Générateurs de GL_n(K) et de SL_n(K)

Ce développement est assez facile : il suffit de prendre le temps de bien expliquer et de soigner la rédaction de la récurrence au tableau. S'il est dans ma liste, c'est surtout parce que j'avais besoin de quelque chose pour les leçons 108 et 162, deux leçons que j'apprécie peu.

⚠️ L'application est à connaître par cœur !

Remarque : On peut également ajouter le fait que $\mathrm{GL}_n​(\mathbb{C})$ est connexe par arcs et que $\mathrm{GL}_n​(\mathbb{R})$ admet deux composantes connexes par arcs, mais il faut se speeder un peu. Je préfère des développements de 13 min max pour avoir le temps de souffler. (On peut se référer à la version de Lavos pour ces points.)

Algorithme du gradient à pas optimal

Développement particulièrement intéressant pour les candidats préparant l’option B. J’en présente deux versions. Les couplages diffèrent légèrement d’une version à l’autre, et la justification de certains d’entre eux s’appuie sur les items traités dans mes leçons.

Pour l’algorithme « général », c’est-à-dire dans le cadre d’une fonction $\mathrm{C}^1$ et $\alpha$-convexe, j’utilise la version de Francinou et al., ainsi que l’application associée à la fonctionnelle quadratique, à traiter si le temps le permet. Le recasage proposé est alors le suivant : 219, 229, 215, 253, 223, 226 et 206, cette dernière leçon demandant toutefois une défense plus spécifique.

Pour l’algorithme associé à la fonctionnelle quadratique, accompagné de l’inégalité de Kantorovitch, je présente la version de Bernis et Bernis, que l’on peut recaser dans les leçons 157 et 162.

Consistance, stabilité et convergence du schéma par différence finie elliptique

Ellipsoïde de John Loewner

Ce développement est l’un de mes préférés, il admet un excellent recasage dans presque une dizaine de leçons : 181, 219, 229, 253, 149, 157, 170, 171, 203, (158). Cependant, il faut savoir justifier chacun de ces recasages, qui ne sont pas tous immédiats et qui peuvent amener à la fameuse question du jury : en quoi ce développement s’inscrit-il dans cette leçon ? J’ai également ajouté une série de questions en lien avec le développement.

Ce développement est plutôt long si l’on prend le temps de tout expliquer correctement, et les questions de co-réduction des formes quadratiques peuvent amener la discussion vers les groupes $\mathcal{O}(q)$ et $\mathcal{SO}(q)$...

SO₃(R) et les quaternions

Ce développement se recase dans huit leçons : 103, 106, 108, 127, 151, 158, 161, 191. J’ai également ajouté une série de questions en lien avec le développement.

Ce développement est assez long si l'on prend le temps de tout expliquer correctement et d'introduire les quaternions de manière matricielle. L'isomorphisme exceptionnel en jeu peut naturellement ouvrir la discussion vers la topologie algébrique (notamment le groupe fondamental de $\mathcal{SO}(3)$ et son revêtement universel...) mais si vous en êtes à ce type d'échange avec le jury, c'est que vous avez déjà une très bonne note. Pour citer l'une de nos professeures : pas besoin de faire difficile pour avoir l'agrég.