Développement : Méthode de Laplace (ordre pas forcément deux)

Détails/Enoncé :

Soient \(g\) et \(h\) des fonctions mesurables de \(\mathbb{R}_+\) dans \(\mathbb{R}\).
On suppose que: \(h\) est strictement décroissante, on a en $0$: \(h(x)=h(0)-cx^{\beta}+o(x^{\beta})\) avec \(c>0\) et \(\beta>0\), on a en 0: \(g(x)\sim Ax^{\alpha}\) avec \(\alpha>-1\) et \(A\ne 0\),
\(\int_{\mathbb{R}_+} |g(x)|e^{h(x)}\ dx<+\infty\).
Alors, lorsque $t$ tend vers l'infini, on a l'équivalent:
\(I(t)=\int_{0}^{+\infty} g(x)e^{th(x)}\ d\lambda(x) \sim Ae^{h(0)t}(ct)^{-\frac{\alpha+1}{\beta}} K_{\alpha,\beta},\)
avec \(K_{\alpha,\beta}=\frac1{\beta}\Gamma(\frac{\alpha+1}{\beta})\).

Recasages pour l'année 2020 :

  • Pas de recasages pour cette année.

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    Référence: Garet-Kurtzmann, attention c'est la 2e édition
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