Retours d'oraux : Algèbre

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que des questions portant sur mon plan, mes développements, ce que j'ai dis dans ma défense.

    Suite au théorème de structure des groupes abéliens finis :
    -qu'en est-il de l'unicité? (je ne prouve que l'existence)
    -le faire sur un exemple: Z/36Z x Z/45Z x Z/60Z

    Par rapport à la transformée de Fourier discrète:
    -qu'est-ce que la Fast Fourier Transform?
    -comment multiplier des polynômes avec?
    -peut-on généraliser les caractères? (y a t'il une théorie des caractères?)

    Sur Sn :
    -pouvez-vous donner un système minimal de générateurs?
    -que dire en général sur le cardinal d'un famille génératrice pour un groupe fini quelconque?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas cassant mais pas sympathique non plus, aidant juste ce qu'il faut.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oral qui s'est plutôt bien passé, juste 2 surprises:
    -on a des tableaux blancs à marqueur
    -pas mal d'aller-retours et de bruit pendant la préparation

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    140 : Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.

  • Autre leçon :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lüroth

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Les questions ont porté sur :
    - la décomposition en éléments simples (comment calculer les coeffs, etc)
    - le fait qu'une conique soit rationnelle
    - un peu sur le développement

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est assez bien passé, le jury était assez sympa. J'ai mis le théorème de Lüroth avec des applications aux courbes rationnelles, d'où la question sur les coniques.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Structure des polynômes symétriques

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, notamment l'importance du poids et de si la récurrence passe ou pas. Question facile, mais avoir les idées au clair, ce qui fut laborieusement le cas pour moi.

    Questions sur la factorialité de A[X1,… XN], j'ai parlé de l'euclidiennité, la factorialité, etc. et de voir si cela passe à l'anneau de polynômes.

    Donner un exemple de polynôme à plusieurs variables qui admet un infinité de racines sans être nul.

    Question : On se donne un polynôme de 3 variables sur R symétrique. Ses zéros forment une quadrique de révolution. ( petit bad )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury n'est pas cassant, mais assez fatigué. Il avait l'air de pas vouloir être là … et ce dès mon arrivée dans la salle.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est assez mal passé je pense, les questions sur le développement m'ont un peu trop arrêté du coup on n'a pas eu le temps de faire des trucs sympas.

    Et ils n'en avaient que faire des applications sympas que j'avais mise ( détermination des polynômes de matrices invariants par similitude, algorithme de Faadeev, etc. ), sans doute parce que je me fais piéger sur les petites questions ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    sous quelles conditions sur la forme quadratique q a-t-on l'égalité en F et son double orthogonal (pour la forme q) ?

    on considère la forme quadratique réelle qui a une matrice A associe Tr(A^2). Est elle dégénérée ? quel est son cône nilpotent ? (j'ai donné des exemples qui montraient qu'il n'était pas vide, mais je n'ai pas su le caractériser, le jury a vite abandonné cette question). quelle est sa signature ? (je n'ai traité que la dimension 2, puis j'ai dit que ça se généralisait mais le jury m'a directement mis sur une autre question).

    Puis : comment enseigneriez-vous cette matière à des élèves de niveau L2 ? et comment l'exposeriez vous à un public non spécialiste, par exemples des physiciens ? J'ai répondu qu'il fallait insister sur la représentation polynomiale, l'interprétation géométrique avec les coniques, le jury a eu l'air d'approuver.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    jury qui ne donne pas d'indices mais qui est assez réactif aux propositions

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu une hésitation dans mon développement, parce que j'ai écrit de manière trop dégueulasse et qu'un a s'est transformé en q, mais j'ai su me rattraper.. le jury avait du mal à comprendre le développement, j'ai du réexpliquer plusieurs points qui étaient pourtant assez simples. L'un des 3 membres a été complètement muet, les autres n'avaient pas l'air de se sentir très concernés par le sujet..

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Enveloppe convexe de On(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Montrer que les bissectrices d'un triangle se croisent (Indication : utiliser l'équation normale d'une droite ???) --\textgreater pas su faire :(

    Montrer que les médianes se croisent.

    Utilisation de Hahn-Banach ?

    On prend deux sphères disjointes, $x_0$ un point de la première, $y_0$ le projeté de ce point sur la deuxième, $x_1$ le projeté de $y_0$ sur le première etc. Montrer que ça converge et dire vers quoi.

    Comment motiveriez-vous la géométrie affine à une classe ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?



    Le jury parlait bien mais n'aidait presque pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury : Est-ce que la représentation standard est toujours utile ?
    Votre serviteur : Oui, mais autant on peut trouver la table de $\mathfrak{S}_4$, autant c'est moins évident pour les autres $\mathfrak{S}_n$. D'ailleurs, peut-être que ça ne donne qu'un caractère en plus parfois ?* [Regarde pour la classe des transpositions.] Ah, pour $n\neq 3$ ça donne bien toujours deux représentations. Et pour $n=3$ [Calculs.] le caractère tordu est le même.
    * Ça donne toujours un caractère en plus, et parfois la torsion par la signature en donne un deuxième gratuit.

    J (c'est le vieux qui baragouine) : Est-qu'il y a un élément d'ordre 15 dans $\mathfrak{S}_5$ ?
    VS : Non parce que…
    J : Regardez le cardinal de $\mathfrak{S}_5$.
    VS, un peu agacé : C'est 120, donc ça ne nous aide pas. Par contre, on peut conclure parce que si on avait un élément d'ordre 15, blablabla, d'après la décomposition en produit de cycles, blablabla.
    J : Alors quel est le premier $\mathfrak{S}_n$ pour lequel on a un élément d'ordre 15 ?
    VS : $\mathfrak{S}_8$ pour les mêmes raisons.

    J : Si on regarde les isométries du carrés comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$, qu'est-ce qu'on trouve ?
    VS : Alors il y a telle symétrie qui donne telle permutation, telle rotation qui donne telle permutation…
    J : Qu'est-ce que vous êtes en train de construire comme groupe ?
    VS : Le groupe diédral $D_4$ ?
    J : Et est-ce qu'on peut généraliser le résultat ?
    VS : oui, $D_n$ est toujours inclus dans $\mathfrak{S}_n$.

    J : Que peut-on dire des représentations des groupes de cardinal $p^3$ ?
    VS (je fais la version sans l'hésitation, ça a pris un certain temps) : Soit le groupe est commutatif, et on connait ses représentations, soit $Z(G)$ est de cardinal $p$ (centre non trivial et quotient non cyclique). Ensuite, on peut regarder les représentations de dimension 1, qui se factorisent par le groupe dérivé. Je n'ai pas été franchement plus loin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt faisable, pas facile mais pas franchement dur non plus. Les gens ont été plutôt cools, sauf un vieux qui marmonnait et qui ne faisait aucun effort d'articulation. Mais les autres lui demandaient de se taire, donc ça allait.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas du tout de questions sur le plan, ça m'a étonné.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nullstellensatz via le résultant (théorème des zéros de Hilbert)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    $A[X_1,\ldots,X_n]$ est noethérien, certes. Mais peut-on borner le nombre de générateurs d'un idéal ?
    Début de réponse : si $A$ est un corps, l'espace des polynômes homogènes de degré $d$ est de dimension $\begin{pmatrix} n+d-1 \\ n-1 \end{pmatrix}$, qui devient arbitrairement grand quand $d$ croît.

    Est-il alors possible de retirer des générateurs à l'idéal engendré par les polynômes homogènes pour en borner le nombre ?
    Je ne sais pas et on passe à autre chose.

    Peut-on utiliser le résultant pour déterminer l'intérieur des matrices diagonalisables dans $\mathbb{C}$ ?
    Oui, en exprimant la non-annulation du discriminant du polynôme caractéristique, mais ça n'a rien à voir avec la leçon puisqu'il n'y a qu'une indéterminée.

    Que signifie la propriété universelle des anneaux de polynômes (exprimée en termes de morphisme dans mon plan) ?
    Ça veut dire que $X_1,\ldots,X_n$ engendrent $A[X_1,\ldots,X_n]$ en tant que $A$-algèbre.

    Comment démontrer le théorème de d'Alembert-Gauß en utilisant les relations coefficients-racines ?
    Lire Gourdon ou demander à Denis Serre (selon vos préférences).

    Est-ce que $A[X_1,\ldots,X_n]$ est principal ? Pourquoi ?
    Si $n\geqslant 2$, non. Si l'idéal $(X_1,X_2)$ était engendré par un élément, celui-ci serait une constante pour des raisons de degré. C'est impossible, encore pour des raisons de degré.

    Est-ce que les polynômes à plusieurs indéterminées peuvent servir à résoudre des équations polynomiales, disons de degré $3$ ? Et de degré plus grand ?
    Oui, il existe des expressions via les relations coefficients-racines. En degré $4$, ça marche encore, mais dès le degré $5$, ça foire.

    Finalement, qu'est-ce qui se cache derrière tout ça ?
    La question de la résolubilité du groupe symétrique, et la théorie de Galois.

    Comment enseigneriez-vous ceci à des élèves de niveau L3 ?
    Réponse censurée : en faisant des rappels sur les polynômes à une indéterminée et en insistant sur la différence qu'il y a entre le cas d'une et de plusieurs indéterminées.
    Réponse non censurée : en donnant les définitions et en démontrant les théorèmes, comme pour n'importe quel autre sujet.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury neutre, questions de niveau moyen à facile.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Galois inverse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Question assez faciles. Le jury était assez sympathique (Il y avait Caldero dedans).

    Prouver qu'un extension finie de Q ne contient qu' un nombre fini de racines de l'unité

    Prouver X^2 +X +1 est irréductible dans F_2, puis F_32

    Irréductibilité des poly cyclotomiques sur F_p

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Relativement bien, même si je me suis un peu embrouillé sur le ien entre irréductibilité dans Q[X] et dans Z[X].

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    143 : Résultant. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques explications sur le développement, des questions sur le plan, des exos.

    Dans l'ordre. Sur le développement quelques explications qui n'étaient pas clair pour le jury.

    Sur le plan : j'ai mis que le corps des nombres algébriques était un corps sans mettre d'où le résultant apparaît. Ils m'ont donc demander d'expliquer. (Sol : $Res_T ( P(X- T) , Q(X) )$

    Sur le théorème de Bézout : Est ce que vous connaissez une généralisation ? J'ai répondu qu'on peut généraliser au plan projectif à l'aide de la théorie de la multiplicativité des points d'intersection et qu'il y avait égalité dans l'inégalité du théorème faible de Bézout. Ça leur a suffit.

    Application : trouver les points d'intersection de $X^2 + YX + Y^2 - 1 = 0$ et $2X^2 + Y^2 - .. = 0$ un truc du genre. Sol : on fait le résultant en $Y$ on solve en $X$ on $x = 1$ ou $-1$ et on en déduit les points d'intersection.

    Sur le discriminant (qui est dans le plan) : connaissez vous un lien entre le discriminant d'un polynôme de degré $3$. On montre que le signe du résultant permet de dire s'il y a 3 racines réelles. Je n'ai pas eu à faire les calculs en entier.

    Sur le discriminant. Calculer le discriminant de $P(X) = X^n + aX + b$. Sol : par la formule avec le reste de la division de $P$ par $P'$. Pareil, ils ne m'ont pas demandé de finir les calculs.

    Est ce que vous connaissez un critère sur $P \in \mathbb{Q}(X)$ pour que son groupe de Galois soit dans $\mathfrak{U}_n$ + des questions sur le groupe de Galois. Je n'ai pas fini la question.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sympa mais surtout enclin à éviter TOUT calcul. En gros je leur disais juste comment il fallait faire.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    gros stress au début parce que je savais pas quoi choisir comme sujet. Puis gros stress parce qu'une fois la leçon choisie il y a un sardanapale qui a pris LE Apéry pour faire la leçon 142 ! et il n'y en avait pas d'autre dans toutes les autres malles. Au final j'ai sorti les définitions de résultant de tête et c'est (peut-être) passé parce que je n'ai pas eu de questions reloues à ce niveau là.

    Du bruit durant la préparation.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    127 : Droite projective et birapport.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Surjectivité de l'exponentielle matricielle

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quasiment que des questions sur le développement et le plan.

    sur le développement, que je fais à partir de la décomposition de Dunford,

    Pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice ? Bah K[A] est fermé :3

    Ouais mais pourquoi c'est fermé ? Donc bon c'est un EV de dimension finie

    Pourquoi l'inverse est un polynôme en la matrice ? Bah on utilise un polynôme annulateur, il a voulu que je lui fasse le calcul de 2 lignes au tableau

    Quel est le lien entre les valeurs propres de la matrice et celle de ça décomposition de Dunford ? En fait on cotrigonalise les deux matrices et vu que la nilpotente a des zéros sur la diagonale on conclut.



    Sur le plan, comment on montre le lemme des noyaux, pourquoi votre deuxième développement est dans le sujet, c'est vrai qu'au début c'est pas immédiat mais toute la démo repose sur une trigonalisation et un calcul que tu fait de la matrice trigonalisée, en quoi tr f^k =0 pour tout k est une caractérisation des matrices nilpotentes, démo que j'ai lu dans le FGN juste avant de passer, et divers autres trucs

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympa, question moyenne assez classiques sur TOUS les points du développement, du coup assez content parce que j'étais au taquet =) Une question à la fin, un peu plus dur et des indications très bizarres 'quel est votre raisonnement mathématique préféré ?' qui me fait me poser la terrible question, toi membre du jury es tu constructiviste ? En l'occurrence il ne l'était pas

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    ça s'est plutôt bien passé, j'ai répondu à quasiment toutes les questions, ils avaient l'air contents. A la fin, l'un m'a demandé si je connaissais une caractérisation géométrique de la trigonalisabilité, j'ai pas trouvé, il m'a parlé de drapeau.

    Le tableau était tout petit, et j'avais des craies, clairement heureusement que je suis passé sur un développement court.

    J'ai dépassé sur la défense de plan, ils m'ont arrêté à la seconde près sans me prévenir, mais vu qu'il me restait juste à présenter mon 2e développement, il m'a demandé de finir.

    Et une remarque qui m'a laissé perplexe 'Vous dîtes qu'une matrice est nilpotente ssi tr f^k =0 pour tout k, mis c'est faux, regardez pour In ça ne marche pas, beaucoup de candidats font l'erreur', je crois qu'il a vite compris que c'était n'imp' et qu'il devait confondre avec une erreur classique, parce que In c'est pas vraiment nilpotent, ou alors j'ai vraiment rien compris ...

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Méthodes itératives de résolution d'un système linéaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Petites questions sur quelques points du développement où j'étais allé un peu vite. Quelques questions sur le plan, puis deux exos.

    - Après Householder : comment on choisit $M$ et $N$ en pratique ? (j'avais mis la décomposition $D-E-F$ dans le plan mais pas dit grand-chose dessus) On veut quoi comme bonnes propriétés sur $M$ ? Comment on fait pour savoir si effectivement la méthode va converger ? (ben, on ne regarde pas $\rho (M^{-1}N)$ qui est horrible à calculer, donc on calcule juste des itérations de $x_n = M^{-1}(Nx_{n-1} +b)$ et on regarde si ça a l'air de converger... là, je me suis dit que mon développement, il était vraiment très très très utile, mvoyez).

    - D'après le plan on peut cotrigonaliser $f$ et $g$ s'ils commutent (et sont trigonalisables), est-ce qu'on a une réciproque ?

    - $f$ trigo $\Leftrightarrow$ $\chi_f$ scindé ; et pour le polynôme annulateur ? Comment on prouve le cas $\chi_f$, comment on modifie la preuve pour $\mu_f$ ?

    - Exo 1 : on prend (sic) la matrice $A$ suivante :
    $$
    \begin{matrix}
    1 \esperluette 1 \esperluette -1 \\
    0 \esperluette 4 \esperluette 1 \\
    0 \esperluette 0 \esperluette 9
    \end{matrix}
    $$
    Calculer ses racines carrées.
    Bon, ben la matrice est clairement diagonalisable, on voit bien à quoi ses racines ressemblent. On prend $R$ une racine, elle commute à $A$ puisque $A=R^2$ est un polynôme en $R$, et on travaille là-dessus pour montrer que $R$ est forcément de la bonne forme ($R$ est encore trigonale, puisqu'elle conserve les sous-espaces propres de $A$). J'ai perdu beaucoup de temps sur cet exo bidon, c'était pas beau à voir.

    - Exo 2 : on se donne $A$, $B$ telles que $A+\lambda B$ soit nilpotente en au moins $n+1$ valeurs distinctes de $\lambda$. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
    On regarde le polynôme caractéristique de $\chi_{A+\lambda B}$ ; à part pour le degré $n$, les coefs sont des polynômes en $\lambda$ qui ont trop de racines pour leur degré donc sont nulles. Après, il reste à évaluer en $0$ pour avoir la nilpotence de $A$, puis en factorisant $\lambda$ on récupère $B$ nilpotente.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas bien dur, des trucs d'AL de petit taupin sur lesquels j'étais pas complètement au point. On m'a, là encore, pas mal aidé dès que je bloquais. Les trois membres du jury sont intervenus et étaient sympa.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Les questions sur les méthodes itératives étaient beaucoup plus sympa que ce que je pensais, j'y connais pas grand-chose au fond mais j'avais de quoi répondre. Sinon, pas de surprise, pas trop de joie non plus parce que c'était pas ouf.

    Note : j'avais Risler dans mon jury, c'est dans son livre qu'il y a l'algorithme de Dunford effectif (que j'avais détaillé dans le plan), j'espère qu'il a kiffé.

  • Note obtenue :

    11.75

  • Leçon choisie :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Autre leçon :

    161 : Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Construction des corps finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Exercices qui étaient pour la plupart en lien avec le développement développé. Aucune question sur le plan. Pas de question pédagogique.

    Prendre un générateur de $F_q^*$ ($q=p^n$) et donner son ordre, en déduire le degré du polynôme minimal sur $F_p$. Cette question avait pour but de me faire dire que, lorsque l'existence de $F_q$ était établie, le résultat du développement, i.e. l'existence d'un polynôme irréductible de degré n sur $F_p$, devenait quasiment immédiat.
    Ensuite, un deuxième exo qui me demandait de décomposer $X^8+X$ en irréductibles sur $F_4$.
    Puis, un exo sur le morphisme de Frobenius F : déterminer noyaux et images des itérés $F^{°i}$, puis montrer que les itérés de F forment une base des automorphismes de corps de $F_q$, j'ai juste eu le temps de montrer que c'était une famille génératrice, puis il m'a dit que la liberté se montrait par argument de cardinalité.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le niveau n'était pas bien difficile, mais le jury, sympathique, mettait un gros rythme dans son interrogation, ne me laissant souvent que peu de temps pour réfléchir. Je me suis sans doute parfois un peu précipité pour donner certaines réponses, ce qui m'a fait dire quelques bêtises.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très surpris par le deuxième exo. Lorsque j'ai écris $F_4=\{0,1,\alpha,\alpha +1\}$, où $\alpha$ est racine de $X^2+X+1$, le jury m'a vite demandé si $\alpha$ était racine de $X^8+X$. Après quelques instants de réflexion, j'ai fini par dire que $\alpha^4=\alpha$ car $\alpha \in F_4$, et avant d'avoir le temps de poursuivre mon raisonnement, le jury m'a directement affirmé que $F_4$ était inclus dans $F_8$ puis a enchaîné sur la suite de l'exercice. Or je me suis aperçu, à tête reposée à l'issue de l'oral, que c'était complètement faux : durant tout l'exercice, le jury a fait comme si 8 était puissance de 4. Alors, soit le jury est particulièrement machiavélique en me donnant des résultats faux, mais comme il a enchaîné directement sans me laisser le temps de réfléchir à ce qu'il disait, et que les deux autres membres du jury n'avaient pas l'air au taquet sur l'exo, je pense plutôt que le jury n'a pas remarqué non plus son erreur.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    156 : Exponentielle de matrices. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des exercices et des questions sur le plan : il y avait 5 résultats dans mon plan qui étaient des dl classiques ils m'ont demandé de donner les idées de démos des 3 que je n'ai pas proposés (lemme de morse, réduction des formes quadratiques sur un corps fini et ss-groupes compacts de Gln).

    - Montrer que l'ensemble des classes de congruence des matrices symétriques est fini ssi K*/K*^2 est fini
    - Montrer que l'ensemble des formes quadratiques de signature p,q est un ouvert
    - Est ce que vous connaissez un résultat général sur la réduction de formes quadratiques ? (ils voulaient le théorème de Witt que je ne connaissais que de nom)
    - Montrer que O(q) est un groupe. Dans le cas réel, quand ce groupe est-il compact ?


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury vraiment sympa qui s'excuse quand il pose une question un peu bête, qui acquiesce dès que je pars dans la bonne direction et qui aide quand je bloque. L'oral était principalement guidé par Tosel.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un oral qui ressemblait plus que d'habitude à notre préparation, des résultats du plan à démontrer ou expliquer.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A noter, des questions sur le groupe symétrique que je n'avais pas mis dans le plan.

    Prouver le lemme que j'avais admis dans mon développement (c'est à dire le lemme du Goblot). Trois preuves différentes du fait que $\Gamma$ (voir le Goblot, à nouveau) est un groupe.

    La réciproque du théorème chinois est-elle vraie ? Le démontrer.

    Montrer qu'un sous-groupe fini de $SL_2(\mathbb{R})$ est cyclique (avec des indications).

    Où ai-je utilisé le groupe symétrique dans mon plan ? (dans l'étude des groupes de Sylow)

    Donner les p-Sylow du groupe symétrique d'ordre 4.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupe de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Une question sur le développement : pourquoi on a $\mu_i ^2 = \mu_i ' ^2 \iff \mu_i = \mu_i '$ (j'avais donné l'argument à l'oral) ? Pourquoi ces valeurs propres sont-elles bien positives ?

    On considère la décomposition $\nu : O_n(\mathbb{R}) \times T_n^+(\mathbb{R}) \to GL_n(\mathbb{R})$ avec $T_n^+(\mathbb{R})$ ensemble des matrices triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs. A quel résultat est-elle liée ? Orthonormalisation de Gram-Schmidt. Quelle est l'expression de $\mu^{-1} \circ \nu$ ? S'écrit facilement.

    Ensuite, plusieurs questions sur le plan, je ne me souviens pas de toutes, mais en tout cas : démonstration des isomorphismes exceptionnels (cf. Perrin), démonstration de la connexité de $GL_n(\mathbb{C})$, cas de $\mathbb{R}$.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympa. Un des membres du jury n'a pas dit un mot.
    Un autre me demandait tout le temps de réexpliquer un argument alors que ça n'avait pas l'air de poser problème aux autres.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur mon développement (un point que j'avais peu détaillé, notations). Les invariants de similitude sont les espaces ou les polynômes ?
    -Les actions que vous donnez sont-elles à droite ou à gauche ? (je sais jamais)
    -Vous avez centré votre exposé sur les invariants et les formes normales. Que peut-on dire de la structure des orbites ? Par exemple pour l'action d'équivalence, que peut-on dire des orbites de rang fixé ? (j'ai parlé d'adhérence et de semi-continuité) Est-ce que ces orbites sont des sous-variétés ? (Pour rg=0 et rg=n, c'est trivial, sinon, je ne savais pas, et je leur ai dit - vu que le rang n'est pas continu, je ne voyais pas comment procéder).
    -Ex: si un sg additif $G$ est stable par multiplication à gauche et à droite par $M_n$, montrer que $G=\{0\}$ ou $G=M_n$. (Si non nul, on a une matrice dont un coeff est non nul, donc on a une matrice avec $a_{1,1}=1$ dans $G$ en permutant/dilatant, puis par pivot de Gauss, on tue les coeff sur la première ligne et la première colonne, et en multipliant par la matrice $E_{1,1}$, on obtient $E_{1,1}$, donc tous les $E_{i,j}$ par permutation, donc $M_n$.
    -A propos de réduction simultanée et d'action diagonale (ce que j'avais fait pour la conjugaison et la congruence), que se passe-t-il pour l'action d'équivalence ? Nb de classes, invariants, etc. (J'ai un peu tâtonné, cherchant à réduire l'un puis l'autre sans trop de succès. Ils m'ont dit de regarder le cas où la dim=1 -> On voit alors que on a soit (0,0), soit (1,0) ou (0,1), soit (1,x), $x\neq 0$, et le rapport $x$ est un invariant. Retour à $n>1$, on veut regarder la classe de (Id,M), et on voit que c'est (Id, P), où P est semblable à M)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un peu sec tout au début quand j'avais pris des mauvaises notations dans mon plan sur les invariants de similitude et que je confonde action à droite et à gauche, mais après, avec les exercices, ils sont vite devenus assez enthousiastes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension nie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Ellipsoïde de John Loewner

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur mon développement, effectivement il y avait des petites chose qui était pas hyper précises et auxquelles je n'avais pas fait attention (par exemple lorsqu'on montre qu'un certain ensemble de formes quadratiques est compact, pour montrer la fermeture on utilise la caractérisation séquentielle, et ils ont beaucoup insisté pour préciser dans quel espace ça converge, pour quelle norme, etc...), mais j'ai aussi l'impression qu'ils ont pas écouté grand chose à ce que j'ai raconté pendant 15mn.

    Ensuite autant de questions sur mon plan, un des membres du jury m'a dit qu'il le trouvait pas rigoureux parce que je me place au début dans un espace vectoriel sur un corps $K$ quelconque, et ensuite je passait allègrement de $K$ à $\mathbb{R}$ et inversement sans forcément le préciser dans le plan, donc il m'a fait reprendre une par une les propositions en me demandant pour quel corps c'était vrai, et sinon qu'est ce qu'il se passait, etc..

    Exercices :
    -Déterminer la signature de $q(x,y)=x^2+y^2+xy$ (ils m'ont beaucoup embêté sur le changement de base que je faisais, j'ai pas trop compris ce qu'ils attendaient)
    -Soit $q:M_n(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R}, M\mapsto tr(M^2)$ Montrer que c'est une forme quadratique et calculer sa signature (indice : considérer la restriction à $S_n(R)$)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le membre du jury précédemment cité était assez cassant, il enchaînait les questions très vite, coupait la parole aussi bien à moi qu'aux autres membres du jury. Les autres n'ont pas dit grand chose, à part un qui m'a donné des exercices à la fin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ça s'est passé comme je l'imaginais, le jury était un petit peu agressif mais il y en avait toujours un pour calmer le jeu.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le plan, ils m'ont fait corrigé une bébé erreur. Et sur mes annexes (pivot de Gauss pour obtenir des équations de sev)
    Detailler un point de mon développement.
    Exos :
    - Prouver la formule de changement de base dans la base duale
    - Montrer que tout endomorphisme d'un C-ev de dimension finie admet un hyperplan stable (bizarre qu'ils m'aient demandé celui là vu mon plan qui mettait en avant pas mal d'application de la transposition déjà)
    - l'exo classique sur les intersections d'hyperplan (que j'ai oublié de rajouter dans mon plan..)
    - montrer à la main (sans les bases antéduales), que deux formes linéaires définissent le même hyperplan ssi elles sont proportionnelles avec un coeff non nul

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le plus neutre du monde possible.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je voulais les titiller avec Hahn Banach (j'avais révisé la preuve) mais ils en ont pas parlé.
    Bon oral cependant je pense !

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur le développement : préciser pourquoi vous prenait un corps de rupture de $Y^2-xY+1$ (pour ceux qui connaissent le développement), c'était juste pour vérifier si j’avais compris ce que je faisais. Pourquoi Res(P ,Q) mod p = Res (P mod p, Q mod p), j’ai dit que c’était parce que je résultant passait aux morphismes mais pourquoi je ne savais pas exactement.
    Le boss me dit : - C’est quoi un résultant ?
    - Un déterminant, et le déterminant mod p c’est le déterminant des coeff mod p.
    Le boss : ok ça me va (même si l’autre juré souhaitait un peu plus de détails je crois)

    Questions sur le plan :
    - Pourquoi $X^3+X+1$ est irréductible sur Q(i) ?
    - Le polynôme est irréductible sur Q car pas de racine (s’il a une racine, on vérifie les hypothèse de divisibilité comme d’hab), puis on dessine la tour d’extension et comme P est de degré 3 et Q(i)/Q de degré 2 c’est bon (en détaillant un peu plus).

    - Connaissez-vous un générateur de Q($\sqrt 2, \sqrt 3$) ?
    - Oui $\sqrt 2 + \sqrt 3$ et je dois donner la preuve.

    - Pouvez-vous montrer qu’il existe un polynôme irréductible de tout degré dans Fq ?
    - Elément primitif car Fq* est cyclique puis le polynôme minimal d’un générateur convient.

    - Montrer que $X^4+1$ est réductible sur tout Fp
    Ça je m’en souvenais plus alors que c’était écrit dans le Perrin, que j’avais utilisé pour quasiment tout le plan, je m’en suis voulu. J’ai un peu galéré, j’ai essayé pour p=2, c’est Frobenius, puis pour p>2 il fallait juste trouver un racine dans Fp² donc un élément d’ordre 8 dans Fp²* qui existe car c’est un groupe cyclique d’ordre (p+1)(p-1), qui est divisible par 8.
    - Et comme $X^4+1=(X^2+1)-2X^2$ ça vous dit quoi au niveau de la réciprocité quadratique ?
    - 2 est un carré (je l’avais relu le matin quand j’avais revu mon développement)

    Le boss reprend la main et ne la relâche plus :
    - On revient à Q($\sqrt 2, \sqrt 3$)/Q, pouvez-vous me donner tous les générateurs ?
    - Euh… j’ai écrit un élément $a+b \sqrt 2 + c \sqrt 3 + d \sqrt 6$. Bon $a$ n’engendre pas grand-chose et on ne peut pas avoir deux des coefficients parmi $b,c,d$ qui sont nuls.
    Le boss : oui donc par exemple $b \sqrt 2 + c \sqrt 3$
    J’ai dessiné la tour d’extensions, dit qu’il faudrait montrer que son polynôme minimal est de degré 4.
    Le boss me parle de groupe de Galois, je baragaouine quelques trucs que je savais dessus et ça lui convient.

    Le boss demande si ses collègues ont d’autres questions.
    Un juré : Une dernière question, comment vous montrer que 1/x est constructible, si x l’est ?
    - Alors c’est le théorème de Thalès, je fais un dessin, mais pas le bon (j’ai dessiné le droite reliant 1 à 1 et x à x ce qui n’est pas top…). Je leur dit que ça ne va pas trop ça. Les types sourient, le boss fait une petite blague (« oui ça c’est juste une règle de 3 »). Ils me disent que c’était pas la bonne droite à considérer. Ah oui il faut juste relier 1 à x, et voilà.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    3 types, un boss et deux autres. Le boss menait la plupart du temps la discussion mais les autres étaient aussi actifs (contrairement aux autres oraux). Jury dynamique et sympa (l’oral s’est bien déroulé, ça doit aider).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je pensais qu'on me titillerait plus sur la réciprocité quadratique et le résultant mais en fait non (tant mieux).
    En fait on a presque plus parlé de polynômes irréductibles que d'extensions de corps (bon ok c'est très lié). A part la dernière question, rien sur les nombres constructibles.

    C'était mon dernier oral et j'avais été juste niveau temps lors du premier, donc là j'ai essayé d'être efficace pendant la préparation pour pouvoir relire mes développements.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Gentil, met à l'aise et est dans l'optique d'une discussion critique sur le plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps de préparation est très court (2h30 en fait) !!! Je prévoyais de mettre les tables de caractères de groupes classiques en annexe mais n'ai eu le temps que de dresser celle de S4 à la va vite... Je l'ai signalé pendant ma défense de plan. Le jury m'a demandé à l'oral : "Si vous aviez fait les tables de caractères de H8 et D4, que pourriez-vous en dire ?" ce qui m'a permis de parler à l'oral de ce que je n'avais pas eu le temps d'écrire.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    109 : Représentations de groupes finis de petit cardinal.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Gentil, met à l'aise et est dans l'optique d'une discussion critique sur le plan. Un membre du jury n'a pas beaucoup parlé...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps de préparation est très court (2h30 en fait) !!! Je prévoyais de mettre les tables de caractères de groupes classiques en annexe mais n'ai eu le temps que de dresser celle de S4 à la va vite... Je l'ai signalé pendant ma défense de plan. Le jury m'a demandé à l'oral : "Si vous aviez fait les tables de caractères de H8 et D4, que pourriez-vous en dire ?" ce qui m'a permis de parler à l'oral de ce que je n'avais pas eu le temps d'écrire.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version non algorithmique)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Retour rapide sur le développement pour quelques question de notation (l'un des profs n'aimait pas ma façon d'introduire les endomorphismes d et n), ils ont voulus savoir si j'utilisais bien la décomposition de Dunford pour montrer la surjectivité de l'exponentielle.

    -Des questions sur le plan, j'avais oublié de finir ma définition de valeur spectral et ils m'ont fais remarqués qu'en dimension finie (ie dans le cadre de la leçon) valeur spectral et valeur propre c'est la même chose (j'aurais pas du en parler quoi). Ils m'ont demandés comment je justifiais l'existence de l'exponentiel d'un endomorphisme (j'ai un peu galéré). Ils m'ont demandés de démontrer quelques propositions du plan (avec plus ou moins de réussite), et ils sont revenus sur quelques critères de diagonalisation aussi je crois. Pour finir j'ai eu un exo où il fallait trouver la décomposition de Dunford d'une matrice et en déduire que l'application qui associe à une matrice de Mn(C) sa partie nilpotente était non continue.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le Jury était plutôt souriant, jamais cassant et a aidé beaucoup. Globalement l'oral était plutôt agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On avait plus de 3h entre le tirage du sujet et la fin de la composition (3h05 à 3h10), sinon pour ce premier jour les surveillant ont un peu galérés pour la mise en place.

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Base de Burnside

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Qqs questions sur le développement:
    -pourquoi G/H abélien <=> D(G)inclus dans H
    -pourquoi G/H isomorphe à Z/pZ
    Surtout des questions sur le plan :
    -qu'est-ce qu'une action n-2 transitive
    -démo des isomorphismes exceptionnels (en particulier PSl(2,F3)=A4)
    -j'avais parlé de représentation par permutation donc ils m'ont demandé de refaire la table de S4 en gros
    -pourquoi la somme des carrés des degrés vaut le cardinal du groupe ?
    -un seul exercice : action de On par congruence sur Sn++, quels sont les invariants ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillants, ils sont là pour qu'on donne le meilleur de nous-mêmes.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu de la chance sur le tirage. Les examinateurs ne vont pas chercher la petite bête et vérifient surtout si vous connaissez ce que vous avez mis dans le plan. Il faisait 33°C à Lille à ce moment là (premier jour) donc c'était épuisant.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    SO₃(R) et les quaternions

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense de plan s'est très bien passée, avec un bon timing et le jury avait l'air intéressé (enfin, avec ce tirage c'est dur d'intéresser mais ils ont été réceptifs).
    Pour le développement, j'ai fait tout ce que je voulais sans me tromper. Le jury ne m'a pas interrompu pendant ma conclusion ; j'avais fini en 14min 30 donc je me suis dit que j'allais continuer à blablater 30 secondes, et finalement j'ai blablaté plus d'une minute mais le jury ne m'a pas interrompu donc le dvp a duré plutot 15min30 / 16min. Suivent les questions :

    Q : pourquoi vous avez cette formule pour les quaternions ? (j'ai dit que la multiplication était donnée par $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$, plutôt que les relations d'anticommutation).
    R : historiquement c'est comme ça que l'a introduit Hamilton etc. On retrouve les relations d'anticommutation comme ça blabla

    Q : pourquoi ça définit bien un produit ?
    R : il prolonge celui de R et de C, et on vérifie que ça définit bien une structure d'algèbre etc.

    Q : oui mais c'est-à-dire ?
    R : pardon ?

    Q : vous avez pas une méthode plus directe ?
    R : on peut trouver une représentation matricielle sur $M_2(\mathbb{C})$ comme ça puis voilà

    Q : et la conjugaison quaternionique se manifeste comment ?
    R : là j'ai dit une connerie (conjugaison) et je me suis rattrapé en disant que c'était le passage à l'adjoint etc.

    Q : quelle est l'intérêt d'utiliser cet isomorphisme ?
    R : informatiquement on a moins d'erreur de calcul que par le produit matriciel dans $SO_3$.

    Q : comment on détermine l'angle de la rotation définie par un quaternion $q$ ?
    R : (là j'ai réfléchi et baragouiné un truc chelou) je veux la trace de la matrice alors je regarde dans la base orthonormée $\left(i,j,k\right)$ et je regarde comment faire pour avoir les coeff diagonaux et ça donne $1 + 2 \cos \theta$. J'ai commencé à écrire des trucs il m'a demandé d'arrêter ça prendrait trop de temps.

    Q : si j'ai trois points $A$ $B$ et $C$ sur le cercle unité, montrer que $ABC$ équilatéral $\iff$ $z_A + z_B + z_C = 0$
    R : par action du groupe affine je me ramène à $A = 1$ (là je me fais un peu engueuler) euh pardon par action des isométries je me ramène à $A = 1$ et j'obtiens que l'un des cas est évident ($1 + j + j^2 = 0$). Pour l'autre implication j'ai été coupé dans ma démo par "que peut-on dire des parties imaginaires des deux autres affixes ?" donc j'ai fait un sourire (j'allais y venir mais il l'a dit avant que je le dise moi) et j'ai dit "bah elles sont de signes opposées et" et là je me fais couper "oui ok passons à autre chose"

    Q : dans votre formule de ptolémée pourquoi vous le mettez en première partie (géo affine euclidienne) et pas en projective ?
    R : ça se montre en projectif mais à l'aide des affixes complexes, et pour illustrer cette partie, je le mets là. On le montre comme ça blabla

    Q : Ok. Et en projectif alors ?
    R : alors bah j'pense que faut utiliser le birapport pour montrer la cocyclicité ça doit bien se faire...

    Q : oui bah faites alors
    R : alors je dois trouver une homographie qui balance ça comme ça

    [...]

    quelques indications plus tard je pense à utiliser une inversion par l'un des points qui marche bien

    Q : les inversions c'est des homographies ?
    R : je crois (grosse bêtise)

    Q : vous êtes sûr ?
    R : je regarde

    beh non c'est une anti-homographie (i.e la conjuguée complexe d'une homographie) mais ça résout quand même le problème

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable, très calme avec une voix très basse et pas trop speed. Assez bienveillant je dirai. Ils ont vu mon tirage ils ont dû se dire miskine on va pas gueuler trop fort.
    L'un des trois membres du jury a été beaucoup plus muet (seule question c'est le coup du triangle équilatéral)
    Les premières questions sur mon développement étaient essentiellement d'un seul membre. Les dernières étaient de la troisième membre du jury.
    Le jury a été très sympatique dans l'ensemble, je ne l'ai pas senti agacé ou quoi, mais visiblement ils sont tous sympas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment : j'ai eu le pire tirage que je pouvais imaginer, et dans la panique j'ai pas su quel bouquin prendre. Heureusement que j'avais de très bons développements.
    J'ai fait un plan pas très complet je pense pour ce qui est de la géométrie euclidienne et projective, j'ai essayé de rattraper ça avec beaucoup de trucs sur les constructibles et les quaternions. Ça a l'air de leur avoir plu quand même, on verra.
    Pour la préparation, j'ai pas trouvé les malles du premier coup mais c'est parce que je suis un gland doublé d'un abruti !
    Les appariteurs sont vraiment sympas et j'ai juste eu du mal à récupérer une quatrième feuille pour mes annexes mais bon.
    J'ai été surpris parce que la discussion paraît très très courte (bien plus courte que à la préparation à l'école, mais c'est ptet que nos profs veulent vraiment nous pousser tout au bout de nos retranchements).
    On verra pour la note, je pense que j'ai fait un des meilleurs trucs possibles pour moi sur cette leçon, que je n'ai pas préparée dans l'année, et c'était vraiment la pire après la 162. Pas de bol ça arrive, j'ai quand même l'impression d'avoir sauvé les meubles.
    Je pense qu'il faut surtout en retenir que y a pas de jury méchant et ils ont tout fait pour qu'on ait des discussions intéressantes, et ils ont cherché à juger de mon niveau de réflexion au delà des trucs bateaux sur les triangles donc je suis content.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Chevalley-Warning

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury attentif pendant le plan et le développement, pas de questions sur le développement.
    Questions :
    - pourquoi est-ce qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré dans $\mathbb{F}_q$ ? (parce que $\mathbb{F}_{q^n}^{\times}$ étant cyclique, $\mathbb{F}_{q^n}$ est une extension monogène de $\mathbb{F}_q$, il suffit de prendre le polynôme minimal d'un générateur)
    - trouver une condition nécessaire pour que $2^n-1$ soit premier (réponse : $n$ premier).
    - si G est un groupe tel que l'action naturelle de $\mathrm{Aut}(G)$ sur $G$ n'a que deux orbites, que peut-on dire de $G$ ? (réponse : $G$ est un p-groupe abélien isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$. Pour cela, montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe caractéristique pour obtenir que $G=Z(G)$, puis constater que tous les éléments non triviaux de $G$ sont de même ordre, qui est donc nécessairement premier et finir en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens finis ou en remarquant que $G$ peut être vu comme un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel).
    - quelle est la structure du groupe $(\mathbb{F}_q,+)$ ? (réponse : idem.)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des trois membres du jury posait essentiellement toutes les questions et les autres essayaient d'aider ou posaient de petites questions sur le plan.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris par l'absence de question sur le plan, mais sinon j'aimais bien cette leçon.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    126 : Exemples d'équations diophantiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Isomorphisme kleinien

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Jury très attentif pour le développement puis beaucoup de questions sur les résultats utilisés (classification des formes quadratiques sur un corps fini, pourquoi le Frobenius permute les racines du polynôme minimal (...) ainsi que quelques questions sur le groupe dérivé).
    - Jury moins attentif sur le plan (une des jury m'a demandé pourquoi je n'avais pas parlé de groupes d'isométries de solide, ma réponse fut de lui indiquer le numéro correspondant dans le plan...).
    - Très insistant sur les polynômes symétriques et l'algorithme associé, résolution sur un exemple.
    - Rapide question sur le nombre minimal de transposition pour engendrer S_n.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Seul un des jurys posait des questions, tendance à l'aide, pas cassant du tout... Certains passages ressemblaient plus à une discussion qu'à autre chose.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai mis un peu de théorie de Galois, j'étais surpris que le jury ne parte pas dans cette direction. Sinon il faut veiller à tout définir même les choses évidentes comme le S... de SL_n(K), SO(n,K), SO(q)...

  • Note obtenue :

    18.75

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Jury très sympathique et souriant ! J'ai donc fait comme DVPT la topologie des classes de similitude qui caractérise la réduction.
    Ensuite ils m'ont demandé un contre exemple
    rép: prendre une matrice 2x2 de polynome caractéristique X²+1 et donc elle est diagonalisable sur C mais pas sur R, donc sa classe de similitude sur C est fermée, mais sa classe de similitude réelle est l'intersection entre la complexe et Mn(R) donc est fermée.
    Il m'ont demandé de changer les hypothèses pour que le théorème marche tout le temps
    rép : il fallait considérer des endomorphismes semi-simples
    J'ai eu ensuite quelques exercices :

    1) on se place dans Fq^n, soit A=diag(1,0,..,0)
    calculer le cardinal de l'oribte de A dans l'action par conjugaison.
    rép: on a la formule : Orbite=Groupe/stab
    il suffit de calculer le stab de A qui est l'ensemble des matrices qui commutent avec A

    2)soient deux matrices semblables sur C, le sont elles sur R ?
    rép : oui, séparer en partie réelle et imaginaire, puis raisonner par l'absurde avec un polynome ayant une infinité de racines et est donc nul. puis conclure.

    3) comment caractériser les matrices symétriques réelle?
    rep: signature + sylvester

    4) démontrer sylvester

    5) On se place dans Op,q une orbite de cette action (forme quadratiques réelles)
    les orbites sont elles connexes?
    J'ai juste eu le temps de parler des cas les plus simples commes On,0 et O0,n

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury patient, souriant et m'aidait pendant les questions et me disaient lorsque je répondais juste !
    Il avait l'air de bonne humeur du coup moi aussi.
    J'avais plus l'impression d'échanger plutôt que de passer un concours.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai vraiment été surpris, je pensais me faire détruire lors de cette leçon, mais cela s'est bien passé. J'ai mis le plan à mon niveau sans mettre de choses que je ne maîtrisais pas et ça s'est plutôt bien passé !

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    1. Pouvez-vous rapidement montrer que les sous-groupes finis de $\textrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont conjugués à des sous-groupes de $O(n)$?
    2. Démontrer le théorème de Gauss-Lucas.
    3 L'intérieur d'un convexe est-il toujours convexe ? Si oui, pourquoi ?
    4. Quels sont les points extrémaux de l'ensemble des matrices bistochastiques ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les trois membres du jury étaient attentifs et intervenaient régulièrement pour me questionner, mais aussi me guider dans la difficulté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise.

  • Note obtenue :

    15.75

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Bézout faible (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Montrer det(fog)=det(f)det(g)
    Sur quels corps det est continue?
    Donner un exemple où l'on a exactement dd' points dans le théorème de bezout ( P= (x-x_1)...(x-x_d) et Q=(Y-y_1)...(Y-y_d') )
    GLn(R) est il connexe par arcs, puis montrer que non.
    Et Gln(C) , avec une idée d'une demo.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Aide

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    12

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques précisions sur le développement ont été demandées.
    Ensuite on m'a donné des exercices en lien avec le théorème de Wilson et son utilisation.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement là pour aider et faire avancer la discussion.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Fluide. Des questions très basiques au début et un exercice plus difficile à la fin (j'ai eu besoin d'un peu d'aide pour l'exercice).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Gentil, aidant. Cependant, ils ont fait deux fautes en essayant de me poser des questions, cela m'a un peu destabilisé.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai proposé 3 développements, Sylow+ majoration du cardinal d'une partie génératrice minimale, Prolongement des caractères+classification des groupes abéliens finis et Frobénius Zolotarev+calcul de (2/p) (FZ se démontre à partir du fait que GL(E) est engendré par les dilatations)

    Ils ont choisi le théorème de classification des groupes.
    Ils m'ont demandé pourquoi le prolongement proposé était bien défini, j'ai donné tous les éléments mais je n'ai pas su recoller les morceaux et au bout de 5 minutes ils m'ont dit regardez c'est parce que vous n'avez pas utiliser les 2 côtés de l'égalité.

    A un moment j'ai dit qu'on pouvait prendre n'importe quel caractère non trivial du groupe engendré qui réalise le ppcm des ordres alors qu'il fallait choisir un morphisme injectif, ils m'ont donc demandé de construire un caractère injectif d'un groupe cyclique.

    Ils m'ont demandé de redémontrer le théorème du produit direct dans le cadre des groupes abéliens parce que je m'en suis servi dans ma démonstration. J'ai répondu de manière concise en me servant de quelques éléments que j'avais écris au tableau.

    Ils m'ont demandé si c'était difficile de démontrer le fait qu'il existait un élément dont l'ordre est égal au ppcm des ordres. J'ai répondu que non, la clef était le fait que si les ordres de a et b sont premiers entre eux alors l'ordre de ab est le produit des ordres mais que ça ne marchait pas si le groupe n'était pas abélien.

    Ils m'ont demandé de donner la classification des groupes abéliens de type fini sans démonstration. Par chance je connaissais la réponse et j'avais oublié de le mettre dans mon plan; j'ai parlé rapidement des groupes abéliens libre de type fini et que donc avec le théorème que l'on avait montré, en concaténant les 2 résultats on obtenait la classification voulue.

    Ils m'ont demandé si le lemme sur le ppcm des ordres était vrai sur les groupes non abéliens (visiblement le juré ne m'avait pas écouté). J'ai répondu que pour S3 ça ne marchait pas, il n'a pas d'élément d'ordre 6.

    Ils m'ont demandé de démontrer pourquoi il n'y avait que la signature comme morphisme non trivial de Sn dans C*. J'ai dit tout ce qu'il fallait sauf le fait que les transpositions sont conjuguées et ont donc toute la même valeur, un juré me l'a demandé, j'ai corrigé en disant que les transpositions sont conjuguées et C* est commutatif.

    Ils m'ont demandé de montrer que Q n'était pas un groupe libre de type fini. J'ai dit que si l'on avait un groupe abélien de type fini alors il y avait une distance entre ce groupe intersecté avec R+* et 0.
    Ca ne les a pas trop satisfait, quand bien même la réponse était juste, ils m'ont fait démontrer que le groupe <1/2,1/3,1/7> était isomorphe à Z (sans passer par la classification des sous groupes de R). Je n'ai aucune idée de comment ils voulaient que je conclus. Ils ont finalement dit que la distance avec 0 leur suffisait.

    Dans mon plan il y avait la connexité de Gln(C)/Gln+(R)/Sln(C ou R), ils m'ont demandé de démontrer la connexité de Gln+(R). J'ai donc montré que les transvections et les dilatations étaient reliées à l'identité puis pour n'importe quelle matrice on écrit que c'est un produit de transvections et 1 dilatation et l'on fait le produit des chemins.

    Ils m'ont demandé de donner un système de générateur de On(R), j'ai dit que les réflexions engendraient On(R). Le juré qui dirigeait l'oral m'a dit qu'il avait des lacunes sur ce qu'était une réflexion et m'a donc demandé ce que c'était. Je n'ai pas su répondre :/
    Ils m'ont donc demandé ce qu'il y avait dans On(R). J'ai répondu qu'il y avait les rotations. Ils m'ont demandé de montrer que ça ne pouvait pas engendrer On(R). J'ai dit "alors si je ne dis pas de bêtises les rotations commutent", un juré avait une tête de pas content j'ai donc dit "bon apparemment j'ai dit une bêtise" et les jurés ont souri. Je ne sais pas comment mais dans ma tête ça a fait tilt, j'ai dit que les rotations avaient toutes un déterminant positif et donc elles ne peuvent pas engendrer On(R). J'ai dit que peut-être On(R)= et ils m'ont demandé quel était le déterminant de -l'identité. J'ai donc directement proposé de regarder la matrice diag(-1,1,1,1,...,1) et là ils m'ont dit que l'ensemble de ces endomorphismes engendraient On(R). Un juré a dit à l'autre juré que c'était ça une réflexion.

    J'avais proposé un exercice qui était "Montrer ,sans utiliser de produit semi direct, que tout groupe non commutatif d'ordre 2p avec p premier impair était isomorphe au groupe diédral D2p". Ils m'ont donc demandé de le démontrer, j'y suis presque arrivé et ils m'ont dit bon on voit que ça va marcher mais on n'a plus de temps.
    (C'est un exercice tiré du Cortella)


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très gentil.

    Mais je pensais quand même avoir une meilleure note...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Ils n'ont pas choisi mon développement original :/

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Irréductibilité des polyômes cyclotomiques sur Q

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Montrer que 561 est de Carmichael sans la caractérisation explicite (Réponse : Regarder les $a^{561}$ mod(3),mod(11),mod(17) + Th chinois)
    -Montrer que la définition du n-ième polynôme cyclotomique dans $\mathbb{C}$ et dans $\mathbb{\F_p}$ (p premier à n) coïncident. (Réponse : Utiliser la relation $\Pi_{d|n} \Phi_d = X^n-1$ )
    -Montrer que pour p premier à n, les facteurs de $\Phi_n$ dans $\mathbb{\F_p}$ sont de degré égal à l'ordre de p dans $(Z/nZ)^x$. (Réponse : Prendre un facteur irréductible, regarder le corps de rupture, et raisonner sur le degré de l'extension car on doit avoir $p^m \equiv 1$ mod(n) )
    -Montrer que si $(Z/nZ)^x$ est cyclique, il existe un p premier générateur de ce groupe. (Réponse : Utiliser le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet.)
    -Montrer que si P,Q $\in \mathbb{Z}[X]$ unitaires sont de pdcd $\neq$ 1 dans $\mathbb{C}[X]$, c'est encore le cas dans $\mathbb{Z}[X]$ (Réponse : On a le résultat dans $\mathbb{Q}[X]$ par contrapposée, puis on utilise le Lemme de Gauss et le contenu pour trouver un diviseur dans $\mathbb{Z}[X]$ de P.)
    -Donner un bon algorithme déterministe de primalité (Réponse : Algorithme AKS)
    -Expliquer "méthode de Monte-Carlo" (Réponse : Algorithme utilisant de la génération aléatoire, qui répond en temps fini, qui a toujours raison s'il répond "Non", mais qui a une probabilité d'erreur s'il répond "Oui". Ex : Test de Miller-Rabin pour savoir si n n'est pas premier.)
    -Expliquer le test de Miller-Rabin (Réponse : Utiliser k variables aléatoires de loi uniforme sur $\{1,..,n-1\}$ et tester si les entiers générés sont témoins de Miller-Rabin de n ou non.)
    -Donner la complexité du test de primalité naïf (Réponse : $O( exp(1/2.log_2(n)) )$, donc exponentiel )
    -Expliquer les calculs de chiffrement du RSA + donner la complexité (Réponse : Exponentiation binaire dans Z/nZ, O(log(e)) produits dans Z/nZ. )
    -Est-ce que casser RSA <-> Résoudre le problème de factorisation n=pq ? (Réponse : On ne sait pas)
    -Comment retrouver d avec (p-1)(q-1) et e. (Réponse : Euclide étendu)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant dans le fond.
    L'un des membres a fait toutes les questions concernant l'algorithme RSA et la complexité.
    Sinon, ils m'ont aidé à remettre les idées de mon développement en ordre (j'avais oublié le bon ordre pour les utiliser).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Plan de rêve, préparation tranquille. Mais j'ai quand même réussi à mélanger l'ordre des idées de mon développement, ce qui m'a attristé car c'était un développement tout simple. (Remarque : En ayant mélangé tous mes arguments, mais en étant capable de me corriger à chaque erreur de logique, j'ai quand même eu 5/6 au développement. La bienveillance était donc de mise.)

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    103 : Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique ) #effectif #méthodeEuler

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    D'abord des questions pour éclaircir des points du développement
    Questions :
    1. Dimension de K[u] (degré du polynome minimal) et preuve (j'ai déterminé K [u]~K [X]/($\pi_u$)}, mais plus simplement à l'aide du polynôme minimal, les puissances supérieures au degré du polynôme minimal s'écrivent avec un degré plus petit)
    2. Donner la décomposition de Dunford de $\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
    3. Preuve de la propriété : en dimension finie il existe toujours un polynôme annulateur (avec l'aide du jury)
    4. Question sur la division euclidienne de deux polynômes (j'ai écrit A=BQ+R mais ils attendaient le nom?? L'écriture de la division avec les conditions sur le degré du reste a semblé satisfaire le jury)
    5. Exemples de polynôme annulateur (avant de repondre ils ont conseillé de prendre des exemples issues de la géométrie). J'ai donné la symétrie axiale dans l'espace en donnant la matrice diagonale dans une base adaptée (ils ont demandé pourquoi u est diagonalisable évident avec la matrice donnée)
    6. Connaissez vous ce qu'est un projecteur ? Oui! pop=p donc $x^2-x$ est annulateur
    7. Exercice : G sous groupe fini de $GL_2(\mathbb{C})$. Que peut on dire de G? (Astuce : les valeurs propres sont les racines de l'unité)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, le jury a donné plusieurs indications pour répondre aux questions qui m'ont posé problème.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Déroulement de la préparation
    Le temps de préparation commence à l'ouverture des sujets dans la "salle de tirage".
    Il faut écrire les intitulés des sujets sur une feuille A5
    Il faut ensuite se déplacer jusqu'à la salle de préparation avec ses affaires personnelles dans une caisse en plastique.
    Les plans sont ramassés 10 minutes avant la fin des 3h pour les photocopies.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Automorphismes de Sn

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a commencé par revenir sur le développement. Ils m'ont demandé de justifier que $\mathfrak S_n$ était engendré par les $(1\, i)$, je n'attendais pas cette question et j'ai eu un peu de mal à le faire (j'ai pris le cas de $\mathfrak S_3$ pour ensuite faire le cas général). Puis le jury m'a demandé de réexpliquer un point du développement sur lequel je suis passé un peu rapidement. Ils m'ont ensuite demandé qu'elle était la plus petite partie génératrice de $\mathfrak S_n$ (la réponse était dans mon plan) puis quelle était le nombre minimal de transpositions nécessaires pour engendrer $\mathfrak S_n$ (j'ai eu l'intuition du résultat, le jury a confirmé que c'était une bonne idée et j'ai trouvé la preuve rapidement).

    Ensuite, ils sont passés aux questions sur le plan. Ils m'ont demandé comment je faisais pour prouver que le groupe multiplicatif d'un corps fini était cyclique, à partir de la formule $n=\sum_{d\mid n} \varphi(d)$. Je me souvenais du plan de la preuve, mais je ne me souvenais plus vraiment d'un point, le jury m'a donné une indication et ça m'est revenu. Puis ils m'ont demandé si le caractère fini du corps était nécessaire (non). Ils m'ont demandé quelle topologie je mettais sur les espaces de matrices et ils m'ont demandé quelles étaient les propriétés topologiques de $\mathrm{SO}_n(\mathbb R)$ (j'avais mis dans le plan qu'il était connexe par arcs, mais je n'avais pas dit qu'il était compact). Ils m'ont demandé de prouver que $\mathrm{GL}_n(K)$ était engendré par les transvections et les dilatations (à partir du fait que $\mathrm{SL}_n(K)$ est engendré par les transvections). J'ai mentionné l'algorithme du pivot de Gauss lors de la présentation du plan, le jury m'a donc demandé à quoi servait cet algorithme et quelle était son efficacité.

    Comme je parlais de la fonction indicatrice d'Euler dans le plan, ils m'ont demandé si je connaissais une formule pour $\varphi(n)$. J'ai dit que oui, en utilisant la multiplicativité de la fonction. Ils m'ont alors demandé de prouver la multiplicativité. J'ai répondu qu'on pouvais le prouver avec le théorème chinois, ils m'ont alors demandé comment je construisais le morphisme de $\mathbb Z/pq\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/q\mathbb Z$. J'ai posé l'application dans le bon sens, donc ça a été. J'ai dit une petite bêtise : je me suis fait la réflexion que ce que je faisais jusque là fonctionnerait sans supposer $p$ et $q$ premiers entre eux. Le jury m'a demandé si j'étais sûr de ça, j'ai dit que j'allais vérifier et je me suis rendu compte de mon erreur. Ils m'ont alors demandé ce qui se passait dans le cas où $p$ et $q$ ne sont pas premiers entre eux. J'ai répondu qu'il fallait alors considérer $\mathrm{PPCM}(p,q)$. Ils m'ont ensuite demandé comment inverser ce morphisme, j'ai répondu par l'algorithme d'Euclide étendu et le jury est passé à la suite.

    Le jury m'a demandé si je connaissais un système de générateurs de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$. J'ai tenté une première réponse (fausse). Comme je ne connaissais pas la réponse, le jury m'a donnée deux matrices puis m'a demandé de montrer que les deux matrices étaient génératrices. J'ai essayé d'adapter la preuve du cas $\mathrm{SL}_n(K)$, mais ce n'était pas vraiment ça. Le jury m'a beaucoup guidé et après plusieurs minutes, j'ai fini par réussir. J'avais parlé du groupe dérivé de $\mathfrak S_n$ dans le plan, le jury m'a demandé de définir ce que c'était en général et quelles étaient ses propriétés. Enfin le jury m'a demandé comment faire pour déterminer un générateur de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$. J'ai répondu que je ne connaissais pas de méthodes autres que d'essayer. Le jury m'a demandé alors de le faire pour $p=17$, j'ai commencé à essayer avec 2. Le jury m'a alors fait différentes remarques, j'ai senti qu'ils essayaient de me faire comprendre quelque chose mais il n'y avait plus de temps et ça s'est arrêté là.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    La préparation.
    Je suis passé sur une leçon que j'aimais bien et connaissais bien, je savais quoi mettre dans mon plan, je connaissais plutôt bien mes développements et je savais quelles références utiliser et malgré tout, je n'avais que très peu d'avance. J'ai fini d'écrire le plan 10 minutes avant qu'il ne soit ramassé pour photocopie. Il ne faut pas trainer lors de la préparation ! (et ne pas faire des plans à 40 items...)

    L'oral.
    J'ai été surpris par les questions : le jury a posé beaucoup de questions sur le plan, comment je faisais pour démontrer tel résultat, etc, mais presque pas d'exercices.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Gauss (polygones constructibles)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Suite au développement sur Gauss, que je pensais bien maîtriser, il y a eu deux questions :

    -A un moment du développement, vous dites que pour k dans (Z/pZ)*, g_k qui à (somme de 1 à p-1 des x_i w^i) associe (somme de 1 à p-1 des x_i w^(ik) ) est un morphisme de corps, vous pourriez le montrer ?
    (Pour ceux qui sont hors contexte : on se place sur l'espace vectoriel Q(w), de base {w, ... w^(p-1)} )

    "Oui alors on va commencer par montrer que c'est un morphisme de groupe (là on me dit que c'est pas la peine), puis pour le côté morphisme de corps on va calculer g_k( x * y) et g_k(x) * g_k(y) séparément et constater qu'ils sont égaux."
    J'avais déjà réfléchi vaguement à cette question donc je pensais que ça allait être facile, je développe et je dis "bon voilà c'est égal", sauf que le jury me fait remarquer que j'ai "mal" développé ma somme double ou du moins affirmé quelque chose d'a priori faux.
    A partir de là ils ont passé pas mal de temps à m'aider à essayer de montrer que c'était bien un morphisme, mais je n'y suis pas parvenu...je ne sais pas si c'est vraiment dur à montrer ou si c'est juste la panique au tableau qui m'a fait louper cette question qui n'avait pas l'air si méchante...

    -A un autre moment du développement, vous dites que l'espace vectoriel associé à la valeur propre -1, s'il n'est pas égal à {0}, est de dimension 1 sur K_i, vous pourriez expliquer ?

    Donc là je réexplique ce que j'ai dit pendant mon développement, en stressant un peu car si on me demande de réexpliquer, je m'attends à avoir encore fait une erreur de raisonnement. Mais non, cette fois-ci c'est bon, mon explication est correcte. J'avais du expliquer un peu trop rapidement la première fois. "On prend deux éléments x et y associés à la vp -1, alors g(x/y)=-x/-y=x/y donc x/y est dans K_i et donc x=ly où l € K_i donc E-1 est bien de dimension 1 sur K_i. "

    Ensuite fin des questions sur le développement, et premier exercice :
    -Soit K une extension de degré 2 de Q, montrez que K = Q(racine(d)) avec d un entier relatif.
    Aucune idée de comment faire, mais bon je dis que je vais prendre un élément x de K\Q, considérer son polynome minimal, et puisque c'est un polynome de degré 2, exprimer x en fonction des coefficients. Je commence à dire "peut-être qu'on pourrait montrer K=Q(racine(delta))" mais on me fait remarquer que delta n'est pas un entier. Donc je fais la réflexion qu'on pourrait multiplier les coefficients par les ppcm de leur dénominateurs pour se ramener au cas entier. On me dit que c'est pas une mauvaise idée, et avant ça on me fait remarquer que delta ne peut pas être le carré d'un rationnel.
    L'exercice s'est arrêté plus ou moins à ce moment là, car je bloquais et qu'on avait passé pas mal de temps dessus (car j'avais déjà du réfléchir pas mal + être aidé avant d'en arriver à ce stade...)

    -Vous dites que la somme et le produit d'algébriques est algébrique, montrez-le.
    Question de cours, donc. Bon ça j'ai su faire, l'idée est de se servir de la formule des degrés :
    si a et b sont algébriques sur K, alors on va mq K(a,b) est de degré fini sur K, ça permettra de conclure car il contient a+b et ab
    Or K(a,b)=K(a)(b) donc [K(a,b) : K]=[K(a)(b) : K(a)] [K(a) : K]. a est algébrique sur K donc le crochet de droite est fini
    b est algébrique sur K et donc sur K(a) aussi (puisque K(a) contient K), donc le crochet de gauche est fini.
    Donc on a bien l'extension K(a,b) qui est finie, donc algébrique.

    L'oral s'est terminé là dessus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Sur les 3 membres, l'un n'a pas dit grand chose, un autre s'est comporté normalement disons, et le dernier je l'ai trouvé assez sec.
    Ils aidaient un peu lorsque je bloquais à une question, mais pouvaient aussi me laisser patauger plusieurs minutes par moments.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral s'est mal passé, mais dans la mesure où je suis tombé sur deux leçons que je n'appréciais pas du tout, ça ne m'a pas tant surpris que ça...
    La surprise s'est faite sur les questions du jury, j'espérais avoir majoritairement des leçons de cours et en fait pas vraiment...

    Dommage, j'avais profité de la préparation pour lire à peu près toutes les démonstrations des théorèmes de mon plan + celles de thm cités dans le rapport du jury (genre "montrer que la cloture algébrique de Q est algébriquement close" dans je ne sais plus quel rapport de leçon.)
    Ben du coup je n'ai eu qu'une question de ce type là, sûrement car j'ai galéré beaucoup trop longtemps sur les autres...

  • Note obtenue :

    7.25

  • Leçon choisie :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Autre leçon :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a aidé à compléter mon développement qui avait deux trous (ce développement est assez long, pour pouvoir conclure j'ai passé vite).
    J'ai eu du mal. Notamment comment le quotient des polynomes reste à coefficients entiers.

    Dernier jour de mes oraux j'étais très fatigué avec une table de prof qui empêchait de se reculer du tableau pour voir plus large.

    Q : construire le corps à 4 éléments. Table de multiplication. J'ai su faire.
    Q : plonger le corps dans une extension (réponse : la dimension de l'e.v était fractionnaire donc pas possible de plonger le corps, toutes les puissances supérieures des nombres entiers ne conviennent pas). J'ai su faire
    Q : différence entre irréductible et admettre des racines (sur des exemples velus). Critère d'irréductibilité dans une extension de corps.
    Q : Sur le plan expliquer le lien avec les codes de Hamming (corps fini et décodage)
    Q : Sur les corps de décomposition. Pas su répondre. en travaillant sur F27


  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, mais parfois j'avais un peu le sentiment d'avoir des rames...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais du proposer en dev la classification des formes quadratiques sur Fp, plus simple, que je maîtrisais bcp mieux. Il faut prendre un développement de niveau pas élémentaire mais qu'on maîtrise suffisamment. Le premier jour ce serait passé mais avec la fatigue, le dernier jour des oraux c'est dur....

    Pronostic de note (casse gueule) : 11

  • Note obtenue :

    12.5

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition de Dunford (version algorithmique ) #effectif #méthodeEuler

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions concernant le développement (donner la décomposition de Dunford d'une matrice donnée) puis sur l'exponentielle matricielle (les classiques décomposition de Dunford de l'exponentielle de u en fonction de celle de u, et montrer que l'exponentielle de u est dans K[u]. )

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très sympathique et bienveillant. Si je bloquais, il me guidait et grâce à cela, j'ai toujours pu aboutir au résultats espérés.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral en général ne m'a pas surpris, ni sa préparation. Ce qui m'a surpris c'est l'organisation qu'il y a tout autour et qui peut donner le vertige pour le premier jour.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lie-Kolchin

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Dans Lie-Kolchin, où vous servez vous de l'hypothèse "G non abélien"?
    -A la fin on écrit D^(l-1)(G)=D(D^(l-2)(G)), ce qui n'est possible que parce que l>=2, car G non abélien.
    Montrez le théorème de trigonalisation simultanée dans le cas abélien?
    -On a plus besoins d'aucune hypothèse sur la partie si ce n'est qu'elle est abélienne. La récurrence ce passera exactement comme dans Lie-Kolchin. Le cas trivial est le cas où tous les éléments sont des homotéthies. Sinon il existe un élément qui a un sous-espace propre non triviale et non tout l'espace, c'est ce sous espace qui permet de conclure par récurrence sur la dimension.
    Connaissez-vous un exemple de sous groupe résoluble connexe de GLn(C)?
    -Le sous groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles.
    Plusieurs définitions équivalentes de groupe résoluble?
    -Définition par le groupe dérivée et par la suite de sous groupes distingués.
    Décrire les classes de conjugaison de Sn?
    -Une classe est déterminée par une partition de n.
    Les donner et les dénombrer pour n=5.
    Quels sont les éléments du groupe symétrique qui peuvent s'écrire comme des carrées?
    -On regarde d'abord ce qui ce passe sur les cycles et on voit que les carrées sont les éléments qui n'ont dans leur décomposition en cycles à supports disjoints que des cycles impairs et des paires de cycles pairs. (Il m'a fallut pas mal d'aide pour celle là)
    Si l'on choisit uniformément deux éléments dans un groupe fini G peut on estmer la proba qu'ils commutent l'un avec l'autre?
    -Je n'ai pas réussi à conclure. Si G est abélien la prob est 1 sinon: on écrit ce que l'on cherche à calculer comme un quotient, puis on développe ça comme une somme sur les éléments de G, comme G est abélien #(G/Z(G))>=4, c'est cette inégalité qui pourra nous aider.
    Pouvez vous montrer que le centre d'un p-groupe est non trivial?
    -Démonstration classique.
    Quels sont le groupe d'ordre 49?
    -Selon le thm de structure des GAF, il n'y a que deux groupes abéliens non isomorphes, tous les groupes d'ordre p^2 sont abéliens.
    Les groupes d'ordre p^2?
    -Même réponse il suffit de changer 7 par p.
    On a une représentation du groupe symétrique via les matrices de permutations, pouvez vous donner toutes les sous-représentations irréductibles de cette représentation?
    -Soit (ei)_i une base de R^n S_n agit sur R^n par f.ei=ef(i). La droite engendrée par la somme des vecteurs de la base est invariante. L'hyperplan d'équation f(somm(liei))=somme(li)=0 en est un supplémentaire stable. A isomorphisme près la théorie des représentation donne l'unicité.
    Oui mais pouvez vous montrez que ce sont bien les seules, pas à isomorphismes près?
    -On finit par y arriver par le calcul.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury aidait beaucoup et était sympathique.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Endomorphismes semi-simples

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    (Autre dvlpt: Résolution d'une équa diff ordinaire/ suite récurrente sachant factoriser le polynôme caractéristique. Exemple tiré du livre MP, Dunod j'intègre, Warusfel, Ramis, Ruaud, Moulin...)

    L'échange a commencé par des éclaircissements sur le dvlpt lui même. Bien justifier que la décomposition donné par le lemme des noyau est valable pour un sous-espace stable car les projecteurs sont donnés par des polynômes en l'endomorphisme. Ensuite, ils m'ont interrogé sur la
    - dimension de k[u], donner un majorant;
    - polynôme minimal d'un projecteur p, reconnaître que c'est semi-simple, sous-espaces stables de p
    - décomposition de Dunford d'un matrice 2 x 2, le même que "PAYEUR" ou bien avec un 2 à la place du 0. Diagonalisable puisqu'elle admet 2 valeurs propres, partie nilpotente nulle donc c'est directement sa décomposition de Dunford.
    - indice de nilpotence maximal pour un endomorphisme nilpotent, considérer un élément x dans E\ker(u^(r-1)) et la famille libre (x, u(x), u²(x)...). Appliquer u à différente puissance.
    - G sous groupe de GL_n(C), tq tout élément soit de carré l'identité. G Abélien, c'est donc un groupe de matrices qui diagonalise dans une même base, avec valeurs propres \pm 1. Considérer un isomorphisme de groupe Gl_n =Gl_m et conclure que m=n.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury m'a aidé quand j'en avais besoin et laissé réfléchir lorsque je le décidais. Il est rester assez neutre mais plutôt bienveillant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était un peu plus cool que ce que j'imaginais, le jury n'a pas pinaillé sur des détails de mon plan ni posé de question piège.

    Les oraux blancs organisé dans ma préparation m'ont donné une idée fidèle du déroulement le jour j.

    En revanche dans les dernières minutes de la préparation, je trouve que les messages des surveillants (pensez à prendre votre fiche ou ranger les livres dans le bac ou aller aux toilettes ou que sais-je) sont franchement gênant, ce sont des moments important de révision des développement.

    On doit rendre nos brouillons (où on est sensé écrire nos dvlpt). Je ne sais pas si cela compte pour l'évaluation.

  • Note obtenue :

    13.25

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Topologie des classes de similitude

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Au départ quelques questions pour préciser mon développement; il y avait deux notions de continuité avec le polynôme caractéristique et le polynôme minimal, ils voulaient que je précise à nouveau alors que je l'avais dit oralement. De même une précision sur le fait qu'au tableau j'avais écrit que les deux matrices avaient les mêmes valeurs propres et je n'avais pas noté "avec même multiplicité" mais je l'avais dit oralement.
    Des précisions sur la matrice de passage qui est diagonale dans le cas du développement.

    Ensuite, des questions en rapport avec le développement. Je ne me rappelle plus de tout mais on m'a demandé si c'était possible de créer une norme qui vérifiait N(A) = N(Ap) pour toutes suites de matrices Ap semblable à A. La réponse était non en utilisant la deuxième partie du développement on arrivait au fait que la norme de toute matrice nilpotente est nulle ce qui est bien évidemment impossible (j'ai eu un bug sur la fin).

    On m'a demandé: Est ce qu'on a la même continuité qu'avec le polynôme caractéristique avec le polynôme minimal? Je n'avais pas tout de suite bien compris la question. On a alors précisé la question: si j'ai une suite Ap semblable à A, alors est ce que le polynôme minimal de A va être le même que celui de la limite de Ap. J'ai dit que ça semblait faux puis j'ai trouvé un contre exemple.

    Après on m'a donné comme exercice: Soit A,B deux matrices, est ce que AB et BA sont semblables?
    C'est assez facile de voir que c'est vrai si elles sont inversibles.
    Ensuite si on suppose que AB est nulle est ce que c'est tout le temps vrai?
    On regarde les valeurs propres donc si on trouve BA non nulle avec AB nulle c'est faux. Un contre exemple en dimension 2 n'est pas trop dur à trouver. Pour m'aider on a essayé de m'indiquer le fait que l'image de B est incluse dans le noyau de A mais j'avais pas de suite compris et j'ai un peu galéré du coup.
    (j'ai aussi dit une grossière erreur en voulant aller vite, j'ai dit que si AB=0 alors A=0 ou B=0 et donc BA=0 mais je me suis repris assez vite)

    Après on m'a parlé un peu de mon plan. J'avais mis la relation par congruence, ils voulaient savoir ce que ça donnait quand on se restreint au groupe orthogonal. Il fallait parler du théorème spectral.
    Ensuite on me demande combien de matrices diagonales il y a dans l'orbite. J'ai instinctivement répondu une seule en disant que les valeurs propres restaient les mêmes dans l'orbite avant de me reprendre en précisant qu'il n'y avait qu'une seule matrice diagonale à permutations près des éléments de la diagonale.

    Enfin on revient encore sur mon plan, j'avais écrit que deux matrices semblables sur C le sont aussi sur R. C'est vrai mais je n'avais pas préciser que les matrices étaient réelles (ça paraissait obvious). Du coup ils m'ont demandé de l'écrire avant les quantificateurs et je me suis loupés en écrivant que les matrices étaient dans C... Donc après on me donne un contre exemple (en plus je fais une erreur de calcul dans le polynôme caractéristique...), et là je capte enfin où est l'erreur!
    Puis on me demande une idée de la démonstration (je connaissais mais j'ai buggé à nouveau et j'ai pas réussi à conclure juste à l'oral).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était assez neutre. Il y avait deux hommes et une femme. Seul la femme souriait un peu quand je répondais correctement, c'est elle qui me posait le plus de questions. Un des homme ne m'a posé qu'une seule question mais voulait impérativement que je fasse le développement des classes de similitudes. Le dernier était très neutre, mais me donnait beaucoup de pistes pour m'aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le début de la préparation est déroutant, c'était ma première épreuve et je n'avais pas de suite réalisé que ça avait réellement commencé. J'ai été aussi surpris du fait que l'on se balade librement dans le couloir pour chercher ses livres.
    Enfin j'étais surpris du fait que l'on ne me pose aucune question ni sur le théorème de Lie-Kolchin, ni sur le lemme de Morse qui figuraient tous deux dans mon plan.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    6 minutes: Je n'avais pas eu le temps de les préparer donc elles n'étaient pas terribles, je pense avoir dit des choses intéressantes mais pas au bon moment.

    Développement: Je le connaissais bien je l'ai fait dans les temps et je pense l'avoir fait proprement. Je me suis juste trompée dans l'injectivité j'ai pas pris le bon polynôme interpolateur mais ils ne m'en ont pas voulu.

    Questions développement:
    Jury: Quelle norme vous utilisez?
    Moi: La norme 2 c'est à dire la norme subordonnée à la norme euclidienne qui est égale à la racine du rayon rayon spectral de ...
    J: Vous avez une idée de comment ça se démontre?
    M: Décomposition polaire
    J: Pour la surjectivité où est ce que l'on se sert de l’hypothèse de défini positivité?
    M: Pour définir le logarithme des valeurs propres.

    Questions Plan:
    J: Est ce que que vous avez un critère de diagonalisation sur F_p?
    La réponse était une matrice A à coeff dans F_p est dzable ssi A^p=A. Je ne l'ai pas trouvé mais j'ai su le démontrer.

    J: Dans mon plan vous avez défini la semi-simplicité par la diagonalisation dans une extension dans K (c'est juste mais c'est pas la définition usuelle), est ce que vous avez une autre caractérisation de la semi simplicité avec les polynômes?
    M (avec de l'aide): A est semi simple ssi son polynôme minimal est sans facteur carrés.
    J: Montrez le.
    Là j'ai pas mal galérer, il fallait passer par une caractérisation avec des sous espaces stables, mais avec beaucoup d'aide j'ai fini par m'en sortir.
    J: Vous avez mis dans votre plan que Dn(C) est dense dans Mn(C), est ce que Dn(R) est dense dans Mn(R)?
    M: Je sais qu'on utilise le fait que C soit algébriquement clos dans la preuve...
    J: Oui donc la preuve sur C ne marche pas sur R. Trouvons un ct-ex en dimension 2.
    J'ai ressorti une matrice que j'avais mise dans mon plan qui avais pour valeurs propres +/-i, j'ai calculé le polynôme caractéristique car ils n'avaient pas l'air convaincus.
    J: Ok et pourquoi on ne peut pas approcher cette matrice par une suite de D_n(R)?
    M (avec de l'aide): Si A_k est une suite de matrices de D_n(R) alors pour tout k le polynôme caractéristique de A_k est à racines réelles or l'application qui a une matrice associe son polynôme caractéristique est continue
    J: Et qu'est ce que vous utilisez pour savoir si un polynôme de degré 2 a des racines réelles ?
    M: Ah oui! Le discriminant qui lui aussi est continue donc la limite d'une suite de matrice de D_n(R) ne peut pas être ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt sympathique, ils savaient quand aider et quand laisser réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai eu un très bon tirage, cette leçon était l'une des leçons que je connaissais le mieux! Et je maitrisais les 2 développements. Malgré ça écrire le plan et réviser les 2 développements m'ont pris les 3h de la préparation, je n'ai donc ni eu le temps de réviser les preuves ni de préparer les 6 minutes. L'en-tête de la première page du plan prends de la place on ne peut donc pas écrire autant que ce que je pensais. Sinon pas de surprises.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    À la fin du développement beaucoup de question sur celui-ci, le jury semblait ne pas comprendre certains points. Ensuite on m'a demandé de déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme représenté dans la base canonique de $K^4$ par la matrice
    \[\left(
    \begin{array}{cccc}
    1 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 2
    \end{array}
    \right).\]
    Ensuite un exercice en rapport avec le développement : on pose $F_x=\ker (\pi_{f,x}(f))$, montrer que $E=\cup_{x\in E} F_x$, que peut-on dire de $\pi_{f,x}$ et $\pi_f$ ? ($\pi_{f,x}\mid \pi_f$), que dire des diviseurs de $\pi_f$ : il y en a un nombre fini à coefficient multiplicatif près. Quelle condition est suffisante pour que $\pi_{f,x}= \pi_f$ ?

    Enfin sur le plan : preuve du critère de diagonalisation sur les corps finis, préciser l'énoncé de la décomposition de Dunford de l'exponentielle de $f$ ($k=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, il faut que $f$ admette une décomposition de Dunford), puis de montrer l'équivalence $f$ diagonalisable ssi $exp(f)$ l'est. En toute fin on m'a demandé la preuve du théorème de Maschke, et pourquoi quand on moyennise le produit scalaire cela reste un produit scalaire.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt neutre, l'un avait l'air agacé parfois.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été surpris des questions sur mon développement qui était classique et pas compliqué.

  • Note obtenue :

    17.25

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan ou le développement. On m'a par contre demandé de mettre en application le théorème pour déterminer les sous-groupe distingués de S4. Puis le jury est parti assez loin dans les questions, on a dérivé sur les transvections...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un des jurés a presque monopolisé la parole en posant quasiment toutes les questions (la seule femme du jury n'en a posé aucune). Le jury m'alimentait en permanence de questions, de sorte que je ne reste pas sans rien faire au tableau même quand je ne trouvais pas les réponses. L'expérience était vraiment positive, même si la note n'était pas très bonne à l'arrivée.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Un peu surpris qu'il n'y ait pas de questions sur le plan ou le développement. J'avais à disposition un tableau blanc (velleda).

  • Note obtenue :

    8

  • Leçon choisie :

    120 : Anneaux $Z/nZ$. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Dirichlet faible

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le plan. Le niveau des questions était assez bas à mon sens, mais il fallait être capable d'y répondre rapidement et sans erreur.

    Question : Calculer le 6-ème polynôme cyclothymique.
    Question : Questions sur l'indicatrice d'Euler, lien avec le théorème chinois
    Question : Théorème de Wilson, démonstration
    Question : Démonstration de RSA
    Question : Autre application du théorème chinois ? Equations diophantiennes. Exemple ?
    Question : Nombre d'automorphismes de Z/nZ ?

    ...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très sympathique qui ne m'a pas tenu rigueur d'avoir posé la division euclidienne de X^8-1 par X^4+1.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise particulière, si ce n'est la préparation qui se fait dans un milieu assez bruyant et dense.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    La défense de plan, ainsi que la présentation du développement se sont bien passés. Mais j'ai fait une erreur dans la présentation qu'ils m'ont fait corriger après et cela a bien duré 5 bonnes minutes. J'enchainais petites erreurs sur petites erreurs. La partie Questions commençait mal. J'ai pu me rattraper par la suite avec les autres questions et exercices. Voici ceux dont je me rappelle :
    -Donner la signature de la forme quadratique $A \rightarrow Tr(A^2)$ ( Résultat qui était dans mon plan et que j'ai signalé. On est donc passés à un autre exercice.)
    -Soit q une forme quadratique sur E un K-ev et u un vecteur de E. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que u puisse être compléter en une base orthogonale pour q. ( Ils m'ont laissé le temps de la réflexion au tableau, ce qui m'a permis de proposer des pistes et finalement résoudre l'exercice sans aide)
    -Il s'agissait dans cet autre exercice de montrer qu'un espace quadratique se décompose comme somme d'espaces hyperboliques et d'un espace sans vecteur isotrope. Ils m'ont dit de raisonner par récurrence, ce qui m'a permis de faire l'exercice.
    Des questions sur le plan étaient posées entre les exercices, notamment "Comment définissez-vous le discriminant d'une forme quadratique dégénérée ? " (La définition était pourtant dans le plan) ou encore des questions sur les carrés dans Fp.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sec voire agacé lorsque je faisais mes petites erreurs après la présentation de mon développement. Ils étaient nettement plus sympas lors de la partie exercices et le plus agacé des trois a même fini par sourire ! L'un des trois jurys ne parlait pas du tout et se contentait d'écrire des trucs.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Aucune surprise durant l'oral.

  • Note obtenue :

    18

  • Leçon choisie :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Nombres de Bell

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Dans le développement, il apparaît un produit de Cauchy, alors le jury m'a un peu questionné dessus, car c'est un point sur lequel je suis passé rapidement. Ensuite, il s'est passé un truc étrange, toujours en rapport avec le développement : une partie du développement fait appel à une récurrence. Après le dév, un membre du jury me dit qu'il sait qu'il existe une preuve purement combinatoire, mais qu'il ne la connaît pas ; alors il m'a demandé si je la connaissais, mais non, donc ils sont passés à autre chose.
    — Après ça, ils m'ont donné en exercice le problème des chapeaux : n personnes ont un chapeau, qu'elles retirent en arrivant dans une salle et en partant, elles reprennent un chapeau au hasard. La question était de savoir quelle est la proba que personne ne reparte avec son chapeau, en faisant appel à des séries génératrices. J'ai transformé la question en un problème de permutation sans points fixes, et le jury m'a guidé pour les calculs, puis lorsque je suis presque arrivé au bout, ils sont passés à autre chose.
    — Ensuite, on est passé aux corps finis, mais mes souvenirs sont un peu flous. Si je me souviens bien, ils m'ont demandé de compter les sous-espaces de dimension k\le n dans F_p^n. J'ai introduit une action de groupe et bêtement, je me suis foiré sur le nombre de matrices de taille donnée à coefficients dans F_p.

    Après ça, c'était terminé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils ont eu l'air contents que je choisisse la leçon 190. Ils ont été accueillants et courtois, mais peut-être un peu froids. L'un des membres du jury a passé tout l'oral à faire des blagues…

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Suite de polygones

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Le jury a posé d'abord des questions sur ma présentation (6min) et est revenu sur ce que j'avais noté au tableau. Je m'attendais à ces questions et j'ai su y répondre rapidement.
    - Ensuite, le jury est revenu sur mon développement et ils ne le connaissaient pas à priori. Ils m'ont demandé de réexpliquer la fin sur la limite.
    - Sur le plan : j'avais oublié un mot dans un théorème (endomorphismes qui commutent et diagonalisables sont diagonalisables dans une même base), ils m'ont demandé de le démontrer. Puis ils m'ont demandé si on pouvait avoir des hypothèses plus faibles. Ils m'ont posé un exercice mais je ne m'en souviens plus.
    - Question sur endomorphisme diagonalisable sur un corps fini : j'ai cité le théorème et je l'ai redémontré
    - Exercice sur une matrice A telle que A^2+A+In=0 (pas eu le temps de finir)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury agréable

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui bien passé. La préparation s'est bien déroulée, j'ai eu le temps de faire le plan que je voulais, revoir les développements et les démonstrations des théorèmes. J'ai pu aussi préparer l'introduction en insistant sur l'intérêt de la diagonalisation, et les outils pour y parvenir (cf Grifone + X-ens).

  • Note obtenue :

    14.75

  • Leçon choisie :

    142 : PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Algorithme d'Euclide étendu et complexité

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury m'a posé quelques questions pour bien refixer les hypothèses de ma leçons. Puis est passé à une lecture plus approfondie du plan.
    Après quelques questions pour me demander si je pouvais un peu plus généraliser certains résultats de mon plan ou les réécrire pour éviter d'utiliser des termes partant un peu trop loin (comme ensemble réticulé, pour définir pgcd et ppcm), l'un des jury a remarqué (à voix haute) que mon plan manquait d'exemple.
    La fin de l'échange a donc été constitué de recherche de contre-exemples à mon plan (Donner un idéal non-monogène de Z[X], par exemple).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très sympathique, bien que peu souriant. Bien que l'un d'entre eux semblait commencer à se tendre vers la fin, ils m'ont tous les trois encouragés à avancer lorsque je touchais une corde sensible de leurs questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été beaucoup plus rapide lors de cette préparation qu'au moment de mes oraux blancs. Pour autant, il ne faut pas prendre tout son temps ;).
    Le jury me mettait étrangement en confiance et était très apaisant (moi qui ai eu à résoudre de gros soucis de stress, à côté du travail propre au concours). Cette dernière remarque concerne d'ailleurs l'ensemble de mes épreuves !

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    103 : Exemples de sous-groupes distinguées et de groupes quotients. Applications.

  • Autre leçon :

    158 : Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Lie-Kolchin

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions sur le dév (Lie Kolchin) notamment sur le côté groupe topologique : pour quelle topologie. J'ai dû détailler pourquoi la topologie usuelle sur Mn(C) donne bien que Gln(C) est un groupe topologique. Ils m'ont demandé beaucoup de détails pour juste dire que le produit et l'inverse étaient continus.
    Apres je m'étais un peu planté dans la précipitation pour montrer que les sous groupes dérivés étaient bien connexes, donc ils m'ont demandé de redétailler ce point (conclusion : il faut vraiment relire son dev en entier avant de passer meme sur les points qu'on pense avoir bien en tete)

    Ensuite ils m'ont demandé de donner D(SLn(C)) pour n>=3.
    Ensuite j'ai du montrer que si G est un groupe de cardinal n non abélien, alors G/Z(G) ne peut pas etre cyclique.

    Ensuite on m'a demandé de montrer que dans ce cas la (ie G non abélien), n/4 <= Card(Z(G)) <= n/2, ce qui (je m'en suis rendu compte a froid) est faux (on a card(Z(G)) <= n/4 puisque G/Z ne peut pas etre d'ordre 2 ou 3 ce qui le rendrait cyclique). Puis que quand g et h sont des variables aléatoires uniformes sur les éléments du groupe : Proba(gh = hg) <= 5/8 mais l'oral s'est arrêté avant que je commence a trouver quelque chose.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury avait en moyenne une bonne attitude, ils me laissaient un peu de temps pour réfléchir et me filaient des tuyaux au bout de ce moment si je trouvais rien.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, finalement on a a peu pres eu nos 3h de préparation, pas de grosse surprise.

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J’ai proposé en développement un autre « même des noyaux » faisant intervenir le PPCM et le PGCD, ainsi que la dualité (cf Carnet de voyage et algébrie de Caldero-Perronier) et ils ont choisi celui là plutôt que Dunford (comme d’habitude Dunford ras le bol !!)

    Questions :
    - est ce que ce développement n'est valable que en dim finie ? Finalement non à priori
    - redéfinir l'application transposée
    - montrer que P(transposée de u) = transposée de P(u) si P est un polynôme : bon jusque là ...
    - Montrer que Ker(transposée de u) = Im(u) orthogonal (au sens du dual)
    - montrer que (A+B) orthogonal = A orthogonal inter B orthogonal (au sens du dual)
    Tout ça c’était sûrement pour vérifier que je connaissais bien le peu de difficulté de mon développement ..

    - Une application de mon développement plutôt difficile avec des anneaux du type K[X]/(PQ) et un morphisme de cet anneau dans K[X]/(P) x K[X]/(Q) qui a un polynôme associe sa classe modulo P et modulo Q.. on m'a demandé quelle structure avait le noyau de ce morphisme (c'est un ideal) puis on m'a demandé de la calculer et c'était (P) inter (Q) et après on a posé un endomorphisme bizarre pour utiliser mon développement mais c’est trop flou et j’avais vraiment du mal à comprendre ce qu’ils voulaient..

    - Donner un exemple de matrice 2x2 dont le polynôme caractéristique est pas scindé et donner sa décomposition de Dunford du type Semi simple + nilpotent : j'ai dit A =
    0 1
    -1 0
    sa décomposition est A = A + 0 puisque le polynôme minimal de A est X^2 + 1 qui est irréductible donc A est semi simple

    - Cest quoi les sous espaces stables de la matrice posée ? Alors on voit que c'est un endomorphisme cyclique donc y'a autant de sous espaces stables que de diviseurs unitaires du polynôme minimal c'est à dire un seul qui est E tout entier

    - Et une preuve plus numérique sans utiliser les endomorphismes cycliques ?
    Une droite peut pas être stable sinon il y aurait une valeur propre donc il n'y a que E tout entier

    - Soit F l'ensemble des endomorphismes cycliques de E : quelle est la topologie ? (Ouvert, fermé ?)
    J'ai rien su dire ducoup il m'a dit de montrer que c'est ouvert ..

    Donc on pose x dans E et fx la fonction qui a u associe le déterminant de la famille (u^i (x))

    Et l'union indexée par les x de E des images réciproques f^(-1)(C*) est un ouvert et c'est exactement l'ensemble des endomorphismes cycliques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas très souriant, parfois même en désaccord entre eux par rapport aux questions qu’on me posait.
    Cependant, pas cassant non plus, malgré tout ils ne m’ont pas non plus mis mal à l’aise !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    RAS, temps de préparation correct, j’avais prévu 1h30 pour le plan et 1h20 pour les développements et les premières phrases de l’oral.
    L’accès aux malles est simple

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Autre leçon :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Réduction des endomorphismes normaux

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - J'ai commencé mon plan en disant que les matrices diagonales sont faciles à inverser et pratiques pour les calculs. Le jury m'a fait remarquer qu'il est plutôt rare de diagonaliser une matrice pour l'inverser.

    - Le développement c'est bien déroulé, le jury n'avait pas de question dessus.

    - Le jury m'a demandé comment s'appelle une matrice de la forme
    (a -b)
    (b a)
    Et à quoi cela correspond géométriquement.

    - Ensuite j'ai du montrer que si M est diagonalisable alors tout espace stable par M admet un supplémentaire stable. Je suis bien parti mais j'ai mis quelques minutes avant de pouvoir conclure.

    - Le jury a demandé de montrer que tr(AtA)=0 implique A=0 (que j'utilisais dans mon développement). J'ai dit que ça provenait d'un produit scalaire, et j'ai du le démontrer. On m'a demandé comment s'appelait ce produit scalaire (Dit de Frobenuis).

    - On m'a demandé la décomposition de Dunford de exp(M) connaissant celle de M puis de montrer que M diagonalisable SSI exp(M) l'est, et enfin la CNS pour que exp(M)=I (tout ceci était dans mon plan).

    - Le jury m'a demandé de montrer que l'adhérence de Dn(R) ne valait pas Mn(R). J'ai d'abord trouvé une matrice non trigonalisable sur R (car j'avais dans mon plan l'adhérence de Dn(R) qui vaut Tn(R) ). Le jury a alors demandé de montrer directement le résultat sans utiliser mon plan. (Penser au discriminant).

    - Comme j'avais fait une partie topologique, le jury a demandé de donner une caractéristique topologique sur la classe de conjugaison de M lorsque M est diagonalisable. J'avais déjà vu ce résultat mais j'ai eu un peu de mal à retrouver la preuve. Le Jury m'a aidé, et j'ai finalement réussi.

    - Pour finir, le Jury m'a demandé comment je ferais concrètement pour diagonaliser M symétrique. J'ai dit qu'il fallait calculer le polynôme caractéristique, mais le jury a reformuler la question en suggérant que la matrice M est de taille 100. J'ai dit qu'il fallait trouver les valeurs propres de M. Qu'on pouvait les approximer par méthode itérative. J'ai énoncé le nom de la méthode de la puissance pour calculer la plus grande valeur propre de M après un peu d'aide. Le jury a dit oui et m'a demandé comment conclure. J'ai dit qu'il fallait résoudre un système linéaire AX=cX et le jury a demandé comment on conclut ensuite, par récurrence en calculant l'orthogonal de X. L'oral c'est terminé ici.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le jury a posé des questions relativement proches du plan.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement s'est bien passé, j'ai pris exactement 15 minutes.

    Questions sur le développement : où interviens précisément le fait que p est premier impair ? Rappeler la formule qui lie le cardinal du groupe et le cardinal des orbites. Comment démontre-t-on cette formule ?

    Questions sur le plan :
    Avec Frobenius vous dites qu'on peut montrer que si deux matrices sont semblables dans un sur-corps alors elles sont semblables. Frobenius c'est un peu compliqué, vous savez comment on peut le démontrer dans le cas particulier où les corps sont R et C ? Là je dis oui et je fais la démo avec le déterminant.
    - Est ce qu'on peut généraliser cette méthode ?
    - Oui pour une extension finie.
    - Seulement finie ?
    - On s'y ramène on considérant le corps engendré par les coefficients de la matrice.
    - Ok très bien mais ça marcherait pas dans quel cas ?
    - Euhhhh je sais pas ... J'ai l'impression que ça marche tout le temps ...
    - Regardez bien votre démonstration avec le déterminant !
    - Ah oui ça marcherait pas sur des corps finis.
    - C'est ça ; pour les corps finis on a besoin de Frobenius.

    D'ailleurs en parlant de Frobenius, comment vous montrez votre lemme truc (c'est le lemme qu'on a besoin pour montrer Frobenius qui dit qu'il existe un polynôme annulateur ponctuel en x exactement égal au polynôme annulateur). Je commence à le démontrer, après deux trois lignes il me dit "ok c'est bien, je vais vous proposer une autre méthode"). Il me fait faire une autre démo que je connaissais aussi avec des réunions de noyaux, mais je lui ai fait remarqué à la fin que ça marchait pas sur les corps finis (une nouvelle fois lol).

    Comment vous montrez que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont co-diagonalisables ?
    - Alors il y a deux preuves, une un peu chiante où on montre que les sous espaces propres de l'un sont stables par l'autre et on montre que la restriction à un espace stable d'un endomorphisme diagonalisable reste diagonalisable ... (il me coupe)
    - Et ça se démontre comment ? (je réponds il me dit ok)
    - Mais moi je préfère la démo où on fait une récurrence sur la dimension de l'espace car on a pas besoin de démontrer ces deux propriétés.
    - Montrez moi.
    - (Je fais la démo ... ) Ah ouais, en fait on a besoin de montrer les mêmes propriétés ....
    - Oui ...
    - Bon au moins la récurrence permet de démontrer le résultat pour un nombre quelconque d'endomorphismes.
    - C'est vrai.

    On va passer aux exercices : Quel est le stabilisateur de l'identité pour l'action de congruence ? (j'ai pas compris l'intérêt de la question, la personne qui m'a posé la question m'a dit ok quand j'ai donné la réponse mais à mon avis elle s'est trompée dans son énoncé d'exercice car là il n'y avait vraiment rien à faire ...)

    Ensuite lors des dix dernières minutes on m'a donné un gros exercice en me guidant avec des questions : montrer que tout sous algèbre des matrices complexes telle que tous ses éléments sont diagonalisables est commutative. C'était assez laborieux, il y avait une récurrence à faire pour avoir une expression avec des nilpotentes et des trucs dont je me souviens plus.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury est très sympathique, il fait remarquer gentiment quand on dit des bêtises ou quand on oublie une hypothèse.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On a un peu moins de trois heures pour préparer. Sinon RAS.

  • Note obtenue :

    15

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    150 : Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de d'Alembert-Gauss par la compacité [no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Développement: On m'a demandé de justifier l'initialisation d'une récurrence et pourquoi fermé + borné => compact en dim finie

    Plan : Je n'avais pas top insisté dans mon plan sur la partie "fonctions symétriques élémentaires" donc ils ont fait un gros focus dessus durant l'entretien.
    Questions :
    - pourquoi parle-t-on de fonctions "symétriques"?
    - résolution d'un système avec 3 inconnus où il fallait utiliser les fonctions symétriques élémentaires (sans me le dire évidemment ;) )
    - trouver les racines d'un polynôme de degré 3 sans racine évidente
    - f endomorphisme de E, un R-ev, tel que f²=Id. Montrer que E est de dim paire

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très souriants dès le début, très encourageant et bienveillants tout du long.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation : le président du jury est présent et très rassurant lors de notre premier tirage, la salle des tirages est séparée de la salle de préparation, personne ne vérifie si nos livres sont annotés, on se ballade comme on veut dans les couloirs à la recherche des livres qu'on veut (et il y en a beaucoup !!)
    Jury : on nous prend nos leçons et tous nos brouillons à la fin de l'épreuve pour les jeter

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'ai fait des erreurs de notation dans mon développement et dans mon plan, notamment un problème de définition du symbole de Legendre ; on a passé un certain temps - 10/15 minutes je dirais - à remettre tout ça en ordre. POur ce qui est des questions, je me souviens de celles-ci :
    - Expliquer rapidement la démonstration de la classification des formes quadratiques sur un corps fini
    - 15 est-il un carré modulo 37 ? (et montrer que le symbole de Legendre est multiplicatif)
    - Donner une application du théorème de Cauchy sur les groupes : je n'en avais pas, j'ai fais quelques remarques sur le résultat (notamment dit que c'était une réciproque partielle du théorème de Legendre) ; on m'a demandé d'expliquer pourquoi dans un groupe abélien fini le produit de 2 éléments dont les ordres sont premiers entre eux est un élément d'ordre le produit des ordres, avec un contre-exemple dans le cas non abélien
    - A la fin : s'inspirer de la démonstration du théorème des 2 carrés pour trouver les nombres premiers irréductibles dans Z[sqrt(d)] ; après quelques remarques et indications, le temps était écoulé.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury globalement souriant, plutôt vers la fin qu'au début je dirais, mais jamais désagréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    C'était le 1er jour de canicule, j'ai dû aller me mettre de l'eau sur le visage plusieurs fois pour ne pas avoir trop chaud ; il faut bien penser à boire et à manger pendant la préparation (on oublie facilement dans ces circonstances) pour éviter de se sentir faible devant le jury

  • Note obtenue :

    17.75

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Je pense avoir fait un plan riche que je ma^trisais bien, et les questions ont
    principalement tourne autour, ce qui fait que je m'en suis bien sorti. La seule
    question qui ne ressemblait a rien de ce que j'avais deja vu je n'ai pas reussi a
    y repondre!
    Dans mon plan je parle de generateurs de Gl(E), O(E)...etc avec des appli-
    cations a la structure de ces groupes, je reduis les matrices orthogonales et
    unitaires et les deux parties que je prefere et sur lesquelles j'aimerais ^etre inter-
    roge sont le denombrement sur les corps nis gr^ace a des actions de Gln(Fq) et
    les representations de groupe.
    Je propose en developpements la surjectivite de l'exponentielle matricielle com-
    plexe via Dunford que je montre dans le dev, et la decomposition polaire dans
    Gln(R)+ application a unitairement semblables implique orthogonalement sem-
    blables (pour deux matrices reelles)+ application a la reduction des matrices
    orthogonales en partant de celle des unitaires.
    Ils choisissent le deuxieme dev, je le fais dans le temps imparti, rien de special
    a dire (la montre electrique au poignet pour se chronometrer aide bien).
    Les questions:
    Jury: dans votre dev vous utilisez l'existence et l'unicite d'une racine symetrique
    de nie positive, comment montreriez-vous ce resultat?
    Moi: pour l'existence on fait comme ca (je commence a detailler l'unicite au
    tableau).
    Jury: ok, nissez d'expliquer a l'oral (je le fais).En quoi votre dev est pertinent
    par rapport a la lecon?
    Moi: deja on montre et on utilise la decomposition polaire qui nous dit que
    quand on restreint l'action par translation a gauche de Gln(R) sur lui-m^eme a
    On(R), chaque orbite contient une unique matrice de nie positive.Et aussi...
    Jury:ok c'est ce que je voulais entendre.Soient a et b des reels tels que a2+b2 6= 0
    et A =
    a

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    19

  • Leçon choisie :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Autre leçon :

    155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    On m'a demandé de détailler pour quelle raison un groupe $G$ dont le quotient par le centre est cyclique, est nécessairement abélien.

    Sur le plan :
    Commentaires sur la table de caractères de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ils attendaient que je dise qu'il s'agit d'une matrice de Vandermonde. Je n'ai pas su l'interpréter cependant, mais nous sommes passés à autre chose.
    Démontrer que le groupe dual de $\mathfrak{S}_n$ est d'ordre $2$ (ie on ne trouve que la signature et le caractère trivial) pour $n\geq 2$.
    Expliquer l'identité $\mathcal L(E,F)^G = \operatorname{Hom}_G(E,F)$.
    Comment démontrer qu'une représentation est irréductible ? (On calcule la norme du caractère associé) Illustrer ce principe avec la représentation standard de $\mathfrak{S}_5$.
    Peut-on lire des informations sur la table de caractère d'un groupe ? (Oui, on peut repérer les sous-groupes distingués. On ne m'a pas demandé de preuve mais juste d'expliquer, et d'illustrer sur un exemple)
    Commentaires sur le théorème de Maschke : comment marche-t-il ? Est-il encore vrai dans d'autres contextes (ie on quitte $\mathbb C$).

    Pas d'exercice à proprement parler.

    Sur les cinq dernières minutes, on est partis en terre inconnue sur ce qu'on pourrait dire de représentations de groupes infinis. On m'a demandé de donner des exemples de représentations de $SO_2(\mathbb R)$ (abélien, on s'attend à ce que les irréductibles soient de degré $1$) et de $SO_3(\mathbb R)$. C'était des questions assez informelles sur la toute fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant. J'ai été surpris par les questions qui m'ont été posées: toutes portaient sur le plan, aucun exercice, et des questions assez ouvertes. On m'a plus souvent demandé si je connaissais un résultat plutôt que si j'en connaissais la preuve.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de l'élément primitif en caractéristique 0

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Aucune question sur le plan, aucune question sur le développement.

    1) Vous dites qu'en caractéristique nulle, un polynôme irréductible sur un corps $K$ est scindé à racines simples sur son corps de décomposition. Avez-vous un contre exemple dans le cas des corps finis ?
    J'ai d'abord donné le premier exemple de polynôme en caractéristique p qui me venait, $X^p-1$, j'ai expliqué que la dérivée était nulle mais j'ai réfléchi et ait remarqué que ce polynôme n'est pas irréductible ^^ Je me suis alors souvenue vaguement du contre exemple pas trivial, il faut se placer sur $K= \mathbb{F}_p(X^p)$ et considérer $T^p-X^p \in K(T)$. Il avait l'air content que je connaisse cet exemple alors il m'a aidé à le retrouver.

    2) Vous dites dans votre plan que les corps de ruptures sont isomorphes, pouvez-vous expliciter l'isomorphisme ?
    Il faut prendre l'isomorphisme qui envoie une racine sur l'autre et qui fixe le corps de base. C'est bien un isomorphisme car il transporte une base sur une base.
    - Si on prend un polynôme dans un corps de rupture $K(a)$, pouvez-vous donner son image par cet isomorphisme dans le corps de rupture $K(b)$ ?
    Il suffit d'écrire le polynôme et d'appliquer le morphisme.
    - Si on prend deux polynômes de degré $(n-1)$ dans $K(a)$ et qu'on fait leur produit, on va avoir un polynôme de degré $(2n-2)$ dans $K(a)$, alors que vous dites que la base de $K(a)$ est donnée par $(1,a,a^2,...,a^{n-1})$, pouvez-vous expliquer?
    Il s'agit de considérer le polynôme minimal de $a$ sur $K$ qui est de degré $n$, et d'expliquer que dans $K(a)$ il est nul, donc on peut exprimer les termes de degré $n$ et plus en fonction de ceux de degré inférieur à $n-1$.
    - Est ce que $K(a)$ et $K(b)$ sont isomorphes en tant que corps ?
    J'ai répondu que je pensais que non, mais je n'étais pas sûre, et je n'avais pas d'argument qui me venait. On est passé à l'exercice suivant. (la réponse est oui)

    3) On considère le polynôme $X^3-3$ dans $\mathbb{Q}$ (je l'avais mis dans le plan en application des extensions cyclotomiques). Quels sont les corps de ruptures complexes ?
    J'ai commencé par décomposer le polynôme dans $\mathbb{C}$ avec les racines troisième primitive de l'unité. Ensuite j'ai fait le petit diagramme avec $\mathbb{Q}(j)$, $\mathbb{Q}(^3\sqrt{3})$ et le corps de décomposition $\mathbb{Q}(j,^3\sqrt{3})$. J'ai raconté les degrés en utilisant Eisenstein et le fait que $j$ était complexe (les arguments classiques) et bon je me suis quand même retournée pour savoir si c'était bien ça qu'il voulait parce que je crois que j'avais un peu oublié la question (j'étais lancée ^^). Il m'a dit de continuer, et a reposé la question sur les corps de rupture complexes. J'ai donc donné $\mathbb{Q}(j*^3\sqrt{3})$ et $\mathbb{Q}(j^2 * ^3\sqrt{3})$, puis il m'a demandé le lien avec $\mathbb{Q}(^3\sqrt{3})$. J'ai expliqué qu'ils étaient isomorphes, il m'a alors demandé s'ils étaient égaux. J'ai répondu que non, l'un était réel, l'autre complexe. On a ensuite changé d'exercice.

    4) Vous donnez un théorème de construction des corps fini en utilisant les polynômes irréductibles sur $\mathbb{F}_p$, mais vous donnez l'énoncé du dénombrement des polynômes seulement après. Vous supposez donc qu'il en existe déjà pour les construire ?
    J'ai expliqué que je trouvais intéressant de d'abord donner la méthode de construction en supposant qu'on a un polynôme, et d'ensuite dire qu'en plus on pouvait toujours le faire grâce au dénombrement, puisque avec la formule qui donne le nombre de polynôme irréductible unitaire sur $\mathbb{F}_p$ par récurrence, on pouvait montrer que ce nombre était strictement positif.

    5) Pouvez-vous construire $\mathbb{F}_9$?
    J'ai expliqué le principe (j'ai d'abord dit qu'il fallait prendre un polynôme de degré 3, je commençais à fatiguer alors il m'a dit d'écrire ^^). J'ai pris $X^2-X-1$, et j'ai écrit tous les éléments de $\mathbb{F}_9$ (on prend une racine $\alpha$ de $X^2-X-1$ et on écrit tous les polynômes de degré inférieur strictement à 2 évalués en alpha). Ils m'ont demandé ensuite de multiplier deux éléments entre eux, puis de trouver l'inverse de $\alpha$. J'ai cherché au pif (et avec de la chance ai trouvé en deux coups), mais ils m'ont demandé s'il n'y avait pas plus simple. J'ai vu que j'avais écrit $\alpha^2-\alpha-1=0$, alors j'ai remarqué qu'en factorisant on avait immédiatement le résultat... ^^
    - A quel autre domaine de l'algèbre cela vous fait-il penser?
    J'ai d'abord dit à la théorie des codes que j'avais étudié en M1 mais bon, impossible d'en dire plus ^^
    Il m'a suggéré l'algèbre linéaire, avec les polynômes minimaux, etc. Ils m'ont donné une écriture, $A^5+3A^3-2A=I_n$ avec $A$ une matrice, et demandé d'en trouver l'inverse (factoriser par $A$). Ils ont continué dans cette voie mais je ne me souviens plus bien des énoncés, et c'était la fin de l'oral.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Plutôt gentil, en fait il y en avait essentiellement un qui parlait. Un des trois n'a presque rien dit, mais il souriait tout le temps et la troisième était un peu plus sèche, mais pas méchante.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'étais plutôt contente en sortant, j'ai dit quelques conneries mais je n'ai eu aucun blanc, j'avais une idée de réponse pour chaque question. Pour la préparation, je me suis remémorée le plan entre le tirage et le moment où on était dans la salle de préparation, puis j'ai écrit ma leçon en 1h45, écrit mes développements en 20 minutes et eu le temps de revoir quasiment toutes les preuves des propositions que j'avais mises dans le plan.

  • Note obtenue :

    12.25

  • Leçon choisie :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries d'un espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un échange (très) détaillé est disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas trop agréable, avec des visages très fermés même si j’ai réussi à décrocher un sourire à un des trois sur l’histoire d’un Fp-espace-vectoriel de dimension fini. Pas beaucoup d’aide pour répondre, j’ai du tout chercher tout seul. Des fois, ça allait vite, des fois un peu moins.Sur le coup, ça ne m’a pas marqué, mais avec le recul, je me suis rendu compte que je n’ai pas eu beaucoupde questions sur les polynômes irréductibles, mais surtout sur de la factorialité, le pgcd, les éléments/idéaux irréductibles et premiers, corps finis, etc

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Autre leçon :

    107 : Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein + application à l'irréductibilité de $\Phi_p$ [no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Niveau développement, le jury avait le choix entre : "Le critère d'Eisenstein et l'application à l'irréductibilité de $\Phi_p$" ou "Le théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)"...

    J : Sur le développement, pourquoi $p$ divise les coefficient $q_i$ et $r_i$ ? Par exemple que se passerait-il si $p=8$ ?
    R du candidat : En particulier comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps pour $p$ premier, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$ est un anneau principal donc factoriel et il y a alors l'unicité de la décomposition en irréductibles. Pour $p=8$, j'exhibe un contre-exemple simple, ce qui montre l'importance de $p$ nombre premier. (Le jury ne semble pas convaincu).

    J : Rappeler pourquoi $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour $k\in [1,p-1]$ ? (Par rapport à l'irréductibilité de $\Phi_p$ toujours dans l'application de mon développement).
    R du candidat : J'écris l'égalité du coefficient binomial à sa forme fractionnaire et fait passer le dénominateur de l'autre côté afin d'appliquer le lemme de Gauss élémentaire sur la divisibilité. Ils voulaient plus de précision, j'ai donc utilisé le théorème de Wilson (c'était dans mon plan) en précisant qu'on peut le démontrer par Bézout, pour justifier totalement la divisibilité initiale. (Le jury dit ok).

    J : Sur le plan pédagogique pourquoi avoir fait une sous-partie "nombres premiers entre eux" ?
    R du candidat : Je trouve que le titre "nombres premiers" est pas suffisamment précis, donc je trouve que c'est plutôt légitime d'en parler un peu. D'ailleurs je l'ai aussi fait, car si on prend le cas de deux nombres premiers, ils sont forcément premiers entre eux, et cela permet d'obtenir d'autre propriétés intéressantes sur l'arithmétique des entiers telles que le lemme chinois avec les problèmes de congruences ou encore les équations diophantiennes de degré 1. (Le jury dit ok).

    J : Comment savoir si un nombre est premier ?
    R du candidat : Je précise dans mon plan, qu'en partie 4, j'ai parlé de trois tests importants de manière logique et progressive dont un probabiliste (Fermat, Euler et Solovay-Strassen) mais qu'il existe des tests plus basiques comme le crible d'Eratosthène ou encore celui de la méthode des diviseurs premiers jusqu'à la partie entière de la racine du nombre. Exemple sur 113 où j'en profite pour rappeler les règles de divisions par $2$, $3$ et $5$ et aussi comment la division euclidienne peut être utile. (Le jury dit ok).

    J : D'ailleurs, pour une équation diophantienne de degré $1$, y a-t-il unicité du couple de solutions ?
    R du candidat : Non d'après le théorème de Bézout, il existe une infinité de couple d'entiers qui vérifie par exemple l'équation $ax+by=1$. On essaye par exemple sur $a=5$ et $b=7$ où on trouve des solutions particulières à la main (petits nombres) et on applique la méthode habituelle pour avoir la forme générale des couples de solutions. Au lieu de $1$ on peut prendre $d$ entier tel que $pgcd(a,b)$ divise $d$. (Le jury dit ok).

    J : Mais sinon y a-t-il des méthodes algorithmiques pour trouver de tels couples d'entiers ?
    R du candidat : On peut commencer par utiliser l'algorithme une division euclidienne jusqu'au dernier reste non nul et on fait ce qu'on appelle une remontée de Bézout. Mais algorithmiquement c'est lourd. Sinon de manière plus efficace on peut utiliser l'algorithme étendu d'Euclide. (Le jury dit ok et ne semble pas en vouloir plus).

    J : A quel autre domaine des mathématiques vous fait penser une équation de la sorte ?
    R du candidat : On peut penser notamment au domaine de l'algèbre linéaire notamment avec le cas des systèmes affines (ici). On reprend l'exemple de $a=5$ et $b=7$ et ils me demandent le noyau "du système". On trouve bien une droite linéaire. (Le jury dit ok).

    J : Ok, prenons l'équation $x^2+y^2=7z^2$. Quelles sont les solutions entières ?
    R du candidat : Le premier réflexe que j'ai c'est de passer modulo $7$ et c'est la bonne idée. Ils me précisent que l'on fait l'hypothèse qu'un des deux est inversible modulo $7$. Donc j'arrive une contradiction avec une propriété sur les carrés modulo $p=7$ (le fameux critère $p\equiv 1 \pmod 4$). Et je précise aussi que puisque $7$ est un nombre premier, $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps donc un des deux $x$ ou $y$ est nécessairement divisible par $7$. Ils me demandent ensuite s'il n'y a pas une solution qui marche directement et je précise en effet que la triviale convient. On l'élimine donc et pour conclure l'exercice, j'ai du mettre en place comme je le précise au jury la méthode de "descente infinie" afin de terminer et s'apercevoir que seul $(0,0,0)$ marche. (Le jury dit ok).

    J : Expliquez RSA et sa sécurité ?
    R du candidat : J'explique plus en détails l'énoncé du plan car c'était peut-être mal rédigé et du coup c'est plus clair dans leur tête. Ensuite, je précise par rapport à la sécurité de RSA, que si un attaquant souhaitait intercepté le message (sans clé privée bien sûr) il devrait extraire une racine $e$-ième modulo $p$. C'est un problème type "log discret" qui est généralement "difficile". (Le jury dit ok).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils étaient corrects et bienveillants. Ils m'ont donné des petites indications quand je mettais un peu de temps à répondre mais ils laissaient le temps de s'exprimer. Déçu qu'ils n'aient pas poser de questions sur la partie "théorie des anneaux" où les éléments premiers ne sont pas toujours ceux que l'on croit. Dommage car c'est une partie intéressante mais bon... Les trois jurys ont participé a la discussion. Au final, je pensais m'être débrouillé et avoir fait un oral correct (je pensais avoir au moins la moyenne par exemple) mais au vue de la note finale, on peut se fier à rien et encore moins à leur attitude (peut-être qu'ils n'ont pas accroché à mon approche de cette leçon, je ne sais pas). C'est la vie :'( ...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Il faut compter environ 2h40 pour composer (chercher les livres dans les malles ou dans son sac et faire attention au moment des photocopies). J'avais préparé sérieusement cette leçon pendant l'année en classe (de base j'étais allé plus loin, notamment dans les tests de primalités et les notions de factorisation de grands nombre ainsi que dans le domaine des racines modulo $p$) mais le jour-j, avec le stress, on en sait un peu moins que d'habitude et donc j'ai mis les résultats où j'étais sûr. Mais bon je ne sais pas si ça a changé grand chose au final. Donc je recommanderais, de bien s'entraîner au format 3h pendant l'année pour avoir aucune surprise...

    Sinon les surveillants dans les salles et ceux qui mènent à "l'abattoir" sont sympathiques et disponibles !

  • Note obtenue :

    4.25

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (via les formes quadratiques)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur la loi de la réciprocité quadratique : idée de la preuve de la classification des formes quadratiques sur un corps fini, l'histoire de l'hyperplan affine pour le dénombrement.
    Questions sur le plan : donner un exemple de groupe toujours abélien, j'ai dit les groupes d'ordre p^2, ils m'ont demandé de le montrer.
    Exercices : 1. Si on prend une permutation qui s'écrit comme produit de r transpositions à supports disjoints dans Sn, je devais dénombrer le nombre de permutations de Sn qui commutaient avec, c'était quelque chose comme r!(n-r)!2^r
    2. Dans Sp, p premier, combien y-a-t-il de sous groupe d'ordre p ? (p-2)!

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant, patient lorsque je n'arrivais pas à répondre, sans pour autant me laisser m'éterniser sur ce que je n'arrivais pas du tout à faire

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je m'attendais à plus de questions sur la théorie des groupes, mais le jury a préféré suivre mon développement qui fait plutôt du dénombrement et donc mes questions étaient essentiellement du dénombrement. J'avais bien relu les preuves sur les p-groupes pendant la préparation, et ça n'a pas été inutile !

  • Note obtenue :

    17

  • Leçon choisie :

    144 : Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Suites de Sturm

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On me demande de tester l'algorithme de Sturm sur un polynôme à 2 inconnues, de degré 3. Je fais toutes les divisions euclidiennes au tableau le jury avait l'air de les faire aussi sur un papier.. A la fin personne n'a trouvé le même résultat --> on passe à autre chose !
    Petite remarque du jury sur le fait que les symétries vectorielles ne sont pas forcément diagonalisables en caractéristique 2.
    On me demande à quelle moment l'hypothèse de la caractéristique 0 intervient lors de la preuve de la caractérisation d'une racine d'ordre k avec le polynôme dérivé. Je galère comme un naze, ils m'aident beaucoup.
    Ils me demandent un contre ex si on est en carac p : il était dans mon plan.
    Enfin on me pose un exo de dénombrement d'un ensemble ( qui était l'ensemble des zéros de 3 polynomes à 2 indéterminés je crois) on me fait poser une application chelou et je devais montrer qu'en fait l'ensemble c'était l'image réciproque de 0 par cette application. Ca a dérivé sur les corps finis j'ai pas tout suivi...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Extraordinairement gentil et aidant alors que j'étais trop naze.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas vraiment, il y avait une erreur au tout début de mon développement que je n'avais jamais remarqué donc ça met pas à l'aise.
    J'ai beaucoup hésité et j'ai l'impression que le jury m'a pas mal aidé. Je ne m'attendais pas à avoir une telle note avec ce que j'ai fait. Comme quoi, ne vous découragez pas même si vous pensez avoir râté !!!!!!

  • Note obtenue :

    14

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Polya

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    C'était mon premier oral, j'étais très stressée donc je ne me rappelle plus très bien des questions. Celle à laquelle je n'ai pas pu répondre m'a marquée : en définitive il fallait donner l'ordre d'un élément de Z/nZ et je ne trouvais pas, ce qui me stressait, ce qui faisait que j'avais encore moins de chances de trouver... Du coup, conseil : révisez les résultats de base ! Je me rappelle quand même de trois autres questions, mais j'en ai eu environ sept au total : la première question toute bête (c'est un classique à l'agreg), en l'occurrence "Que donne le théorème de structure des groupes abéliens finis pour Z/15Z ?" (que Z/15Z est isomorphe à lui-même (et l'unicité de l'écriture comme dans le théorème)); j'ai aussi eu "Que pouvez-vous dire sur la structure du groupe alterné A_n ?" (que A_n est simple pour n=3 et n>=5 (mais pas pour n=4, cf. les doubles transpositions (avec l'identité))) et "Que dire de Phi qui va de [1,1] x ... x [1,n] (intervalles d'entiers) dans S_n qui à (a_1,...,a_n) associe (1 a_1) (1 a_2) ... (1 a_n) ?" (elle est bijective).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très poker face (alors qu'en général les jurys sont souriants), et qui a grimacé quand je n'ai pas réussi à donner l'ordre d'un élément de Z/nZ. Le jury a essayé de m'aider un peu mais ça n'a pas marché; j'ai eu l'impression de passer beaucoup de temps dessus, comme je bloquais complètement j'aurais préféré que le jury passe à autre chose (mais bon ça se comprend qu'ils s'attendent à ce que j'arrive à trouver l'ordre d'un élément de Z/nZ; c'est juste qu'avec le stress du jour J, on n'aime pas du tout bloquer sur un truc simple et on préférerait zapper).

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le temps passe très très vite pendant la préparation; je trouvais mon plan très incomplet quand il était temps de le donner (c'est triste quand on a plein de choses à dire sur un sujet et qu'on n'en a dit qu'un tiers...). J'étais surprise que le jury ne soit pas plus encourageant (pendant les oraux blancs et après pendant les deux autres oraux que j'ai passés les jurys étaient toujours encourageants). Vu ma note le jury devait être plus content que ce qu'il laissait paraître.

  • Note obtenue :

    16.25

  • Leçon choisie :

    157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.

  • Autre leçon :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère de nilpotence de cartan [ no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -Ils ne connaissaient visiblement pas le critère de nilpotence de cartan ( qui se trouve dans le beck) et ont même cru pendant quelques (longues) minutes que m'ont énoncé était faux et m'ont donc fait écrire l'énoncé au tableau jusqu'à se rendre compte qu'il n'y avait aucune erreur (ouf).
    Mon developpement s'est bien passé. Ils m'avaient demandé avant de me lancer si je pouvais, si le temps me le permettait, prouver le lemme dont je me servais à la fin. Après mon developpement je leur ai proposé de leur montrer, mais ils n'ont finalement pas voulu.
    Ils m'ont ensuite demandé comment il pouvait être utile concrètement ( j'ai dis que c'était un lemme important dans la théorie des algèbres de Lie) et ont demandé une version plus faible qui serait plus directement utile, j'ai donc dis qu'on en déduisait le fameux critère : si A tq pour tout k on a tr(A^k)=0 alors A nilpotent.
    Ensuite, j'avais marqué dans mon plan un exemple de matrice qui n'était pas diagonalisable dans R ( la fameuse (01)(-10)) sauf que j'avais oublié le - et que je n'arrivais pas à comprendre mon erreur. Ils ont donc voulu une interpréation de la matrice en terme géométrique pour que je vois les valeurs propres. (A la toute fin je me suis rendue compte que ah oui en fait elle est symétrique donc ce que je disais choquait...)
    Ensuite je ne me souviens plus clairement mais dans mon plan j'avais parlé de symétrie vectorielle et ils m'ont demandé de le representer et j'ai beaucoup buggé, n'arrivant pas à m'absoudre des symétries orthogonales. J'avais mis de la topologie dans mon plan alors ils m'en ont parlé et j'ai dis des enormes conneries mais m'en suis heureusement rendu compte avant la fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était extremement sympathique. Malgré un membre qui était assez froid, les autres étaient sincèrement de bonne humeur mais c'était très agréable !

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Chose à savoir : on a droit à nos notes de cours pendant l'oral ! Pas pendant le developpement evidemment mais pendant la séance de questions.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

    Résultat : 11/20

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

    Résultat : 11/20

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Autre leçon :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes distingués et tables de caractères

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions sur le développement, je m'en sors.

    Question 1 : Montrer le théorème de Cayley (tout groupe G de cardinal n s'injecte transitivement dans le groupe symétrique de taille n). Je répond correctement.

    Question 2 : Montrer que le quotient S4/H où H est le groupe composé des doubles transpositions et de l'identité, est isomorphe à S3.

    Indication: Faire agir S4 par conjugaison sur H. Même avec l'indication, je peine.

    Réponse : On voit que, puisque cette action fixe H qui en est le noyau, on peut, avec le premier théorème d' isomorphisme exhiber un morphisme de S4/H dans S3 (car il y a trois classes de conjugaisons restantes et l'action par conjugaison envoie une classe de conjugaison sur une autre).

    Question 3 : Quel groupe est isomorphe à l'ensemble des isométries directes du tétraèdre régulier ? Prouvez le ? Je sais que c'est S4. Mais je n'arrive pas à visualiser correctement quelle symétrie correspond à quelle permutation.

    Idée 1: On peut se ramener aux isométries vectorielles car une isométrie affine qui fixe quatre points fixe leur barycentre. Il suffit donc de considérer les isométries vectorielles dont l'origine est le barycentre du tétraèdre régulier.

    Idée 2: Trouver une symétrie qui effectue une permutation entre deux sommets, qui correspond donc à une transposition.

    Idée 3 : Puisque les transpositions engendrent S4, on a une surjection de S4 dans le groupe des isométries du tétraèdre régulier. Puis voir qu'un endomorphisme qui fixe les quatre sommets du tétraèdre fixe une base. C'est donc l'identité. D'où l'injectivité.

    Je sèche sur les idées 1 et 2 mais j'arrive à donner la conclusion (idée 3).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury aidant mais l'un d'eux est assez pressé et me laisse peu de temps pour réfléchir à ses questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'avais parlé de représentations mais je ne pensais pas être interrogé sur la géométrie affine et les isométries du tétraèdre.

  • Note obtenue :

    11

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    105 : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Polynômes irréductibles sur Fq

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    -commenter le résultat de mon développement (proba qu’un polynôme unitaire dans Fq pris au hasard soit irréductible)
    -Pourquoi le cardinal d’un corps fini est nécessairement une puissance d’un nombre premier ?
    -Comment on construit un corps fini ?
    -Sur certains exemples trouver le polynôme minimal
    -Déterminer le polynôme minimal de u+v connaissant ceux de u et de v (exo classique voir Ortiz) (une méthode avec le résultant existe si on travaille sur Q, cf Rombaldi)
    -Retrouver le degré d’une extension (2 exos dont un qui utilisait l’irred des polynômes cyclotomiques)
    -Démo du thm de l’element primitif en carac finie puis en carac 0 (en carac nulle je connaissais le résultat mais pas la démo le jury est passé à une autre question)

    L’autre dvpmt consistait à montrer que l’anneau des nbres algébriques est un corps (cf Perrin), j’avais hésité avec l’etude des polynômes cyclotomiques.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Bienveillant, un des membres augmentait le tempo pour me déstabiliser et me tendait qqes pièges mais il y a eu un vrai échange et un peu d’aide parfois quand c’etait utile. Rythme assez rapide concernant l’enchainement des questions.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, questions très classiques et assez prévisibles. J’ai eu le temps de faire qqes exos durant la préparation qui m’ont bien servi, si vous pouvez prendre 10 mins pour lire des exos (Dans le Ortiz c’est tout indiqué pour cette leçon) c’est vraiment rentable.
    Remarque: la préparation c’est plutôt 2h40, pour écrire le plan et on a 5-10mins sans le plan (parti à l’impression) pour finir de réviser les dvpmts (par exemple)

  • Note obtenue :

    15.25

  • Leçon choisie :

    102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

  • Autre leçon :

    122 : Anneaux principaux. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Prolongement des caractères et classification des groupes abéliens finis

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de demandes de clarifications sur des choses extrêmement simples que j’avais énoncées dans mon plan ou dans mon développement (par exemple : « qu’est-ce que l’ordre d’un élément d’un groupe ? », « pouvez-vous énoncer le théorème de relèvement C1 ? », etc.).

    Une partie significative (peut-être dix minutes ?) de l’échange a consisté à redémontrer un lemme que j’avais admis pour la preuve de mon développement, a savoir que dans un groupe abélien fini, il existe un élément ayant pour ordre l’exposant du groupe. J’ai été très fréquemment coupé dans ma démonstration par le jury qui voulait des exemples, des précisions, des liens avec d’autres théorèmes, etc.

    J’ai également eu beaucoup de demandes de preuves des résultats les plus simples énoncés sans preuve : pourquoi les valeurs d’un caractère d’un groupe abélien fini sont-elles des sommes de racines de l’unité ; démontrer l’existence et l’unicité de la décomposition polaire d’une matrice réelle inversible…

    Quelques exercices très simples et questions proches de mon plan appelant seulement des exemples ou contre-exemples m’ont été posées, notamment (je ne me souviens pas de tout) : le fait que dans un groupe abélien fini, il existe un élément d’ordre l’exposant reste-t-il vrai si le groupe n’est plus supposé abélien ? Les noyaux de Dirichlet constituent-ils une approximation de l’unité ? Comment peut-on démontrer les identités trigonométriques de base à partir de la définition du sinus et du cosinus en séries entières ?

    Le seul exercice un peu élaboré qui m’ait été posé est : que peut-on dire d’un morphisme de groupes (U,×) ⟶ (U,×) (où U est le groupe des racines de l’unité). Je n’ai malheureusement pas réussi à faire l’exercice, pour cause de stress et canicule, et le jury m’a fait passer à autre chose, ce qui fait que j’ai été surpris de ma note…

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Trois jurés qui se répartissaient assez bien les rôles, chaque membre ayant visblement sa préférence dans mon plan, si bien qu’ils m’ont posé des questions sur des sujets assez distincts. Posture assez neutre : ni particulièrement sympathique, ni cassant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Je passais l’agrégation en candidat libre, et n’avais jamais fait d’oraux blancs ni assisté à des oraux. C’était ma dernière épreuve, après ma leçon d’analyse et l’épreuve de modélisation.

    J’ai été surpris par le fait que mes développements, que je connaissais pourtant bien, m’ont « échappé », et j’ai perdu facilement une demi-heure à tenter de retrouver un bout manquant du théorème de Wantzel, que j’ai finalement abandonné pour présenter celui sur les caractères de groupes abéliens finis.

    Dès lors, assez peu de temps disponible pour relire mon plan, ce qui fait que j’ai laissé quelques erreurs, en particulier sur l’énoncé de mon développement (oubli d’une hypothèse d’abélianité du groupe, je crois) : j’ai donc fait tout mon développement avec l’hypothèse omise, et le jury a semblé offusqué du fait que j’aie incorrectement écrit mes hypothèses. Je me suis rattrapé dès que le jury m’a tendu une perche, mais je pensais avoir beaucoup perdu pour cette raison (spoiler : non).

    Autre conséquence de ce manque de temps : pas eu le temps de bien réfléchir à ce sur quoi je voulais insister dans ma défense de plan, et ma présentation a donc assez peu apporté à l’écrit. En particulier, je n’ai pas du tout réussi à insister sur la partie qui m’intéressait le plus (cyclotomie et théorème de Wantzel), si bien que je n’ai eu aucune question à ce sujet pendant l’oral.

    Un point important, qui concerne mes deux oraux : ce sont manifestement les thèmes développés qui étaient proposés dans le rapport de jury qui ont appelé le plus de développements. Je pense qu’il vaut donc mieux ne suivre les pistes proposées dans le rapport qu’à condition d’avoir un peu de bouteille…

    Cela dit, il paraît clair avec du recul que sur un sujet aussi simple, maîtriser deux développements pertinents assurait de pouvoir avoir une bonne note, les trois heures servant simplement à organiser les idées et exemples venant de multiples champs des mathématiques…

  • Note obtenue :

    20

  • Leçon choisie :

    104 : Groupes finis. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    159 : Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Sylow (version opération de groupes)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Lors du développement (14’40”) j’ai démontré les 4 points suivants (où G est un groupe de cardinal p^α m) :
    1. Existence d’un p-Sylow,
    2. Un p-sous-groupe est toujours inclus dans un p-Sylow,
    3. Les p-Sylow sont deux à deux conjugués, donc il y en a un unique si, et seulement si, il est distingué,
    4. Leur nombre k vérifie k ≡1 mod p et k|m.

    Questions sur le développement :
    — Dans le premier point, vous utilisez Stab(aS) = aSa^−1. Expliquez-nous cette égalité. Je l’ai démontré par double inclusion.
    — Dans le quatrième point, pourquoi T est distingué dans N ? On fixe S un p-Sylow et on considère T tel que ∀s ∈ S, sTs^−1 = T. On pose N =< S,T >. Soit H = {n ∈ N, nTn^−1 = T}, alors H est un groupe (à bien justifier, le jury m’attendait sur le fait que H est stable par inverse) contient S par hypothèse, mais aussi T. Donc H = N, c’est-à-dire T distingué dans N.

    Questions, exercices :
    — Déterminer les p-Sylow de S4. On a 24=2^3 * 3. On commence par les 3-Sylow. Ce sont des groupes d’ordre 3. Comme les seuls éléments de S4 d’ordre 3 sont les 3-cycles (au nombre de 8), on a quatre 3-Sylow : (< σi >)1≤i≤4, avec σ1,σ1^- 1 ,σ2,σ2^-1 ,σ3,σ3^-1 ,σ4,σ4^-1 les huit 3-cycles. Pour les 2-Sylow je sais que c’est plus dur. Soit G un 2-Sylow. Notons V4 le groupe engendré par les doubles transpositions. Indication du jury : montrez que G contient V4, une transposition et un 4-cycle. Soit τ une transposition, par le point 2 du développement il existe H un 2-Sylow contenant < τ >. Comme G= σHσ^−1 (point 3 du développement), alors G contient la transposition στσ^−1. De même G contient un 4-cycle. Comme V4 est distingué dans S4 (à expliquer au jury) alors le même raisonnement donne V4 ⊆G. On s’est arrêté là avec le jury. Mais quelques calculs dans S4 montrent que les trois 2-Sylow sont :
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(24),(13)}
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1324),(1423),(12),(34)}
    — {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1342),(1243),(14),(23)}

    — Un produit de groupes cycliques est-il cyclique? Non. J’ai précisé dans le plan qu’il y a équivalence dans le théorème Chinois.

    — Pourquoi Fq* est-il cyclique? J’ai proposé deux méthodes. La première utilise le théorème de structure des groupes cycliques permettant d’obtenir la formule n = somme sur d|n des ϕ(d). On conclut comme dans le Perrin (page 74). La seconde passe par le théorème de structure des groupes abéliens finis. On écrit Fq* isomorphe à Z/a1Z ×···× Z/arZ avec 2 ≤ ar|···|a1, de sorte que ∀x ∈ Fq*, x^a1 = 1. Ainsi Fq* ⊆{racines de X^a1 −1} de cardinal au plus a1 (on est sur un corps commutatif). D’où a1···ar = q−1≤ a1, donc a2 =···= ar =1. Finalement Fq* est isomorphe à Z/a1Z cyclique.

    — Déterminer le groupe dérivé de GLn(k) pour k corps commutatif. Intérieurement je me dis que l’on peut avoir à faire à des groupes infinis, mais passons. Via le déterminant on a D(GLn(k)) inclus dans SLn(k). Je dis au jury que suivant l’hypothèse sur k on a égalité. Il est satisfait. (cela est vrai sauf si k =F2 et n =2)

    — Trouver tous les groupes finis G tels que Aut(G)={Id}. Je pense tout de suite à Aut(Z/nZ) isomorphe à (Z/nZ)^× , de cardinal ϕ(n) (il m’ont demandé de redéfinir l’indicatrice d’Euler). Cela me permet de conclure que ϕ(n) = 1, c’est-à-dire n = 1 ou 2 (à expliquer au jury). Donc {1} et Z/2Z conviennent. On va montrer que c’est les seuls. Indication du jury : regardez les automorphismes intérieurs. En effet, pour tout g ∈G, l’application h |→ ghg^−1 vaut l’identité par hypothèse. Cela montre que G est abélien. Par le théorème de structure, on peut supposer G = Z/a1Z×···×Z/arZ. Si f ∈Aut(Z/a1Z), alors F :(xi mod ai)1≤i≤r |→ (f(x1 mod a1), x2 mod a2,··· , xr mod ar) est dans Aut(G), donc F=Id puis f=Id. Comme on a traité le cas cyclique au début on en déduit que a1 =1 ou 2, avec toujours 2≤ ar|···|a1. Si a1 =1,G={1}. Si a1 =2 on obtient l’existence de 1≤ s ≤ r tel que G est isomorphe à (Z/2Z)^s =F2^s, structure de F2-espace vectoriel. Dans ce cas GL_s(F2) ⊆ Aut(G) = {Id}. Finalement s =1 et G =Z/2Z. (lorsque s > 1, GL_s(F2) n'est pas trivial)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury bienveillant. Il faut absolument entretenir un dialogue entre vous et le jury. Même si vous bloquez, n'hésitez pas à lui proposer des pistes de réflexions, il vous guidera ensuite.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation :

    Pendant la préparation, je commence par réécrire mes développements (environ 45 min). Cela me permet de mettre ensuite dans mon plan les propriétés importantes intervenants dans les deux preuves. Il est préférable d’assurer 15 min de sa présentation que de vouloir rajouter une nième propriété que le jury ne lira sans doute pas. Ensuite, j’écris et j’apprends les preuves de mon plan pendant 2h. Puis il me reste un peu moins de 10 min pour relire mes développements, le temps qu’ils fassent les photocopies. Pour la défense du plan, je rédige les deux premières phrases qui me permettront de me lancer devant le jury. Je termine d’y réfléchir entre la salle de préparation et la salle de passage.

    Passage :

    Lors de la défense du plan, mettez-y du cœur et utilisez le tableau. J'ai l'impression que c'est très apprécié.
    Développement réalisé sur un grand tableau à feutre. Quand on a bien répété nos dev il n'y a pas de surprise à avoir, notamment sur les questions. Si vous choisissez tel ou tel dev, aucun doute ne doit transparaître lors de la présentation. Pendant l'année, faites les questions / exercices associés à vos dev.
    Dans mon plan (disponible sur le site) j'ai fait une dernière partie "géométrie". Aucune questions sur ce sujet.

  • Note obtenue :

    18.75

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    151 : Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Etude de O(p,q)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques remarques / questions sur mon développement, pour aller un peu plus loin. Je l'avais conclu par une remarque sur un résultat topologique qui en découlait, ils m'ont aiguillé dessus. Ensuite quelques questions sur le théorème de réduction des endomorphismes orthogonaux, arrivé par les questions précédentes justement. Ensuite un exercice traitant d'isotropie d'une forme quadratique, pas très dur et assez court mais comme c'est un thème que je n'avais pas beaucoup travaillé, j'ai bégayé et n'ai fini par y parvenir qu'après 10 minutes et l'aide du jury.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt bienveillant, pas avec un grand sourire non plus, mais pas cassant du tout. Cependant, sur les 3 membres, seul l'homme maintenait la discussion (les deux autres étaient des femmes qui ne m'ont posé qu'une seule question chacune, et n'ont plus décroché un mot ensuite...), je suppose que le sujet ne devait pas trop les brancher...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Globalement oui. il faut juste bien avoir conscience que la préparation ne dure pas 3h exactement mais 2h40. Dans les faits ce n'est pas gênant, mais mieux vaut ne pas l'apprendre le jour J. Après, ça se déroule vraiment comme un oral blanc, du moins c'est ce que j'ai ressenti.

  • Note obtenue :

    13

  • Leçon choisie :

    170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.

  • Autre leçon :

    162 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème spectral

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Beaucoup de questions sur le développement issue du Gourdon, Algèbre, puis sur des démonstrations de théorèmes du plan.
    Question sur la différence entre la définition d'ellipses du Rombaldi et du Bernis puis le jury a demandé de tracer quelques exemples d'ellipses dans le plan.
    Question sur les formes quadratiques définies, dégénérées à l'aide d'un exercice puis sur la réduction de Gauss de xy + yz + zx et questions sur le critère de Sylvester.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury a été bienveillant

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Préparation difficile dû à une chaleur élevé dans les salles de préparation
    La préparation est raccourcie de 5 min pour aller chercher les livres.

  • Note obtenue :

    7.75

  • Leçon choisie :

    154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

  • Autre leçon :

    190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Maschke

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Il n’y a eu que très peu de questions sur les représentations (que des bases, définitions, premières propriétés, exemples). La majeure partie des questions était sur la décomposition de dunford : démonstration de l’existence, détermination de la décomposition pour une matrice 2x2 triangulaire supérieure avec un paramètre alpha, complexité de l’algorithme.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était très agréable.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    13.5

  • Leçon choisie :

    152 : Déterminant. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    Pas de réponse fournie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Déterminant de Gram et inégalités d'Hadamard [no ref, no pdf]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques questions autour du développement, sur des passages où j'ai été un peu rapide en laissant les calculs de côté. Et une petite bêtise que j'avais écrit dans un des lemmes du développement et dont la preuve (bonne) ne correspondait pas à ce que je voulais montrer.
    Pas trop de questions sur le plan, plutôt des exercices.
    Un développement de déterminant, une application sur Mn(Z), applications dans le plan R2 et applications en lien avec le développement.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était globalement sympathique, il aidait si besoin et pas du tout cassant. Il faut dire que c'était durant la semaine de la canicule et que les épreuves étaient éprouvantes pour tout le monde.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de surprise particulière dans le déroulement. Attention 3h c'est très court, même si je connaissais mon plan et mes développements, on a peu de temps pour tout écrire. Mon objectif était d'obtenir la moyenne, en ce sens, maîtriser son plan son développement et répondre à quelques questions m'ont assuré du résultat.

  • Note obtenue :

    10

  • Leçon choisie :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):
  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury :
    - Lorsque l'on parle d'homéomorphisme dans la décomposition polaire, de quelles topologies parle-t-on ?
    - Quelles peuvent être les applications du théorème spectral ? Je ne vois pas ce que le jury veut me faire dire, on me demande donc à quel objet peut s'associer une matrice symétrique. Je répond donc que le théorème spectral peut servir à l'étude générale des formes quadratiques, le jury me demande de l'expliquer.
    - Expliquez pourquoi on peut simultanément diagonaliser deux endomorphismes symétriques qui commutent.
    - Montrez l'existence et l'unicité de l'adjoint. Je réponds que ça découle du théorème de Riesz-Fréchet en dimension finie, que le jury me demande de démontrer.
    - Montrez que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est ouvert dans l'ensemble des matrices symétriques. Le jury s'attendait à ce que j'utilise la caractérisation par les mineurs principaux.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, très neutre, laissait du temps pour réfléchir et n'aidait que si je ne m'en sortais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le tableau était très petit ce qui était un peu déstabilisant pour le développement.

  • Note obtenue :

    14