Retours d'oraux : Maths-Info

  • Leçon choisie :

    106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème du point fixe de Kakutani et sous-groupes compacts de GLn(R)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    A la suite du développement sur Kakutani : que peut on dire des sous groupes finis de GL2 ? Indication : on pourra utiliser le développement que vous venez de prouver... On se ramène aux sous groupes finis de O2. Puis comme sous-question : que peut on dire des sous groupes de SO2 ? On montre finalement qu'ils sont cycliques et puis rapidement pour le cas de O2 on dit que ça fait le diédral.

    Etant donné deux matrices J=(1 1, 0 1), K = (1 1, -1 0), montrer qu'elles engendrent SL2(Z). Sous-question : est ce que les transvections engendrent SL2(Z) ? On adapte le pivot de Gauss pour montrer que oui, et en calculant J^n et JK on obtient toutes les transvections.

    Des questions de topologie : pourquoi est ce que l'application inverse est un homéo ? Réponse avec la formule de la comatrice. Est ce un difféomorphisme ? Je pars dans les calculs de la différentielle en A pendant que le jury essaye de me faire remarquer que comme tout est polynomial, ça marche tout seul, et que pour montrer que la différentielle est bijective, il suffit de remarquer que l'application inverse est une involution.

    Montrer que les matrices diagonalisables sont denses dans M_n(C). Pas trop eu le temps de finir la question, j'ai expliqué avec les mains qu'il faut perturber la matrice pour que le poly caract soit scindé à racines simples.

    Une dernière question "pédagogique" : si vous enseignez cette partie à une classe, quels seraient les points délicats sur lesquels il faudrait insister ? Réponse : le lien avec la géométrie pour les petites dimensions, avec acquiescement du jury (notamment parce que j'ai pas mal galéré pour les sous groupes de SO2...)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Les questions étaient de niveau moyen, mais le jury n'était pas très attentif et blaguait beaucoup entre eux... Mais jury plutôt sympathique et enclin à aider.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de questions sur le plan, et le jury qui semblait pas trop concentré pendant les questions.

  • Note obtenue :

    16

  • Leçon choisie :

    218 : Applications des formules de Taylor.

  • Autre leçon :

    223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Lemme de Morse

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Q: Développement limité à l'ordre 2 implique-t-il dérivée seconde ? [non. Par exemple f(x)=sin(1/x)x^3]

    Q: Avez-vous une idée de la preuve "f et f^(n+1) bornée implique f^(k) bornée pour k entre 1 et n"? [utiliser Taylor-Lagrange et isoler les termes f et f^(n+1). Le polynôme des autres termes sera uniformément borné, puis utiliser l'équivalence des normes en dimension finie pour borner les coefficients]

    Q: Montrer que f(x)=(1-cos(x))/x^2 est C^{infinie}. [Elle est développable en série entière]

    Q: Historiquement, quel(s) problème(s) ont motivé l'introduction de ces notions et quand ? [Sérieusement ?]

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury plutôt coopératif.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le plan puis quelques exos.
    - prouver le critère d'Abel implique celui de Cauchy

    - si $f$ est DSE de rayon de convergence $R\textgreater0$ et si $r\textlesserR$, calculer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left|\ f\left(r\ e^{i\theta}\right) \right|^{2} \, \mathrm{d}\theta$

    Dans le cas où $R\textgreater1$ et les coefficients du DSE sont entiers, montrer que $f$ est un polynôme

    - si $\Sigma\ a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence non nul, que peut-on dire de celui de $\Sigma\ \frac{a_{n}z^{n}}{n!}$ ?

    - époque et motivation des séries entières ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    183 : Utilisation des groupes en géométrie.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Inégalité de Hoeffding

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    - Beaucoup de questions sur le développement : des hypothèses que je n'avais pas précisées, quel type de convergence on a pour $S_n$ (convergence p.s.), cette convergence peut-elle être obtenue avec la loi forte des grands nombres, et même "A quoi sert votre développement ?" (j'ai comparé avec Bienaymé-Tchebytchev et parlé d'intervalle de confiance).

    - L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone est dénombrable. Quid de l'ensemble des points de non-dérivabilité ?
    Je n'avais aucune idée de la réponse, j'ai parlé de la fonction continue partout dérivable nulle part, en me disant que ça pouvait laisser penser que c'était plus délicat. (En fait il semblerait qu'elle soit dérivable presque partout)

    - $f$ dérivable est croissante ssi $f' >0$. Une condition plus faible ? (Heuu...) Est-ce qu'on peut remplacer dérivable par dérivable à droite et dérivée à droite positive ? En fait, elle est localement croissante à droite, du coup OK.

    - Existe-t-il une inégalité de convexité avec plus de 2 éléments ? (je l'avais oublié dans le plan...) Quelles sont les hypothèses et la preuve ? J'ai d'abord dis par associativité c'est facile, ça suffisait au jury sauf à la personne qui a posé la question, du coup on isole $\lambda_1 x_1$, on factorise artificiellement par $(1 - \lambda_1)$ l'autre terme (on évacue le cas où ça vaut zéro avant) puis récurrence. Elle m'a demandé plusieurs fois si j'étais sur, ce qui m'a un peu déstabilisé, alors que c'était bon.

    - Exercice : démontrer le théorème de Dini (toute suite de fonctions croissantes définies sur un segment convergeant vers $f$ continue converge en fait uniformément). Je ne me souvenais plus de la preuve, je dis qu'utiliser Heine pouvait être intéressant, je tente quelques trucs. Pas le temps de finir.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    La dame qui m'a acceuilli dans la salle a été un peu pénible pendant l'oral, elle me demandait sans cesse les hypothèses et semblait agacée (ça se comprend car souvent j'en oubliais ou je ne savais pas, par exemple la LGN) (Remarque : à la vue de la note, ils étaient effectivement agacés). Les deux autres membres du jruy étaient plutôt bienveillants et me laissaient réfléchir.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Tableau grand à feutres, la préparation ne dure pas trois heures le premier jour, car il faut le temps de comprendre l'organisation et de se repérer, du coup il faut se préparer à ce genre de trucs.

  • Note obtenue :

    10.25

  • Leçon choisie :

    108 : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

  • Autre leçon :

    229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème de Brauer

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :
  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le développement :
    - Est-ce que deux matrices de permutation conjuguées sur $M_n(C)$ le sont forcément sur $M_n(R)$ ?
    - Pourquoi introduire les polynômes cyclotomiques pour étudier la multiplicité des racines du polynôme caractéristique $\prod_{i=1}^k X^{l_i} -1$ au lieu de simplement considérer chaque racine $n^{ème}$ de l'unité ? (J'ai répondu que décomposer $X^{l_i} -1$ en produit de polynômes cyclotomiques revenait à faire ça).
    - Pourquoi le fait que pour tout d, #{i / d | $l_i$} = #{j / d | $k_j$} implique-t-il que pour tout n, #{i / n = $l_i$} = #{j / n = $k_j$} ?

    Sur le plan:
    - Est-ce que les matrices de transposition sont nécessaires pour engendrer $GL_n(R)$ ? Est-ce qu'elles appartiennent à $SL_n(R)$ (j'avais dit que oui dans mon plan alors que non, j'ai corrigé quand ils m'ont demandé quel était le déterminant de ces matrices). Lien entre ces matrices et les transposition, quel sous-groupe de $GL_n(R)$ engendrent-elles ?

    - Quels sont les morphismes possibles du groupe symétrique dans ($C^*$, *) ? (L'objectif est de montrer qu'on a uniquement le morphisme trivial et la signature, en considérant l'image des transpositions). Je me suis rappelé de la preuve en court de route, donc j'ai pu finir rapidement.

    - Quels sont les inversibles de Z/7Z ? Que peut-on dire du groupe des inversibles (isomorphe à Z/6Z) ? Quels sont ses générateurs ? (on en trouve un à la main, puis on utilise le Frobenius pour les trouver tous). C'était assez facile, donc je suis allé vite et ils ont semblé satisfaits.

    - Retour sur les permutations : on a des familles de transposition à n-1 éléments qui engendrent le groupe symétrique, est-il possible d'en trouver des plus petites ? (Non, on le prouve en montrant qu'une famille F plus petite n'engendre pas toutes les permutations. En effet, si on a une famille plus petite, on peut la décomposer en au moins deux sous-familles non-vides ayant des supports disjoints. Ça se prouve en considérant le graphe dont les sommets sont les éléments de [1,n] et les arêtes (i,j) sont les transposition de F : on a n sommets et n-2 arêtes au maximum, donc forcément deux composantes connexes au moins.) Celui qui m'avait posé la question m'a un peu guidé, mais dans l'ensemble je m'en suis sorti seul. Question bonus : existe-t-il d'autre familles génératrices, avec moins d'éléments ? (Oui, une transposition et un n-cycle)

    - Sur le groupe des bijections de C dans C, on considère la conjugaison complexe et la multiplication par $e^{2i\pi / n}$, quels groupe engendrent-elles ? (Le groupe diédral)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Ils me laissaient développer mes idées, tout en me guidant quand je prenais une mauvaise direction. Dans l'ensemble, leurs indications m'ont souvent permis de rebondir et d'avancer, donc il n'y a pas trop eu de blanc.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Des questions faciles par rapport à ce à quoi je m'attendais, j'aurais peut-être du mettre plus de choses dans mon plan.
    (I. Généralités sur les générateurs, II. Groupes monogènes (Z et Z/nZ), III. Groupes symétriques et diédraux, IV. Groupe linéaire)

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.