Développement : Caractérisation des matrices positives (critère de Sylvester)

Détails/Enoncé :

Soit $M=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique réelle. On note $M_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$. M est définie positive si et seulement si $det M_k > 0$ pour tout $k\in\{ 1,...,n\}$.

Gourdon Algèbre p247

Recasages pour l'année 2023 :

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  • Remarque :
    Développement assez original, pas trop dur mais assez long.
    On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle.
    Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme.

    NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
    NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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