à l’injectivité, mais on m’apprit que le temps était bientôt écoulé, je donnais alors les étapes de la preuve à l’oral si j’avais réussi à monter ce que je voulais montrer.
    Au fond de moi, je fus démoralisé, ça me paraissait grave de ne pas finir son développement.

    Les premières questions étaient consacrées à corriger cette histoire de polynômes, après plusieurs indications, j’arrivais enfin à trouver ce que je voulais, mais ce n’était pas glorieux. On passa ensuite sur la dernière étape de ma preuve sur laquelle je rappelle qu’il manquait des éléments (j’avais notamment pris une suite de GLn(R) sans dire qu’elle convergeait). Après m’être calmé, je remettais tous les éléments dans le bon ordre et l’on put passer à la suite.
    « Donnez la décomposition LU d’une matrice 2*2 » Pas de problèmes, je l’échelonnai et je conservai les opérations élémentaires dans une matrice. « Quelle est la matrice de transvection que vous utilisez ?» Je donnai la transposée de la bonne réponse, mais ils me le pardonnèrent.
    « On se donne une application de GLn(R) dans C invariant par multiplication à gauche ou à droite par On(R) et nulle sur les matrices diagonales, qu’en dites-vous ? » Comme on venait de faire de la décomposition polaire, je répondis qu’il fallait d’abord faire cette décomposition à une matrice inversible, on se ramenait au cas d’une matrice symétrique réelle donc orthogonalement diagonalisable, donc on se ramenait au cas d’une matrice diagonale. Finalement, l’application était nulle.
    « Y a-t-il une décomposition polaire dans Mn(C) et si oui qu’est ce qui change ? » « Je crois qu’il y a un problème d’unicité. » Je me rapprochai du tableau et un des membres du jury m’arrêta « C’est intéressant de voir ce qui ne marche pas dans la preuve, mais nous n’allons pas faire comme cela, utilisez plutôt la densité de Gln dans Mn. » Ça avait été.
    Nous revenions sur la décomposition LU. « Pourquoi les hypothèses sont vérifiées pour une matrice symétrique définie positive » Je commençai à expliquer la preuve, mais on me fit comprendre que ce n’était pas la question, je réussis après à trouver la réponse attendue.
    Ensuite, ils me posèrent des questions sur la réduction de Jordan. Tout d’abord, « Quelle est la forme de la réduite de Jordan d’une matrice nilpotente ? », j’avais su répondre. Puis, « Quelle est la réduite de Jordan de la matrice de taille 2n*2n à quatre blocs dont le seul bloc non nul est le supérieur droit qui est une matrice de GLn. » Je mis du temps et quelques indications furent nécessaires, mais j’eus la bonne réponse finalement.
    Enfin, la dernière question portait sur la continuité de la décomposition de Dunford. J’étais contant, car je l’avais mis dans mon plan afin qu’ils me posassent la question. De plus, je ne m’étais pas trompé sur le coefficient à perturber pour montrer que ce n’était pas continue.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury aidait lorsque c'était nécessaire, ils n'étaient jamais désagréables.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je fus convoqué à 8h45 pour l’épreuve d’algèbre et de géométrie. Depuis mon réveil, je stressais beaucoup à cause des tirages possibles.
    La présidente du jury nous présenta les modalités de l’épreuve et nous tirâmes des sujets, contrairement au CAPES, ils étaient empilés ce qui incitait fortement à prendre le premier qui nous venait. Ainsi, le sentiment de culpabilité en cas de mauvais tirage aurait été moins fort.

    Dieu soit loué ! Mon tirage était bon. J’avais le choix entre 154 (exemples de décompositions de matrices) et 161 (espaces vectoriels et affines euclidiens). J’aimais bien les deux, mais j’avais tellement de développements dans la 154 que je la choisis. La chance semblait me sourire, comme quoi, ça avait été utile de faire brûler un cierge dans la cathédrale la veille, j’aurais dû le faire dès mon arrivée.
    Les deux développements que je sélectionnai furent « décomposition de Dunford » et « décomposition polaire », ceux que je maîtrisais le mieux. Les autres seraient des items de mon plan sur lesquels je pourrais répondre aux questions. Je commençai la préparation par rédiger mes développements. Une fois cela fait, il me restait deux heures.
    Pendant ce temps, on avait vérifié tous mes livres (très rapidement, il fallait que les annotations fussent bien visibles pour être détectées) ainsi que le rapport. Les livres étaient ensuite déposés n’importe comment ! J’eus une petite frayeur quand je cherchai la leçon dans le rapport, déjà qu’entre-temps, elle avait changé de numéro, il y avait une rature à la page qui m’intéressait. Allais-je être accusé de fraude ?
    Je fis la liste de toutes les décompositions que j’avais en développements pour articuler mon plan. Cela donnait :
    I) Similitude et équivalence de matrices
    a. Relation d’équivalence
    b. Relation de similitude
    II) Réduction
    a. Dunford
    b. Jordan
    III) Décomposition polaire
    IV) Applications en analyses numériques
    a. Décompositions multiplicatives
    b. Décompositions additives
    Cependant, comme il fallait chercher dans de nombreux livres, la rédaction de mon plan pris beaucoup de temps et je n’en avais plus pour réviser les développements. Vint alors la fin de la préparation.

    Après l'oral, Ils me donnèrent la convocation pour le lendemain et je partis l’esprit perplexe. Je n’avais pas fini mon développement, je pensais avoir beaucoup bégayé durant les questions qui n’étaient pas très dures de surcroît.
    Et pourtant ! J’obtins la note de 16. Même avec le recul, je n’arrive pas à m’expliquer cette note.

  • Note obtenue :

    16