Utilisation de la notion de compacité.

Leçon très appréciée et à juste titre. J'avoue que sans les opérateurs compacts, je trouve qu'il est assez difficile de remplir totalement la leçon, mais je suis sur que vous trouverez plein d'idées.
Je suis passé devant des camarades sur cette leçon, j'ai mis 2 h 15 pour faire tout le plan. J'avoue que je préfère la version papier, plus complète, que ma première version faite en Latex

Mes devs : Alternative de Fredholm, Point fixe compact

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.

C'est une leçon très originale, et que j'ai beaucoup aimé préparer (Top 5 facile des leçons d'analyse). Il y a beaucoup d'ouvertures possibles, notamment sur l'utilisation des espaces de dim finie pour approcher de la dim infinie (ce qui peut déboucher en remarque par exemple à la méthode des éléments finis). Personnellement, je n'ai pas beaucoup insister sur les séries de Fourier que je n'aime pas trop. Une chose que je n'ai vraiment pas vu, alors que c'est tout à fait dans le thème est l'analyse matricielle avec les méthodes itératives : la majorité des résultats se reposent implicitement sur de la dimension finie, et on manipule des matrices, qui sont des objets de dim finie. Ah et vous pouvez mettre (un peu) d'opérateurs compacts, en lien avec la compacité en dim finie. Pour finir, du calcul diff n'est pas insensé, du moment qu'on argumente bien sur l'avantage de la dim finie (gradient fini, hessienne ...). Le seul bémol de cette leçon est que votre table sera recouverte de plein de livres, il ne faut pas s'embrouiller avec les références !

Mes devs : Accélération de Tchebychev, La matrice la plus proche de chez vous

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

Exceptionnelle leçon pour les amateurs d'analyse fonctionnelle, mais qui peut être assez dangereuse car on a tendance à allez mettre des choses vite dures. C'est par contre une leçon assez facile à niveler : si vous avez des difficulté sur ce thèmes, il est assez facile de remplir un peu plus les parties de 'faible' niveau, et au contraire pour les autres, de les expédier rapidement pour arriver sur des théorèmes un peu plus corsés. Une chose que je pense mérite un peu plus d'attention dans mon plan est la présentation des applications linéaires (continue) et les propriétés de cet espace (je suis allez trop vite à mon goût). Ah et utilisez le Daniel Li, la référence est goatesque.

Mes devs : Alternative de Fredholm, Esapces de Bergman

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

Leçon classique qui est très facile à niveler et à adapter selon les niveaux de chacun. Pour les plus faibles, n'hésitez pas à faire des rappels sur les espaces préhilbertiens et sur les conséquences (pas trop triviales) d'avoir un produit scalaire. Les plus forts pourront à l'inverse complètement sauté cette partie. Il faut à mon sens avoir des applications diverses du théorème de projection, comme l'espérance conditionnelle, la minimisation d'intégrale, la méthode des moindres carrés, ... (voir ma leçon 253 pour des applications que je n'ai pas mis dans mon Latex mais qui devraient apparaitre). Si vous êtes à l'aise, les opérateurs compacts fournissent un bon élargissement du plan. La convergence faible, surtout avec Banach-Alaoglu comme développement, peut être une bonne idée.

Mes devs : Espaces de Bergman, Norme de l'opérateur de Volterra

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Illustrer par des exemples la théorie des équations différentielles ordinaires.

Leçon difficile à organiser. L'idée est selon moi de prendre quelques exemples (par exemples ceux tirés de la physique), et de les réutiliser plusieurs fois (si possible) pour illustrer les différents aspects de la théorie. Je conseille vivement d'utiliser le [Hub-Wes], qui est sur beaucoup d'aspects très bien fait. La manipulation de portraits de phases est très utile et à savoir faire.
De côté des mes développements, c'est une leçon que je n'aime pas trop, j'ai donc un dev très bien sur Lyapunov, et un autre dév que je ne recommande pas du tout.

Mes des : Fonctions de Lyapunov, Norme de l'opérateur de Volterra

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.

Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

Moins bien que 220, elle possède ses défauts mais pas ses qualités. Je n'ai pas grand chose à dire à par le fait qu'il est très bien de savoir manipuler des portraits de phases, et de svoir faire les portraits pour des matrices 2x2.
De même que pour la 220, mon deuxième dev est à éviter.

Mes devs : Cauchy-Lipschitz, Norme de l'opérateur de Volterra

Mes plans sont généralement assez détaillés, mais il se peut que je n'aie pas mis tous les items, il faudra donc parfois compléter. Aussi, mes plan sont souvent très (trop) long, et sont faits pour quelqu'un qui écrit petit et rapidement, ce n'est donc pas très représentatif d'un plan fait le jour J par d'autres candidats, qui comportera en général moins d'items.