Retours d'oraux : Option B

  • Sujet du texte choisi :

    B90

  • Sujet de l'autre texte :

    B87

  • Un petit résumé du texte :

    Pas de réponse fournie.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Je résume d'abord mon plan puis les questions posées, j'espère être assez clair, mais c'est difficile.

    ----------------------------------------------------------------------------

    I. Position du problème et modélisation

    A. Croissance exponentielle et suite logistique

    On s'intéressait à l'évolution d'une population au cours du temps. On introduisait d'abord le modèle à croissance de population constante

    $$\frac{du}{dt}=\alpha u(t) $$

    où u est le nombre d'individus et \alpha le taux de croissance.
    Ceci mène à une solution exponentielle et donc non crédible.

    On peut alors prendre en compte plusieurs phénomènes :

    - la dépendance en âge, c'est-à-dire que des nouveaux nés n'auront pas le même taux de reproduction que de jeunes adultes par exemple
    - la dépendance en temps, c'est-à-dire que le taux de croissance peut dépendre du temps la reproduction est plus élevé au printemps.
    - les limitations du milieu, c'est-à-dire que si il y a trop de monde la population décroît car le milieu ne fournit pas assez de matériau pour subvenir au besoin de tous.

    On retient la dernière considération ce qui mène à l'équation logistique :
    $$\frac{du}{dt}=\alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} $$
    où \alpha garde la même interprétation et \kappa est une population limite ou plutôt idéal.

    On pose $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} )$

    J'ai ensuite écrit le théorème de Cauchy-Lipchitz proprement au tableau, et dis qu'on pouvait l'appliquer ici. Et on remarquer trois types de comportement :

    - solutions constantes
    - solutions croissantes comprises entre 0 et $\kappa$
    - solutions décroissantes plus grandes que $\kappa$

    Ainsi, notre interprétation de la constante $\kappa$ est en adéquation avec l'étude qualitative de l'équation différentielle.
    On pourrait prendre d'autres types de profil pour g, par exemple $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa}^2$:
    Ici nous ne prenons pas en compte, les déplacements de population, c'est ce que nous allons faire.

    B. Déplacement de population
    On fait l'hypothèse que la population se répartie le long d'une axe.
    Je n'ai pas établie l'équation faute de temps, mais j'ai dit que j'étais prêt à en parler à la fin de l'oral et qu'il faudrait faire un bilan de flux sur une tranche [x,x+dx] comme dans le cas de l'équation de la chaleur et utiliser une loi du type Fourier.
    On est amené à l'équation :

    $$ \frac{du}{dt}=\nu \frac{d^2 u}{dx^2} + g(u(x,t))$$

    Même si je n'ai pas établie l'équation je donne l'interprétation des termes, c'est-à-dire que $\nu \frac{d^2 u}{dx^2}$ correspond à la diffusion et $g(u(x,t))$ à la création de population localement, ce qui apparaît nettement quand on fait le bilan.

    J'ai précisé qu'il fallait se fixer des conditions aux bords comme dans l'autre équation parabolique que je connaissais : l'équation de la chaleur. Ici on fixait la dérivée égale à 0 au bords ( on se plaçait sur un segment [-L,L] )


    II. Différences finies

    A. Présentation et consistance du schéma

    J'ai expliqué que l'idée était de changer une équation différentielle en un problème discret et donc en un système linéaire à résoudre.
    Là, j'ai fait mes petits développements de Taylor pour montrer que le schéma choisi par le texte était d'ordre 2 en espace et 1 en temps ( on traitait en implicite le terme diffusif et en explicite le terme de création de population.
    (J'ai essayé d'être le plus clair possible vu le dernière oral que j'ai présenté)
    J'ai précisé que les conditions aux bords était d'ordre 2 en espace sans le démontrer.
    Donc le schéma au total était bien d'ordre 2 en espace et 1 en temps, donc consistant ce qui invitait à définir le schéma qui était dans le texte ( là j'ai renvoyé au texte où tout était posé sans réécrire)
    Il faut ensuite montrer que le schéma est bien définie, j'ai donc montrer que la matrice M qui définissait le schéma était symétrique définie positive. Là, il fallait montrer qu'une quantité du type $tV M V$ était strictement positive, si V était un vecteur non-nul.
    On a donc montré que le schéma était consistant et bien défini, mais il faut encore montrer la stabilité.

    B. Stabilité

    On convient de dire qu'un vecteur V est positif si toutes ses composantes sont positives.
    Là, on montre que $$ MV \ge 0 \Rightarrow V \ge 0 $$ par un argument sur le min des composantes de V.
    Là, j'avais préparé la démonstration pour montrer que cela impliquait que les termes du schéma était toujours compris entre 0 et 1, mais il m'a dit qu'il ne me restait plus que 10 minutes, donc j'ai dit qu'on allait passer aux applications numériques, mais qu'on pourrait reparler de cela à la fin.


    III. Applications numériques

    A. Vitesse

    On prend L=40, $\nu =1$, $\kappa=1$
    Là, j'ai présenté mon schéma avec une condition initiale qui était concentrée en zéros, du type 0.8* cos(2*\pi x ) entre -10 et 10 et 0 sinon. L'animation montrait qu'il y avait diffusion sur les bords et au centre on allait rejoindre la population "idéal" $\kappa$, puis ensuite qu'il y avait diffusion quand 1 était atteint.
    Ensuite, j'ai présenté une animation avec la même condition initiale que précédemment et deux $\nu$, on voyait que sur les bords la courbe avec le plus grand $\nu$ "allait plus vite". On avait donc la bonne interprétation de $\nu$ dans le bilan du début.
    J'ai dit que cela pouvait être utile pour calculer la vitesse de propagation du population d'animaux sauvages, etc.

    B. Ondes progressives

    Le texte montrait qu'il existait une onde se déplaçant en tanh(c(x-\lambda*t)) pour des c et \lambda convenables , j'ai montré mes graphes avec encore une animation, où l'on voyait la solution exacte et le schéma.
    Là il m'a dit qu'il fallait conclure.

    C. Ordre

    J'ai juste dit que mon dernier programme avait pas marché, mais que je voulais mettre en évidence l'ordre du schéma à partir de l'onde progressive qu'on avait calculer, et que normalement on devrait se retrouver avec une cassure quand le pas de temps devenait assez petit, car comme l'ordre est de 2 en espace, c'est inutile de calculer au bout d'une moment, car on ne gagne plus en précision.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions :

    Q : Qu'est-ce qu'il se passe si on traite le terme diffusif en explicite ?
    R : En général, quand on traite un problème en implicite plutôt qu'en explicite c'est pour gagner en précision.

    Q : Ah bon ?
    R : Euh … ah bah oui non on gagne rien du tout les ordres restent les mêmes ici.

    Q : Qu'est-ce que vous feriez pour gagner un ordre en temps ici ?
    R : On peut tenter d'approcher la dérivée en temps par un truc du type

    $$ u^{n+1}_j-u^{n-1}_j$$

    Je sais pas si cela marche, mais on est passé à la suite, très vite.

    Q : Et si on traite le terme de création de population (g(u(x,t)) en implicite qu'est-ce qu'il se passe ?
    R : Il faut utiliser la méthode de Newton. J'essaye de l'expliquer, mais ça n'a pas l'air clair donc l'examinateur me demande d'écrire au tableau, ce que je fais et on passe à la suite.

    Q : Si on oublie la dépendant en temps, qu'est-ce qu'il se passe ?
    R : Il faut réécrire la matrice et en fait le problème n'admet plus nécessairement une unique solution, ce qui se répercute dans le problème discret car la matrice n'est plus définie positive.

    Q : Vous avez dit le taux de croissance pouvait dépendre du temps, vous pouvez préciser ?
    R : En fait il faut écrire un coefficient $\alpha$ dépendant du temps, par exemple

    $$ \alpha (t) = \alpha _0 ( 1+ cos(\omega t))$$

    On choisit le terme périodique, car l'année se répète.


    Q : À quelle condition une solution d'une telle équation est-elle périodique ?
    R : $\int_0^T \alpha(s) ds = 0 $ où $ T = \frac{ 2 \pi}{\omega} $

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Attitude : assez cassant au début mais décontracté vers la fin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    un truc sur les différences finies qui est une modélisation d'un système physique

  • Sujet de l'autre texte :

    un truc sur les différences finies qui n'est pas une modélisation d'un système physique

  • Un petit résumé du texte :

    Pas de réponse fournie.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    quelle est la dérivée de l'inverse de f^-1, d'où ça sort ? et ensuite il s'est rendormi. Comment on obtient le schéma, pourquoi telle fonction intégrale à paramètre est continue, croissante, que des conneries du genre.

    J'ai sorti 2 énormes conneries, ils sont revenus dessus et sinon que des 'ah mais vous avez dit ça mais comment vous le faites exactement ?' Rien dont je n'ai pas parlé, pourtant il y avait quelques trucs à dire, mais il y avait masse de calculs dont beaucoup d'ellipses de ma part pour tenir dans le temps imparti.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le niveau des questions ? Très variées entre débile et moyen. Certains m'ont totalement déstabilisées tellement c'était con, mais j'ai bien répondu. Un type dormait tout le temps et se réveillait de temps à autre pour dire des trucs bizarres puis se rendormait. Une femme qui a pas parlé, une question, j'ai été trop rapide, elle m'a regardé plus lentement, j'ai réexpliqué, elle était contente et les autres très sympas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très bizarre, déjà seulement 40 minutes, je croyais 45, mais bon, un peu dépassé ils ont rien dit, le mec qui dort fin voilà ... C'est eux qui allume et éteignent le rétro qui est au centre du tableau, c'est pas un rétro à côté ni un écran individuel pour les profs et la question finale qui m'a laissé sans voix 'que garderiez vous si vous étiez professeur de terminal?' et fin, je lui ai expliqué que bon tu peux leur faire faire le schéma et voir que ça converge, mais bon vu que TOUT le reste, pourquoi ça converge, pourquoi tu prends ce schéma, pourquoi c'est intéressant, pourquoi la solution existe, fin je vois pas du tout l'intérêt ... Enfin au moins j'ai pas eu 'que faites vous si un élève vous frappe?', peut être demain Bref, malade comme un chien, stressé comme pas possible et des stupidités incroyables, mais ils ont été très sympa, fin ceux qui parlaient et ils ont passé du temps à tout expliquer c'était plutôt sympa et 4h c'était limite !

  • Note

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    B90

  • Sujet de l'autre texte :

    B87

  • Un petit résumé du texte :

    Pas de réponse fournie.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur l exposé (des trucs qu ils avaient pas compris et que j'avais mal expliqué et des "fautes de frappe" au tableau (une matrice M au mauvais endroit et un t au lieu d un x)...) et de cours...

    Le calcul que vous aviez fait on pouvait pas le faire autrement? (sur deux calculs que j'avais fait) Pourquoi l'avez vous fait ainsi? (pourquoi pas?...)

    citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact.

    Refaites une étude qualitative déjà faite, refaites une preuve

    est ce que votre animation bouge? (oui elle bouge...)

    Pourquoi avez vous choisi ce pas de temps? (parce qu'il marche...)

    Comment inverser la matrice? (tridiagonale donc je dis LU) Pas mieux ? (symétrique donc LU c est pareil que Cholesky) Pourquoi vous avez pas dit cholesky? (parce que c est pareil ... c est symétrique...)

    Comment on élimine la condition sur dt? (je m embrouille un peu, mais finis par parler des schémas amonts et avaux, et lequel convient dans quel cas d'équation au transport... Non ce qui les intéressait était sur y'=lambda*y lequel convient..)

    Qu'est ce qui se passe si on part au dessus du seuil critique ? (aucun sens qualitatif pour le développement d'une population, c'est pour ca que c'est un seuil critique... mais j'explique que la population dépérit lentement)

    Sur l'équation sur tout R on a une solution, vous l'avez tracé sur un segment quelle équation vérifie t elle? (je dis que c est presque l équation... "ah presque!"... On est en analyse numérique, c'est évidemment une approximation que je ne peux pas représenter sur tout R, je la trace sur un segment du coup... "mais pourquoi on peut le faire?"... Parce que c'est une tangente hyperbolique...)

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le niveau des questions était facile (soit je l'avais déjà expliqué, soit c était du cours "citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact" soit c était des trucs qu ils avaient pas vu " tu aurais du inverser la matrice avant la boucle" (je l'avais fait...)). Quelques autres hors du lot.

    L'attitude du jury : je l'ai trouvé cassant, pas intéressé parce que je disais...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Même texte que charles, il l'a très bien décrit. Honnêtement j'ai eu l'impression de ne jamais avoir aussi bien réussi l'étude d'un texte. J'ai répondu correctement à toutes les questions, j'avais des animations, des graphes, des études de célérité au delà du texte, tout tournait correctement... Sur la présentation : j'arrive, ils voient mon nom et un dit "ah un rémi, bravo" (mon second nom), je dis que je ne l'aime pas trop, il devient froid d'un coup ("vous venez de perdre les points que vous auriez gagné")... Du coup je stresse un peu. J'écris avec mon écriture habituelle (je sais...), présente le problème, donne des explications qualitatives, des interprétations, ils commencent à faire la gueule... Je panique encore un peu, et fais une faute d'inattention (le t à la place du x sur la dérivée...). Ils le signalent, on continue. Ca me fait perdre du temps (ils n'ont pas arrêté le chrono pour l'interruption). Du coup je dois aller un peu plus vite, je me plante en mettant une matrice ou il faut pas (mais ma description orale ne laisse pas de doutes qu'il fallait la mettre a coté, puis un max au lieu d'un min "vous pouvez faire attention pour une fois et mettre un min?"), puis je décris mon animation. Je pense faire une bonne description qualitative. Sur la troisième partie je dois faire avec les mains faute de temps (c était un calcul, un système..) mais je montre mon animation, et j'explique pourquoi c'est bien. J'ouvre en suggérant des études de célérité des ondes progressives observées dans le cas général. Un peu trouble par moments, quelques secousses et pas ma meilleure présentation, mais globalement j'étais content. Visiblement pas eux. Ils sont revenus sur ce que j'ai fait, m'ont fait écrire tous les théorèmes (que j'avais cité), se sont plaint que j'aie fait les calculs d'une façon et pas d'une autre... Et au final je pense se fichaient totalement des descriptions que j'avais faites. Je n'ai aucune idée de la note qu'ils veulent me donner et je suis vraiment dégoûté d'avoir sué pour aller plus loin que le texte pour, semble t il, rien.

  • Note

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    EDO, EDP, différences finies, interpolation

  • Sujet de l'autre texte :

    methodes de gradient, algebre lineaire

  • Un petit résumé du texte :

    C'était sur les problèmes de contrôle : on prend un système différentiel (à une ou plusieurs variables) qui résulte d'équations de la physique (on impose une force sur un système), qui vérifie des propriété d'existence et unicité de solutions en fonction de la force et des conditions initiales. On fait le problème inverse : quelle force imposer pour arriver à un état final choisi en un temps donné.
    (je viens de voir que c'est principalement une réécriture du sujet du concours d'entrée à l'ENS Math C)

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    - prouver trois résultats du texte : un résultat de densité, un résultat d'existence/unicité à l'aide de formes linéaires, et un résultat de projection orthogonale
    - numérique : du matriciel (pour mon probleme de systeme lineaire), de la chaleur (explicite et implicite), et j'ai commencé mais non terminé le tracé des solutions au problème

    J'ai suivi le texte mais pas trop, et rajouté des maths.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - montrer comment approximer une dérivée d'ordre n
    grand
    - montrer un autre résultat de densité (avec des polynomes qui n'ont que des termes de degré pair)
    - montrer comment vous avez codé la résolution numérique de la chaleur, en particulier les conditions de Neumann (je l'ai fait comme un sauvage mais j'ai expliqué ce qu'il aurait fallu faire)
    - là vous inversez la matrice plutot que résoudre le systeme, pourquoi ?
    - j'avais parlé de conditionnement dans mon exposé, c'est quoi le conditionnement ? comment l'avais vous calculé ? l'exprimer pour la norme 2, comment calculer ce rayon spectral numériquement ? (puissance), formellement ? (on ne peut pas, par le pouvoir de l'algèbre !)
    - la classique : énoncer Cauchy Lipschitz

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    je ne sais pas, être plus réactif en début des questions ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    2 muets
    2 enthousiastes

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    comme prévu

  • Note

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