(2010 : 131 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.)
Le candidat ne doit pas se contenter de travailler sur $R$ et ne doit pas négliger l’interprétation géométrique des notions introduites (lien entre coniques, formes quadratiques, cônes isotropes) ou les aspects élémentaires (par exemple le discriminant de l’équation ax 2 +bx +c = 0 et la signature de la forme quadratique ax 2 +bx y +c y 2 ). On ne peut se limiter à des considérations élémentaires d’algèbre linéaire. Les formes quadratiques ne sont pas toutes non dégénérées (la notion de quotient est utile pour s’y ramener).
L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué sur une forme quadratique de $R^3$. Le lien avec la signature doit être clairement énoncé. Malheureusement la notion d’isotropie est mal maîtrisée par les candidats, y compris les meilleurs d’entre eux. Le cône isotrope est un aspect important de cette leçon, qu’il faut rattacher à la géométrie différentielle. Il est important d’illustrer cette leçon d’exemples naturels.