Leçon 143 : Résultant. Applications.

(2015) 143

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 143 - Résultant. Applications.) Le caractère entier du résultant (il se définit sur Z ) doit être mis en valeur et appliqué. La partie application doit montrer la diversité du domaine (par exemple en arithmétique, calcul d'intersection/élimination, calcul différentiel, polynômes annulateurs d'entiers algébriques). Il ne faut pas perdre de vue l'application linéaire sous-jacente $(U,V) \longmapsto AU + BV$ qui lie le résultant et le pgcd de $A$ et $B$.

(2014 : 143 - Résultant. Applications.) Le caractère entier du résultant (il se définit sur $Z$) doit être mis en valeur et appliqué. La partie application doit montrer la diversité du domaine (par exemple en arithmétique, calcul d'intersection/élimination, calcul différentiel, polynômes annulateurs d'entiers algèbriques). Il ne faut pas perdre de vue l'application linéaire sous-jacente $(U,V) \rightarrow AU + BV$ qui lie le résultant et le PGCD de $A$ et $B$.

Développements :

Plans/remarques :

2016 : Leçon 143 - Résultant. Applications.


2015 : Leçon 143 - Résultant. Applications.


Retours d'oraux :

2015 : Leçon 143 - Résultant. Applications.

  • Leçon choisie :

    143 : Résultant. Applications.

  • Autre leçon :

    182 : Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Loi de réciprocité quadratique (par le résultant)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Quelques explications sur le développement, des questions sur le plan, des exos.

    Dans l'ordre. Sur le développement quelques explications qui n'étaient pas clair pour le jury.

    Sur le plan : j'ai mis que le corps des nombres algébriques était un corps sans mettre d'où le résultant apparaît. Ils m'ont donc demander d'expliquer. (Sol : $Res_T ( P(X- T) , Q(X) )$

    Sur le théorème de Bézout : Est ce que vous connaissez une généralisation ? J'ai répondu qu'on peut généraliser au plan projectif à l'aide de la théorie de la multiplicativité des points d'intersection et qu'il y avait égalité dans l'inégalité du théorème faible de Bézout. Ça leur a suffit.

    Application : trouver les points d'intersection de $X^2 + YX + Y^2 - 1 = 0$ et $2X^2 + Y^2 - .. = 0$ un truc du genre. Sol : on fait le résultant en $Y$ on solve en $X$ on $x = 1$ ou $-1$ et on en déduit les points d'intersection.

    Sur le discriminant (qui est dans le plan) : connaissez vous un lien entre le discriminant d'un polynôme de degré $3$. On montre que le signe du résultant permet de dire s'il y a 3 racines réelles. Je n'ai pas eu à faire les calculs en entier.

    Sur le discriminant. Calculer le discriminant de $P(X) = X^n + aX + b$. Sol : par la formule avec le reste de la division de $P$ par $P'$. Pareil, ils ne m'ont pas demandé de finir les calculs.

    Est ce que vous connaissez un critère sur $P \in \mathbb{Q}(X)$ pour que son groupe de Galois soit dans $\mathfrak{U}_n$ + des questions sur le groupe de Galois. Je n'ai pas fini la question.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sympa mais surtout enclin à éviter TOUT calcul. En gros je leur disais juste comment il fallait faire.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    gros stress au début parce que je savais pas quoi choisir comme sujet. Puis gros stress parce qu'une fois la leçon choisie il y a un sardanapale qui a pris LE Apéry pour faire la leçon 142 ! et il n'y en avait pas d'autre dans toutes les autres malles. Au final j'ai sorti les définitions de résultant de tête et c'est (peut-être) passé parce que je n'ai pas eu de questions reloues à ce niveau là.

    Du bruit durant la préparation.

  • Note obtenue :

    17.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :