Développement : Formule de Gelfand dans un Banach

Détails/Enoncé :

Théorème :
Soit $X$ un espace de Banach complexe et $T \in \mathcal{L}(X)$. On définit son rayon spectral $r(T)=\sup\{|\lambda|: \lambda \in \sigma(T)\}$, où le spectre $\sigma(T)$ est défini par $\sigma(T)=\{\lambda \in \mathbb{C}:\lambda \mathrm{Id}-T \not \in G(X)\}$ et $G(X)$ est le groupe des inversibles de $\mathcal{L}(X)$. Alors $r(T)=\lim\limits_{n \to +\infty} \|T^n\|^{\frac1n}$.

Application :
Soit $H$ un espace de Hilbert complexe et $T \in \mathcal{L}(H)$ un opérateur normal (i.e $T$ commute avec $T^*$), alors $r(T)=\|T\|$.

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