Développement : [Doublon : Déterminant circulant et suite de polygônes]

Détails/Enoncé :

[ Note des modérateurs : doublon avec https://agreg-maths.fr/developpements/350 ]

Théorème: (du déterminant circulant) Soit $a_0;...;a_{n-1}\in\mathbf{C}$ et $w = e^{i\frac{2\pi}{n}}$.
Alors:

\[
\begin{vmatrix}
a_{0} & a_1 & \dots & a_{n-1}\\
a_{n-1} & a_0 & \dots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1} & a_2 & \dots & a_{0}
\end{vmatrix} = \prod^{n-1}_{j=0} \sum ^{n-1}_{k=0} a_kw^{jk}.
\]

Proposition: Soit $P$ polygône du plan complexe dont les sommets sont $z_1;...;z_n$. Soit $P_0 = P$ et pour tout $n\in\mathbf{N}$ soit $P_{n+1}$ le polygône dont les sommets sont les milieux des arêtes de $P_{n}$.
Alors: la suite $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ converge vers l'isobarycentre de $P$.

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• 181 : Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
• 191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.
• 226 : Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1 = f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
• 152 : Déterminant. Exemples et applications.
• 155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
• 149 : Valeurs propres, vecteurs propres. Calculs exacts ou approchés d’éléments propres. Applications.
• 153 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
• 223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.

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