Développement : Un critère d'extrema d'ordre 2 et applications

Détails/Enoncé :

Théorème : Soit $f:U\subseteq \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathrm{C}^2$ et supposons qu’il existe $a\in U$ tel que $\mathrm{d}f_a = 0$, de sorte que $f(a + h) = f (a) + \frac{Q(h)}{2} + \mathrm{o}(\|h\|^2)$, où $Q$ est la forme quadratique associée à la hessienne de $f$ en $a$. On a :
- si $f$ admet un minimum (resp. un maximum) relatif en $a$, alors $Q$ est une forme quadratique positive (resp. négative)
- si $Q$ est une forme quadratique définie positive (resp. définie négative), alors $f$ admet un minimum (resp. un maximum) relatif en $a$.

Application : La fonction $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x, y) \mapsto x^4 + y^4 - 2(x- y)^2$ admet un minimum global qui est atteint en $\pm(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.

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