Retours d'oraux : Option B

  • Sujet du texte choisi :

    B90

  • Sujet de l'autre texte :

    B87

  • Un petit résumé du texte :

    Pas de réponse fournie.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Je résume d'abord mon plan puis les questions posées, j'espère être assez clair, mais c'est difficile.

    ----------------------------------------------------------------------------

    I. Position du problème et modélisation

    A. Croissance exponentielle et suite logistique

    On s'intéressait à l'évolution d'une population au cours du temps. On introduisait d'abord le modèle à croissance de population constante

    $$\frac{du}{dt}=\alpha u(t) $$

    où u est le nombre d'individus et \alpha le taux de croissance.
    Ceci mène à une solution exponentielle et donc non crédible.

    On peut alors prendre en compte plusieurs phénomènes :

    - la dépendance en âge, c'est-à-dire que des nouveaux nés n'auront pas le même taux de reproduction que de jeunes adultes par exemple
    - la dépendance en temps, c'est-à-dire que le taux de croissance peut dépendre du temps la reproduction est plus élevé au printemps.
    - les limitations du milieu, c'est-à-dire que si il y a trop de monde la population décroît car le milieu ne fournit pas assez de matériau pour subvenir au besoin de tous.

    On retient la dernière considération ce qui mène à l'équation logistique :
    $$\frac{du}{dt}=\alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} $$
    où \alpha garde la même interprétation et \kappa est une population limite ou plutôt idéal.

    On pose $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa} )$

    J'ai ensuite écrit le théorème de Cauchy-Lipchitz proprement au tableau, et dis qu'on pouvait l'appliquer ici. Et on remarquer trois types de comportement :

    - solutions constantes
    - solutions croissantes comprises entre 0 et $\kappa$
    - solutions décroissantes plus grandes que $\kappa$

    Ainsi, notre interprétation de la constante $\kappa$ est en adéquation avec l'étude qualitative de l'équation différentielle.
    On pourrait prendre d'autres types de profil pour g, par exemple $ g : u\mapsto \alpha u*(1-\frac{u}{\kappa}^2$:
    Ici nous ne prenons pas en compte, les déplacements de population, c'est ce que nous allons faire.

    B. Déplacement de population
    On fait l'hypothèse que la population se répartie le long d'une axe.
    Je n'ai pas établie l'équation faute de temps, mais j'ai dit que j'étais prêt à en parler à la fin de l'oral et qu'il faudrait faire un bilan de flux sur une tranche [x,x+dx] comme dans le cas de l'équation de la chaleur et utiliser une loi du type Fourier.
    On est amené à l'équation :

    $$ \frac{du}{dt}=\nu \frac{d^2 u}{dx^2} + g(u(x,t))$$

    Même si je n'ai pas établie l'équation je donne l'interprétation des termes, c'est-à-dire que $\nu \frac{d^2 u}{dx^2}$ correspond à la diffusion et $g(u(x,t))$ à la création de population localement, ce qui apparaît nettement quand on fait le bilan.

    J'ai précisé qu'il fallait se fixer des conditions aux bords comme dans l'autre équation parabolique que je connaissais : l'équation de la chaleur. Ici on fixait la dérivée égale à 0 au bords ( on se plaçait sur un segment [-L,L] )


    II. Différences finies

    A. Présentation et consistance du schéma

    J'ai expliqué que l'idée était de changer une équation différentielle en un problème discret et donc en un système linéaire à résoudre.
    Là, j'ai fait mes petits développements de Taylor pour montrer que le schéma choisi par le texte était d'ordre 2 en espace et 1 en temps ( on traitait en implicite le terme diffusif et en explicite le terme de création de population.
    (J'ai essayé d'être le plus clair possible vu le dernière oral que j'ai présenté)
    J'ai précisé que les conditions aux bords était d'ordre 2 en espace sans le démontrer.
    Donc le schéma au total était bien d'ordre 2 en espace et 1 en temps, donc consistant ce qui invitait à définir le schéma qui était dans le texte ( là j'ai renvoyé au texte où tout était posé sans réécrire)
    Il faut ensuite montrer que le schéma est bien définie, j'ai donc montrer que la matrice M qui définissait le schéma était symétrique définie positive. Là, il fallait montrer qu'une quantité du type $tV M V$ était strictement positive, si V était un vecteur non-nul.
    On a donc montré que le schéma était consistant et bien défini, mais il faut encore montrer la stabilité.

    B. Stabilité

    On convient de dire qu'un vecteur V est positif si toutes ses composantes sont positives.
    Là, on montre que $$ MV \ge 0 \Rightarrow V \ge 0 $$ par un argument sur le min des composantes de V.
    Là, j'avais préparé la démonstration pour montrer que cela impliquait que les termes du schéma était toujours compris entre 0 et 1, mais il m'a dit qu'il ne me restait plus que 10 minutes, donc j'ai dit qu'on allait passer aux applications numériques, mais qu'on pourrait reparler de cela à la fin.


    III. Applications numériques

    A. Vitesse

    On prend L=40, $\nu =1$, $\kappa=1$
    Là, j'ai présenté mon schéma avec une condition initiale qui était concentrée en zéros, du type 0.8* cos(2*\pi x ) entre -10 et 10 et 0 sinon. L'animation montrait qu'il y avait diffusion sur les bords et au centre on allait rejoindre la population "idéal" $\kappa$, puis ensuite qu'il y avait diffusion quand 1 était atteint.
    Ensuite, j'ai présenté une animation avec la même condition initiale que précédemment et deux $\nu$, on voyait que sur les bords la courbe avec le plus grand $\nu$ "allait plus vite". On avait donc la bonne interprétation de $\nu$ dans le bilan du début.
    J'ai dit que cela pouvait être utile pour calculer la vitesse de propagation du population d'animaux sauvages, etc.

    B. Ondes progressives

    Le texte montrait qu'il existait une onde se déplaçant en tanh(c(x-\lambda*t)) pour des c et \lambda convenables , j'ai montré mes graphes avec encore une animation, où l'on voyait la solution exacte et le schéma.
    Là il m'a dit qu'il fallait conclure.

    C. Ordre

    J'ai juste dit que mon dernier programme avait pas marché, mais que je voulais mettre en évidence l'ordre du schéma à partir de l'onde progressive qu'on avait calculer, et que normalement on devrait se retrouver avec une cassure quand le pas de temps devenait assez petit, car comme l'ordre est de 2 en espace, c'est inutile de calculer au bout d'une moment, car on ne gagne plus en précision.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions :

    Q : Qu'est-ce qu'il se passe si on traite le terme diffusif en explicite ?
    R : En général, quand on traite un problème en implicite plutôt qu'en explicite c'est pour gagner en précision.

    Q : Ah bon ?
    R : Euh … ah bah oui non on gagne rien du tout les ordres restent les mêmes ici.

    Q : Qu'est-ce que vous feriez pour gagner un ordre en temps ici ?
    R : On peut tenter d'approcher la dérivée en temps par un truc du type

    $$ u^{n+1}_j-u^{n-1}_j$$

    Je sais pas si cela marche, mais on est passé à la suite, très vite.

    Q : Et si on traite le terme de création de population (g(u(x,t)) en implicite qu'est-ce qu'il se passe ?
    R : Il faut utiliser la méthode de Newton. J'essaye de l'expliquer, mais ça n'a pas l'air clair donc l'examinateur me demande d'écrire au tableau, ce que je fais et on passe à la suite.

    Q : Si on oublie la dépendant en temps, qu'est-ce qu'il se passe ?
    R : Il faut réécrire la matrice et en fait le problème n'admet plus nécessairement une unique solution, ce qui se répercute dans le problème discret car la matrice n'est plus définie positive.

    Q : Vous avez dit le taux de croissance pouvait dépendre du temps, vous pouvez préciser ?
    R : En fait il faut écrire un coefficient $\alpha$ dépendant du temps, par exemple

    $$ \alpha (t) = \alpha _0 ( 1+ cos(\omega t))$$

    On choisit le terme périodique, car l'année se répète.


    Q : À quelle condition une solution d'une telle équation est-elle périodique ?
    R : $\int_0^T \alpha(s) ds = 0 $ où $ T = \frac{ 2 \pi}{\omega} $

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Attitude : assez cassant au début mais décontracté vers la fin.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    un truc sur les différences finies qui est une modélisation d'un système physique

  • Sujet de l'autre texte :

    un truc sur les différences finies qui n'est pas une modélisation d'un système physique

  • Un petit résumé du texte :

    Pas de réponse fournie.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    quelle est la dérivée de l'inverse de f^-1, d'où ça sort ? et ensuite il s'est rendormi. Comment on obtient le schéma, pourquoi telle fonction intégrale à paramètre est continue, croissante, que des conneries du genre.

    J'ai sorti 2 énormes conneries, ils sont revenus dessus et sinon que des 'ah mais vous avez dit ça mais comment vous le faites exactement ?' Rien dont je n'ai pas parlé, pourtant il y avait quelques trucs à dire, mais il y avait masse de calculs dont beaucoup d'ellipses de ma part pour tenir dans le temps imparti.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le niveau des questions ? Très variées entre débile et moyen. Certains m'ont totalement déstabilisées tellement c'était con, mais j'ai bien répondu. Un type dormait tout le temps et se réveillait de temps à autre pour dire des trucs bizarres puis se rendormait. Une femme qui a pas parlé, une question, j'ai été trop rapide, elle m'a regardé plus lentement, j'ai réexpliqué, elle était contente et les autres très sympas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Très bizarre, déjà seulement 40 minutes, je croyais 45, mais bon, un peu dépassé ils ont rien dit, le mec qui dort fin voilà ... C'est eux qui allume et éteignent le rétro qui est au centre du tableau, c'est pas un rétro à côté ni un écran individuel pour les profs et la question finale qui m'a laissé sans voix 'que garderiez vous si vous étiez professeur de terminal?' et fin, je lui ai expliqué que bon tu peux leur faire faire le schéma et voir que ça converge, mais bon vu que TOUT le reste, pourquoi ça converge, pourquoi tu prends ce schéma, pourquoi c'est intéressant, pourquoi la solution existe, fin je vois pas du tout l'intérêt ... Enfin au moins j'ai pas eu 'que faites vous si un élève vous frappe?', peut être demain Bref, malade comme un chien, stressé comme pas possible et des stupidités incroyables, mais ils ont été très sympa, fin ceux qui parlaient et ils ont passé du temps à tout expliquer c'était plutôt sympa et 4h c'était limite !

  • Note

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    B90

  • Sujet de l'autre texte :

    B87

  • Un petit résumé du texte :

    Pas de réponse fournie.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Des questions sur l exposé (des trucs qu ils avaient pas compris et que j'avais mal expliqué et des "fautes de frappe" au tableau (une matrice M au mauvais endroit et un t au lieu d un x)...) et de cours...

    Le calcul que vous aviez fait on pouvait pas le faire autrement? (sur deux calculs que j'avais fait) Pourquoi l'avez vous fait ainsi? (pourquoi pas?...)

    citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact.

    Refaites une étude qualitative déjà faite, refaites une preuve

    est ce que votre animation bouge? (oui elle bouge...)

    Pourquoi avez vous choisi ce pas de temps? (parce qu'il marche...)

    Comment inverser la matrice? (tridiagonale donc je dis LU) Pas mieux ? (symétrique donc LU c est pareil que Cholesky) Pourquoi vous avez pas dit cholesky? (parce que c est pareil ... c est symétrique...)

    Comment on élimine la condition sur dt? (je m embrouille un peu, mais finis par parler des schémas amonts et avaux, et lequel convient dans quel cas d'équation au transport... Non ce qui les intéressait était sur y'=lambda*y lequel convient..)

    Qu'est ce qui se passe si on part au dessus du seuil critique ? (aucun sens qualitatif pour le développement d'une population, c'est pour ca que c'est un seuil critique... mais j'explique que la population dépérit lentement)

    Sur l'équation sur tout R on a une solution, vous l'avez tracé sur un segment quelle équation vérifie t elle? (je dis que c est presque l équation... "ah presque!"... On est en analyse numérique, c'est évidemment une approximation que je ne peux pas représenter sur tout R, je la trace sur un segment du coup... "mais pourquoi on peut le faire?"... Parce que c'est une tangente hyperbolique...)

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Pas de réponse fournie.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le niveau des questions était facile (soit je l'avais déjà expliqué, soit c était du cours "citez Cauchy Lipschitz et le lemme de sortie de tout compact" soit c était des trucs qu ils avaient pas vu " tu aurais du inverser la matrice avant la boucle" (je l'avais fait...)). Quelques autres hors du lot.

    L'attitude du jury : je l'ai trouvé cassant, pas intéressé parce que je disais...

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Même texte que charles, il l'a très bien décrit. Honnêtement j'ai eu l'impression de ne jamais avoir aussi bien réussi l'étude d'un texte. J'ai répondu correctement à toutes les questions, j'avais des animations, des graphes, des études de célérité au delà du texte, tout tournait correctement... Sur la présentation : j'arrive, ils voient mon nom et un dit "ah un rémi, bravo" (mon second nom), je dis que je ne l'aime pas trop, il devient froid d'un coup ("vous venez de perdre les points que vous auriez gagné")... Du coup je stresse un peu. J'écris avec mon écriture habituelle (je sais...), présente le problème, donne des explications qualitatives, des interprétations, ils commencent à faire la gueule... Je panique encore un peu, et fais une faute d'inattention (le t à la place du x sur la dérivée...). Ils le signalent, on continue. Ca me fait perdre du temps (ils n'ont pas arrêté le chrono pour l'interruption). Du coup je dois aller un peu plus vite, je me plante en mettant une matrice ou il faut pas (mais ma description orale ne laisse pas de doutes qu'il fallait la mettre a coté, puis un max au lieu d'un min "vous pouvez faire attention pour une fois et mettre un min?"), puis je décris mon animation. Je pense faire une bonne description qualitative. Sur la troisième partie je dois faire avec les mains faute de temps (c était un calcul, un système..) mais je montre mon animation, et j'explique pourquoi c'est bien. J'ouvre en suggérant des études de célérité des ondes progressives observées dans le cas général. Un peu trouble par moments, quelques secousses et pas ma meilleure présentation, mais globalement j'étais content. Visiblement pas eux. Ils sont revenus sur ce que j'ai fait, m'ont fait écrire tous les théorèmes (que j'avais cité), se sont plaint que j'aie fait les calculs d'une façon et pas d'une autre... Et au final je pense se fichaient totalement des descriptions que j'avais faites. Je n'ai aucune idée de la note qu'ils veulent me donner et je suis vraiment dégoûté d'avoir sué pour aller plus loin que le texte pour, semble t il, rien.

  • Note

    Pas de réponse fournie.

  • Sujet du texte choisi :

    EDO, EDP, différences finies, interpolation

  • Sujet de l'autre texte :

    methodes de gradient, algebre lineaire

  • Un petit résumé du texte :

    C'était sur les problèmes de contrôle : on prend un système différentiel (à une ou plusieurs variables) qui résulte d'équations de la physique (on impose une force sur un système), qui vérifie des propriété d'existence et unicité de solutions en fonction de la force et des conditions initiales. On fait le problème inverse : quelle force imposer pour arriver à un état final choisi en un temps donné.
    (je viens de voir que c'est principalement une réécriture du sujet du concours d'entrée à l'ENS Math C)

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    - prouver trois résultats du texte : un résultat de densité, un résultat d'existence/unicité à l'aide de formes linéaires, et un résultat de projection orthogonale
    - numérique : du matriciel (pour mon probleme de systeme lineaire), de la chaleur (explicite et implicite), et j'ai commencé mais non terminé le tracé des solutions au problème

    J'ai suivi le texte mais pas trop, et rajouté des maths.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - montrer comment approximer une dérivée d'ordre n
    grand
    - montrer un autre résultat de densité (avec des polynomes qui n'ont que des termes de degré pair)
    - montrer comment vous avez codé la résolution numérique de la chaleur, en particulier les conditions de Neumann (je l'ai fait comme un sauvage mais j'ai expliqué ce qu'il aurait fallu faire)
    - là vous inversez la matrice plutot que résoudre le systeme, pourquoi ?
    - j'avais parlé de conditionnement dans mon exposé, c'est quoi le conditionnement ? comment l'avais vous calculé ? l'exprimer pour la norme 2, comment calculer ce rayon spectral numériquement ? (puissance), formellement ? (on ne peut pas, par le pouvoir de l'algèbre !)
    - la classique : énoncer Cauchy Lipschitz

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    je ne sais pas, être plus réactif en début des questions ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    2 muets
    2 enthousiastes

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    comme prévu

  • Note

    17

  • Sujet du texte choisi :

    "Le balai renversé", B10.
    les mots clés : EDO, algèbre linéaire et optimisation

  • Sujet de l'autre texte :

    Je ne me souviens plus car j'ai vite, ça parlait de cellules et d'adn. Dans les mots clés c'était EDO et étude du problème de Cauchy.
    Texte B28

  • Un petit résumé du texte :

    On tient un balai en équilibre en position verticale sur notre main, on essaie de voir comment bouger notre main pour maintenir cet équilibre.
    On se retrouve avec une équation différentielle x'(t)= f(t,x(t)) (où la fonction f dépend aussi d'une fonction u, connue à l'avance, correspondant au déplacement de notre main au cours du temps.)
    On étudie rapidement cette équation différentielle dans le cas où u est la fonction nulle, puis on passe à l'étude du linéarisé du système. Il n'est pas explicitement cité dans le texte, mais je pense que cette étude du cas linéarisé se justifie grâce au thm de Lyapounov.
    Le texte se termine avec une étude sur un cas où u est une fonction constante par morceaux, puis après en dernier paragraphe ça part sur de l'optimisation mais je ne suis pas arrivé jusque là.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    J'ai produit 3 codes, les 3 étaient presque identiques et modélisaient l'angle entre le manche de notre balai et la verticale au cours du temps :
    d'abord si on ne bougeait pas notre main, ensuite touujours si on ne bouge pas notre main, la dérivée de la fonction angle en fonction du temps, puis enfin si on bougeait suivant une certaine fonction constante par morceaux, la variation de l'angle.
    Tous ces codes étaient suggérés dans le texte, ils conseillaient la méthode d'Euler explicite (que j'ai aussi utilisé) et je suis bien tombé sur les mêmes dessins que dans le texte.

    Au niveau des théorèmes, il y en avait un gros à démontrer et sa preuve se passait en deux étapes :
    d'abord redémontrer que les solutions d'une équation diff affine du premier ordre s'expriment selon la formule [blablabla], c'est démontré dans le Demailly par exemple donc là il suffisait juste de lire le livre pour savoir comment faire.
    Ensuite un second lemme dont la démonstration reposait sur des résultats d'algèbre linéaire (Cayley Hamilton et le fait que l'expo de matrice est un polynome en la matrice), mais dont la démonstration était très guidée.
    J'ai démontré les deux durant la préparatoin, mais à l'oral je n'ai fait que le second lemme par manque de temps.

    Pour le plan : Il était en 3 parties :
    I - Présentation du problème, exemple du cas où on ne bouge pas la main (présentation des deux premiers codes)
    II - Etude du système différentiel linéarisé (comme suggéré dans le texte) (on y démontre le thm)
    III - Exemple sur un cas moins simple (présentation du troisième code)

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    On est revenu sur ma preuve du théorème, notamment pourquoi l'exponentielle est un polynôme en la matrice.
    J'avais cité Cauchy Lipschitz local mais dans le cas d'une fonction C^1, il m'ont demandé le "vrai" théorème.
    Je n'avais pas très bien appliqué ce théorème donc on est revenu sur ce que j'avais fait dans l'oral, ils m'ont fait corriger une erreur au tableau.
    Puis on en est venu au code, ils m'ont posé quelques questions sur la méthode d'Euler :
    Quelles sont ses propriétés ? (sous-entendu : Stabilité, Consistance, Convergente ?)
    J'ai dit qu'elle était convergente, ils m'ont demandé d'écrire la définition de convergente au tableau.
    Ils m'ont demandé des critères pour la consistance/stabilité, l'ordre de consistance d'Euler, des trucs de ce genre (en gros tout ce qu'on peut lire dans le chapitre du Demailly "méthode d'approximation à un pas")
    On m'a aussi demandé si Euler pouvait s'appliquer sur R et non pas sur [0,T]. J'ai dit (en moins bien formulé que ça) que puisque de toutes façons puisqu'on considère des approximations en un nombre fini de points, l'étude se fait forcément sur un intervalle [a,b] qu'on le veuille ou non. Ça les a convaincu visiblement.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Mon oral s'est bien mieux passé que prévu car j'ai été interrogé sur des notions que j'avais revu peu de temps avant. Parmi les choses que j'aurais pu améliorer, c'est sans doute ma présentation de 35 minutes. J'avais un tableau assez vieux sur lequel il était difficile d'écrire lisiblement (la craie ne "glissait" pas sur le tableau...), du coup j'ai perdu beaucoup de temps à écrire et j'ai du sélectionner ce que je démontrais. Plutôt que de démontrer le lemme fait dans le Demailly, qui figurait dans le texte mais sans indication sur comment le démontrer, j'ai démontré l'autre lemme sur lequel il y avait beaucoup d'indications dans le texte. Stratégiquement c'était pas optimal je pense. Mais ça n'est pas si grave...

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le jury était très sympathique, et me mettait bien en confiance. Ils m'ont aidé à corriger une erreur sur Cauchy Lipschitz au tableau.
    Je trouve que c'est l'oral où le jury est le plus agréable, on sent que la discussion est vraiment une discussion justement, et pas une séance d'exercices où on te laisse patauger plusieurs minutes quand tu ne comprends pas ce qu'on te dit.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    L'oral et la préparation se sont bien mieux passés que prévu, j'avais vraiment peur de la modélisation mais puisque le jury m'a posé les questions auxquelles on m'avait conseillé de me préparer, j'ai pu m'en sortir.
    La seule mauvaise surprise c'est le tableau tout pourri où il était vraiment difficile d'écrire de façon rapide et lisible.

  • Note

    12.75

  • Sujet du texte choisi :

    B31 - Equations différentielles

  • Sujet de l'autre texte :

    B33 - Analyse matricielle

  • Un petit résumé du texte :

    On décrit l'évolution du volume d'air dans un poumon étant donné la variation de pression exercée par le corps/les parois sur l'intérieur du poumon.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Plan dont on dit qu'il marche à tous les coups: I-Modélisation du problème, II- Etude théorique III- Etude numérique.

    Comme j'ai passé du temps à comprendre les équations et que j'étais relativement l'aise, j'ai justifié de manière assez détaillé l'établissement des équations.
    Dans la partie théorique, j'ai justifié plus ou moins rapidement deux propositions suggérée et j'ai montré une résolution par la méthode d'Euler explicite et une tentative d'Euler implicite.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'avais révisé pour l'occasion les notions de consistance, stabilité et convergence sur lesquels ils n'ont pas manqué de m'interroger. Ils m'ont demander pourquoi Euler implicite était meilleur et je n'ai pas su répondre, cependant pour la recherche du zéro d'une fonction j'ai parlé de la méthode de la sécante, de Newton et j'ai même mentionné le thm de Kantorovich qui donne la vitesse de convergence sous conditions. Ils m'ont demander de justifier qu'une certaine fonction avait des zéros d'une manière plus simple (Thm des valeurs intermédiaires, unicité par monotonie stricte), vérifier qu'avec la fonction Arctan, loin du zéro Newton ne marche pas. Et ils m'ont aussi demandé de parler d'autres méthodes de résolution d'équations différentielles, j'ai schématiquement dit que dans Runge-Kutta on écrivait le problème différentiel sous forme intégrale et que cette dernière était approximée.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Penser à une conclusion.

    De manière générale j'ai l'habitude de faire des présentation assez improvisées. J'ai eu le temps de faire mes trois parties, avec une partie numérique relativement courte. Cela correspond à ce que j'avais à apporter.

    Lors de la prépa, on m'a reproché de ne pas écrire d'énoncé mathématique du type def, propriété, thm. Dans l'absolu, il faudrait effectivement le faire, mais finalement le fait de dire bcp de choses à l'oral m'a permis d'en dire plus, plus vite.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Heureusement le jury semblait connaître un minimum le texte, ce qui m'a permis de dire un certain nombre de choses à l'oral. Plutôt sympa.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai très peu utilisé mes notes et j'ai d'ailleurs dit des choses différentes, oublié d'en dire d'autres.

    C'est la seule épreuve où j'ai terminé dans les temps.

    Le jury récupère le brouillon, le mien était assez désordonné sur cette épreuve.

    Notez qu'on a pas le droit de surligner le texte, c'est ce que je fais en générale. Et contrairement à ce que j'avais l'habitude de faire pendant l'année, j'ai choisi assez rapidement ce que j'allais présenter et je n'ai pas vraiment lu la fin du texte.

    Note décevante...

  • Note

    9

  • Sujet du texte choisi :

    Débruitage d'un signal et optimisation.

  • Sujet de l'autre texte :

    Une équation aux dérivées partielles et de l'optimisation.

  • Un petit résumé du texte :

    Il s'agissait d'éliminer le bruit d'un signal capté dans le but de trouver le signal d'origine. Pour cela, on se ramenait à un problème d'optimisation dans $\mathbb{R}^n$ ( Le signal était une fonction connue en $n$ points). Le texte s'articulait ainsi :
    -Présentation du problème d'optimisation
    -Cas particulier d'un signal avec bruit pour lequel on montre que la solution du problème d'optimisation est le signal attendu
    -On se ramène à un problème d'optimisation régularisé
    -on montre que la solution du problème régularisé approche la solution du problème d'origine
    -Présentation de la méthode de gradient à pas fixe

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    Voici le plan que j'ai présenté:
    I- Débruitage d'un signal
    1. Le problème du bruit ( Dans cette partie, je faisais la modélisation et je présentais une simulation numérique pour expliquer quel était le but de l'exposé)
    2. Un problème d'optimisation ( Je présentais le problème d'optimisation et je montre l'existence et l'unicité de la solution du problème)
    II- Problème régularisé
    1. Régularisation du problème (Je présentais le problème régularisé et je montrais l'existence et l'unicité)
    2. La méthode de gradient à pas fixe (Ici, je présentais la méthode de gradient et je montrais sa convergence. Je finissais la partie sur la présentation de simulation numérique pour illustrer la méthode et je montrais numériquement que la méthode est d'ordre 1)
    III- Approximation ( Dans cette dernière partie, je montrais que le problème régularisé approche le problème d'origine et j'illustrais ce fait par des simulations numériques)

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le jury a commencé à me questionner sur l'équivalent continu du problème d'optimisation. Ils m'ont alors testé sur les espaces de Sobolev et le théorème de Lax Milgram. Ils m'ont ensuite testé sur mes connaissances du programme :
    Question : Connaissez-vous d'autres méthodes pour approcher la solution d'un problème d'optimisation ?
    Réponse : Méthode de gradient à pas optimal
    Question : Pouvez-vous montrez que les directions de descente sont orthogonales
    Je montre ce résultat.
    Ils m'ont ensuite emmené sur le terrain des équations différentielles et m'ont demandé d'interpréter la méthode de gradient à pas fixe comme un schéma numérique. Je leur ai répondu qu'il s'agissait du schéma d'Euler explicite. Ils m'ont demandé d'écrire le schéma d'Euler implicite et m'ont fait démontrer des propriétés propres à l'équation considérée.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    Alors qu'il me restait 2 minutes, j'ai décidé d'improviser une conclusion car je n'avais pas pris le temps d'y réfléchir. Je pense que ça aurait été mieux si j'avais pris 5 ou 10 minutes pour réfléchir à une bonne conclusion.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Le jury m'a tout de suite mis en confiance et a été très agréable tout au long de l'oral. Celui-ci ressemblait plus à une discussion et je m'y sentais presque bien (C'est quand même un oral). J'ai senti qu'à chaque question, il cherchait à aller jusqu'au bout pour tester mes limites et tirer le meilleur de moi.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    il n'y a pas eu de surprise mis à part le tableau sur lequel il était très difficile d'écrire. La craie adhérait trop bien

  • Note

    20

  • Sujet du texte choisi :

    Équations différentielles ordinaires, schéma d'Euler explicite

  • Sujet de l'autre texte :

    Je ne sais plus…

  • Un petit résumé du texte :

    Un joueur veut faire tenir un balai en équilibre sur son doigt, et il s'autorise pour cela des mouvements suivant une droite horizontale, modélisés par une fonction u dépendant du temps. Une étude montre que le mouvement angulaire du balai obéit à une équation différentielle du type y' = sin(y)*u. La question est donc de trouver une fonction u qui permette d'emmener le balai à la position verticale avec vitesse nulle, pour atteindre l'équilibre.
    L'originalité du texte est que l'on veut à la fois résoudre l'équation différentielle et trouver des fonctions y convenables, puis de résoudre les EDo obtenues pour certaines fonctions y particulières. Il y avait une assez grosse partie d'algèbre linéaire, mais je ne l'ai pas examinée.

  • Qu'avez vous produit durant la préparation ? (plan, code, dessins, preuves, ...)

    — J'ai programmé deux schémas d'Euler explicite pour reproduire des courbes du texte.
    — J'ai fait la mise en équation du texte et expliqué la spécificité de l'équation obtenue puisque la fonction u intervient comme un paramètre. Je n'ai donc pas appliqué Cauchy-Lipschitz, n'ayant pas une équation de la forme y' = F(t, y), mais plutôt du type y' = f(t, y, u). La subtilité est que u ne dépend que du temps (ce qui fait que Cauchy-Lipschitz s'applique en fait), point sur lequel le jury est revenu.
    — J'ai démontré un énoncé du texte.

    C'est assez peu, mais comme j'ai eu des jolies courbes, j'ai préféré en rester là et essayer d'anticiper les questions de jury, et ça a été une bonne stratégie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    — Ils sont revenus sur le théorème de Cauchy-Lipschitz et m'ont aidé à l'appliquant en me faisant choisir une fonction u particulière pour me donner l'intuition… Je m'en suis un peu voulu de ne pas avoir eu cette idée tout seul, mais bon j'ai bien réagi à leurs suggestions. Ensuite, ils m'ont demandé d'énoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz et de l'appliquer. Je l'ai fait, j'ai brièvement évoqué la notion de solution globale/solution maximale, et ils sont passés à autre chose. J'avais anticipé la question, donc j'avais pris un peu de temps pour relire tout ça dans le Demailly.
    — Ensuite, ils sont revenus sur le schéma d'Euler explicite, m'ont demandé d'écrire la définition d'un schéma convergent, chose que j'avais également anticipée donc je m'étais rafraîchi les idées pendant la préparation. Ils m'ont demandé d'autre schémas, j'ai cité Runge-Kutta et ils n'ont pas insisté.
    — Enfin, ils sont revenus sur l'équation y = sin(y), j'ai dit que c'était le pendule simple et après ils m'ont demandé de démontrer que l'énergie est constante ; j'ai pas trop compris la question car je n'ai pas les idées très claires sur la physique sous-jacente, mais ça a duré 2-3 minutes, ils m'ont donné un indice et j'ai répondu, puis le temps était écoulé.

  • Suite à la présentation, qu'est ce qui vous semblait améliorable ? (plan, gestion du temps, choix des résultats présentés, ...)

    J'aime bien écrire beaucoup de choses au tableau, mais c'est une question de goût : on y gagne en clarté, mais on fait moins de choses…
    J'aurais pu être plus clairvoyant sur comment appliquer Cauchy-Lipschitz dans ce contexte.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) durant les questions ?

    Attitude très positive et agréable : ils m'ont laissé cherché lorsque j'en avais besoin, et m'ont aidé quand je bloquais.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    On ne peut pas écrire sur le texte.
    Attention, 35 minutes c'est assez court, donc il faut soit écrire peu de choses, soit ne pas prévoir trop. Les questions de jury sont assez classiques et il y a des immanquables (et en fait, le rapport décrit très bien les attendus).

  • Note

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