B90
B87
Pas de réponse fournie.
Je résume d'abord mon plan puis les questions posées, j'espère être assez clair, mais c'est difficile.
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I. Position du problème et modélisation
A. Croissance exponentielle et suite logistique
On s'intéressait à l'évolution d'une population au cours du temps. On introduisait d'abord le modèle à croissance de population constante
$$\frac{du}{dt}=\alpha u(t) $$
où u est le nombre d'individus et \alpha le taux de croissance.
Ceci mène à une solution exponentielle et donc non crédible.
On peut alors prendre en compte plusieurs phénomènes :
- la dépendance en âge, c'est-à-dire que des nouveaux nés n'auront pas le même taux de reproduction que de jeunes adultes par exemple
- la dépendance en temps, c'est-à-dire que le taux de croissance peut dépendre du temps la reproduction est plus élevé au printemps.
- les limitations du milieu, c'est-à-dire que si il y a trop de monde la population décroît car le milieu ne fournit pas assez de matériau pour subvenir au besoin de tous.
On retient la dernière considération ce qui mène à l'équation logistique :
$$\frac{du}{dt}=\alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} $$
où \alpha garde la même interprétation et \kappa est une population limite ou plutôt idéal.
On pose $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} )$
J'ai ensuite écrit le théorème de Cauchy-Lipchitz proprement au tableau, et dis qu'on pouvait l'appliquer ici. Et on remarquer trois types de comportement :
- solutions constantes
- solutions croissantes comprises entre 0 et $\kappa$
- solutions décroissantes plus grandes que $\kappa$
Ainsi, notre interprétation de la constante $\kappa$ est en adéquation avec l'étude qualitative de l'équation différentielle.
On pourrait prendre d'autres types de profil pour g, par exemple $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa}^2$:
Ici nous ne prenons pas en compte, les déplacements de population, c'est ce que nous allons faire.
B. Déplacement de population
On fait l'hypothèse que la population se répartie le long d'une axe.
Je n'ai pas établie l'équation faute de temps, mais j'ai dit que j'étais prêt à en parler à la fin de l'oral et qu'il faudrait faire un bilan de flux sur une tranche [x,x+dx] comme dans le cas de l'équation de la chaleur et utiliser une loi du type Fourier.
On est amené à l'équation :
$$ \frac{du}{dt}=\nu \frac{d^2 u}{dx^2} + g(u(x,t))$$
Même si je n'ai pas établie l'équation je donne l'interprétation des termes, c'est-à-dire que $\nu \frac{d^2 u}{dx^2}$ correspond à la diffusion et $g(u(x,t))$ à la création de population localement, ce qui apparaît nettement quand on fait le bilan.
J'ai précisé qu'il fallait se fixer des conditions aux bords comme dans l'autre équation parabolique que je connaissais : l'équation de la chaleur. Ici on fixait la dérivée égale à 0 au bords ( on se plaçait sur un segment [-L,L] )
II. Différences finies
A. Présentation et consistance du schéma
J'ai expliqué que l'idée était de changer une équation différentielle en un problème discret et donc en un système linéaire à résoudre.
Là, j'ai fait mes petits développements de Taylor pour montrer que le schéma choisi par le texte était d'ordre 2 en espace et 1 en temps ( on traitait en implicite le terme diffusif et en explicite le terme de création de population.
(J'ai essayé d'être le plus clair possible vu le dernière oral que j'ai présenté)
J'ai précisé que les conditions aux bords était d'ordre 2 en espace sans le démontrer.
Donc le schéma au total était bien d'ordre 2 en espace et 1 en temps, donc consistant ce qui invitait à définir le schéma qui était dans le texte ( là j'ai renvoyé au texte où tout était posé sans réécrire)
Il faut ensuite montrer que le schéma est bien définie, j'ai donc montrer que la matrice M qui définissait le schéma était symétrique définie positive. Là, il fallait montrer qu'une quantité du type $tV M V$ était strictement positive, si V était un vecteur non-nul.
On a donc montré que le schéma était consistant et bien défini, mais il faut encore montrer la stabilité.
B. Stabilité
On convient de dire qu'un vecteur V est positif si toutes ses composantes sont positives.
Là, on montre que $$ MV \ge 0 \Rightarrow V \ge 0 $$ par un argument sur le min des composantes de V.
Là, j'avais préparé la démonstration pour montrer que cela impliquait que les termes du schéma était toujours compris entre 0 et 1, mais il m'a dit qu'il ne me restait plus que 10 minutes, donc j'ai dit qu'on allait passer aux applications numériques, mais qu'on pourrait reparler de cela à la fin.
III. Applications numériques
A. Vitesse
On prend L=40, $\nu =1$, $\kappa=1$
Là, j'ai présenté mon schéma avec une condition initiale qui était concentrée en zéros, du type 0.8* cos(2*\pi x ) entre -10 et 10 et 0 sinon. L'animation montrait qu'il y avait diffusion sur les bords et au centre on allait rejoindre la population "idéal" $\kappa$, puis ensuite qu'il y avait diffusion quand 1 était atteint.
Ensuite, j'ai présenté une animation avec la même condition initiale que précédemment et deux $\nu$, on voyait que sur les bords la courbe avec le plus grand $\nu$ "allait plus vite". On avait donc la bonne interprétation de $\nu$ dans le bilan du début.
J'ai dit que cela pouvait être utile pour calculer la vitesse de propagation du population d'animaux sauvages, etc.
B. Ondes progressives
Le texte montrait qu'il existait une onde se déplaçant en tanh(c(x-\lambda*t)) pour des c et \lambda convenables , j'ai montré mes graphes avec encore une animation, où l'on voyait la solution exacte et le schéma.
Là il m'a dit qu'il fallait conclure.
C. Ordre
J'ai juste dit que mon dernier programme avait pas marché, mais que je voulais mettre en évidence l'ordre du schéma à partir de l'onde progressive qu'on avait calculer, et que normalement on devrait se retrouver avec une cassure quand le pas de temps devenait assez petit, car comme l'ordre est de 2 en espace, c'est inutile de calculer au bout d'une moment, car on ne gagne plus en précision.
Questions :
Q : Qu'est-ce qu'il se passe si on traite le terme diffusif en explicite ?
R : En général, quand on traite un problème en implicite plutôt qu'en explicite c'est pour gagner en précision.
Q : Ah bon ?
R : Euh … ah bah oui non on gagne rien du tout les ordres restent les mêmes ici.
Q : Qu'est-ce que vous feriez pour gagner un ordre en temps ici ?
R : On peut tenter d'approcher la dérivée en temps par un truc du type
$$ u^{n+1}_j-u^{n-1}_j$$
Je sais pas si cela marche, mais on est passé à la suite, très vite.
Q : Et si on traite le terme de création de population (g(u(x,t)) en implicite qu'est-ce qu'il se passe ?
R : Il faut utiliser la méthode de Newton. J'essaye de l'expliquer, mais ça n'a pas l'air clair donc l'examinateur me demande d'écrire au tableau, ce que je fais et on passe à la suite.
Q : Si on oublie la dépendant en temps, qu'est-ce qu'il se passe ?
R : Il faut réécrire la matrice et en fait le problème n'admet plus nécessairement une unique solution, ce qui se répercute dans le problème discret car la matrice n'est plus définie positive.
Q : Vous avez dit le taux de croissance pouvait dépendre du temps, vous pouvez préciser ?
R : En fait il faut écrire un coefficient $\alpha$ dépendant du temps, par exemple
$$ \alpha (t) = \alpha _0 ( 1+ cos(\omega t))$$
On choisit le terme périodique, car l'année se répète.
Q : À quelle condition une solution d'une telle équation est-elle périodique ?
R : $\int_0^T \alpha(s) ds = 0 $ où $ T = \frac{ 2 \pi}{\omega} $
Pas de réponse fournie.
Attitude : assez cassant au début mais décontracté vers la fin.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
un truc sur les différences finies qui est une modélisation d'un système physique
un truc sur les différences finies qui n'est pas une modélisation d'un système physique
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
quelle est la dérivée de l'inverse de f^-1, d'où ça sort ? et ensuite il s'est rendormi. Comment on obtient le schéma, pourquoi telle fonction intégrale à paramètre est continue, croissante, que des conneries du genre.
J'ai sorti 2 énormes conneries, ils sont revenus dessus et sinon que des 'ah mais vous avez dit ça mais comment vous le faites exactement ?' Rien dont je n'ai pas parlé, pourtant il y avait quelques trucs à dire, mais il y avait masse de calculs dont beaucoup d'ellipses de ma part pour tenir dans le temps imparti.
Pas de réponse fournie.
Le niveau des questions ? Très variées entre débile et moyen. Certains m'ont totalement déstabilisées tellement c'était con, mais j'ai bien répondu. Un type dormait tout le temps et se réveillait de temps à autre pour dire des trucs bizarres puis se rendormait. Une femme qui a pas parlé, une question, j'ai été trop rapide, elle m'a regardé plus lentement, j'ai réexpliqué, elle était contente et les autres très sympas.
Très bizarre, déjà seulement 40 minutes, je croyais 45, mais bon, un peu dépassé ils ont rien dit, le mec qui dort fin voilà ... C'est eux qui allume et éteignent le rétro qui est au centre du tableau, c'est pas un rétro à côté ni un écran individuel pour les profs et la question finale qui m'a laissé sans voix 'que garderiez vous si vous étiez professeur de terminal?' et fin, je lui ai expliqué que bon tu peux leur faire faire le schéma et voir que ça converge, mais bon vu que TOUT le reste, pourquoi ça converge, pourquoi tu prends ce schéma, pourquoi c'est intéressant, pourquoi la solution existe, fin je vois pas du tout l'intérêt ... Enfin au moins j'ai pas eu 'que faites vous si un élève vous frappe?', peut être demain Bref, malade comme un chien, stressé comme pas possible et des stupidités incroyables, mais ils ont été très sympa, fin ceux qui parlaient et ils ont passé du temps à tout expliquer c'était plutôt sympa et 4h c'était limite !
Pas de réponse fournie.
B90
B87
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Des questions sur l exposé (des trucs qu ils avaient pas compris et que j'avais mal expliqué et des "fautes de frappe" au tableau (une matrice M au mauvais endroit et un t au lieu d un x)...) et de cours...
Le calcul que vous aviez fait on pouvait pas le faire autrement? (sur deux calculs que j'avais fait) Pourquoi l'avez vous fait ainsi? (pourquoi pas?...)
citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact.
Refaites une étude qualitative déjà faite, refaites une preuve
est ce que votre animation bouge? (oui elle bouge...)
Pourquoi avez vous choisi ce pas de temps? (parce qu'il marche...)
Comment inverser la matrice? (tridiagonale donc je dis LU) Pas mieux ? (symétrique donc LU c est pareil que Cholesky) Pourquoi vous avez pas dit cholesky? (parce que c est pareil ... c est symétrique...)
Comment on élimine la condition sur dt? (je m embrouille un peu, mais finis par parler des schémas amonts et avaux, et lequel convient dans quel cas d'équation au transport... Non ce qui les intéressait était sur y'=lambda*y lequel convient..)
Qu'est ce qui se passe si on part au dessus du seuil critique ? (aucun sens qualitatif pour le développement d'une population, c'est pour ca que c'est un seuil critique... mais j'explique que la population dépérit lentement)
Sur l'équation sur tout R on a une solution, vous l'avez tracé sur un segment quelle équation vérifie t elle? (je dis que c est presque l équation... "ah presque!"... On est en analyse numérique, c'est évidemment une approximation que je ne peux pas représenter sur tout R, je la trace sur un segment du coup... "mais pourquoi on peut le faire?"... Parce que c'est une tangente hyperbolique...)
Pas de réponse fournie.
Le niveau des questions était facile (soit je l'avais déjà expliqué, soit c était du cours "citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact" soit c était des trucs qu ils avaient pas vu " tu aurais du inverser la matrice avant la boucle" (je l'avais fait...)). Quelques autres hors du lot.
L'attitude du jury : je l'ai trouvé cassant, pas intéressé parce que je disais...
Même texte que charles, il l'a très bien décrit. Honnêtement j'ai eu l'impression de ne jamais avoir aussi bien réussi l'étude d'un texte. J'ai répondu correctement à toutes les questions, j'avais des animations, des graphes, des études de célérité au delà du texte, tout tournait correctement... Sur la présentation : j'arrive, ils voient mon nom et un dit "ah un rémi, bravo" (mon second nom), je dis que je ne l'aime pas trop, il devient froid d'un coup ("vous venez de perdre les points que vous auriez gagné")... Du coup je stresse un peu. J'écris avec mon écriture habituelle (je sais...), présente le problème, donne des explications qualitatives, des interprétations, ils commencent à faire la gueule... Je panique encore un peu, et fais une faute d'inattention (le t à la place du x sur la dérivée...). Ils le signalent, on continue. Ca me fait perdre du temps (ils n'ont pas arrêté le chrono pour l'interruption). Du coup je dois aller un peu plus vite, je me plante en mettant une matrice ou il faut pas (mais ma description orale ne laisse pas de doutes qu'il fallait la mettre a coté, puis un max au lieu d'un min "vous pouvez faire attention pour une fois et mettre un min?"), puis je décris mon animation. Je pense faire une bonne description qualitative. Sur la troisième partie je dois faire avec les mains faute de temps (c était un calcul, un système..) mais je montre mon animation, et j'explique pourquoi c'est bien. J'ouvre en suggérant des études de célérité des ondes progressives observées dans le cas général. Un peu trouble par moments, quelques secousses et pas ma meilleure présentation, mais globalement j'étais content. Visiblement pas eux. Ils sont revenus sur ce que j'ai fait, m'ont fait écrire tous les théorèmes (que j'avais cité), se sont plaint que j'aie fait les calculs d'une façon et pas d'une autre... Et au final je pense se fichaient totalement des descriptions que j'avais faites. Je n'ai aucune idée de la note qu'ils veulent me donner et je suis vraiment dégoûté d'avoir sué pour aller plus loin que le texte pour, semble t il, rien.
Pas de réponse fournie.
EDO, EDP, différences finies, interpolation
methodes de gradient, algebre lineaire
C'était sur les problèmes de contrôle : on prend un système différentiel (à une ou plusieurs variables) qui résulte d'équations de la physique (on impose une force sur un système), qui vérifie des propriété d'existence et unicité de solutions en fonction de la force et des conditions initiales. On fait le problème inverse : quelle force imposer pour arriver à un état final choisi en un temps donné.
(je viens de voir que c'est principalement une réécriture du sujet du concours d'entrée à l'ENS Math C)
- prouver trois résultats du texte : un résultat de densité, un résultat d'existence/unicité à l'aide de formes linéaires, et un résultat de projection orthogonale
- numérique : du matriciel (pour mon probleme de systeme lineaire), de la chaleur (explicite et implicite), et j'ai commencé mais non terminé le tracé des solutions au problème
J'ai suivi le texte mais pas trop, et rajouté des maths.
- montrer comment approximer une dérivée d'ordre n
grand
- montrer un autre résultat de densité (avec des polynomes qui n'ont que des termes de degré pair)
- montrer comment vous avez codé la résolution numérique de la chaleur, en particulier les conditions de Neumann (je l'ai fait comme un sauvage mais j'ai expliqué ce qu'il aurait fallu faire)
- là vous inversez la matrice plutot que résoudre le systeme, pourquoi ?
- j'avais parlé de conditionnement dans mon exposé, c'est quoi le conditionnement ? comment l'avais vous calculé ? l'exprimer pour la norme 2, comment calculer ce rayon spectral numériquement ? (puissance), formellement ? (on ne peut pas, par le pouvoir de l'algèbre !)
- la classique : énoncer Cauchy Lipschitz
je ne sais pas, être plus réactif en début des questions ?
2 muets
2 enthousiastes
comme prévu
17
"Le balai renversé", B10.
les mots clés : EDO, algèbre linéaire et optimisation
Je ne me souviens plus car j'ai vite, ça parlait de cellules et d'adn. Dans les mots clés c'était EDO et étude du problème de Cauchy.
Texte B28
On tient un balai en équilibre en position verticale sur notre main, on essaie de voir comment bouger notre main pour maintenir cet équilibre.
On se retrouve avec une équation différentielle x'(t)= f(t,x(t)) (où la fonction f dépend aussi d'une fonction u, connue à l'avance, correspondant au déplacement de notre main au cours du temps.)
On étudie rapidement cette équation différentielle dans le cas où u est la fonction nulle, puis on passe à l'étude du linéarisé du système. Il n'est pas explicitement cité dans le texte, mais je pense que cette étude du cas linéarisé se justifie grâce au thm de Lyapounov.
Le texte se termine avec une étude sur un cas où u est une fonction constante par morceaux, puis après en dernier paragraphe ça part sur de l'optimisation mais je ne suis pas arrivé jusque là.
J'ai produit 3 codes, les 3 étaient presque identiques et modélisaient l'angle entre le manche de notre balai et la verticale au cours du temps :
d'abord si on ne bougeait pas notre main, ensuite touujours si on ne bouge pas notre main, la dérivée de la fonction angle en fonction du temps, puis enfin si on bougeait suivant une certaine fonction constante par morceaux, la variation de l'angle.
Tous ces codes étaient suggérés dans le texte, ils conseillaient la méthode d'Euler explicite (que j'ai aussi utilisé) et je suis bien tombé sur les mêmes dessins que dans le texte.
Au niveau des théorèmes, il y en avait un gros à démontrer et sa preuve se passait en deux étapes :
d'abord redémontrer que les solutions d'une équation diff affine du premier ordre s'expriment selon la formule [blablabla], c'est démontré dans le Demailly par exemple donc là il suffisait juste de lire le livre pour savoir comment faire.
Ensuite un second lemme dont la démonstration reposait sur des résultats d'algèbre linéaire (Cayley Hamilton et le fait que l'expo de matrice est un polynome en la matrice), mais dont la démonstration était très guidée.
J'ai démontré les deux durant la préparatoin, mais à l'oral je n'ai fait que le second lemme par manque de temps.
Pour le plan : Il était en 3 parties :
I - Présentation du problème, exemple du cas où on ne bouge pas la main (présentation des deux premiers codes)
II - Etude du système différentiel linéarisé (comme suggéré dans le texte) (on y démontre le thm)
III - Exemple sur un cas moins simple (présentation du troisième code)
On est revenu sur ma preuve du théorème, notamment pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice.
J'avais cité Cauchy Lipschitz local mais dans le cas d'une fonction C^1, il m'ont demandé le "vrai" théorème.
Je n'avais pas très bien appliqué ce théorème donc on est revenu sur ce que j'avais fait dans l'oral, ils m'ont fait corriger une erreur au tableau.
Puis on en est venu au code, ils m'ont posé quelques questions sur la méthode d'Euler :
Quelles sont ses propriétés ? (sous-entendu : Stabilité, Consistance, Convergente ?)
J'ai dit qu'elle était convergente, ils m'ont demandé d'écrire la définition de convergente au tableau.
Ils m'ont demandé des critères pour la consistance/stabilité, l'ordre de consistance d'Euler, des trucs de ce genre (en gros tout ce qu'on peut lire dans le chapitre du Demailly "méthode d'approximation à un pas")
On m'a aussi demandé si Euler pouvait s'appliquer sur R et non pas sur [0,T]. J'ai dit (en moins bien formulé que ça) que puisque de toutes façons puisqu'on considère des approximations en un nombre fini de points, l'étude se fait forcément sur un intervalle [a,b] qu'on le veuille ou non. Ça les a convaincu visiblement.
Mon oral s'est bien mieux passé que prévu car j'ai été interrogé sur des notions que j'avais revu peu de temps avant. Parmi les choses que j'aurais pu améliorer, c'est sans doute ma présentation de 35 minutes. J'avais un tableau assez vieux sur lequel il était difficile d'écrire lisiblement (la craie ne "glissait" pas sur le tableau...), du coup j'ai perdu beaucoup de temps à écrire et j'ai du sélectionner ce que je démontrais. Plutôt que de démontrer le lemme fait dans le Demailly, qui figurait dans le texte mais sans indication sur comment le démontrer, j'ai démontré l'autre lemme sur lequel il y avait beaucoup d'indications dans le texte. Stratégiquement c'était pas optimal je pense. Mais ça n'est pas si grave...
Le jury était très sympathique, et me mettait bien en confiance. Ils m'ont aidé à corriger une erreur sur Cauchy Lipschitz au tableau.
Je trouve que c'est l'oral où le jury est le plus agréable, on sent que la discussion est vraiment une discussion justement, et pas une séance d'exercices où on te laisse patauger plusieurs minutes quand tu ne comprends pas ce qu'on te dit.
L'oral et la préparation se sont bien mieux passés que prévu, j'avais vraiment peur de la modélisation mais puisque le jury m'a posé les questions auxquelles on m'avait conseillé de me préparer, j'ai pu m'en sortir.
La seule mauvaise surprise c'est le tableau tout pourri où il était vraiment difficile d'écrire de façon rapide et lisible.
12.75
B31 - Equations différentielles
B33 - Analyse matricielle
On décrit l'évolution du volume d'air dans un poumon étant donné la variation de pression exercée par le corps/les parois sur l'intérieur du poumon.
Plan dont on dit qu'il marche à tous les coups: I-Modélisation du problème, II- Etude théorique III- Etude numérique.
Comme j'ai passé du temps à comprendre les équations et que j'étais relativement l'aise, j'ai justifié de manière assez détaillé l'établissement des équations.
Dans la partie théorique, j'ai justifié plus ou moins rapidement deux propositions suggérée et j'ai montré une résolution par la méthode d'Euler explicite et une tentative d'Euler implicite.
J'avais révisé pour l'occasion les notions de consistance, stabilité et convergence sur lesquels ils n'ont pas manqué de m'interroger. Ils m'ont demander pourquoi Euler implicite était meilleur et je n'ai pas su répondre, cependant pour la recherche du zéro d'une fonction j'ai parlé de la méthode de la sécante, de Newton et j'ai même mentionné le thm de Kantorovich qui donne la vitesse de convergence sous conditions. Ils m'ont demander de justifier qu'une certaine fonction avait des zéros d'une manière plus simple (Thm des valeurs intermédiaires, unicité par monotonie stricte), vérifier qu'avec la fonction Arctan, loin du zéro Newton ne marche pas. Et ils m'ont aussi demandé de parler d'autres méthodes de résolution d'équations différentielles, j'ai schématiquement dit que dans Runge-Kutta on écrivait le problème différentiel sous forme intégrale et que cette dernière était approximée.
Penser à une conclusion.
De manière générale j'ai l'habitude de faire des présentation assez improvisées. J'ai eu le temps de faire mes trois parties, avec une partie numérique relativement courte. Cela correspond à ce que j'avais à apporter.
Lors de la prépa, on m'a reproché de ne pas écrire d'énoncé mathématique du type def, propriété, thm. Dans l'absolu, il faudrait effectivement le faire, mais finalement le fait de dire bcp de choses à l'oral m'a permis d'en dire plus, plus vite.
Heureusement le jury semblait connaître un minimum le texte, ce qui m'a permis de dire un certain nombre de choses à l'oral. Plutôt sympa.
J'ai très peu utilisé mes notes et j'ai d'ailleurs dit des choses différentes, oublié d'en dire d'autres.
C'est la seule épreuve où j'ai terminé dans les temps.
Le jury récupère le brouillon, le mien était assez désordonné sur cette épreuve.
Notez qu'on a pas le droit de surligner le texte, c'est ce que je fais en générale. Et contrairement à ce que j'avais l'habitude de faire pendant l'année, j'ai choisi assez rapidement ce que j'allais présenter et je n'ai pas vraiment lu la fin du texte.
Note décevante...
9
Débruitage d'un signal et optimisation.
Une équation aux dérivées partielles et de l'optimisation.
Il s'agissait d'éliminer le bruit d'un signal capté dans le but de trouver le signal d'origine. Pour cela, on se ramenait à un problème d'optimisation dans $\mathbb{R}^n$ ( Le signal était une fonction connue en $n$ points). Le texte s'articulait ainsi :
-Présentation du problème d'optimisation
-Cas particulier d'un signal avec bruit pour lequel on montre que la solution du problème d'optimisation est le signal attendu
-On se ramène à un problème d'optimisation régularisé
-on montre que la solution du problème régularisé approche la solution du problème d'origine
-Présentation de la méthode de gradient à pas fixe
Voici le plan que j'ai présenté:
I- Débruitage d'un signal
1. Le problème du bruit ( Dans cette partie, je faisais la modélisation et je présentais une simulation numérique pour expliquer quel était le but de l'exposé)
2. Un problème d'optimisation ( Je présentais le problème d'optimisation et je montre l'existence et l'unicité de la solution du problème)
II- Problème régularisé
1. Régularisation du problème (Je présentais le problème régularisé et je montrais l'existence et l'unicité)
2. La méthode de gradient à pas fixe (Ici, je présentais la méthode de gradient et je montrais sa convergence. Je finissais la partie sur la présentation de simulation numérique pour illustrer la méthode et je montrais numériquement que la méthode est d'ordre 1)
III- Approximation ( Dans cette dernière partie, je montrais que le problème régularisé approche le problème d'origine et j'illustrais ce fait par des simulations numériques)
Le jury a commencé à me questionner sur l'équivalent continu du problème d'optimisation. Ils m'ont alors testé sur les espaces de Sobolev et le théorème de Lax Milgram. Ils m'ont ensuite testé sur mes connaissances du programme :
Question : Connaissez-vous d'autres méthodes pour approcher la solution d'un problème d'optimisation ?
Réponse : Méthode de gradient à pas optimal
Question : Pouvez-vous montrez que les directions de descente sont orthogonales
Je montre ce résultat.
Ils m'ont ensuite emmené sur le terrain des équations différentielles et m'ont demandé d'interpréter la méthode de gradient à pas fixe comme un schéma numérique. Je leur ai répondu qu'il s'agissait du schéma d'Euler explicite. Ils m'ont demandé d'écrire le schéma d'Euler implicite et m'ont fait démontrer des propriétés propres à l'équation considérée.
Alors qu'il me restait 2 minutes, j'ai décidé d'improviser une conclusion car je n'avais pas pris le temps d'y réfléchir. Je pense que ça aurait été mieux si j'avais pris 5 ou 10 minutes pour réfléchir à une bonne conclusion.
Le jury m'a tout de suite mis en confiance et a été très agréable tout au long de l'oral. Celui-ci ressemblait plus à une discussion et je m'y sentais presque bien (C'est quand même un oral). J'ai senti qu'à chaque question, il cherchait à aller jusqu'au bout pour tester mes limites et tirer le meilleur de moi.
il n'y a pas eu de surprise mis à part le tableau sur lequel il était très difficile d'écrire. La craie adhérait trop bien
20
Équations différentielles ordinaires, schéma d'Euler explicite
Je ne sais plus…
Un joueur veut faire tenir un balai en équilibre sur son doigt, et il s'autorise pour cela des mouvements suivant une droite horizontale, modélisés par une fonction u dépendant du temps. Une étude montre que le mouvement angulaire du balai obéit à une équation différentielle du type y' = sin(y)*u. La question est donc de trouver une fonction u qui permette d'emmener le balai à la position verticale avec vitesse nulle, pour atteindre l'équilibre.
L'originalité du texte est que l'on veut à la fois résoudre l'équation différentielle et trouver des fonctions y convenables, puis de résoudre les EDo obtenues pour certaines fonctions y particulières. Il y avait une assez grosse partie d'algèbre linéaire, mais je ne l'ai pas examinée.
— J'ai programmé deux schémas d'Euler explicite pour reproduire des courbes du texte.
— J'ai fait la mise en équation du texte et expliqué la spécificité de l'équation obtenue puisque la fonction u intervient comme un paramètre. Je n'ai donc pas appliqué Cauchy-Lipschitz, n'ayant pas une équation de la forme y' = F(t, y), mais plutôt du type y' = f(t, y, u). La subtilité est que u ne dépend que du temps (ce qui fait que Cauchy-Lipschitz s'applique en fait), point sur lequel le jury est revenu.
— J'ai démontré un énoncé du texte.
C'est assez peu, mais comme j'ai eu des jolies courbes, j'ai préféré en rester là et essayer d'anticiper les questions de jury, et ça a été une bonne stratégie.
— Ils sont revenus sur le théorème de Cauchy-Lipschitz et m'ont aidé à l'appliquant en me faisant choisir une fonction u particulière pour me donner l'intuition… Je m'en suis un peu voulu de ne pas avoir eu cette idée tout seul, mais bon j'ai bien réagi à leurs suggestions. Ensuite, ils m'ont demandé d'énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz et de l'appliquer. Je l'ai fait, j'ai brièvement évoqué la notion de solution globale/solution maximale, et ils sont passés à autre chose. J'avais anticipé la question, donc j'avais pris un peu de temps pour relire tout ça dans le Demailly.
— Ensuite, ils sont revenus sur le schéma d'Euler explicite, m'ont demandé d'écrire la définition d'un schéma convergent, chose que j'avais également anticipée donc je m'étais rafraîchi les idées pendant la préparation. Ils m'ont demandé d'autre schémas, j'ai cité Runge-Kutta et ils n'ont pas insisté.
— Enfin, ils sont revenus sur l'équation y = sin(y), j'ai dit que c'était le pendule simple et après ils m'ont demandé de démontrer que l'énergie est constante ; j'ai pas trop compris la question car je n'ai pas les idées très claires sur la physique sous-jacente, mais ça a duré 2-3 minutes, ils m'ont donné un indice et j'ai répondu, puis le temps était écoulé.
J'aime bien écrire beaucoup de choses au tableau, mais c'est une question de goût : on y gagne en clarté, mais on fait moins de choses…
J'aurais pu être plus clairvoyant sur comment appliquer Cauchy-Lipschitz dans ce contexte.
Attitude très positive et agréable : ils m'ont laissé cherché lorsque j'en avais besoin, et m'ont aidé quand je bloquais.
On ne peut pas écrire sur le texte.
Attention, 35 minutes c'est assez court, donc il faut soit écrire peu de choses, soit ne pas prévoir trop. Les questions de jury sont assez classiques et il y a des immanquables (et en fait, le rapport décrit très bien les attendus).
13
Une équation type dérivée seconde par rapport au temps moins c^2 fois dérivée seconde par rapport au temps égale f
Pas de réponse fournie.
beaucoup de Fourier dans le texte
J'ai produit un programme Python autour de la méthode d'Euler appliquée à X=(u(0),...,u(n),u'(0),...,u'(n)) où u est une approche discrète de la solution. Mon programme fonctionnait, informatiquement parlant, avec illustration Matplotlib mais ne donnait pas le résultat escompté. Je n'ai pas du tout utilisé le texte en fait ni répondu à une seule question.
Le jury, très constructif, m'a fait réfléchir sur les écart d'approximation générés par ma méthode, puis m'a orienté vers des questions plus générale, en me demandant à plusieurs reprises d'énoncer précisément des théorèmes utilisés (interversion limite/intégrale, Fourier..)
J'ai pu peu préparer cet oral, donc ce qui serait améliorable serait de simplement maîtriser mieux le programme.
très constructif : très carré, mais très aidant.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Optimisation, EDO, problème de contrôle
Optimisation : c'était un texte sur du débruitage de signal, avec 100% d'optimisation
On essayait de trouver une condition pour pouvoir faire tenir un balai en équilibre sur un doigt (un peu nul mais bon ^^) donc on étudiait langle alpha entre l'axe vertical et le balai, et on avait une equadiff
α''(t) = cos(α(t)) + u(t)sin(α(t))
Avec u la force appliquée sur le bout du balai quand on essaye de bouger notre doigt (on a ramené le problème en dimension 1, on ne bougeait que sur un axe)
Donc on début on essaye de la mettre sous forme Cauchy Lipschitz
On se ramène à un truc de la forme
x(t) = g(t,x(t)) avec x(t) = (α(t) , α'(t))
Avec f : R^2×R -> R^2 ; (x,u) |-> (x2, cos(x1) + u.sin(x1))
Ensuite on fixe un u pour Cauchy Lipschitz et on a g : R×R^2 -> R^2 ; (t,x) |-> f(x(t),u(t))
Bon tout ça c'est dans le texte, il était vraiment facile à comprendre au début.
Ils m'ont demandé une condition pour avoir une solution globale, donc être globalement lipschitzien parce qu'après on regarde la solution sur [0,T].
Ensuite on étudiait le système linearisé (toutes les définitions étaient dans le texte, ya juste à lire attentivement) donc on linearise et on tombe sur un truc
X'(t) = AX(t) + Bu(t), A matrice B vecteur
Ils demandaient de montrer la formule de la solution explicite de cette équation, donc j'ai traquillement recopié le Demailly.
Après on cherchait à savoir si on pouvait trouver une fonction u qui soit solution du problème de cauchy avec X(0) = x0 ET qui vérifie X(T) = 0, parce que l'équilibre en 0 c'est quand on a α(T) = 0 et α'(T) = 0.
Donc on a un theoreme qui nous donne une CNS, on vérifie que ça fonctionne dans notre cas, il y a un petit lemme avec la demo, donc je l'ai refaite en essayant de préciser tout ce que je pouvais mais j'ai pas réussi à savoir si je recopiais le texte ou si j'arrivais à ajouter des trucs utiles. Mais bon fallait bien tenir 35 minutes alors... tant pis.
Pour cette partie EDO il y avait deux graphiques à faire, donc résoudre l'équation x' = g(t,x(t)). Du coup je me suis pas embêtée, j'ai utilisé ODE et ça a très bien marché.
Ensuite la partie optimisation
Ils voulaient une fonction u qui permette de trouver une solution au problème de Cauchy avec la condition X(T) = 0. Le théorème nous avait dit que c'était possible. Et ils cherchaient ce u sous la forme d'une fonction constante par morceaux : on decoupait l'intervalle [0,T] en 0 < t1 < t2 < T qui restaient fixés
Et on cherchait à optimiser les valeurs u0 u1 et u2 qui etaient la valeur de u sur les intervalles (n'hésitez pas à relire cette phrase plusieurs fois elle est très mal expliquée ^^)
Ils faisaient un algorithme de gradient (à pas oprimal il me semble) que je n'ai pas réussi à coder
Ensuite pour les questions
- ils m'ont demandé de citer des théorèmes d'existence et d'unicité de minimum (ici pas d'extrema liés, on avait pas de contraintes extérieures)
- donner un exemple de méthode derrière ode donc Euler implicite ou explicite, les ecrire, définition de la convergence/stabilité
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
J'ai essayé de codé la partie optimisation, mais elle était assez compliquée, et même si le texte n'était pas très dur, je pense que c'était chaud d'essayer de tout faire, donc je me suis plutôt attardé sur les démo de la partie EDO. Et je n'ai pas recodé le schéma d'Euler, mais j'aurai du mieux relire la preuve de la convergence.
Le jury était très gentil, ils ont tous participé à l'oral
Pas de réponse fournie.
15.75
EDO / étude de stabilité des solutions
Optimisation / Méthode des gradients
Le texte traitait les phénomènes d’évolution simultanée comme l’applaudissement d’une foule. Il était illustré avec l’évolution du pendule d’horloges accrochées à une base mobile. Dans le grand I) ça parlait du cas du pendule simple tout seul, il avait une petite étude, une modélisation après PFD et quelques propositions sur son évolution. Dans le II) il y avait l’étude avec deux pendules et une modélisation de leurs mouvements. La III) était sur la modélisation mathématique du phénomène d’évolution simultanée.
Plan : I) Modélisation et étude du pendule seul
II) Modélisation et étude de deux pendules liés
Code : Des suites de quelques variations de paramètres pour le PFD appliqué au pendule seul (négligence de certaines forces) j'ai construit chacune des solutions avec la routine ODE. J'ai aussi construit les portraits de phase associés aux champs de vecteurs de mes EDO avec la routine fchamp. J'ai commencé un dernier programme que je n'ai pas eu le temps de terminer sur la partie II)
Globalement, je n’ai traité que la première partie et un bout de la seconde. J’ai utilisé l’étude faite sur le pendule dans le Berthellin pour agrémenter mon exposé. Pour les simulations j’ai donné les solutions selon plusieurs variations de paramètres lors du PFD (négligence des frottements et/ou de la force d’appui de l’horloge) puis j’ai effectué des portraits de phase avec les champs de vecteurs associés. Lors de l’échange j’ai du re-justifier Cauchy-Lipschitz sur toutes les EDO que j’avais. Sans me mouiller j’ai dit qu’il existait des solutions maximales uniques à conditions initiales fixées puisque les champs étaient tous C1 puis ils m’ont demandé si on avait globalité quelque part et si oui pourquoi. J’ai donc utilisé Cauchy Linéaire et la version globalement lipschitzienne en les justifiant. Ils m’ont demandé de montrer mes programmes et de les faire tourner devant eux. Ils m’ont demandé de leur montrer comment j’avais fait les portraits de phase et construit les solutions. J’ai répondu que j’avais utiliser la routine fchamp pour les portraits de phase et ode pour les solutions. Ils ont rebondi sur ma réponse en me demandant s’il existait une méthode numérique pour obtenir les solutions j’ai parlé du schéma d’euler explicite, ils m’ont demandé de le construire et de donner certaines de ses propriétés (consistance, stabilité donc convergence). Pour finir ils m’ont demandé s’il existait une méthode particulière pour résoudre une des EDO que j’ai évoqué (elle était linéaire) j’ai parlé de résolution avec exponentielle de matrice et ils étaient satisfaits.
Pas de réponse fournie.
Le jury était très attentif et intéressé.
L'oral s'est très bien passé et je ne m'y attendais absolument pas j'appréhendais énormément l'oral d'option.
17
Algèbre linéaire. Méthodes itératives. (B32)
Equations différentielles ordinaires. Comportement qualitatives des solutions (B57 je crois)
Le texte visait à étudier un peu la notoriété d'une entreprise. On introduisait pour cela, pour un consommateur, son opinion sur l'entreprise, et on suppose que l'opinion d'une personne corresponds à la moyenne de celles de son voisinage, plus un paramètre de publicité provenant de l'entreprise. On en vient alors à résoudre un système linéaire (qui fait notamment intervenir la matrice de discrétisation du laplacien), et le texte proposait d'utiliser une méthode de Jacobi relaxée. Afin d'améliorer la vitesse de convergence de cet algorithme, on procédait à une sorte d'échantillonnage du résidu qui se "comportait bien" après quelques itérations de Jacobi.
J'ai produit un plan en trois parties où je traite intégralement le texte (sauf l'analyse de la convergence du tout dernier algorithme, qui prenait plus d'une page, donc non merci). En terme de code, j'ai rédigé exactement 155 lignes de code sur Python, pour trois programmes indiquant chacun des graphes qu'on voyait déjà dans le texte. J'ai donné mon petit plus par rapport au texte en parlant des méthodes itératives (le texte ne parlait que de la méthode de Jacobi relaxée), et ai montré la convergence indépendamment du texte en calculant le rayon spectral de M-1N.
- Le résidu comme critère d'arrêt vous semble-t-il intéressant ? (j'ai répondu qu'il fallait estimer l'erreur ||x_k - x|| où x est la solution, on m'a amené à faire le calcul. Les erreurs relatives font notamment apparaître le conditionnement de la matrice A, qu'on calcule, et on montre que pour N très grand, le conditionnement est très grand, ce qui fait que pour de grandes valeurs de N, le conditionnement de la matrice est dégueulasse).
- On m'a demandé comment j'ai fais un certain graphique. J'ai montré mon code en expliquant son fonctionnement.
- Dans notre contexte, on avait un quartier où des voisins communiquaient entre eux. Que se passe-t-il si on suppose ce quartier circulaire ? (cela change la matrice du Laplacien: les deux 2 aux extrémités de la diagonale deviennent 1. On obtient une matrice certes toujours positive, mais plus inversible puisque le vecteur avec que des 1 est dans son noyau).
- Que proposez-vous pour résoudre ce problème ? (Méthode des moindres carrés. On me demande alors d'expliquer, et j'explique en donnant les équations normales. L'un du jury voulait que je retrouve les équations normales, je parle de la SVD, et le jury confirme effectivement que c'est une façon de voir, mais il préférait le voir d'une autre façon: après avoir réécris le min, je dis qu'il s'agit d'un théorème de projection).
- A quelle condition a-t-on unicité de la solution des moindres carrés ? (rang de la matrice transpose(A)A maximale).
- Comment se comportent les matrices R et E dans le texte ? (j'ai juste recopié les formules du texte, que je n'avais pas réécris au tableau).
Le seul point que j'aurais voulu améliorer, c'est ma façon de répondre trop rapidement aux questions. J'ai dis plusieurs bourdes à l'oral sous le coup du stresse, mais me suis néanmoins corrigé seul à chaque fois après que le jury m'ait fait remarquer ce genre de choses.
A part ça, je suis très satisfait de ma présentation et de mes codes.
Parmi les 4, il y en avait qu'un seul qui était vraiment actif. Le jury juste à côté participait parfois, et les deux autres étaient totalement silencieux. A part cela ils étaient plutôt sympa, et celui qui parlait le plus était souriant, même s'il faisait des grimaces un peu inquiétantes quand je disais des bourdes.
J'ai été surpris, mais agréablement. Déjà, la préparation du texte ne dure pas exactement 4h, mais plutôt 3h50, pour pouvoir faire le transfert de fichier et changer de salle. Le transfert de fichier est immédiat, et quand je suis arrivé dans la salle, un des membres du jury s'est occupé lui-même de se connecter sur ma session, pendant qu'un autre m'expliquait les modalités de l'épreuve, ce qui fait que je n'ai pas eu à me battre avec le pc.
20
EDO: étude qualitative, méthode d'Euler implicite etc.
SVD, newton linéaire et autres horreurs.
Etude de l'évolution du volume des poumons (représenté par un ballon) en fonction du temps à l'aide d'EDO.
- Modélisation pour arriver à une EDO non linéaire
- Etude qualitative de l'EDO: Existence et unicité de solutions maximales (il fallait prolonger par symétrie la fonction définissant l'EDO pour passer d'un fermé ($[0,+\infty[$) à un ouvert), globalité des solutions maximales (utilisation du théorème de sortie de tout compact et des propriétés des quantités/ fonctions introduites plus tôt)
- Euler implicite: présentation du schéma, remarque sur le fait que le théorème de convergence ne s'applique pas, résolution de l'équation implicite par la méthode de Newton (on vérifie qu'on peut la mettre en place)
- Illustration: Graphe de la solution avec Euler implicite et odeint (rien ne fonctionnait)
On a d'abord regardé mon code, j'ai réussi à trouver l'erreur dans mon algorithme de Newton.
J'ai, après cela, eu des questions autour de la preuve:
* Donner un énoncé du théorème d'explosion en temps fini (que j'ai utilisé)
* Préciser la justification d'une inégalité
* Corriger un argument qui reposait sur une inégalité fausse.
On m'a ensuite demandé comment choisir une autre fonction phi donnant certaines propriété de l'énergie donné comme intégrale de phi.
Enfin on m'a demandé de définir la notion de convergence de la méthode d'Euler implicite et pourquoi c'est une bonne idée d'utiliser cette méthode
J'ai beaucoup hésité sur la présentation de la modélisation, je n'avais pas toutes les quantités et équations introduites bien en tête.
Cela m'a fait perdre un peu de temps, ce qui m'a forcé à abréger la fin de ma présentation sur la méthode d'Euler implicite et à ne pas écrire grand chose au tableau ni rentrer dans les détails des preuves.
Le jury a été très bienveillant et patient, aidant.
J'ai été surpris que le temps au début de l'oral pour vérifier l'identité du candidat soit compté dans les 35 minutes de présentation. Heureusement j'ai, en faisant la remarque, bien eu droit à mes 35 minutes de présentation.
13.75
EDO
Analyse matricielle
Pas de réponse fournie.
J'ai refait un graphique qu'il était proposé de faire dans le texte. Pour ma présentation, j'ai tenu les 35mn : j'ai proposé une présentation du sujet, puis j'ai
montré que le modèle proposé et l'existence de la solution reposait sur le théorème de Cauchy Lipschitz linéaire. Ensuite j'ai proposé de démontrer un
résultat de convergence d'un schéma d'Euler explicite (celui qui est à la fin du Gourdon d'analyse) : pour cela j'ai dit que je faisais donc l'hypothèse que
ma fonction (celle utilisée dans le problème) était de classe C1 parce que c'était ce que demandait les hypothèses de mon théorème.
Pour info j'ai été très déstabilisée pendant mon oral car quand j'ai quand j'ai voulu montrer mon graphique c'était le mauvais fichier python qui était enregistré (en fait j'avais écrasé le bon juste en sortant de la salle en fermant ma session), le jury a été très rassurant, m'a dit de ne surtout pas paniquer (je paniquais déjà) et a appelé un informaticien qui a bien retrouvé mon fichier au bout de 10 mn. Pendant ce temps je devais continuer ma présentation mais j'avais donc du mal à contenir ma panique.
On m'a ensuite demandé si je pouvais quand même utiliser Cauchy Lipschitz Linéaire si ma fonction n'était pas C1 : j'ai dit oui si elle est continue cela suffit.
On m'a demandé de rectifier une petite erreur dans le schéma explicite puis de préciser pourquoi j'avais fait l'hypothèse que ma fonction était
Lipschitzienne (en fait c'était automatique comme je suppose la fonction C1) j'ai dit que c'était plutôt pour introduire les notations. (la notation pour la constante de Lipschitz donc je me servais dans la démo)
On m'a ensuite demandé si je connaissais d'autres schémas : j'ai dit le schéma d'Euler implicite, on m'a demandé de l'écrire je l'ai fait avec une petite erreur que j'ai rectifiée quand ils me l'ont dit. On m'a demandé comment avec ce schéma je faisais pour trouver mon u^n+1 : j'ai dit qu'il fallait soir résoudre le système linéaire dans le cas linéaire et que sinon il me semblait qu'on utilisait une méthode de Newton. Ils m'ont demandé de préciser ce dernier point mais je ne voyais finalement pas comment on appliquait la méthode de Newton (j'avais juste entendu qu'il fallait utiliser cette méthode mais je ne m'étais jamais souciée de savoir sur quelle fonction)
On m'a du coup demandé de montrer comment faire sur notre exemple : c'était linéaire donc pas bien compliqué, il fallait justifier l'inversibilité de la matrice du système : c'était facile car elle était triangulaire. On m'a demande dans le cas d'une autre matrice de la forme In+h*A si je pourrais dire qu'elle était inversible : j'ai dit oui pour h assez petit car Gln est ouvert dans Mn(R) donc une telle matrice sera assez "proche" de la matrice identité qui est elle inversible.
Dans ma présentation j'avais parlé d'une ébauche de démo que j'avais faite mais pas finie on m'a demandé de la montrer et d'expliquer ce que j'aurai fait ensuite : ils m'ont dit que c'était très bien.
Pas de réponse fournie.
Le jury était vraiment super gentil malgré mes grosses lacunes en calcul scientifique et je m'attendais plutôt à avoir une note entre 6 et 9 donc très
contente de ma note qui ne reflète pourtant pas vraiment mon niveau. (Tout ça pour dire qu'en calcul scientifique faire le minimum suffit pour sauver les
meubles)
Le jury ne nous emmène pas du tout sur les parties du texte dont on ne parle pas (et tant mieux)
Pas de réponse fournie.
13
Différences finies EDP / EDO / Optimisation et algèbre linéaire
Algèbre linéaire
Le texte avait pour objectif d'étudier l'équation des ondes avec second membre. Il fallait identifier le second membre de l'équation à partir de la mesure physique de la solution de l'équation.
1) Résolution numérique de l’équation des ondes
2) Résolution théorique de l’équation des ondes avec séries de Fourier
3) Impact des hautes fréquences pour retrouver le second membre
- Corriger une légère erreur du code
- Questions sur les conditions au bord (périodique ici)
- Je n’arrivais pas à dériver une intégrale dont la variable sur trouve dans une des bornes et dans l’intégrante : ils m’ont posé un exercice pour que je puisse y arriver
- Ils m’ont demandé la structure des solutions d’une EDO linéaire d’ordre p avec ou sans second membre
- Question sur les conditions de convergence de mon schéma du 1)
- Est-ce qu’on peut retrouver l’EDP de départ à l’aide d’une relation sur les coefs de Fourier de la fonction ?
- Sur quels espaces il y a une bijection entre la fonction et ses coefs de Fourier ?
- Est-ce qu’il y a une inclusion entre les espaces L^p sur le tore ?
Prendre un livre de physique avec moi pendant la préparation...
Jury bienveillant, qui ne cherche pas à nous piéger.
J'ai trouvé les textes très difficiles à comprendre comparé à ma préparation pendant l'année scolaire. J'ai mis beaucoup de temps avant de réussir à obtenir des premiers résultats...
11.5
B34 (équations aux dérivées partielles, algèbre linéaire, optimisation)
B46 (trafic routier, équation de transport, méthode des caractéristiques)
On souhaite résoudre un problème inverse pour l'équation des ondes : étant donnée l'allure d'une solution pour des conditions initiales fixées, on cherche à retrouver l'allure du terme source (ce texte était déjà proposé en 2022, il y a d'ailleurs un retour dessus). Le texte était composé de deux parties : la première concernait la résolution directe de l'équation des ondes avec une source périodique en utilisant la méthode des séries de Fourier, la seconde concernait l'étude du problème inverse (il y avait des histoires de moindre carrés, de la décomposition en valeurs singulières, et des questions de variation des valeurs propres, qui dépend du conditionnement de la matrice considérée).
Je me suis concentré exclusivement sur le problème direct (la première partie du texte, donc). Mon plan était le suivant :
I. Corde vibrante et équation des ondes
II. Résolution par la méthode des séries de Fourier
III. Solution approchée par les différences finies
Dans la première partie, j'ai fait exclusivement de la physique : j'ai choisi de réétablir proprement l'équation des ondes sans second membre pour une corde vibrante, de densité linéique μ. Pour cela, j'ai appliqué le PFD à un petit élément de corde entre x et x+dx, sous des hypothèses physiques "classiques".
J'ai consacré la seconde partie à la résolution explicite de l'équation des ondes par la méthode des séries de Fourier : il s'agissait pour cela de résoudre des équations différentielles linéaires d'ordre 2 avec second membre vérifiées par les coefficients de Fourier de la solution, ce que j'ai fait avec la méthode de variation de la constante. J'ai tenté de tracer les solutions de l'équation en faisant une FFT, mon code n'a pas abouti, mais je l'ai quand même montré au jury.
Enfin, j'ai détaillé une discrétisation du problème par la méthode des différences finies : on se ramène alors à résoudre un système linéaire. J'ai justifié l'inversibilité de la matrice du système sous des hypothèses physiques raisonnables, et j'ai pu tracer une solution à différents instants grâce à cette méthode (mes courbes étaient un peu malades, mais on voyait globalement une corde vibrante).
- Qu'est-ce qui se passe si on a un source qui est une superposition de fréquences ? J'ai répondu que comme l'équation était linéaire, on pouvait résoudre pour chacun des modes et sommer les solutions.
- On m'a demandé de faire une dérivation sous l'intégrale sur laquelle j'étais passé vite : je l'ai faite mais en oubliant des hypothèses d'intégrabilité (aïe).
- J'ai dû expliquer le phénomène de résonance pour une EDL : j'ai donc pris l'exemple de \[y'' + \omega^2 y = \cos(\lambda t)\] pour expliquer ce qui se passait.
- Un membre du jury m'a demandé pourquoi on faisait l'approximation des petits angles : en effet, elle n'est pas toujours vérifiée. Je me suis retrouvé un peu coincé...
- Pourquoi si une fonction est très régulière, ses coefficients de Fourier décroissent rapidement ? On effectue des intégrations par parties successives.
- On m'a demandé de parler un peu du problème des moindres carrés, qui intervenait dans une partie du texte que je n'avais pas traitée. J'ai essayé de dire des choses intelligentes, mais j'ai bien transpiré.
- Puisque j'avais parlé de descente de gradient, on m'a demandé de développer : j'ai alors écrit la suite des itérées pour le pas fixe, j'ai dit que la vitesse de convergence était linéaire en écrivant ce que cela signifiait. On m'a demandé s'il y avait mieux, j'ai alors répondu qu'avec la méthode de Newton, la vitesse de convergence était quadratique (le nombre de décimales correctes double à chaque étape). Un membre du jury m'a demandé de préciser la régularité de la fonction pour Newton, j'ai dit $C^2$, il m'a alors demandé ce qui se passait dans le cas $C^1$, et je ne savais pas (je crois que ça marche encore, mais plus avec convergence quadratique).
- Le stress m'a un peu paralysé sur des choses normalement faciles : je les ai faites, mais pas aussi bien que je l'aurais souhaité.
- Je regrette de ne pas avoir mieux tenu mon tableau : ce n'était pas le bazar pour autant, mais j'aurais dû mieux structurer (écrire Proposition, Preuve...).
Le jury, composé de quatre personnes, était plutôt neutre, mais pas froid pour autant.
- Le tableau était vraiment petit, j'ai dû demander deux fois la permission d'effacer... C'était un tableau à craie un peu usé.
- J'ai trouvé le texte difficile à comprendre dans l'ensemble (mais l'autre était pire selon moi). Même si je voulais le faire, je n'ai pas eu la possibilité de mettre en œuvre les connaissances que j'avais acquises durant l'année, et je n'ai traité qu'une toute petite partie du texte, à mon grand regret. J'ai ainsi été très agréablement surpris par ma note.
17
Optimisation et algèbre linéaire
Equations aux dérivées partielles
Un problème de minimisation de fonctionnelle fait sous différents point de vu , moindres carrés, système linéaire, algorithme de gradient. La fin inaccessible comme d'habitude.
Plan présentation
1 introduction
2 simulation numérique
3 algorithme de gradient
4 système linéaire
1 mise en valeur de la fonction à minimiser F
2 code j'explique que j'ai pas réussi a coder le gradient de F mais que j'ai coder l'algorithme qui fonctionne sur un exemple simple
Code d'une résolution de système linéaire par cholesky, non exploité
3. Définition d'une direction de descente
Explication de la méthode, théorème de convergence
4. Transformation du problème en système linéaire, démonstration d'un lemme.
On peut résoudre ces système linéaire numériquement avec des méthodes directe ou iteratives pour des systèmes de grande taille notamment.
Questions
On revoit le code ils me demande pourquoi j'ai pas réussi à coder le gradient, quelle était la difficulté
-j'explique pourquoi
A la fin j'ai écris le gradient d'un fonction sans le détaillé on me demande le détail (c'était un long calcul)
Je le fais via un calcul de differentielle
Ensuite on me deman des précisions sur l'existence d'un minimum pour une fonctionnelle quadratique qui apparaissait au tableau
Je dis quelle est continue strictement convexe sur un fermé
On dit vous savez demontrer ça ?
Il manquait la coercivité... je n'avais pas remarqué
Ils reviennent sur la convergence de mon algorithme de gradient il me dmd de détailler la preuve
Je démarre il m'interromps au milieu paskils voit que cava être long mais j'explique où il faut aller
Un jury me dit je crois qu'il faut une hypothèse plus forte de convexité non ? (en vrai non)
Je réponds alpha convexe ?
Il me dit oui voila aller on passe a autre chose
Un jury me dmd les méthodes que je connais de résolution de système linéaire directes
je dit LU Cholesky dans notre cas le mieu c'est Cholesky
Elle me demande c'est quoi le coût de calcul
O(n^3) pour les deux et O(n^3/3) pour Cholesky
Un autre me dit et les méthodes iteratives ?
Je dis Jacobi Gauss Seidel ça consiste en la décomposition de A en...
C'EST FINI MONSIEUR.
Ok ok
J'étais très fatigué donc je n'ai pas pu mener à bien mes codes et c'est vraiment dommage je pense que j'ai perdu des points la dessus.
J'ai mal répondu à certaines questions mais c'était pas dramatiique apparemment..
Un(e !) jury un peu soulé mais toujours correcte et gentille. Sinon tous très agréable surtout le sourire de Thierry Goudon !!
J'étais préparé donc ça allait, surpris par ma note, j'imaginais moins.
11.25
B76 : Différences finies, optimisation, algèbre linéaire.
B91 : Analyse qualitative d'équations différentielles, algèbre linéaire, je sais plus les autres mots-clefs.
1. Introduction
On attache un élastique unidimensionnel à ses deux extrémités, et on introduit un repère orthonormé de sorte à ce que l'élastique soit attaché aux points $(0,0)$ et $(1,0)$ de ce repère. On fait ensuite tendre cet élastique au-dessus d'un obstacle. L'élastique est représenté par le graphe d'une fonction $u$ définie sur $[0,1]$, et l'obstacle est représenté par le graphe d'une fonction $v$. Le but est donc de connaître la fonction $u$ pour pouvoir connaître la forme que va prendre l'élastique. On fait alors l'hypothèse que la déformation subie par l'élastique est faible, de sorte que l'énergie de déformation stockée par l'élastique dans une section élémentaire entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$ puisse être donnée par la loi de Hooke :
\[
E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}k\left(e-\ell\right)^2
\]
où $e$ est l'étirement local de l'élastique et $\ell$ la longueur au repos de l'élastique. On a alors :
\[
E_{\mathrm{el}} = \frac{1}{2}k\mathrm{d}x\left(\sqrt{1+u'(x)^2}-\ell\right)^2.
\]
L'énergie stockée dans l'élastique devant être minimale, on a alors que la fonction $u$ vérifie le problème d'optimisation suivant :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_0^1 \left(\frac{1}{2}k\left(\sqrt{1+u'(x)^2}-\ell\right)^2\right)\mathrm{d}x& = & \displaystyle \min_{w} \int_0^1 \left(\frac{1}{2}k\left(\sqrt{1+w'(x)^2}-\ell\right)^2\right)\mathrm{d}x \\
u(0) = u(1) = 0 & \text{et} & u \geqslant v.
\end{array}
\right.
\]
En supposant que $u'$ est petit devant les différences de longueur en jeu, on a alors, en première approximation, que $u$ vérifie le problème d'optimisation suivant :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\frac{1}{2} \int_0^1 u'(x)^2\mathrm{d}x& = & \displaystyle \min_{w} \frac{1}{2}\int_0^1 w'(x)^2\mathrm{d}x \\
u(0) = u(1) = 0 & \text{et} & u \geqslant v.
\end{array}
\right.
\]
On a alors que ce problème admet une unique solution (le sujet ne précisait pas l'espace fonctionnel adapté pour $u$ ! J'ai pu donc parler de $H^1_0(0,1)$ sans que ce ne soit explicitement indiqué dans le texte).
2. Discrétisation du problème
La solution $u$ n'étant pas explicite en général, on essaie d'approcher la solution $u$ en discrétisant le problème. On fixe alors une subdivision régulière $0 = x_0 < x_1 < \ldots < x_N < x_{N+1} = 1$ de l'intervalle $[0,1]$ et on essaie de résoudre le problème discrétisé suivant :
\[
\text{Trouver} \quad U^* \in\mathbb{R}^N \quad \text{tel que} \quad J_N\left(U^*\right) = \min_{\substack{U \in \mathbb{R}^N \\ U \geqslant V}}J_N(U)
\]
où $V \in \mathbb{R}^N$ est le vecteur $\left(v(x_i)\right)_{i \in [\![1,N]\!]}$ et où $J_N$ est la fonctionnelle suivante, définie sur $\mathbb{R}^N$ :
\[
\begin{array}{ccrcl}
J_N & : & \mathbb{R}^N & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
& & U & \longmapsto & \displaystyle \frac{1}{2}\langle AU\vert U \rangle
\end{array}
\]
où $A \in \mathcal{M}_N(\mathbb{R})$ désigne la matrice du laplacien. On montre alors qu'il existe une unique solution à ce problème d'optimisation, qui vérifie quelques propriétés, en accord avec l'intuition :
\[
\forall i \in [\![1,N]\!], \quad U^*_i \geqslant \frac{U^*_{i+1}+U^*_{i-1}}{2}
\]
avec égalité si $U^*_i > V_i$.
3. Méthodes de résolution approchée du problème d'optimisation discrétisé
On propose deux méthodes de résolution approchée de ce problème d'optimisation. La première est une méthode de gradient à pas constant avec projection : on note :
\[
K_N := \left\{U \in \mathbb{R}^N \text{ }\left \vert \text{ } U \geqslant V\right.\right\}
\]
et on considère :
\[
\begin{array}{ccrcl}
\pi & : & \mathbb{R}^N & \longrightarrow & K_N \\
& & U & \longmapsto & \max(U,V) := \left(\max(U_i,V_i)\right)_{1 \leqslant i \leqslant N}
\end{array}
\]
la projection sur le convexe fermé $K_N$. On considère alors la suite suivante, définie par récurrence :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
U^0 & \in & K_N \\
U^{k+1} & = & \pi\left(U^k-\rho AU^k\right)
\end{array}
\right.
\]
où $\rho > 0$ est fixé. On montre alors que si $\displaystyle\rho < \frac{2}{\lambda_{\mathrm{max}}}$, où $\lambda_{\mathrm{max}}$ désigne la plus grande valeur propre de la matrice du laplacien $A$, alors la suite $(U^k)$ converge vers $U^*$. La deuxième méthode est une méthode de pénalisation. Il convient donc de réexpliquer le principe de cette méthode : on fixe un petit paramètre $\eta > 0$ destiné à tendre vers $0$ et, au lieu de résoudre le problème d'optimisation discret avec contrainte, on résout le problème d'optimisation sans contrainte suivant :
\[
\text{Trouver} \quad U^{*,\eta} \in \mathbb{R}^N \quad \text{tel que} \quad J_{N,\eta}\left(U^{*,\eta}\right) = \min_{U \in \mathbb{R}^N} J_{N,\eta}(U)
\]
où $J_{N,\eta}$ est la fonctionnelle suivante, définie sur $\mathbb{R}^N$ :
\[
\begin{array}{ccrcl}
J_{N,\eta} & : & \mathbb{R}^N & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
& & U & \longmapsto & \displaystyle \frac{1}{2}\langle AU \vert U \rangle + \frac{1}{\eta}\sum_{i = 1}^n\max(V_i-U_i,0)^2.
\end{array}
\]
On montre que ce problème admet une unique solution pour tout $\eta > 0$ et que $U^{*,\eta} \xrightarrow[\eta \to 0^+]{}U^*$. On approche alors $U^{*,\eta}$, pour $\eta$ petit, par une méthode de gradient à pas constant :
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
U^0 & \in & \mathbb{R}^N \\
U^{k+1} & = & \displaystyle U^k - \rho\left(AU^k - \frac{2}{\eta}\max(V-U^k,0)\right)
\end{array}
\right.
\]
On montre alors que, sous réserve que $\displaystyle \rho < \frac{2\eta}{2+\eta\lambda_{\mathrm{max}}}$ (je crois), la suite $(U^k)$ converge vers $U^{*,\eta}$.
Plan choisi :
Titre : Comment anticiper la déformation d'une structure élastique soumise à un obstacle
I- Présentation du problème
1. Le modèle élastique
2. Linéarisation du problème
3. Discrétisation et propriétés de la solution discrète
II- Présentation des méthodes de résolution approchées (*)
1. La méthode avec projection
2. La méthode avec pénalisation
III- Comparaison de la convergence des méthodes (*)
1. Convergence de la méthode avec projection
2. Convergence de la méthode avec pénalisation
(les étoiles correspondent aux parties dans lesquelles j'avais prévu d'ajouter des illustrations numériques) Je suis content car j'ai pu traiter tout le texte pendant ma préparation, et donc j'ai pu organiser mon plan de sorte à montrer les résultats pertinents, notamment la stricte convexité des fonctions, qui permettent de justifier l'existence et l'unicité des solutions aux problèmes d'optimisation, et la convergence des méthodes de gradient. Mes simulations marchaient bien également (j'ai pu reproduire les figures du texte) ! J'ai pu également tracer des courbes de convergence pour comparer les méthodes, j'avais donc du contenu dont j'étais fier.
Je remets quelques questions dont je me souviens (elles ne sont pas dans l'ordre et je ne me souviens plus des autres) :
1. Réexpliquer pourquoi on a les propriétés qualitatives :
\[
\forall i \in [\![1,N]\!], \quad U^*_i \geqslant \frac{U^*_{i+1}+U^*_{i-1}}{2}
\]
avec égalité si $U^*_i > V_i$. Cela vient du fait suivant :
\[
\forall i \in [\![1,N]\!], \text{ } \forall \varepsilon > 0, \quad J_N\left(U^* + \varepsilon e_i\right) \geqslant J\left(U^*\right).
\]
La première quantité est bien définie car $U^* + \varepsilon e_i$ est bien dans le convexe $K_N$ (on augmente de $\varepsilon$ la $i$-ème composante, déjà supposée plus grande que $V_i$). On peut donc dériver selon le vecteur $e_i$ dans la bonne direction (selon $+e_i$, mais pas forcément selon $-e_i$) et donc on obtient :
\[
\frac{\partial J_N}{\partial U_i}\left(U^*\right) \geqslant 0
\]
ce qui donne exactement la bonne relation. Si maintenant $U_i^* > V_i$, alors cette fois, on peut également dériver selon $-e_i$ car pour un certain $\varepsilon > 0$ assez petit, $U^* - \varepsilon e_i$ va rester dans $K_N$ (car $U^*_i - \varepsilon > V_i$). Ainsi, dans ce cas, on obtient :
\[
\frac{\partial J_N}{\partial U_i}\left(U^*\right) = 0
\]
2. Réexpliquer pourquoi la fonctionnelle $J_N$ est strictement convexe et coercive. J'ai dit que sa hessienne est définie positive. Pour la coercivité, on peut utiliser le fait que :
\[
\langle AU \vert U\rangle \geqslant \lambda_{\mathrm{min}}\Vert U \Vert^2
\]
grâce au théorème spectral.
3. Un monsieur du jury m'a posé une question sur le principe de Courant-Fischer. Du coup j'ai sorti le truc en dimension finie (le min-max), mais il voulait me l'appliquer en dimension infinie pour le laplacien. Je finis par dire que du coup la plus grande valeur propre de l'opérateur $-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}$ correspond à :
\[
\max_{\substack{u \in H^1_0 \\ \Vert u \Vert = 1}}\int_0^1u'(x)^2\mathrm{d}x.
\]
Le monsieur me demande justement de me donner les valeurs propres de ce Laplacien : il s'agit des $(n\pi)^2$ pour $n \in \mathbb{N}$ et donc ce spectre n'est pas borné (J'ai l'impression que du coup le théorème de Courant-Fischer ne marche pas ici puisque le laplacien n'est pas compact) ! Comment expliquer alors que le spectre de la matrice du laplacien discrétisé $A$ soit dans l'intervalle $(0,4)$ ? Je réponds que, lorsqu'on veut résoudre numériquement l'équation de Laplace, la matrice qui apparaît est $(N+1)^2 \times A$ : quand $N$ tend vers $+\infty$, le spectre grossit de plus en plus, ce qui est cohérent.
4. Y a-t-il un avantage à utiliser une méthode de pénalisation par rapport à une méthode de gradient projeté ? Je réponds qu'en toute généralité, il est difficile d'avoir une expression explicite du projeté sur le convexe définissant les contraintes. Une méthode de pénalisation peut donc permettre de contourner ce problème.
5. Est-ce qu'on pourrait donner une méthode de pénalisation pour le problème continu ? Je dis qu'on pourrait sûrement et je dis que ce serait minimiser sans contrainte la fonctionnelle :
\[
\begin{array}{ccrcl}
J_{\eta} & : & H^1_0(0,1) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
& & u & \longmapsto & \displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1u'(x)^2\mathrm{d}x + \frac{1}{\eta}\int_0^1\max(v(x)-u(x),0)^2\mathrm{d}x.
\end{array}
\]
Grâce au fait qu'on se place sur $H^1_0$, toutes les intégrales convergent. On pourrait montrer alors que l'unique solution $u^{\eta}$ de ce problème d'optimisation sans contrainte converge, dans $H^1$ vers la solution $u$ du problème de départ. Le jury ne m'a pas demandé de le faire.
6. La matrice du laplacien a un spectre bien connu. Comment on pourrait approcher la valeur propre maximale ou le rayon spectral d'une matrice moins sympa ? Je réponds que, pour le rayon spectral, on a la formule :
\[
\rho(A) = \lim_{k \to +\infty} \left\vert\!\left\vert\!\left\vert A^k \right\vert\!\right\vert\!\right\vert^{\frac{1}{k}}.
\]
Sinon, je dis qu'on peut utiliser une méthode de la puissance, mais elle ne marche que s'il n'y a qu'une seule valeur propre de module maximal (je donne comme contre-exemple la matrice $\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}$ où la méthode de la puissance n'a aucune chance de converger). Le monsieur me demande quelle méthode me semble plus avantageuse. Je réponds que ça dépend, mais que dans la plupart des cas, la méthode de la puissance marche. Il me dit qu'il y a aussi un autre avantage avec cette méthode. Je dis "ah oui ça renvoie aussi un vecteur propre pour cette valeur propre". Le monsieur a l'air content.
7. Comment on montre que l'application de projection sur un convexe fermé est $1$-lipschitzienne (utile pour la preuve de la convergence de la méthode de gradient avec projection) ? Et puis comment on montre que l'application $\pi$ est bien l'application de projection sur le convexe $K_N$ ? J'ai bien fait de refaire la preuve de la première question sur ma feuille ! Je réponds que dans les deux cas, on utilise la caractérisation des angles obtus. Le monsieur ne me laisse pas le temps de développer et me dit "Vous savez faire non ? C'est classique ?" Je dis "Oui c'est sur ma feuille." Le monsieur a l'air très content.
8. La dernière question portait sur la forme de la solution exacte. Est-ce que j'ai une intuition de ce que ça pourrait être ? Je fais des dessins, en disant que la solution exacte doit être affine lorsqu'elle est strictement au-dessus de l'obstacle. Le monsieur me dit "je suis sûr que vous savez". J'ai l'idée mais j'oublie le terme mathématique. Je lance au final "Ah oui le graphe de $u$ doit être l'enveloppe convexe du graphe de $v$ !" Le monsieur me dit "oui mais pas exactement" je dis du coup "oui du coup ce serait l'intersection des convexes contenant $(0,0)$, $(1,0)$ et le graphe de $v$". Le monsieur acquiesce et on s'arrête là.
J'aurais pu utiliser différentes couleurs de craies pour mes dessins et numéroter les résultats importants et les problèmes d'optimisation au tableau, mais sinon je trouvais que tout roulait à cet oral. J'aurais peut-être également pu dire plus à l'avance quand j'allais montrer mes simulations numériques. Je me rends compte également que j'ai noté au tableau uniquement les grandes parties et pas les sous-parties, par peur de manquer de place ou de temps.
Le jury était très dynamique, l'échange était rythmé et ils mettaient très à l'aise et n'hésitaient pas à dire quand les choses étaient bien.
Tout s'est passé comme prévu.
19.75
Je profite simplement de cette possibilité de faire un retour pour partager un site extrêmement bien fait de l'université de Strasbourg:
https://feelpp.github.io/cours-tan/cours-tan/chap1/index.html
Il couvre une très grande partie du programme de l'option B et contient entre autres les codes python utiles.
Je le recommande vivement à tous les candidat(e)s et en particulier aux candidats libres qui n'ont pas la chance d'avoir des TD de modélisation !
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