Développement : Distance de Hausdorff et convergence de fractales

Détails/Enoncé :

Soit $(X, d)$ un espace métrique. Pour toute partie $A\subset X$ et tout $\varepsilon > 0$, on définit l'$\varepsilon$-voisinage de $A$ : $$\mathscr{U}(A, \varepsilon) := \bigcup_{a\in A} B(a, \varepsilon)$$
Soit $\mathscr{H}(X)$ l'ensemble des parties fermées bornées non vides de $X$. Pour $A, B \in \mathscr{H}(X)$, on définit : $$d_H(A, B) = \inf\{\varepsilon > 0 \mid A \subset \mathscr{U}(B, \varepsilon) \text{ et } B \subset \mathscr{U}(A, \varepsilon)\}$$
1) Si $(X, d)$ est complet, $(\mathscr{H}(X), d_H)$ aussi.
2) Les définitions récursives de la courbe de Sierpinski, de la courbe du dragon, du flocon de Koch... convergent bien.

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