Développement : Equation de Sylvester

Détails/Enoncé :

On montre que, si $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sont deux matrices dont toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative, alors, pour tout $C\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, l'équation $$AX+XB=C$$ d'inconnue $X\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ admet une unique solution.

Cela construit $X$ comme l'intègrerale sur $0;+\infty[$ de la solution d'une certaine équation différentielle linéaire vectorielle.

Un lemme préliminaire (question 1 dans l'exo correspondant du Gourdon) utilise la décomposition de Dunford.

Référence: Gourdon p 390

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